2023九年級數學下冊第2章圓2.5直線與圓的位置關系2.5.4三角形的內切圓教學實錄（新版）湘教版主備人備課成員教學內容2023九年級數學下冊第2章圓2.5直線與圓的位置關系2.5.4三角形的內切圓

1.理解三角形的內切圓的定義和性質。

2.掌握求三角形內切圓半徑的方法。

3.能夠運用三角形的內切圓解決實際問題。核心素養目標1.培養學生的幾何直觀，通過觀察、操作和推理，理解幾何圖形的性質和關系。

2.增強學生的數學抽象能力，通過內切圓的定義和性質，引導學生從具體實例中抽象出數學概念。

3.提升學生的數學建模能力，將實際問題轉化為幾何模型，運用數學知識解決問題。

4.強化學生的邏輯推理能力，通過證明三角形內切圓的性質，鍛煉學生的邏輯思維和證明技巧。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節課之前，已經學習了平面幾何的基礎知識，包括點、線、面、三角形的基本性質和判定定理。他們應能熟練運用全等三角形、相似三角形的性質和判定方法，以及勾股定理等。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

九年級學生對幾何學有一定的興趣，尤其是那些喜歡動手操作和觀察現象的學生。他們的數學能力逐漸增強，能夠處理較為復雜的幾何問題。學習風格上，部分學生偏好直觀形象的學習方式，通過圖形和模型來理解概念；而另一部分學生則更傾向于邏輯推理和證明過程。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

在學習三角形內切圓時，學生可能會遇到以下困難：

-理解內切圓的定義和性質，特別是如何從幾何圖形中抽象出內切圓的概念。

-掌握求內切圓半徑的方法，需要學生具備一定的幾何計算和推理能力。

-在證明內切圓性質時，學生可能難以構建嚴密的邏輯推理過程，特別是在處理角平分線、切線等概念時。

-將內切圓的知識應用于解決實際問題，可能需要學生具備較強的遷移能力。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有湘教版九年級數學下冊教材，以方便查閱相關章節內容。

2.輔助材料：準備與教學內容相關的幾何圖形圖片、內切圓性質圖表以及三角形內切圓的動畫視頻，幫助學生直觀理解概念。

3.實驗器材：準備直尺、圓規、量角器等繪圖工具，用于學生親手繪制和測量幾何圖形。

4.教室布置：設置多個小組討論區，確保每個小組都有足夠的空間進行合作學習；在黑板上預留空白區域，方便板書和展示解題過程。教學實施過程1.課前自主探索

教師活動：

-發布預習任務：通過在線平臺或班級微信群，發布預習資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預習目標和要求，如讓學生預習三角形內切圓的定義和性質。

-設計預習問題：圍繞“三角形內切圓”課題，設計一系列具有啟發性和探究性的問題，如“如何找到三角形的內切圓？”、“內切圓的半徑與三角形的邊有何關系？”

-監控預習進度：利用平臺功能或學生反饋，監控學生的預習進度，確保預習效果。

學生活動：

-自主閱讀預習資料：按照預習要求，自主閱讀預習資料，理解三角形內切圓的定義和性質。

-思考預習問題：針對預習問題，進行獨立思考，記錄自己的理解和疑問。

-提交預習成果：將預習成果（如筆記、思維導圖、問題等）提交至平臺或老師處。

方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主思考，培養自主學習能力。

-信息技術手段：利用在線平臺、微信群等，實現預習資源的共享和監控。

作用與目的：

-幫助學生提前了解“三角形內切圓”課題，為課堂學習做好準備。

-培養學生的自主學習能力和獨立思考能力。

2.課中強化技能

教師活動：

-導入新課：通過幾何圖形的動態展示，引出“三角形內切圓”課題，激發學生的學習興趣。

-講解知識點：詳細講解三角形內切圓的定義、性質和求半徑的方法，結合實例如等邊三角形和等腰三角形。

-組織課堂活動：設計小組討論，讓學生在小組內嘗試找到三角形的內切圓，并比較不同類型三角形的內切圓特點。

-解答疑問：針對學生在學習中產生的疑問，如“如何證明內切圓半徑與三角形邊長的關系？”進行及時解答和指導。

學生活動：

-聽講并思考：認真聽講，積極思考老師提出的問題。

-參與課堂活動：積極參與小組討論，嘗試找到三角形的內切圓，并記錄觀察到的規律。

-提問與討論：針對不懂的問題或新的想法，勇敢提問并參與討論。

方法/手段/資源：

-講授法：通過詳細講解，幫助學生理解三角形內切圓的性質。

-實踐活動法：設計實踐活動，讓學生在實踐中掌握尋找三角形內切圓的方法。

-合作學習法：通過小組討論等活動，培養學生的團隊合作意識和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學生深入理解三角形內切圓的知識點，掌握尋找和證明內切圓半徑的方法。

-通過實踐活動，培養學生的動手能力和解決問題的能力。

-通過合作學習，培養學生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應用

教師活動：

-布置作業：布置關于三角形內切圓的證明題和應用題，如證明特定三角形的內切圓半徑，或利用內切圓解決實際問題。

-提供拓展資源：提供與三角形內切圓相關的拓展資源，如相關數學競賽題、歷史背景資料等。

-反饋作業情況：及時批改作業，給予學生反饋和指導，指出錯誤原因和改進方法。

學生活動：

-完成作業：認真完成老師布置的課后作業，鞏固學習效果。

-拓展學習：利用老師提供的拓展資源，進行進一步的學習和思考。

-反思總結：對自己的學習過程和成果進行反思和總結，提出改進建議。

方法/手段/資源：

-自主學習法：引導學生自主完成作業和拓展學習。

-反思總結法：引導學生對自己的學習過程和成果進行反思和總結。

作用與目的：

-鞏固學生在課堂上學到的三角形內切圓知識點和技能。

-通過拓展學習，拓寬學生的知識視野和思維方式。

-通過反思總結，幫助學生發現自己的不足并提出改進建議，促進自我提升。知識點梳理1.三角形的內切圓定義

-三角形的內切圓是指與三角形的三邊都相切的圓。

-內切圓的圓心稱為三角形的內心。

2.三角形內切圓的性質

-內切圓的圓心是三角形的三條角平分線的交點。

-內切圓的半徑是三角形內切圓心到三邊的距離。

-內切圓的半徑與三角形的邊長之間存在一定的關系。

3.求三角形內切圓半徑的方法

-利用三角形的內切圓半徑公式：\(r=\frac{A}{s}\)，其中\(A\)是三角形的面積，\(s\)是三角形的半周長。

-利用海倫公式計算三角形的面積，再根據半周長求出內切圓半徑。

4.三角形內切圓的半徑與邊長的關系

-對于任意三角形，其內切圓半徑\(r\)與邊長\(a\)、\(b\)、\(c\)之間的關系為：\(r=\frac{A}{s}\)。

-其中，\(A\)是三角形的面積，\(s\)是三角形的半周長，即\(s=\frac{a+b+c}{2}\)。

5.三角形內切圓的應用

-利用內切圓解決幾何證明問題，如證明三角形內角和定理。

-利用內切圓解決幾何構造問題，如構造特定類型的三角形。

-利用內切圓解決實際問題，如計算土地面積、設計產品等。

6.三角形內切圓的證明

-利用角平分線定理證明內切圓的圓心是三角形的三條角平分線的交點。

-利用圓的性質證明內切圓與三角形的三邊都相切。

-利用勾股定理、海倫公式等證明內切圓半徑與三角形邊長的關系。

7.特殊情況下的三角形內切圓

-等邊三角形的內切圓半徑等于邊長的\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)。

-等腰三角形的內切圓半徑與底邊和腰長之間存在一定的關系。

-直角三角形的內切圓半徑等于斜邊上的中線長度。

8.三角形內切圓的推廣

-在四邊形、多邊形等幾何圖形中，也存在內切圓的概念。

-推廣內切圓的性質和應用，可以解決更廣泛的幾何問題。

9.三角形內切圓的幾何意義

-內切圓的半徑是三角形內心到三邊的距離，反映了三角形的對稱性。

-內切圓與三角形的邊長、角度之間存在一定的關系，揭示了三角形內部結構的規律。

10.三角形內切圓的教育意義

-通過學習三角形內切圓，可以培養學生的幾何直觀、數學抽象、邏輯推理等數學思維能力。

-培養學生的動手操作能力，如利用繪圖工具繪制三角形內切圓。

-培養學生的合作學習能力和溝通能力，如小組討論、合作解決問題等。課堂1.課堂提問

-課堂提問是了解學生學習情況的重要手段。通過提問，教師可以檢驗學生對三角形內切圓概念的理解程度，以及他們對相關性質的掌握情況。

-教師應設計不同類型的問題，包括事實性問題、解釋性問題、推理性問題等，以全面評估學生的理解水平。

-例如，教師可以提問：“誰能解釋一下三角形內切圓的圓心是如何確定的？”或“你們知道三角形內切圓的半徑與三角形的邊長有什么關系嗎？”

-課堂提問的評價標準包括學生的回答是否準確、是否能夠清晰地表達自己的思路、是否能夠靈活運用所學知識解決類似問題。

2.觀察學生參與情況

-教師應通過觀察學生的參與情況來評估他們的學習態度和參與度。

-注意學生在課堂活動中的表現，如小組討論、實驗操作、課堂練習等。

-觀察學生是否積極參與，是否能夠與同學合作，是否能夠提出問題和解決問題。

-例如，教師可以觀察學生在小組討論中的互動情況，看他們是否能夠傾聽他人的意見，是否能夠提出建設性的想法。

3.實時測試

-在課堂上進行簡短的測試，可以幫助教師實時了解學生對知識的掌握程度。

-設計簡單的選擇題、填空題或計算題，讓學生在規定時間內完成。

-評價學生的測試成績，關注他們是否能夠迅速準確地回答問題，以及他們是否能夠應用所學知識解決問題。

-例如，教師可以給出一個簡單的幾何問題，要求學生在黑板上完成解題過程。

4.反饋與糾正

-教師應提供及時的反饋和糾正，幫助學生改進學習。

-對于學生的錯誤，教師應耐心解釋錯誤原因，并提供正確的解題方法。

-例如，當學生在證明內切圓性質時出現錯誤，教師應引導學生重新審視問題，并指導他們找到正確的證明思路。

5.課堂討論

-通過課堂討論，教師可以評估學生對復雜概念的理解和應用能力。

-設計討論問題，鼓勵學生發表自己的觀點，并傾聽他人的意見。

-評價學生在討論中的表現，包括他們是否能夠清晰地表達自己的觀點，是否能夠尊重他人，是否能夠從討論中學習。

-例如，教師可以提出一個與三角形內切圓相關的問題，讓學生在小組內討論解決方案，然后全班分享討論結果。

6.課堂活動評估

-在課堂活動中，教師應評估學生是否能夠將理論知識應用于實際操作。

-觀察學生在實驗或實踐活動中的表現，如是否能夠正確使用工具，是否能夠獨立完成任務。

-評價學生的實踐能力，包括他們的動手操作技巧、解決問題的能力以及團隊合作精神。

-例如，在繪制三角形內切圓的活動中，教師可以評估學生是否能夠準確地找到圓心，并畫出正確的內切圓。教學反思與總結哎呀，這節課上完之后，我真是有點感慨啊。咱們來看看這節課吧，我覺得有幾個地方做得還不錯，但也有些地方我覺得還可以改進。

首先，我覺得這節課的導入做得還可以。我通過一個有趣的幾何動畫，讓學生們直觀地看到了三角形內切圓的形成過程，這個方法挺受歡迎的。不過，我發現有些學生對于動畫中的細節理解得不夠，我在課后問了幾個學生，他們表示希望我能夠放慢節奏，詳細解釋一下。所以，我覺得下次在導入環節，我可能會更注重細節的講解，讓學生能夠更好地理解每一個步驟。

然后，我設計了小組討論和實驗操作，這讓學生們有機會親自動手，通過實踐來加深對知識的理解。我看到他們分組討論得挺熱烈的，實驗操作也很認真。不過，我也發現，有些學生在實驗過程中有點迷茫，不知道從哪里下手。我覺得這可能是由于他們對實驗步驟不夠熟悉，或者是缺乏一些基本的幾何操作技能。所以，我打算在下一節課之前，先給他們一些實驗操作的指導，確保每個人都能跟上進度。

接著，我在課堂上進行了提問和測試，想看看他們對知識的掌握情況。結果發現，大部分學生對三角形內切圓的定義和性質掌握得還不錯，但是在應用這些知識解決實際問題時，有些學生就有點吃力了。這說明我們在教學中還需要加強學生的應用能力培養。我打算在接下來的教學中，多設計一些實際問題，讓學生們能夠將所學知識應用到實際中去。

當然，這節課也有一些不足之處。比如，我在講解三角形內切圓半徑的計算公式時，可能講得有點快，有些學生可能跟不上。我發現有幾個學生在下面低著頭，看起來不太理解。這說明我需要更加關注學生的反饋，及時調整教學節奏。

還有，我覺得在課堂管理上，我還可以做得更好。有些學生在課堂上比較活躍，但是也有一些學生不太愿意發言。我注意到，當我在提問時，有些學生雖然知道答案，但是因為害怕出錯而不敢舉手。我打算在今后的教學中，創造一個更加開放和包容的課堂氛圍，鼓勵所有學生積極參與。重點題型整理1.題型一：求三角形內切圓半徑

題目：已知一個三角形的邊長分別為5cm、8cm、10cm，求該三角形內切圓的半徑。

解答：首先，利用海倫公式計算三角形的面積\(A\)：

\[s=\frac{5+8+10}{2}=11.5\text{cm}\]

\[A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{11.5\times(11.5-5)\times(11.5-8)\times(11.5-10)}\approx22.5\text{cm}^2\]

然后，根據內切圓半徑公式\(r=\frac{A}{s}\)計算內切圓半徑：

\[r=\frac{22.5}{11.5}\approx1.96\text{cm}\]

2.題型二：證明三角形內切圓的性質

題目：證明在任意三角形中，內切圓的半徑等于內心到三邊的距離之和的一半。

解答：設三角形ABC的內切圓半徑為r，內心為I，連接AI、BI、CI。

-由于AI是角A的角平分線，所以∠BAI=∠CAI。

-由于BI和CI是切線，所以∠ABI=∠ACI=90°。

-因此，∠BAI+∠ACI=∠CAI+∠ACI=180°，即∠BAI=∠ACI。

-所以，三角形ABI和三角形ACI是全等三角形（SAS全等條件）。

-因此，AI=AI，BI=CI。

-所以，三角形ABC的內切圓半徑r等于AI、BI、CI的和的一半。

3.題型三：求三角形內心坐標

題目：已知三角形ABC的頂點坐標分別為A(2,3)，B(4,1)，C(6,5)，求三角形ABC的內心坐標。

解答：首先，求出三角形ABC的三條角平分線的方程。

-角平分線AD的方程：通過點A和BC的中點D(5,3)。

-角平分線BE的方程：通過點B和AC的中點E(4,4)。

-角平分線CF的方程：通過點C和AB的中點F(3,2)。

然后，求出三條角平分線的交點，即為內心I的坐標。

4.題型四：利用內切圓解決實際問題

題目：一個圓形花園的周長為120米，若要