2024—2025學年高一開學測試數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊第一章至第五章5.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題判斷選項即可．【詳解】命題“，”的否定是，.故選：B.2.已知集合，，則B可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集運算，對四個選項逐一檢驗即可得解.【詳解】由，當時，或，故A錯誤；當時，或，故B錯誤；當時，，故C正確；當時，，故D錯誤；故選：C.3.已知冪函數的圖象經過第三象限，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由冪函數的概念求得，再驗證即可；【詳解】由題意得，得．當時，的圖象不經過第三象限；當時，的圖象經過第三象限．綜上，．故選：A4.若，，則（）A.3 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由指數式轉化為對數式，利用對數的換底公式，可得答案.【詳解】由，，得，，所以．故選：D.5.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】應用余弦函數的性質計算即可.【詳解】由不等式，化簡得，由余弦函數的性質得.故選：C.6.某食品保鮮時間（單位：h）與儲藏溫度（單位：）滿足函數關系．若該食品在的保鮮時間是320h，在的保鮮時間是80h，則該食品在的保鮮時間是（）A.5h B.5.5h C.4h D.4.5h【答案】A【解析】【分析】利用給定條件列出方程組，求得，再將代入計算即得.【詳解】由題意得，兩式相除得，當時，.故選：A.7.已知函數的部分圖象如圖所示、則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性和取自變量接近于0的函數值來判斷正負即可得到選項.【詳解】由奇偶性判斷可知：是偶函數，是奇函數，是偶函數，是奇函數，而函數圖象是關于軸對稱，必然是偶函數，所以BD錯誤；再當時，可知，故A錯誤；所以C正確，故選：C.8.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將與和分別進行比較，即可判斷大小.【詳解】因為函數，都是減函數，所以；；又，所以．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某鐘表分針的長度為5cm，在某天中，從到，則（）A.分針轉過的角的弧度為 B.分針轉過的角的弧度為C.分針尖端所走過的弧長為 D.分針掃過的扇形面積為【答案】BC【解析】【分析】由任意角的概念及扇形弧長、面積公式逐個判斷即可；【詳解】由題意得分針轉過的角的弧度為，所以分針尖端所走過的弧長為，分針掃過的扇形面積為．故選：BC10.已知關于的不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A.可能為空集 B.中可能只有一個元素C.若，則中的元素為負數 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據根的判別式即可判斷AB；由，求出集合即可判斷C；由，結合C選項，列出不等式即可判斷D.【詳解】對于A，由題意得，則不可能為空集，A錯誤；對于B，由，得，當，即時，，得，則，B正確；對于C，當，即時，，C正確．對于D，當，即時，，因為，所以，得，D正確．故選：BCD.11.已知定義域為的函數滿足，且.則（）A. B. C. D.可能為增函數【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值可求出特殊值，從而判斷AB選項，利用舉特例函數，來檢驗CD選項即可.【詳解】因為，，所以令，可得，故A正確；再令，可得，又因為，所以，又令，可得，所以，故B正確；不妨取，則，，此時滿足原恒等式，但是當時，，故C錯誤；但由于此時在上是增函數，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若角的終邊經過點，則______．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用三角函數的定義求出函數值.【詳解】依題意，．故答案為：13.已知函數在上單調遞增，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用二次函數的單調性、結合對數型復合函數的單調性列不等式求解作答.【詳解】函數上單調遞增，依題意，，，且在上單調遞增，因此，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：14.函數的最小值為______，此時______.【答案】①②.【解析】【分析】利用因式分解，然后發現規律，重新結合因式展開，再展開可得二次型函數求最值即可.【詳解】由所以可知當，即時，函數取到最小值，故答案為：①；②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用齊次式法，弦化切計算即得；（2）利用誘導公式化簡，齊次式法，弦化切計算得解【小問1詳解】．【小問2詳解】．16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，可得答案；（2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【小問1詳解】由，得，當且僅當時，等號成立．故的最大值是3．【小問2詳解】由，得，即．，當且僅當，即，時，等號成立．故的最小值為．17.已知函數（，且）．（1）求的定義域；（2）若，求；（3）求不等式的解集．【答案】（1）（2）或（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由對數函數定義域構造不等式求解即可；（2）由對數的運算性質求解即可；（3）分和判斷函數單調性，進而可求解；【小問1詳解】由題意得解得，即的定義域為．【小問2詳解】由，得或，解得或．【小問3詳解】當時，，在上為增函數，又在上為減函數，在上為減函數，則是增函數，由，得，解得，即的解集為．當時，在上為減函數，又在上為減函數，所以在上為增函數，可得是減函數，由，得，解得，即的解集為．綜上：當時，解集為，當時，解集為.18.已知函數．（1）求的單調遞減區間；（2）求在上的值域；（3）若函數在上恰有3個零點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用整體思想，根據正弦函數的單調性，建立不等式，可得答案；（2）利用整體思想，根據正弦函數的圖象與性質，可得答案；（3）由題意建立方程，求得的值，由小到大寫出個零點，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】由，得，所以的單調遞減區間為．【小問2詳解】由，得．由正弦函數的圖象可得，，所以在上的值域為．【小問3詳解】由，得，得或，解得或，則在上的3個零點為，，，所以，得，即的取值范圍為．19.已知函數．（1）當時，判斷函數的奇偶性，并說明理由．（2）若不等式的解集為，證明：．（3）若函數在上的最小值為5，求的值．【答案】（1）奇函數，理由見解析（2）證明見解析（3）或3【解析】【分析】（1）由奇函數的概念可得；（2）由題得，構造函數，，利用函數圖象找到交點橫坐標范圍，進而可得；（3）設，轉化為在上的最小值為5，根據絕對值對的范圍進行分類，由單調性確定最值，進而構建方程可得.【小問1詳解】是奇函數．理由如下：由題意得，．的定義域為，且，所以是奇函數．【小問2詳解】證明：由題意得，則．由，得．設函數，，，在上的大致圖象如圖1所示，由圖可知，在上的圖象有2個公共點，易得這2個公共點的橫坐標為．由圖得，因為，所以．因為，所以．故．【小問3詳解】設，由，得，則．當，即時，在