知識點一：放縮與相似1.圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運動。2.把形狀相似的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。3.相似多邊形的性質：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的相應角相等，相應邊的長度成比例。知識點二：比例線段有關概念及性質1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比是a:b=)2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a:b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。闡明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如5、比例內項：在比例(或a:b=c:d)中b、c叫做比例內項。7、比例中項：如果比例中兩個比例內項相等，即比例(或a:b=b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，那么,這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。(注意：在求線段比時，1.基本性質：(兩外項的積等于兩內項積)2.反比性質：(把比的前項、后項互換)3.更比性質(互換比例的內項或外項):4.合比性質：5.等比性質：(分子分母分別相加，比值不變.)如),那么(3)可運用分式性質將連等式的每一種比的前項與后項同步乘以一種數，再運用等比性質也成立知識點三：黃金分割1)定義：在線段AB上，點C把線段AB提成兩條線段AC和BC(AC>BC),如果AC2=AB×BC,那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比2)黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點..(只規定記住).3)矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的相應線段成比.例.已知l?//l?//l?, 可得2.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的相應線段成比例.行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的相應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.(即運用比例式證平行線)應成比例.5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另★三角形一邊的平行線性質定理歸納：和推廣：類似地還可以得到平行于三角形一邊的直線截其她兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊相應成比例.三角形一邊平行線鑒定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的相應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線鑒定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側)所得的相應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.兩條直線被三條平行的直線所截，截得的相應線段成比例.2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在始終線上所截得的線段相等，那么在另始終線上所截得的線段也相等.用符號語言表達：重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質：三角形的重心到一種頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍知識點三：相似三角形1、相似三角形1)定義：如果兩個三角形中，三角相應相等，三邊相應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似(如正四邊形、正五邊形等等);2)性質：兩個相似三角形中，相應角相等、相應邊成比例。3)相似比：兩個相似三角形的相應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。如△ABC與△DEF相似，記作△ABC∽△DEF。相似比為k。斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.(在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用).相似三角形的性質①相似三角形相應角相等、相應邊成比例.②相似三角形相應高、相應角平分線、相應中線、周長的比都等于相似比(相應邊的比).2、相似的應用：位似1)定義：如果兩個多邊形不僅相似，并且相應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：①位似是一種具有位置關系的相似，因此兩個圖形是位似圖形，必然是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。②兩個位似圖形的位似中心只有一種。③兩個位似圖形也許位于位似中心的兩側，也也許位于位似中心的一側。④位似比就是相似比。2)性質：①位似圖形一方面是相似圖形，因此它具有相似圖形的一切性質。②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質，位似圖形上任意一對相應點到位似中心的距離等于位似比(相似比)。③每對位似相應點與位似中心共線，不通過位似中心的相應線段平行。例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上，AG交BC、BD于點E、F,則△AGD∽。__G例2、已知△ABC中，AB=AC,∠A=36°,BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC邊的三等分點，連結AE、AF、AC,問圖中與否存在非全等的相似三角形?請證明你的結論。二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例5、△ABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE,使AD=BE,求證：DF·AC=BC·FE求證：(1)MA2=MD●ME;(2)三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8:已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且例9、在平行四邊形ABCD內，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ//AB,RP//BC例10、已知A、C、E和B、F、D分別是∠0的兩邊上的點，且AB//ED,BC//FE,求證：AF//CD例12、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E,交斜邊上的高AD于0,過0引BC的平行線交AB于F,(答案)例1分析：核心在找“角相等”,除已知條件中已明確給出的以外，還應結合具體的圖形，運用公共角、對頂角及由平行線產生的一系列相等的角。本例除公共角∠G外，由BC//AD可得∠1=∠2,因此△AGD∽△EGC。再∠1=∠2(對頂角),由AB//DG可得∠4=∠G,因此△EGC∽△EAB。例2分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然∠C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的措施。證明：∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,則∠在△ABC和△BCD中，∠C為公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析：由已知條件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。因此∠DBE=∠ABC,要證的△DBE和△ABC,有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊相應成比例。從已知條件中可看到△CBE∽△ABD,這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢?下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2,則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。4(3)如圖：∠1=∠2,∠B=∠D,則△ADE∽△ABC,稱為“旋轉型”的相似三角形。觀測本題的圖形，如果存在相似三角形只也許是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA解：設AB=a,則BE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得AE=√2a,在△EAF與△ECA中，∠AEF為公共角，且因此例5分析：證明乘積式一般是將乘積式變形為比例式及DF:FE=BC:AC,再運用相似三角形或平行線性質進行證明：證明：過D點作DK//AB,交又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC例6證明：(1)∵∠BAC=90°,M是BC的中點，∴MA=MC,∠1=∠C,評注：命題1如圖，如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB2=AD●AC。命題2如圖，如果AB2=AD·AC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。例7分析：圖中沒有現成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構造相似形。如何作?觀測要證明的結論，緊緊扣住結論中“AE:ED”的特性，作DG//BA交CF于G,得△AEF∽△與結論相比較，顯然問題轉化為證證明：過D點作DG//AB交FC于G則△AEF∽△DEG。(平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似)∵D為BC(1)得：例8分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等措施來實現，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不也許相似(一種在直角三角形中，另一種在斜三角形中),因此證明本題的核心是構造相似三證明：作FG⊥BD,垂足為G。設AB=AD=3k則BE=AF例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的鑒定定理，但本例不具有這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。運用比例線段證明平行線最核心的一點就是要明確目的，選擇合適的比例線段。要證明SQ//AB,只需證明AR:AS=BR:DS。但△ADS≌△CBQ,∴DS=BQ,則,∴SQ//AB,同理可證，R例10分析：要證明AF//CD,已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供運用，這就要進行對的的選擇。其實要證明AF//CD,只要證明即可，因此只要找出與這四條線段有關的比例式再稍加解決即可成功。證明：∵AB//ED,BC//FE∴∴兩式相乘可得：例11分析：要證明FC=FG,從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC=FG,一方面要找出與FC、FG有關的比例線段，圖中與FC、FG有關的比例式較多，則應選擇與FC、FG均有聯系的比作為過渡，最后必須得到代表相似的線段或相等的線段),便可完畢。證明：∵FG//AC//BE,∴△ABE∽△AGF則有而FC//DE∴△AED∽△AFC即例12證明：∵CO平分∠C,∠2=∠3,又OF//BC,∴一、選擇題1.(濱州)如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③;④AC其中單獨可以鑒定△ABC∽△ACD的個數為()【核心詞】三角形相似的鑒定.【答案】C2.(上海市)如圖，已知AB//CD//EF,那么下列結論對的的是()【核心詞】平行線分線段成比例【答案】A3.(成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,則△ABC的面積與△DEF的面積之比為(A)1:2(B)1:4【核心詞】【答案】B4.(安順)如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2,DE是它的中位線，則下面四個結論：(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面積與△CAB的面積之比為1:4.其中對的的有：【核心詞】等邊三角形，三角形中位線，相似三角形A.1:4B.1:2C.2:1【核心詞】6.(杭州市)如果一種直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一種與它相似的直角三角形邊長分別是3A.只有1個B.可以有2個C.有2個以上但有限D.有無數個【核心詞】相似三角形有關的計算和證明【答案】B7.寧波市)如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,M、N分別是邊AB、AD的中點，連接A.△AOM和△AON都是等邊三角形B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C.四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D.四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形nn【核心詞】位似【答案】C8.(江蘇省)如圖，在5×5方格紙中，將圖①中的三角形甲平移到圖②中所示的位置，與三角形乙拼成一種矩形，那么,下面的平移措施中，對的的是()A.先向下平移3格，再向右平移1格B.先向下平移2格，再向右平移1格C.先向下平移2格，再向右平移2格D.先向下平移3格，再向右平移2格【核心詞】平移【答案】D9.(義烏)在中華典型美文閱讀中，小明同窗發現自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為20cm,則它的寬約為A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm【核心詞】黃金比【答案】A10.(婁底)小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓練，在用槍瞄準目的點B時，要使眼睛0、準星A、目的B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A',若【核心詞】相似三角形【答案】B【核心詞】解直角三角形、相似【答案】B12.(甘肅白銀)如圖3,小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子正好落在地面的同一點.此時，竹竿與這一點相距8m、與旗桿相距22m,則旗桿的高為A.12mB.10m