試題PAGE1試題絕密★啟用前試卷類型：A深圳實驗、湛江一中、珠海一中2024屆高三三校聯考數學試題2023.12注意事項：1．本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的學校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．3．作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應答案的選項涂黑．4．非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區域內相應位置上，不準使用鉛筆和涂改液．5．考試結束后，考生上交答題卡．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設集合，集合，則A．B．C．D．2.若復數滿足，則在復平面上所對應的點位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在梯形中，設，，若，則A．B．C．D．4．已知函數，則的最大值為A．B．C．D．5．若，則A． B． C． D．6．已知圓臺的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為1，則圓臺的體積為A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為，直線與交于，兩點，與其準線交于點，若，則A．B．C．D．8．已知函數，過點作的切線，若（），則直線的條數為A． B． C． D． 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．某中學選派甲、乙、丙、丁、戊5位同學參加數學競賽，他們的成績統計如下：學生甲乙丙丁戊成績則下列結論正確的為A．這位同學成績的中位數是B．這位同學成績的平均數是C．這位同學成績的第百分位數是D．若去掉戊的成績，則剩余四人成績的方差保持不變10.將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，則下列結論正確的為A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．在區間上單調遞減D．的圖象與的圖象關于對稱11．已知圓，點在圓上，過可作的兩條切線，記切點分別為，，則下列結論正確的為A．當，時，點可是上任意一點B．當，時，可能等于C．若存在使得△為等邊三角形，則的最小值為D．若存在使得△的面積為，則可能為12.已知點在棱長為的正方體的表面上運動，且四面體的體積恒為，則下列結論正確的為A．的軌跡長度為B．四面體的體積最大值為C．二面角的取值范圍為D．當△的周長最小時，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等差數列的前項和為，若，，則公差．14．某學校擬開展研究性學習活動，現有四名優秀教師將對三個研究性學習小組予以指導，若每個小組至少需要一名指導教師，且每位指導教師都恰好指導一個小組，則不同的指導方案數為．15．已知奇函數及其導函數的定義域均為，若恒成立，則．16.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，點在的左支上運動且不與頂點重合，記為△的內心，，若，則的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.（10分）已知為數列的前項和，且滿足（）.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和．18．（12分）已知△的內角，，的對邊分別為，，，且．(1)求證：；(2)若△的面積為，且，求．19．（12分）如圖，在三棱錐中，△為等腰直角三角形，，△為等邊三角形.(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為，點在棱上，且，求二面角的大小.20．（12分）已知某足球賽事的決賽將在甲、乙兩隊之間進行.其規則為：每一場比賽均須決出勝負，按主、客場制先進行兩場比賽（第一場在甲隊主場比賽），若某一隊在前兩場比賽中均獲勝，則該隊獲得冠軍；否則，兩隊需在中立場進行第三場比賽，且其獲勝方為冠軍.已知甲隊在主場、客場、中立場獲勝的概率依次為，，，且每場比賽的勝負均相互獨立.(1)當甲隊獲得冠軍時，求決賽需進行三場比賽的概率；(2)若主辦方在決賽的前兩場中共投資（千萬元），則能在這兩場比賽中共盈利（千萬元）.如果需進行第三場比賽，且主辦方在第三場比賽中投資（千萬元），則能在該場比賽中盈利（千萬元）.若主辦方最多能投資一千萬元，請以決賽總盈利的數學期望為決策依據，則其在前兩場的投資額應為多少萬元？21．（12分）已知函數，．(1)討論的單調性；(2)當時，若的極小值點為，證明：存在唯一的零點，且．22．（12分）在平面直角坐標系中，點，的坐標分別為和，設△的面積為，內切圓半徑為，當時，記頂點的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知點，，，在上，且直線與相交于點，記，的斜率分別為，．(=1\*romani)設的中點為，的中點為，證明：存在唯一常數，使得當時，；(=2\*romanii)若，當最大時，求四邊形的面積．

深圳實驗、湛江一中、珠海一中2024屆高三三校聯考數學答案及評分標準一、選擇題（每小題5分，共40分）題號12345678答案DCABDACC二、多選題（每小題5分，共20分）題號9101112答案BCADACBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.214.3615.116.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，18―22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（10分）解：(1)∵，∴當時，，………………2分兩式相減得，即()，………3分當時，，符合上式，………………4分∴的通項公式為()．…………………5分(2)∵，………7分∴，…………………9分∴．…………………10分18．（12分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得，又∵，∴，………………1分∴，………………2分∵，……………3分∴，…………………4分∴，……………5分又∵，，∴．……………6分（方法二）由正弦定理，得，………1分∴，……………2分∵，，為△的內角，∴，∴，………3分∴，………4分即，………………………5分又∵，，∴．……………6分（方法一）由(1)可知，……………………7分∵，∴，即，………………8分∴，…………9分∵，∴，，………………10分記△的面積為，∴，………………11分∴．……………………12分（方法二）由正弦定理，得，即，……7分∵，∴，且，∴，……………8分又∵，∴，∴，∴，∴，……9分∴，…………………10分記△的面積為，∴，………………11分∴．……………………12分19．（12分）解：(1)證明：如圖，取的中點，連接，，……………1分∵，∴，………………2分∵△為等邊三角形，∴，…………3分又∵，平面，∴平面，……4分又∵平面，∴.…………………5分(2)（解法一）由(1)不難知道，在平面內，若過作直線的垂線交于點，則該垂線亦為平面的垂線，故直線在平面內的射影為直線，∴為直線與平面所成的角，即，……………6分不妨設，∵，為的中點，∴，∵△為等邊三角形，∴，在△中，由正弦定理,得，∴，∴，即，由(1)知，，且，…………7分以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得，，，，則有，，………8分易知為平面的一個法向量，………………9分設為平面的一個法向量，則即∴則平面的一個法向量為，…10分，…………11分由圖可知，二面角為銳角，∴二面角的余弦值為，∴二面角的大小為.……………12分（解法二）過作，垂足為，過作，垂足為，連接，由(1)不難知道，在平面內，若過作直線的垂線交于點，則該垂線亦為平面的垂線，故直線在平面內的射影為直線，∴為直線與平面所成的角，即，……………6分不放設，∵，為的中點，∴，∵△為等邊三角形，∴，在△中，由正弦定理得，∴，∴，即.結合(1)可知，二面角為直二面角，…………7分∴平面，又平面，∴,又，平面，∴平面，又平面，∴，∴為二面角的平面角.………………8分∵，，∴，，，……9分取的中點，連接，則，，∴，…………………10分∴，…………………11分∴二面角的余弦值為，∴二面角的大小為.……………12分20．（12分）解：(1)記“甲隊獲得冠軍”為事件，“決賽進行三場比賽”為事件，由題可知，…………………2分，……………………4分∴當甲隊獲得冠軍時，決賽需進行三場比賽的概率為.…………6分(2)設主辦方在決賽前兩場中共投資（千萬元），其中，若需進行第三場比賽，則還可投資（千萬元），記隨機變量為決賽的總盈利，則可以取，，…………7分∴，，………………9分∴隨機變量的分布列為∴的數學期望，………10分令，則，…………11分∴當，即時，取得最大值，∴主辦方在決賽的前兩場的投資額應為千萬元，即萬元.……12分21．（12分）解：(1)，……………………1分若，由，則時，，單調遞增；時，，單調遞減；…………………2分時，令，得或，若，則或時，，單調遞增；時，，單調遞減；……………3分若，則在上恒成立，在上單調遞增；……4分若，則或時，，單調遞增；時，，單調遞減．……………5分綜上，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.…………………6分(2)由(1)知，時，在，上單調遞增；在上單調遞減，則的極小值點為，…………………7分由極大值，且當時，，存在唯一的零點，滿足，…………8分化簡得，，∴，即，∴，………………9分設，，，…………………10分當時，，單調遞增，時，，單調遞減，…………………11分從而當時，有最小值，綜上所述，存在唯一的零點，且．…………………12分22．（12分）解：(1)由題意得，………1分易知，………………2分由橢圓定義可知，動點在以，為焦點，且長軸長為的橢圓上，又不能在直線上，∴的方程為：．…………3分(2)(=1\*romani)（法一）設，，，易知直線的方程為，聯立，得，∴，………………4分∴，，即，…………5分同理可得，，…………6分∴，……………7分欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數，使得當時，．…………8分（法二）設，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點，則軸，這與過矛盾，故，同理有，…………………4分則，可得，…………5分易知，，且，，∴，即