立體幾何知識點立體幾何(一)空間幾何體的結構特征(1)多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。1.棱柱E'D'1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公F'C'側面共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。A'B'l1.2相關棱柱幾何體系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的關系:底面側棱斜棱柱,ED,FC底面是正多形棱柱,,,,,,,正棱柱?,,AB棱垂直于底面,,,,,,直棱柱,,其他棱柱？,D1,C1,A1B1?四棱柱底面為平行四邊形平行六面體側棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形DC長方體底面為正方形正四棱柱側棱與底面邊長相等正方體AB1.3棱柱的性質:?側棱都相等，側面是平行四邊形;?兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形;?過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形;?直棱柱的側棱長與高相等，側面與對角面是矩形。1.棱柱.??直棱柱側面積:(為底面周長，是高)該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的.ChS,Ch?斜棱住側面積:(C是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側棱長)該公式是利用斜棱柱的側面展開圖為平行S,Cll11四邊形得出的.?{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.,,,,,{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.,側面與底面是側棱垂直底面是底面是正方體正四棱柱四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正方形底面矩形底面邊長相等平行四邊形3.棱錐3.1棱錐——有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐——如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質:?平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比;?正棱錐各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形;?正棱錐中六個元素，即側棱、高、斜高、側棱在底面內的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構成四個直角SOBSOHSBHOBH,,,三角形。)(如上圖:為直角三角形)二點、直線、平面之間的位置關系(一)平面的基本性質1.平面——無限延展，無邊界三個定理與三個推論公理1:如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內。用途:常用于證明直線在平面內.公理2:不共線的三點確定一個平面.(((推論1:直線與直線外的一點確定一個平面.推論2:兩條相交直線確定一個平面.推論3:兩條平行直線確定一個平面.用途:用于確定平面。公理3:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線(兩個平面的交線).用途:常用于證明線在面內，證明點在線上.形語言，文字語言，符號語言的轉化:(二)空間圖形的位置關系共面:ab=A,a//b:,1.空間直線的位置關系:,異面:a與b異面,平行線的傳遞公理:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述:abbcac//,////,異面直線:(1)定義:不同在任何一個平面內的兩條直線——異面直線;(2)判定定理:連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線是異面直線。PP,,,aA,A,,,,圖形語言:符號語言:PAa,與異面,a,,,,Aa,,112,,::0,90異面直線所成的角:(1)范圍:;，,2方向不相同1異面直線所成角的求法:方向相同(1)平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線;(2)補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系;2.異面直線判定定理:過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線.(不在任何一個平面內的兩條直線)3.等角定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等(如下圖).,,,,,,(二面角的取值范圍)(直線與直線所成角)(斜線與平面成角),,，，0,90,,，，,,0,180,,0,90,,,,(直線與平面所成角)(向量與向量所成角,,[0,180]),,,,0,90推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角(或直角)相等.4.兩異面直線的距離:公垂線的長度.l,ll,ll,l空間兩條直線垂直的情況:相交(共面)垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點P，過點P且與都121212l,l平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點在同一平面內.12l,,,,a'lAb'2.直線與平面的位置關系::,,,,,l,a,,,Ol//,,,圖形語言:b,P平行:,,//,,3.平面與平面的位置關系:斜交::=a,,,,相交,,垂直:,,,,,A,O,(三)平行關系(包括線面平行，面面平行)1.線面平行:?定義:直線與平面無公共點.ab//a//,,,,,?判定定理:(線線平行線面平行)?性質定理:(線面平行線線平行)aa,,,,//aab,,//,,,,,,,b,:,b,,,,,ab//,,ll:,,,,,//?判定或證明線面平行的依據:(i)定義法(反證):(用于判斷);(ii)判定定理:aa,,,,//,,b,,,,,//,“線線平行面面平行”(用于證明);(iii)“面面平行線面平行”(用于證明);,,,a//,,a,,,ba,,,ba,,,,//(4)(用于判斷);,,a,,,lA:,,2.線面斜交:PO,,?直線與平面所成的角(簡稱線面角):若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內射影的夾角。于，PAO,,O，則AO是PA在平面內的射影，則就是直線PA與平面所成的角。l0:ll,,ll,,,或//,,::0,90,,范圍:，注:若，則直線與平面所成的角為;若，則直線與平面所成的角,,90:為。3.面面平行:?定義:;?判定定理:如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互,,,,:,,,//相平行;符號表述:【如下圖?】ababOab,,,//,////,,,,,,,,:aaOObb,,,aa'Ob',,,圖?圖?推論:一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述:ababOabaabb,,,',',//',//'//,,,,,,,,:【如上圖?】aa,,,,,,,,//判定2:垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述:.【如右圖】?判定與證明面面平行的依據:(1)定義法;(2)判定定理及推論(常用)(3)判定2,,//,,,//,,?面面平行的性質:(1)(面面平行線面平行);(2);(面面平行線線平:,,aab//,,,a//,,,,,a,,,,:,b,,,行)(3)夾在兩個平行平面間的平行線段相等。【如圖】(四)垂直關系(包括線面垂直，面面垂直)1.線面垂直la,?定義:若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述:若任意都有，a,,,l,,l,,且，則.PPab,,,,,abO:,,,ll,,,?判定定理:(線線垂直線面垂直),a,,,OAO,la,B,,CA,lb,,,?性質:(1)(線面垂直線線垂直);(2);lala,,,,,,,,abab,,,,,,//ab//,?證明或判定線面垂直的依據:(1)定義(反證);(2)判定定理(常用);(3)(較常用);(4),,,b,a,,,,,,,,,,//ab:,,,,;(5)(面面垂直線面垂直)常用;,a,,a,,,,,,aa,,,,,,,ab,,?三垂線定理及逆定理:(I)斜線定理:從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線段中，(1)斜線相等射影相等;(2)斜,PO,,PBPCOBOC,,,PAPBOAOB,,,線越長射影越長;(3)垂線段最短。【如圖】;,PO,,,(II)三垂線定理及逆定理:已知，斜線PA在平面內的射影為OA，，a,,aPA,aOA,?若，則——垂直射影垂直斜線，此為三垂線定理;,aPA,aOA,?若，則——垂直斜線垂直射影，此為三垂線定理的逆定理;,三垂線定理及逆定理的主要應用:(1)證明異面直線垂直;(2)作、證二面角的平面角;(3)作點到線的垂線段;3.2面面斜交，,::AOB[0,180]?二面角:(1)定義:范圍:OBlOAlAOBl,,,，,,是二面角,的平面角,,?作二面角的平面角的方法:(1)定義法;(2)三垂線法(常用);(3)垂面法.(4)向量法3.3面面垂直90:(1)定義:若二面角,,,,l的平面角為，則,,,;,(2)判定定理:如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.aBa,,,,(線面垂直面面垂直),,,,,a,,,,A，MON，,:MON90,,,(3)性質:?若，二面角的一個平面角為，則;,,,,,,,,,,aABA,:,,,,,,,,,?(面面垂直線面垂直);?.?,aa,,,,,,,,aa//,,或,,,Aaa,,,a,,,,,,,aaAB,,,,,空間角問題(1)直線與直線所成的角,?兩平行直線所成的角:規定為。0?兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。,,a,b?兩條異面直線所成的角:過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。(2)直線和平面所成的角,,0?平面的平行線與平面所成的角:規定為。?平面的垂線與平面所成的角:規定為90。?平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息:(1)斜線上一點到面的垂線;(2)過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角?二面角的定義:從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。?二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角(((((叫二面角的平面角。?直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直;反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角?求二面角的方法(1)定義法:直接在二面角的棱上取一點(特殊點)，分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性;(2)三垂線法:已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角;(3)垂面法:已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直;(4)射影法:利用面積射影公式S,Scos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角;,,射原7.空間距離的求法(1)兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算;(2)求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解;(3)求點到平面的距離，一是用垂面法，借助