2024年中考數學復習：實際問題與二次函數高頻考點突破練習題

1.某旅游公司在景區內配置了50輛觀光車供游客租賃使用，假定每輛觀光車一天內最

多能出租一次，且每輛車的日租金x（元）是5的倍數，發現每天的營運規律如下：當

工不超過100元時，觀光車能全部租出：當工超過100元時，每輛車的日租金每增加5

元，租出去的觀光車就會減少1輛，已知所有觀光車每天的管理費是1100元.（注：凈

收入二租年收入-管理費）

（1）當日租金x為135元時，觀光車能租出________輛；

⑵設每日凈收入為）'元，寫出V與x的函數關系式；

（3）當每輛車的日租金為多少元時，每天的凈收入最多？

2.某批發商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標價為

45元/箱，實際售價不低于標價的八折.批發商通過分析銷售情況，發現這種蔬菜的銷

售量y（箱）與當天的售價x（元/箱）滿足一次函數關系，下表是其中的兩組對應值.

售價X（元/箱）???3538???

銷售量y（箱）—130124???

（I）若某天這種蔬菜的售價為42元/箱，則當天這種蔬菜的銷售最為箱；

⑵該批發商銷售這種蔬菜能否在某天獲利1320元？若能，請求出當天的銷售價；若不

能.請說明理由.

⑶批發商搞優惠活動，購買?箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定

為多少時，可獲得口銷出利潤最大，最大口銷伐利潤是多少元？

3.D為48c邊8c上的一個動點（不與從C重合），過。作比'〃/1。交AB于點E

作。尸"八3交4c于點凡

⑴證明：BDEs、DCF；

（2）若的面積為10,點G為線段人尸上的任意一點，設尺:：AC=〃，△OEG的面

積為5,

①求的值（用〃的式子表示）

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②求S關于〃的關系式，并求S的最大值.

4.某公司生產的一種季節性產品，其單件成本與售價隨季節的變化而變化.據調查:

①該種產品一月份的單件成本為6.6元/件，且單件成本每月遞增0.2元/件：

②該種產品一月份的單件售價為5元/件，六月份的單件售價最高可達到10元/件，單件

售價)，(元/件)與時間x(月)的二次函數圖象如圖所示.

(1)求該產品在六月份的單件生產成本；

(2)該公司在哪個月生產并銷售該產品獲得的單件收益卬最大？

(3)結合圖象，求在全年生產與銷售中一共有幾個月產品的單件收益不虧損？(注：單件

收益=單件售價-單件成本)

5.為培養學生勞動實踐能力，某學校在校西南角開辟出一塊勞動實踐基地.如圖①是

其中蔬菜大棚的橫截面,它由拋物線A￡D和矩形A8CD構成.已知矩形的長8c=12米,

寬相=3米，拋物線最高點E到地面BC的距離為6米.

⑴按圖①所示建立平面直角坐標系，求拋物線4EO的解析式；

(2)冬季到來，為防止大雪對大棚造成損壞，學校決定在大棚兩側安裝兩根垂直「地面且

關于)'軸對稱的支撐柱PQ和MW,如圖②所示.

①若兩根支撐柱的高度均為5.25米，求兩根支撐柱之間的水平距離：

②為了進一步固定大棚，準備在兩根支撐柱上架橫梁PN,搭建成一個矩形“腳手架”

PQMN,為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿尸0,ON,MN的長度之和卬的最

大值，請你幫管理處計算一下.

6.小亮和小明在籃球場練習投籃.小亮投籃時籃球出手的高度是1.7米，籃球的運行路

線是拋物線的一部分，籃球運行的水平距離為3米時達到最高點，最高點的高度是3.5

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米.籃篋的高度是3.05米，結果小亮恰好命中籃筐.建立如圖所示的平面直角坐標系（籃

球和籃筐均看作一個點），解答下列問題.

（I）求小亮投籃時籃球運行路線所在拋物線的解析式.

⑵求小亮投籃時與籃筐的水平距離L.

（3）小亮投籃后籃球被籃筐彈了出來，恰被到籃筐水平距離為5米的小明跳起來接住.已

知籃球彈出后運行路線也是拋物線的一部分（兩拋物線在同一平面內），運行的水平距

離為2米時到達最高點，小明接球的高度為2.3米.

①求籃球彈出后最高點的高度；

②若小明不接球，讓籃球自由落地，則落地點到籃筐的水平距離是多少米？（結果保留

根號）

7.如圖1,以正方形ABC。的頂點A為圓心，作圓弧30,P是BD上一動點、，過點。

作8。的切線交8C于點E,交C。于點F,連接AE,AF.

⑴求力￡4月的大小；

⑵如圖2,連接AP.①求證：周長為定值:②當PE=2,2產=3時，求二用

AP

的面積；

⑶如果&CM的周長為2（）,設BE=x,二的面積為y,求），關于上的函數關系式,

并求出），的最小值.

8.某水果店包裝一種果籃需要A,8兩種水果,A種水果的單價比8種水果單價少3元，

若用600元購進A種水果和用900元購進B種水果數量一樣多，包裝一盒果籃需要4

種水果4斤和8種水果2斤，每盒還需包裝費8元.市場調查發現；設每盒果籃的售價

是x元（x是整數），該果籃每月的銷量Q（盒）與售價x（元）的關系式為。=-IOx+HOO.

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⑴求一盒果籃的成木(成木二進價+包裝費)；

⑵若每月的利潤是卬元，求卬關于X的函數解析式(不需要寫出自變量的取值范隹)；

⑶若每盒果籃的售價不超過。元(4是大于70的常數，且是整數)，直接寫出每月的最

大利潤.

9.某網點銷售一商品，已知每個商品成本為40元，銷售大數據分析：當每個商品售價

為60元時，平均每天售出60個，若售價每降低1元，其銷售量就增加10個.

(1)如果設每個商品售價降價x元，那么每個商品的銷售利潤為元，平均每

天可銷售商品個；(用含x的代數式表示)

(2)為促進銷售，該網點決定降價促銷，在庫存為12()人商品的情況下，若要使每天獲利

為1600元，則商品的售價應定為多少元？

(3)試求這種商品每個售價降低多少元時?天的利潤最大并求出最大值.

10.比薩斜塔是意大利的一座著名斜塔，據說物理學家伽利略曾在塔頂上做過著名的自

由落體試驗：在地球上同一地點，不同質量的物體從同一高度同時下落，如果除地球引

力外不考慮其他外力的作用，那么它們的落地時間相同.

已知：某建筑。4的高度為44.1m,將一個小鐵球P(看成一個點)從A處向右水平抽

出，在水平方向小鐵球移動的距離d(m)與運動時間”s)之間的函數表達式是：d=lt,

在豎直方向物體的F落距離〃(m)與下落時間/(s)之間的函數表達式為0=4.9r.以點。

為坐標原點，水平向右為x軸，OA所在直線為)，軸，取1m為單位長度，建立如圖所示

平面直角坐標系，已知小鐵球運動形成的軌跡為拋物線.

⑴求小鐵球從拋出到落地所需的時間；

⑵當/=1時，求小鐵球戶此時的坐標；

(3)求拋物線的函數表達式，并寫出自變量工的取值范圍.

11.如圖①，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向行駛，為綠化帶澆水.噴水口

〃離地豎直高度。H=1.5米.如圖②，可以把灌溉車咬出水的上、下邊緣抽象為平面直

角坐標系中兩條拋物線的部分圖象：把綠化帶橫截面抽象為矩形OEFG，其水平寬度

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。￡=2米，豎直高度方=1米.下邊緣拋物線可以看作由上邊緣拋物線向左平移得到，

上邊緣拋物線最高點4離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.5米，灌溉車到/的

距離。。為d米.

圖①圖②

（1）求.上邊緣拋物線的函數表達式，并求噴出水的最大射程OC；

⑵求卜邊緣拋物線與x軸的正半軸交點8的坐標；

⑶要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶（即矩形位于上邊緣拋物線和

下邊緣拋物線所夾區域為），求d的取值范圍.

12.某水果店一種水果的日銷售量V（千克）與銷售價格工（元/千克）滿足一次函數

關系，部分數據如下表.

售價X（元/千克）6810

日銷售量y（千克）201816

⑴求這種水果日銷售量y與銷售價格x之間的函數關系式；

（2）若將這種水果每千克的價格限定在6元~12元的范圍，求這種水果日銷售量的范圍；

⑶已知這種水果購進的價格為4元/千克，求這種水果在日銷售量不超過10千克的條件

下可獲得的最大毛利潤.（假設：毛利潤=銷售額-購進成本）

13.某工廠以相同的價格網上直銷甲、乙兩種型號的電子產品，甲種型號產品每個成本

為20元，其日銷售量（盒）是售價文（元）的一次函數，函數圖象如圖所示；乙種型

號產品每個成本為25元，當銷售價為30元時，每天可銷售200盒，若出價每提高1元,

則每天少銷售4盒.

（1）求出兩種型號產品的日銷售量）'（個）與銷售價x（元）之間的函數關系式（不要求

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寫自變量的取值范圍）；

（2）設兩種型號的電子產品日銷售利潤總和為W（元），求日銷售利潤W（元）與銷售價

工（元）之間的函數關系式：

（3）市場銷售情況產品供不應求，但受生產線限制，甲和型號產品日產量不得低于乙種型

7

號產品日產量的高，求俏售價定為多少時.，兩種型號產品日銷售利潤總和W最高，最高

O

是多少？

14.農經公司以30元/千克的價格收購一批農產品進行銷售，為了得到口銷售量〃（千克）

與銷售價格工（元/千克）之間的關系，經過市場調查獲得部分數據如表：

銷售價格X（元/千克）3035404550

日銷售量〃（千克）6004503001500

（I）請你根據表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定〃與

x之間的函數表達式，并直接寫出〃與x的函數表達式為;

⑵農經公司應該如何確定這批農產品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？

⑶農經公司每銷售1千克這種農產品需支出〃元（〃>0）的相關費用，當404x445時，

農經公司的日獲利的最大值為2430元，求〃的值.（日獲利等于日銷售利潤減日支出費

用）

15.抗擊疫情期間，某商店購進了一種消毒用品，進價為每件8元，銷售過程中發現,

該商品每天的銷售量V（件）與每件售價元）之間存在一次函數關系（其中8<x<l5.

且x為整數），部分對應值如下表：

每件售價（元）91113

每天的銷售量（件）1059585

⑴求了與x的函數關系式.

⑵若該商店銷售這種消毒用品每天獲得425元的利潤,則每件消毒用品的售價為多少元.

（3）設該商店銷售這種消毒用品每天獲利“，（元），問：當每件消毒用品的售價為多少元時，

每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

16.果園有果樹60棵，現準備多種一些果樹提高果園產量.如果多種樹，那么樹之間

的距離和每棵果樹所受光照就會減少，每棵果樹的平均產量隨之降低.根據經驗，增種

10棵果樹時，果園內的每棵果樹平均產量為75kg.在確保每棵果樹平均產量不低于40kg

的前提下，設增種果樹％（x>0且x為整數）棵，該果園每棵果樹平均產量為Vkg,它

們之間的函數關系滿足如圖所示的圖像.

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⑴每增種1棵果樹時，每棵果樹平均產量減少kg;

(2)求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量工的取值范圍；

⑶當增種果樹多少棵時，果園的總產量小(kg)最大？最大產量是多少？

17.某加工廠加工某海產品的成本為30元/千克，根據市場調查發現，批發價定為48

元/千克時，每天可銷售500千克，為增大市場占有率，在保證盈利的情況下，工廠采

取降價措施，批發價每千克降低1元，每天銷量可增加50千克.

(I)當每千克降價2元時，工廠每天的利潤為多少元？

(2)求出工廠每天的利潤W元與降價k元之間的函數關系.當降價多少元時，工廠每天

的利潤最大，最大利潤為多少元？

(3)若工廠每天的利潤要達到9750元，并讓利于民，貝J定價應為多少元？

18.中國元素幾乎遍布卜塔爾世界杯的每一個角落，某特許商品專賣店銷售中國制造的

紀念品，深受大家喜愛.自世界杯開賽以來，其銷量不斷增加，該商品銷售第x天

(I)求)，關于工的函數表達式；

⑵求這28天中第幾天銷售利潤最大，并求出最大利澗；

(3)商店擔心隨著世界杯的結束該紀念品的銷售情況會不如從前，決定在第20天開始每

件商品的單價在原來價格變化的基礎上再降價。元銷售，銷售第x天與該天銷售量)(件)

仍然滿足原來函數關系,問第幾天的銷伐利潤取得最大值，若最大利潤是20250元，求

a的值.

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參考答案:

I.(1)43輛

501100(0<E00)

+70x-1100(x>100)

(3)175元

【分析】（I）根據題意和當日租金可以確定當日租出的觀光車；

（2）根據題意可以得到w與工的函數關系式：

（3）由（2）知，函數解析式是分段函數，在每一段內求出函數最大值，比較得出函數的最

大值.

【解析】（1）由題意得：x=135>100,

???每輛車的日租金每增加5元，租出去的觀光車就會減少1輛，

.135-100）

..-------------=7,

5

A50-7=43（輛），

???觀光車能租出43輛，

故答案為：43；

（2）因為每輛車的凈收入為丁元,所以當OcxKlOO時，y,=50x-il00；

當x>100時，%=?5。11。。=-*+70x—1100,

50x-1100（0<x<100）

即丁與％的函數關系式：y={1,“（,；

--X24-70X-H00（X>100?

（3）由（2）可知，當OcxKlOO時，=5O.r-1100,

因為為隨x的增大而增大，

所以當x=l（X）時，X的最大值為50x100-1100=3900：

當x〉l（X）時，=--（x-175）2+5025,因為—；<0,

所以當x=175時，%的最大值為5025,

因為5025>39（X）.

所以當每輛車的日租金為175元時，每天的凈收入最多是5025元.

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【點評】本題考查了一次函數的應用，以及二次函數的應用，解題的關鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件.

2.（1）116

（2）不能，理由見解析

（3）這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大口利潤為1650元

【分析】（1）設V與x之間的函數關系為丁="+〃，用待定系數法求函數解析式即可；

（2）根據題意列出關于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根據這種蔬菜的標價

為45元/箱，實際售價不低于標價的八折得出x的取值范圍為36KXK45,從而確定方程的

解；

（3）根據每天的利潤=單箱的利潤x銷量列出函數解析式;，再根據函數的性質求函數的最

值.

【解析】（1）解：設）'與》之間的函數關系為丁=依+〃，

35H30

根據題意得:“38〃+b=124

k=-2

解得：

/)=200’

/.y=—2x+200,

.?.當x=42時，y=-2x42+200=116,

??.當天這種蔬菜的銷售量為116箱;

故答案為116；

⑵解:根據題意得:(-2A+2(X))(X-24)=1320,

解得*=34,占=9(),

這種蔬菜售價不低于45x0.8=36,且不高于45,

36<.v<45,

.?.34,90都不滿足題意,

所以該批發商銷售這種蔬菜不能在某天獲利1320元:

（3）解：設日獲得利潤為W元,

則卬=(~2x+200)(x-24-6)=-2(.r-65)2+2450,

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a=-2v0,

二拋物線開口向下，

.,?當xv65時，卬的值隨x值的增大而增大，

這種蔬菜售價不低于45x0.8=36,

二36<x<45,

...當x=45時，I1人=-2x（45—65）2+2450=1650（元），

答：這種蔬菜的售價為45元，可獲得最大日利潤為1650元.

【點評】本題考查了銷售問題的數量關系在解決實際問題是的運用，一次函數的解析式的運

用和二次函數的解析式的運用，解答時根據題意建立函數關系是解答本題的難點和關鍵.

3.⑴見解析

⑵①1-〃；②S=-10〃2+]0〃，S0m=2.5.

【分析】（I）由平行線的性質可得出NEZ汨=NR7。，/EBD=/FDC,即可證明

BDEsDCF；

（2）①由。尸易證△DC/SA^CA,即得出R7:42=CO:=〃，從而即可求出

BD:BC=i；②根據題意可得出S=SQEG=：SA即一再根據相似三角形的性質可得出

垓=（￡￡]=〃2,即得出5女尸=1。〃2.由①可知g=上三，結合相似三角形的性質可

sBSCDn

得出些=（處丫丫，從而可求出sg=10-20〃+10后進而可求出

S.DCF\CD）\）

SAEDF=SABC-SBDE-SDCF=+20/Z,最后即得出S=]S八加卜二一10〃?+10〃，再結合

二次函數的性質即可求出其最大值.

【解析】（I）證明：:皮〃/C,DFNAB,

：,/EDB=/FCD,ZEBD=NFDC,

/.BDEsDCF；

（2）解：①???/）產/AB,

:.ADCFSABCA,

:.FC:AC=CD:BC=n.

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設BC=x,則CD=tix,

/.BD=BC-CD==(l-/?)x,

JBD:BC=a〃)x=j；

X

②，：DE//AC,DFAB,

???四邊形AE。尸為平行四邊形.

???點G為線段所上的任意一點,

??S=S.DEG=.AEDF?

,/ADCFSABCA,

由①可知處

CDnxn

'：BDEsDCF,

SDCF(CfJI〃廣

Z.SAEDF=SABC-SBDE-S即=10-(10-20〃+10〃2)-]0〃2=-20〃2+20〃，

2

???S=gsAEDF=-IO/?+10?=-IOb?-i+2.5.

V-10>0,

，當〃二g時，*有最大值,最大值為2.5.

【點評】本題考查平行線的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，二

次函數的應用等知識.熟練掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題關鍵.

4.(1)7.6元

(2)5月份或6月份

(3)全年一共有8個月單件收益不虧損

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【分析】(I)先求出一月成本，再根據增長關系求出六月份成本；

(2)求出單價的二次方程，再乘以銷量得到利潤，找該二次函數最大值即可；

(3)列出不等式，求出所有符合條件的整數解即可

【解析】(1)由題意知：該種產品的單件成本〃與月份工之間的關系滿足：〃=0.2工+人當

x=1時，n=6.6，可得b=6.4.

，六月份的單件生產成本為：0.2x6+64=7.6(元)

2

(2)設單件售價y與月份x之間的函數關系式為：y=tf(x-6)4-IO,

x=1時，y=5

???41-6)2+10=5,解得：67=-1.

所以單件收益IV=-i(x-6)2+10-(O.2x+6.4)=-A'2+yx-y，

配方得：y竺，

■512)20

當x=5或6時，/?=2.4,

所以該企業在5月份或6月份生產并銷售該產品獲得的單件收益最大

(3)單件收益不虧損需滿足：q(.L6『+1020.2x+6.4,

由一;(x—6『+10=0.2x+6.4,得(x-2)(x-9)=0,即x=2或x=9,

結合圖象可知：當x=2,3,4,5,6,7,8,9時，n->0,

即全年一共有8個月單件收益不虧損.

【點評】本題考查二次函數在銷售問題中的應用，求出二次函數，并掌握求最值的方法是本

題關鍵.

5.(i)y=-5f+6

(2)①兩根支撐柱之間的水平距離為6米②“腳手架”三根支桿PQ,PN,MN的長度之和卬

的最大值為18米

【分析】(1)由題意得A(-6,3),E?6),設拋物線的解析式為y=o?+c,將曲飛3),E(0,6)

代入解析式，解方程即可得到答案：

第12頁共30頁

(2)①根據題意可?得-不/+6=5.25,解方程即可得到％=3,占=-3,從而即可算出兩

根支撐柱之間的水平距離；②設NQ〃，--U7+6),則AW=2〃7,MN=PQ=-1而+6,

1212

則三根支桿的總長度為：…PQ+PN+MN=2析+2t看〃5+6)

=-。〃產+2,〃+12=-2(m-6)2+18,再根據二次函數的性質即可得到最大值.

66

【解析】⑴解:由題意,得：4(-63),E(0,6),

設拋物線的解析式為y=—+c將A(-6,3),E(0,6)代入得：

36a+c=3

c=6'

解得."IL

c=6

，拋物線49的解析式為)，=-七一+6；

(2)解：①根據題意得：

當y=5.25時，BP-—X2+6=5.25,

12

解得：內=3,x2=-3,

.-.3-(-3)=6(米)，

答：這兩根支撐柱之間的水平距離是6米；

2

②設加+6),則PN=2〃z,MN=PQ=--m+6t

1212

則三根支桿的總長度為：

1\11

w=PQ+PN+MN=2m+2m~+6=—m2+2m+12=—(m-6)2+18,

\12766

o

當/〃=6時，w取得最大值,最大值為18；

答：三根支桿尸。，PN,的長度之和州的最大值為18米.

【點評】本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，求二次函數的

最值，熟練掌握待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的性質，求二次函數的最值是解

題的關鍵.

第13頁共30頁

2

6.(1)>'=-().2X+3.5;

(2)4.5米；

⑶①3.65米；②(號9+2米.

【分析】(1)由題意可設小亮投籃時籃球運行路線所在拋物線的解析式為y=aF+3.5,再

代入(-3,1.7),即求出〃的值，即可求出解析式；

⑵令y=3.05,代入y=-0.2f+3.5,求出一的值,艮］可得到答案；

(3)①根據題意可知，籃球彈出后運行路線所在拋物線的對稱軸是直線工=-0.5,設該拋物

線的解析式為y="(x+0.5)2+Z,代入點(-3.5,2.3)和(1.5,3.05),求出“、Z的值，即可得

到答案；

②令-0.15(x+0.5)2+3.65=0,求出工的值美極客得到答案.

【解析】(I)解：小亮投籃時籃球的運行路線是拋物線的一部分，該拋物線的對稱軸是)'

軸，最高點的縱坐標是3.5,

???設其解析式為丁二，^+3.5.

拋物線經過點(-31.7),

/.1.7=a(-3)2+3.5,

解得。=-0.2,

???小亮投籃時籃球運行路線所在拋物線的解析式為)，=-0.2/+3.5；

(2)解:令-0.2/+3.5=3.05，

解得：x=1.5或-1.5,

根據圖象可知，籃筐在第一象限，

:.x=1.5

/.￡=3+1.5=4.5(米).

即小亮投籃時與籃筐的水平距離L為4.5米；

(3)解：①籃球彈出后運行的水平距離為2米時到達最高點，且籃筐到)，軸的距離為1.5

第14頁共30頁

米，

???籃球彈出后運行路線所在拋物線的對稱軸是直線x=-0.5,

???設該拋物線的解析式為），="（1+0.5）2+攵,

小明到籃筐的水平距離為5米，籃筐到＞軸的距離為1.5米,

???小明到y軸的距離為3.5米,

小明接球的高度為2.3米

/.拋物線），=""+0.5）2+&經過點（一3.5,2.3）,

乂拋物線經過點（153.05）,

3.05="(1.5+0.5『+&

-2.3="(-3.5+0.5)2+/

/=0.15

解得：

左=3.65

.-.y=-O.15(x+O.5)2+3.65,

???籃球彈出后最高點的高度為3.65米;

②令-0.15(x+0.5)2+3.65=0,

解得—年—0.5或a.0.5（舍）,

落地點距離），軸米,

V219八一JV219J

3I3J（米）,

落地點到籃筐的水平距離是

【點評】本題考查了二次函數的實際應用，解題關鍵是掌握二次函數的定義、性質以及在實

際問題中的應用.

7.(1)45°

(2)①見解析;②15

5/+500

(3)y=(0<x<10)；100V2-100

x+10

第15頁共30頁

【分析】（I）連接AP,根據切線長定理可得N84石/PAF=/DAF,即可求解；

（2）①正方形A8CO的邊長為小根據切線長定理得出所=",FD=FP，則CE/的周

長二為，即可進行解答；②根據依=2,尸尸=3,則CE=a—2,CF=a-3,根據勾股定

理求出。的值，最后根據三角形的面枳公式即可求解：

（3）根據￡砂的周長為2（）,得出4=10.設。「=/,則CE=10—x,CF=\0-t,EF=x+t,

根據勾股定理求出f="X）［一,進而得出M=止史，根據三角形的面積公式得出

x-10x+10

）,=5廣+叫整理得），=5（，r+10-1平尸+m二-100,根據二次函數的性質，即可

x+10，r+10

進行解答.

【解析】（1）解：如圖，連接AP.

;四邊形A8CO是止方形，

???/ABC=ZADC=ZBAD=ZC=90。,

/.CB,CD均為圓弧80的切線.

乂???￡：/為圓弧80的切線，

AZBAE=ZPAE,4PAF=4DAF,

JZPAE+ZPAF=-UPAB+ZPAD）,

2

ZEAF=-^BAD=45°.

2

<2）設正方形A6c。的邊長為a.

①證明：?.?C8,CD,EF均為圓弧80的切線，

:?EB=EP,FD=FP,

/.C.CEF的周長=CE+EF+CF=CE+EP+PF+CF=CE+EB+FD+CF=CB+CD=2a.

又???AP=a,

.ACE尸的周長2a3

..-------------------=—=z.

APa

第16頁共30頁

二鳥簪為定值:

②解：vPE=2,PF=3,

:?EB=EP=2,FD=FP=3,

：.CE=a-2,CF=a-3.

在RtACEF中，???CE2+CF2=EF1，

，("2)2+(4-3)2=52,

解得a=6或〃=-1(舍去)，

AP=a=6,

XX

^S^LAA/\tE.rF=-2EFAP=-256=15.

(3)??、CE產的周長為20,

，勿二20,

6/=10.

設則CE=1O-X,CF=10T,EF=x+t

VCE2+CF2=EF2,

J(107)2+(107)2=(X+/)2,

化簡整理得=喘》

%+10x+10

?+1005/+500

/.y=-EFAP=-x\Ox

?22x+10x+10

."關于'的函數關系式為）'=5"（0JG。）；

2

5/+5005(x+10)-100(.r+10)+1000=5（川0）+翳7。°

y=-------------

x+10x+10

=5(Vx+10--!^=)2+lOOx/2-100.

Vx+10

令Jx+io=A,

貝lj)，=5(4一+J00x/2一100,

V0<x<10,

???A〉0,

第17頁共30頁

???當A=U正時，y有最小值，

A

即當Jx+10=J°&，/=10&-10時，y有最小值，為100&-10().

yJX+10

y的最小值為100V2-ICO.

【點評】本題主要考查了圓的切線長定理，勾股定理，二次函數的性質，解題的關鍵是掌握

從圓外?點可以畫兩條圓的切線，這這條切線長相等，圓心到這點的連線平分兩條切線的夾

角：以及求二次函數最值的方法和步驟.

8.(1)50元

(2)卬=-10A2+I600x-55000

(3)(-10?2+1600?-55000)元

【分析】(1)設A種水果的單價為機元，則8種水果的單價為(m+3)元，根據用600元購

進A種水果和用90()元購進B種水果數量一樣多列分式方程解答；

(2)根據利潤=每盒果籃的利潤x俏量得到函數解析式；

(3)分情況：當。280且。為整數時，當70<。<8()且”為整數時，根據函數的性質求解即

可.

【解析】(1)解：設A種水果的單價為，〃元，則B種水果的單價為(〃?+3)元.

止型二4H600900

依題意，得一=一

mw+3

解得：〃？=6,〃？+3=9,

經檢驗，相=6是原分式方程的解,

，一盒果籃的成本為：9x2+6x4+8=50(元),

答：一盒果籃的成本為50元.

(2)依題意，vv=(x-50)(-1Ox+1100)=-10.v2+1600x-55000：

(3)當々270且。為整數時,

V-10<0,

.??當x=a=8()時卬最大，此時w=-10x—80『+9000=9000,

工每月的最大利潤為90007C;

當70<aWX0且。為整數時，每月的最大利潤為(-10/+16004—55000)元.

第18頁共30頁

【點評】此題考查了分式方程的應用，二次函數的應用，二次函數的性質，正確理解題意列

得方程及函數關系式是解題的關鍵.

9.(l)(20-x),(60+lOx)

(2)56元

(3)降低7元時一天的利潤最大，最大值1690元

【分析】(1)根據利潤=售價-降價-成本和“若售價每降低1元，其銷售量就增加10個”

列式即可；

(2)設每個商品售價降價x元，根據單個利潤X數量=總利潤，列方程求解即可；

(3)根據單個利潤x數量=總利潤，根據二次函數的性質求解即可.

【解析】(1)解：由題意得：每個商品的銷色利潤為60-工-40=(20-力元，平均每天可銷

售商品(60+10力個，

故答案為：(20-x),(60+10”；

(2)解：設每個商品售價降價x元，

由題意得:(20-^)(60+10x)=1600,

解得x=4或10,

.庫存為120個,

x=10不符合題意，

「?商品的售價應定為60-4=56(元)：

(3)解：設每天的銷售利潤為

由題意得y=(20—x)(60+10x)

=1200+140.r-10.v

=-10(^-7)2+1690,

,這種商品每個售價降低7元時一天的利潤最大，最大值1690元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的性質，解題的關鍵是讀懂題意，根據

題目給出的條件，找到等最關系，列出方程.

10.(1)/=3

第19頁共30頁

⑵產(7,39.2)

⑶y=—，/+44.1,自變量工的范圍是()Kx<21

【分析】(I)將〃=44.1代入手=4.9r,求出r即可;

(2)將￡=1代入d=7t,得到點P的橫坐標；將f=l代入力=4.9產即可得到縱坐標;

(3)由(1)可知08=7，=21,設拋物線的函數表達式為)，=心+灰+。(4工0),將40,44.1)、

「(7,39.2)、僅21,0)代入，求出解析式及自變量x的范圍.

【解析】(I)將〃=44.1代入%=4.9『,得4.9戶=44.1g0),

解得f=3.

(2)當/=1時，J=7/=7,%=4.9『=4.9,

/.44.1—4.9=39.2,

???此時P(7,39.2).

(3)由(I)可知。3=為=21,???8(21,0),

設拋物線的函數表達式為1y=or?+bx+30),

將40.44.1)、2(7,39.2)、8(21,0)代入，

解得丁=一+/+44」，

自變量x的范圍是04x421.

【點評】此題考查了二次函數的實際應用，待定系數法求函數解析式，正確理解圖形及各等

量關系是解題的關鍵.

11.(1)6米

⑵)，=-幻+2)2+2,(2.0)

O

(3)20402頁

【分析】(1)根據頂點式求上邊緣二次函數解析式即可，再求出y=。時，x的值，由此即可

得；

(2)法一：根據對稱性求出平移方式，再根據平移方式即可求出點B的坐標；法二：先根

據二次函數平移的特點求出下邊緣的解析式，進而求出B的坐標即可；

(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，則I：邊緣拋物線至少要經過廠點，

第20頁共30頁

下邊緣拋物線計算即可.

【解析】（1）解：如圖，由題意得人（2,2）是上邊緣拋物線的頂點，則設），=a（x-2）、2.

又???拋物線經過點（01.5）,

，4。+2=1.5,

,a=---.

8

???上邊緣拋物線的函數解析式為y=-幻-2）2+2.

O

當y=0時，-1（X-2）2+2=O,

工百=6,x2=-2（舍去）.

???噴出水的最大射程OC為6m.

（2）法一：;上山緣拋物線對稱軸為直線x=2,

???點（0,1.5）的對稱點為（4、1.5）,

???下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，

，將點C向左平移4m得到點8的坐標為（2,0）

法二：???下邊緣拋物線可以看做是上邊緣拋物線向左平移f個單位長度得到的，

，可設），=-*+-2『+2,

O

將點（0,1.5）代入得a=4,/2=0（舍去）

???下邊緣拋物線的關系式為y=-：（x+2『+2,

O

???當y=o時，0=--（X+2）2+2,

解得％=2,X,=-6（舍去），

???點8的坐標為（2,0）；

（3）解：如圖，先看上邊緣拋物線，

VEF=1,

，點尸的縱坐標為1.

當拋物線恰好經過點尸時，-1."2『+2=1.

O

解得x=2±2五，

第21頁共30頁

Vx>0,

x=2+2x/2.

當x>0時，隨著工的增大而減小，

???當24xW6時,要使”1,則XW2+20.

???當0Kxv2時，丁隨x的增大而增大，且x=0時，y=L5>0.5,

???當04x46時，要使）亞0.5,則O4XK2+2垃.

VDE=2,灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶，

?"的最大值為（2+20）-2=2夜.

再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是OBKd,

???"的最小值為2.

綜上所述，"的取值范圍是2WdW2拉.

【點評】本題考查二次函數的實際應用中的噴水問題，構造二次函數模型并把實際問題中的

數據轉換成二次函數上的坐標是解題的關鍵.

12.（l）y=-x+26

（2）I4<y^20

（3）120

【分析】（I）待定系數法求解析式即可求解；

（2）根據一次函數的性質，將x=6,x=12分別代入即可求解；

（3）設最大毛利潤為卬，根據題意，列出二次函數關系式，根據二次函數的性質即可求解.

【解析】（1）解：依題意，設一次函數解析式為y=h+b,

將,1=6,），=20/=8,），=18代入得，

20=6〃+小

18=8%+〃

k=-\

解得：

b=26

/.y=-x+26-

(2)解：???y=-x+26中，&=一1<0,

???y隨》的增大而減小,

第22頁共30頁

當x=6時，y=-6+26=20,

當工=12時，)，=-12+26=14,

，當6WE2時，14<y<20

(3)解：設最大毛利潤為W,根據題意，得

W-x(-x+26)-4(-x+26)=-x2+30x-104

??,W=-f+30x-104，-1<0，

拋物線開口向下，對稱軸為工=二=15,

-2a

當工>15時，y隨x的增大而減小，

?.?y=-x+26<io,

/.x>16,

.??當％=16時,卬取得最大值，最大值為-6+30x16-104=120(元).

答：最大毛利潤為120元.

【點評】本題考查了一次函數的應用，二次函數的應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的

關鍵.

13.⑴即=-6x+38(),j乙=-4x+320.

(2)W=-1Ox2+92015600.

(3)當銷但價定為4()元時，兩種型號產品口銷化:利潤總和W最高為5200元.

【分析】(1)設即="。，由圖象可知：點(30,200),點(40,140)在圖象上，所以把(30,2CO),

(40,140)代入用=履+力，求解即可;

(2)由每種型號產品口銷售利潤等于單個產品利潤重頭戲以銷售數量，根據口銷化:利潤總

和等于兩種型號產品口銷售利潤和，列出函數表達式即可；

(3)將(2)中所求函數解析式化成頂點式，再根據求二次函數最值方法以求解即可.

【解析】(1)解：設川=履+。，

30Z+6=200,

由題意得

40A:+Z?=140,〃=380,

y甲=-6x+380,

第23頁共30頁

???)，乙=200-4(.E-30)=7X+320.

(2)解：由題意得，

W="-20)(-6x+380)+(x-25)(-4x+320)

=-6x2+5(X).r-7600-4x2+420x-8(X)()

=-10X2+920X-15600.

7

(3)解：由題意得-6x+380N-(-4x+320),

8

解得x040,

由(2)得，IV=-10x2+920x-15600=-10(x-46)2+5560,

a=-10<0,

???當工440時，卬隨x增大而增大，

:.當x=40時，/大=5200,

???當銷包價定為40元時，兩種型號產品口銷售利潤總和W最高為5200元.

【點評】本題考查用待定系數法求一次函數解析式，一次函數圖象，列二次函數解析式，二

次函數最值，熟練掌握用待定系數法求一次函數解析式和由題意抽象出二次函數解析式是解

題的關鍵.

14.(|)/7=-30x+1500

(2)這批農產品的銷售價格定為40元/千克，才能使日銷售利潤最大

(3)。的值為2

【分析】(1)根據表格數據可知售價每增加5元，銷售量下降150千克，符合一次函數，根

據待定系數法求解析式即可求解；

<2)根據利潤等于包價減去成本再乘以銷出最，列出函數關系式，根據二次函數的性質即

可求解；

(3)設日獲利為W元，根據題意得出卬=〃(4-30-〃)，得出對稱軸為x=40+；a,然后根

據題意列出方程，解方程即可求解.

【解析】(1)解：依題意，設〃與％之間的函數表達式為〃=丘+力，

將(30,600),(35,450)代入得，

第24頁共30頁

30k+b=m)

35Z+〃=450

k=_30

解得：,

/?=I5OO

Azi=-30x+1500；

(2)解：設日銷售利潤為w元，由題意得：

漳=〃(4_30)

=(-30x+1500)(x-30)

=-30X2+2400A-45000

=-30(A-40)2+3000,

=拋物線開口向下，

.?.當x=40時，卬有最大值3000.

這批農產品的銷售價格定為40元/千克，才能使日銷售利潤最大;

(3)設日獲利為W元，由題意得：

卬二仆一30-〃)

=(-30x+1500)(x-30-?1

=-3(*+(2400+30a)x-(1500a+450(X)),

2400+30。

對稱軸為戶一方可=40

①若。210,則當x=45時，W有最大值，最大值為:

W=-30x452+(2400+30xa)x45—(1500。+45000)

=2250-150a<2430,

.?.x=45不符合題意，舍去；

②若a<10,則當x=40+!。時，W有最大值，將x=40+g。代入，得:

22

W=30(；/-10a+100)

當W=2430時，

2430=30(-?2-10?+100),

4

第25頁共30頁

解得q=2,%=38(舍),

綜上所述，。的值為2.

【點評】本題考查了二次函數的應用，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

15.(l)y=-5x+150(8<x<15)

(2)13元

(3)當每件消毒用品的售價為15元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元

【分析】(1)待定系數法求解即可;

(2)由題意知，利潤卬=(x-8)(-5x+150)=-5"-19『+605,令卬=425,則

—5(x—19)2+605=425,計算求解滿足要求的工值即可;

(3)根據二次困數的性質以及工的取值范圍進行求解即nj.

【解析】(1)解：設)，與X的函數關系式為產奴+〃，(8<x<15),

105=%+〃

將(9,105),(11,95)代入得，

95=\\k+b，

k=-5

解得

8=150'

y=-5x+150,

???)'與X的函數關系式為y=-5X+150(8WXW15)；

(2)解：由題意知，利潤w=(x-8)(-