高中數學第三章函數的應用3.2函數模型及其應用3.2.2函數模型的應用實例教學設計新人教A版必修1學校授課教師課時授課班級授課地點教具教材分析高中數學第三章函數的應用，特別是3.2.2節函數模型的應用實例，緊密聯系實際生活，旨在幫助學生理解和運用函數模型解決實際問題。本節課內容與學生所學函數概念、性質和圖像密切相關，通過具體實例分析，強化學生將理論知識應用于實踐的能力，符合新課標對培養學生創新思維和解決問題能力的培養目標。核心素養目標1.培養學生運用數學語言描述現實問題的能力。

2.提升學生分析問題和解決問題的邏輯思維能力。

3.強化學生將數學模型應用于實際情境的創新能力。

4.增進學生對數學與生活、科技、社會等領域的聯系的認識。教學難點與重點1.教學重點

①理解并掌握不同類型函數模型的特點及其在生活中的應用。

②能夠根據實際問題選擇合適的函數模型，并能夠運用所學知識對模型進行初步分析。

2.教學難點

①理解并靈活運用函數模型解決實際問題時，如何將實際問題轉化為數學模型。

②分析函數模型時，如何準確識別和提取問題中的關鍵信息，構建數學關系。

③在處理復雜問題時，如何運用函數模型進行有效決策和預測，并解釋其結果。教學方法與手段教學方法：

1.講授法：系統講解函數模型的基本概念和應用實例，幫助學生建立知識框架。

2.討論法：引導學生針對實際問題進行小組討論，培養合作學習和批判性思維能力。

3.案例分析法：通過分析具體案例，讓學生學會如何運用函數模型解決實際問題。

教學手段：

1.多媒體教學：利用PPT展示函數圖像和模型，直觀展示函數變化規律。

2.實際數據應用：引入現實生活中的數據，讓學生通過計算和模型分析，體驗數學的實用性。

3.在線教學平臺：利用在線資源，提供課后練習和討論空間，鞏固學習效果。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求。例如，要求學生預習函數模型的基本類型和例子。

設計預習問題：圍繞“函數模型的應用”課題，設計一系列具有啟發性和探究性的問題，引導學生自主思考。如：“你能從生活中找到哪些可以用函數模型描述的現象？”

監控預習進度：利用平臺功能或學生反饋，監控學生的預習進度，確保預習效果。例如，通過查看學生提交的預習筆記或思維導圖來評估預習情況。

學生活動：

自主閱讀預習資料：按照預習要求，自主閱讀預習資料，理解函數模型的基本類型和例子。

思考預習問題：針對預習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。例如，學生可能思考如何將身高與年齡的關系用函數模型表示。

提交預習成果：將預習成果（如筆記、思維導圖、問題等）提交至平臺或老師處。

2.課中強化技能

教師活動：

導入新課：通過展示實際生活中的函數模型案例（如天氣預報中的溫度變化），引出“函數模型的應用”課題，激發學生的學習興趣。

講解知識點：詳細講解函數模型的選擇、構建和分析方法，結合實例幫助學生理解。例如，講解線性函數模型在描述直線關系中的應用。

組織課堂活動：設計小組討論，讓學生根據預習內容，分析并解決實際問題。如：“小組合作，選擇一個生活中的場景，構建并分析一個函數模型。”

解答疑問：針對學生在學習中產生的疑問，進行及時解答和指導。例如，解答學生在構建函數模型時遇到的數學問題。

學生活動：

聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

參與課堂活動：積極參與小組討論，體驗函數模型在解決問題中的應用。

提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

3.課后拓展應用

教師活動：

布置作業：布置與函數模型應用相關的課后作業，如：“分析一家超市的銷售數據，構建銷售量與價格的關系模型。”

提供拓展資源：提供與函數模型應用相關的拓展資源，如相關書籍、在線課程或學術論文。

反饋作業情況：及時批改作業，給予學生反饋和指導，例如，指出學生在模型構建和分析中的錯誤，并給出改進建議。

學生活動：

完成作業：認真完成老師布置的課后作業，鞏固學習效果。

拓展學習：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考，例如，研究更復雜的函數模型，如指數函數或對數函數在現實生活中的應用。

反思總結：對自己的學習過程和成果進行反思和總結，提出改進建議，例如，思考如何將所學的函數模型應用到其他學科中。教學資源拓展1.拓展資源：

a.函數模型的歷史背景與演變：介紹函數模型的發展歷程，從簡單的線性模型到復雜的非線性模型，以及它們在不同學科中的應用。

b.不同類型的函數模型：詳細探討一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等常見函數模型的特點、圖像和性質。

c.函數模型的實際應用案例：收集并整理各類實際應用案例，如經濟學中的供需模型、物理學中的運動學模型、生物學中的種群增長模型等。

d.函數模型的軟件工具：介紹MATLAB、Python、R等軟件在函數模型構建、分析和可視化方面的應用。

2.拓展建議：

a.閱讀相關書籍和文獻：推薦學生閱讀《數學建模與數學實驗》、《高等數學》等書籍，深入了解函數模型的理論和應用。

b.參加數學建模競賽：鼓勵學生參加數學建模競賽，通過實際案例分析，提高運用函數模型解決實際問題的能力。

c.開展小組研究項目：組織學生開展小組研究項目，選擇一個感興趣的實際問題，運用函數模型進行分析和預測。

d.利用在線資源進行學習：推薦學生訪問一些在線教育平臺，如Coursera、edX等，學習相關課程，拓寬知識面。

e.關注現實生活中的函數模型：引導學生關注日常生活中的函數模型，如房價與地段、交通流量與時間等，培養他們的數學思維。

f.制作函數模型演示文稿：要求學生制作函數模型演示文稿，展示其構建和分析過程，提高學生的表達能力和溝通能力。

g.開展課堂討論與分享：組織學生進行課堂討論與分享，交流各自在學習函數模型過程中的心得體會，激發學生的學習興趣。

h.探索函數模型與其他學科的交叉應用：引導學生探索函數模型在物理學、化學、生物學等學科中的應用，培養他們的跨學科思維。

i.參觀相關企業或實驗室：組織學生參觀相關企業或實驗室，了解函數模型在實際工程中的應用，增強他們的實踐能力。

j.撰寫論文或報告：鼓勵學生撰寫論文或報告，總結自己在函數模型學習過程中的收獲和體會，提高他們的學術水平。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.互動式教學：在課堂上，我嘗試了更多的互動環節，比如小組討論、角色扮演等，讓學生在參與中學習，這樣的教學方式不僅提高了學生的積極性，也讓他們在合作中學會了如何溝通和解決問題。

2.案例教學：我引入了多個實際案例，讓學生通過分析案例來理解函數模型的應用，這種方法讓學生感受到了數學的實用性，也激發了他們的學習興趣。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生基礎差異較大：在教學過程中，我發現學生的數學基礎存在較大差異，這導致部分學生在理解函數模型時感到困難。

2.教學方式單一：雖然我嘗試了多種教學方法，但在實際操作中，我發現教學方式還是相對單一，缺乏針對不同學生的個性化教學。

3.評價方式不夠全面：目前的評價方式主要依賴于課堂表現和作業完成情況，缺乏對學生實際應用能力的評估。

反思改進措施（三）

1.個性化教學：針對學生基礎差異，我將嘗試分層教學，為不同層次的學生提供適合他們的學習材料和指導，確保每個學生都能跟上教學進度。

2.豐富教學手段：除了傳統的講授法，我還將引入更多互動式和探究式的教學方法，如項目式學習、翻轉課堂等，以激發學生的學習興趣和主動性。

3.完善評價體系：我將設計更加全面的評價體系，包括課堂表現、作業完成、小組合作、實際應用等多個方面，以更全面地評估學生的學習成果。

4.加強與學生的溝通：我將定期與學生交流，了解他們的學習需求和困難，及時調整教學策略，確保教學效果。

5.拓展校企合作：尋求與企業合作，為學生提供實習和實訓機會，讓他們在實際工作中應用所學知識，提高解決實際問題的能力。典型例題講解例題1：某商品的原價為200元，商家為了促銷，決定每降價10元，銷量增加20件。求商家降價x元時的利潤函數，并求出最大利潤及對應的降價金額。

解答：

設降價x元后的售價為p元，則售價為200-10x元。銷量為20x件。利潤為售價乘以銷量減去成本，即：

利潤=(200-10x)*20x-200*20

化簡得：

利潤=-200x^2+4000x-4000

這是一個二次函數，開口向下，其頂點即為最大利潤點。頂點的x坐標為：

x=-b/(2a)=-4000/(2*-200)=10

將x=10代入利潤函數得最大利潤：

利潤=-200*10^2+4000*10-4000=6000元

所以，最大利潤為6000元，對應的降價金額為10元。

例題2：某工廠生產一批產品，固定成本為1000元，每生產一件產品需要可變成本5元。若產品售價為20元，求生產x件產品時的總利潤函數，并求出最大利潤及對應的生產數量。

解答：

總成本函數為固定成本加上可變成本，即：

總成本=1000+5x

總收入函數為售價乘以銷售數量，即：

總收入=20x

總利潤函數為總收入減去總成本，即：

總利潤=20x-(1000+5x)=15x-1000

這是一個一次函數，斜率為正，因此總利潤隨著生產數量的增加而增加。最大利潤發生在生產數量無限大時，但實際生產中不可能無限大，因此我們需要找到總利潤增長速度減慢的點。由于總利潤函數是線性的，最大利潤發生在總成本等于總收入的點，即：

15x-1000=20x

解得：

x=100

將x=100代入總利潤函數得最大利潤：

總利潤=15*100-1000=500元

所以，最大利潤為500元，對應的生產數量為100件。

例題3：某公司生產一種產品，每生產一件產品需要原材料成本10元，加工成本5元，總成本為15元。若產品售價為20元，求生產x件產品時的總利潤函數，并求出最大利潤及對應的生產數量。

解答：

總成本函數為固定成本加上可變成本，即：

總成本=15x

總收入函數為售價乘以銷售數量，即：

總收入=20x

總利潤函數為總收入減去總成本，即：

總利潤=20x-15x=5x

這是一個一次函數，斜率為正，因此總利潤隨著生產數量的增加而增加。最大利潤發生在生產數量無限大時，但實際生產中不可能無限大，因此我們需要找到總利潤增長速度減慢的點。由于總利潤函數是線性的，最大利潤發生在總成本等于總收入的點，即：

5x=20x

解得：

x=4

將x=4代入總利潤函數得最大利潤：

總利潤=5*4=20元

所以，最大利潤為20元，對應的生產數量為4件。

例題4：某商店銷售一種商品，每件商品的進價為50元，售價為100元。若銷售量為x件，求銷售利潤函數，并求出最大利潤及對應的銷售量。

解答：

銷售利潤為售價減去進價，即：

銷售利潤=100-50=50元/件

銷售利潤函數為銷售利潤乘以銷售量，即：

銷售利潤函數=50x

這是一個一次函數，斜率為正，因此銷售利潤隨著銷售量的增加而增加。最大利潤發生在銷售量無限大時，但實際銷售中不可能無限大，因此我們需要找到銷售利潤增長速度減慢的點。由于銷售利潤函數是線性的，最大利潤發生在銷售量等于進價與售價之比時，即：

50x=100

解得：

x=2

將x=2代入銷售利潤函數得最大利潤：

銷售利潤=50*2=100元

所以，最大利潤為100