工程力學(xué)

1平面力系

2.1平面匯交力系的合成和平衡2.2平面力偶系的合成和平衡2.3平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

2.1

平面匯交力系的合成和平衡匯交力系——各力作用線匯交于同一點(diǎn)的力系；平面匯交力系——若匯交力系中各力作用線在同一平面內(nèi)。2.1.1平面匯交力系的合成1.力多邊形矢量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為力的可傳遞性和力的三角形法則2.1

平面匯交力系的合成和平衡2、力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影PS：投影是代數(shù)量，有正負(fù)之分。根據(jù)力的投影求出該力的大小和方向力F在直角坐標(biāo)軸x、y上的投影，記作Fx、Fy2.1

平面匯交力系的合成和平衡PS：力的投影和分力的區(qū)別：力的投影是代數(shù)量，它只有大小和正負(fù)；而力的分量是矢量，不僅有大小和方向，還有作用點(diǎn)，二者不可混淆。只有當(dāng)x、y軸相垂直的時(shí)候，分力的大小是投影的絕對(duì)值。xy30°60°45°F1=100NF2=200NF3=300NF4=400N2.1

平面匯交力系的合成和平衡【例2-1】如圖所示，分別求各力在x軸和y軸上的投影。A1A2A3A42.1

平面匯交力系的合成和平衡3.合力投影定理合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。FR2.1

平面匯交力系的合成和平衡4.平面匯交力系的合成當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，可先求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力在x、y軸上的投影，即可求得合力。式中α——合力FR與x軸正向夾角，單位為°；

β——合力FR與y軸正向夾角，單位為°。2.1

平面匯交力系的合成和平衡【例2-2】如圖所示，固定的圓環(huán)上作用著共面的三個(gè)力，已知F1=10kN，F(xiàn)2=20kN，F(xiàn)3=25kN，三力均通過(guò)圓心O，試求此力系的合力的大小和方向。2.1

平面匯交力系的合成和平衡2.1.2平面匯交力系的平衡條件充要條件：其合力等于零，F(xiàn)R=0平面匯交力系的平衡方程建立方程時(shí)，要求x、y軸不平行，即這兩個(gè)平衡方程相互獨(dú)立，可求解兩個(gè)未知量。利用平衡方程求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，受力圖中的未知力指向有時(shí)可以任意假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，表示假設(shè)的力的方向就是實(shí)際指向；反之，表示假設(shè)的力的方向與實(shí)際方向相反。2.1

平面匯交力系的合成和平衡【例2-3】一物體重為30kN，用不可伸長(zhǎng)的柔索AB和BC懸掛于圖示平衡位置，設(shè)柔索重量不計(jì)，AB和鉛垂線的夾角α=30°，BC水平。求柔索AB和BC的拉力。2.1

平面匯交力系的合成和平衡【例2-4】圖示重物G=20kN，用鋼絲繩掛在支架的滑輪B上，鋼絲繩的另一端纏繞在鉸車(chē)D上。桿AB與BC鉸接，并以鉸鏈A、C與墻連接。若兩桿和滑輪的自重不計(jì)，并忽略摩擦和滑輪的大小，試求平衡時(shí)桿AB和BC所受的力。G2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.1力矩力矩的概念將Fd作為力F對(duì)物體繞O轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，并稱為力F對(duì)矩心O的矩，簡(jiǎn)稱力矩，以符號(hào)MO（F）表示，即力矩的定義為式中：F是力的數(shù)值大小，d是力臂，逆時(shí)針轉(zhuǎn)取正號(hào)。常用單位是kN·m、N·m。力矩用帶箭頭的弧線段表示。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.1力矩2.力矩的性質(zhì)1）力的作用點(diǎn)沿作用線移動(dòng)，不改變力對(duì)點(diǎn)的矩。2）當(dāng)力通過(guò)矩心時(shí)，此力對(duì)矩心的力矩等于零。3）互成平衡的力對(duì)同一點(diǎn)的矩之和等于零。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.2力偶力偶的概念兩手操縱方向盤(pán)和用絲錐攻螺絲時(shí)，都有這樣一對(duì)大小相等、方向相反、作用線平行但不重合的兩個(gè)力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)，這一作用效應(yīng)是和這兩力的大小及兩力間的垂直距離d（稱力偶臂）成正比。通常稱這對(duì)特殊的力為力偶，用力與力臂的乘積Fd來(lái)度量其轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，并稱其為力偶矩，用符號(hào)M來(lái)表示，即力偶矩的定義是PS：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。平面力偶矩為代數(shù)量。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.2力偶2.力偶的性質(zhì)1）力偶中的兩個(gè)力，既不平衡，也不可能合成為一個(gè)力，即力偶沒(méi)有合力。2）力偶只能用另一個(gè)力偶來(lái)平衡。3）力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和恒等于力偶矩，與矩心O的位置無(wú)關(guān)。4）只要不改變力偶的轉(zhuǎn)向和力偶矩的大小，力偶可在其作用平面內(nèi)(包括在其平行平面內(nèi))任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，并可任意改變其力和力偶臂的大小，而不會(huì)改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.2力偶3.平面力偶的等效定理若作用于剛體上的力系，由一系列力偶組成，該力系稱為力偶系；若力偶系中各力偶作用在同一平面內(nèi)（或各力偶作用面平行），則稱為平面力偶系。研究平面力偶系的基礎(chǔ)是平面力偶的等效定理。作用在剛體內(nèi)同一平面上的兩個(gè)力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數(shù)值相等。如果兩個(gè)力偶的力偶矩相等，總可以適當(dāng)?shù)馗淖儍蓚€(gè)力偶中任意一個(gè)力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不變），使兩個(gè)力偶的力偶臂和力的大小相等且轉(zhuǎn)向相同，所以兩個(gè)力偶等效。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.2力偶4.力對(duì)點(diǎn)的矩與力偶矩的區(qū)別不同之處：力對(duì)點(diǎn)的矩（力矩）可隨矩心的位置改變而改變，但一個(gè)力偶的矩（力偶矩）是常量。相同之處：力矩與力偶矩的量綱相同。關(guān)聯(lián)之處：力偶中的兩個(gè)力對(duì)任意一點(diǎn)的矩（兩個(gè)力矩）之和是常量，等于力偶矩。2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.3平面力偶系的合成2.2

平面力偶系的合成和平衡2.2.4平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩等于零，亦即各分力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系的平衡方程2.2

平面力偶系的合成和平衡【例2-6】圖示的工件上作用有三個(gè)力偶。已知三個(gè)力偶的矩分別為：M1=M2=10N·m，M3=20N·m，固定螺柱A和B的距離l=200mm。求兩個(gè)光滑螺柱所受的力。FAFB2.2

平面力偶系的合成和平衡【例2-7】在梁AB的兩端各作用一力偶，其力偶矩分別為：M1=120kN·m，M2=360kN·m，轉(zhuǎn)向如圖。梁長(zhǎng)l=6m，重量不計(jì)。求A、B處的支座反力。2.2

平面力偶系的合成和平衡【例2-8】M1=2kN·m，OA=r=0.5m，圖示位置時(shí)OA與OB垂直，α=30°，且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩M2，以及鉸鏈O、B處的約束反力。2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡任意力系——也稱一般力系，是指各力作用線既不匯交于同一點(diǎn)，又不完全相互平行的力系。如果任意力系中各力作用線都在同一個(gè)平面內(nèi)，則該力系稱為平面任意力系。2.3.1力的平移定理作用在剛體上A點(diǎn)的力F可以平行移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)B，同時(shí)需要附加一個(gè)力偶，此附加力偶的矩等于原來(lái)的力F對(duì)點(diǎn)B的矩。2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡此定理的逆過(guò)程：由作用在B點(diǎn)的力F’和一個(gè)力偶Mo組成的平面力系，可以等效為作用于另一點(diǎn)A的一個(gè)力F。等效條件為合力F與力F’大小相等，方向相同，合力F對(duì)點(diǎn)B的矩等于M，合力F與F’作用線的距離為2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡2.3.2平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化1.平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矢與主矩應(yīng)用力的平移定理，將平面任意力系中的各個(gè)力（以三個(gè)力為例）全部平行移到作用面內(nèi)某一定點(diǎn)O。從而這力系被分解為一個(gè)平面匯交力系和一個(gè)平面力偶系。這種等效變換的方法稱為力系向定點(diǎn)O的簡(jiǎn)化。點(diǎn)O稱為簡(jiǎn)化中心。平面匯交力系，可以合成為一個(gè)力，力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)，此力稱為原力系的主矢。平面力偶系，可以合成一個(gè)力偶，其矩為此力偶的矩稱為原力偶系的主矩。

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==MOF’主矩一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)，必須指明是相對(duì)于哪一個(gè)點(diǎn)的。其中，主矢的大小和方向余弦可按下式求解：2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡2.固定端約束的簡(jiǎn)化固定端——工程中物體的一端完全插入到另一個(gè)物體內(nèi)部的（又稱為插入端）。固定端對(duì)物體的約束作用，是在物體和固定端的接觸面上作用有一群力，在平面問(wèn)題中，這些力組成一平面任意力系。2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡3.平面任意力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論（1）FR′=0，MO′≠0，說(shuō)明原力系與一個(gè)力偶等效，而這個(gè)力偶的力偶矩就是主矩。（2）FR′≠0，MO′=0，則作用于簡(jiǎn)化中心的力FR′就是原力系的合力，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。（3）FR′≠0，MO′≠0，這時(shí)根據(jù)力的平移定理的逆過(guò)程，可以進(jìn)一步合成為合力FR

，經(jīng)過(guò)新的簡(jiǎn)化中心O。平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力對(duì)力系所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于其各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。（4）FR′=0，MO′=0，此時(shí)力系處于平衡狀態(tài)。2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡2.3.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系平衡的充要條件為：力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩均等于零。平面任意力系的平衡方程：（1）基本形式

最多可解三個(gè)未知力（2）二力矩式x軸不能與A、B連線垂直（3）三力矩式A、B、C三點(diǎn)不共線2.3

平面任意力系的簡(jiǎn)化和平衡【例2-11】水平梁AB，A端為固定鉸支座，B端為滾動(dòng)支座，受力及幾何尺寸如圖所示，已知M=qa2，試求A、B端的約束力。2.3

平面任意力系