學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)由任意角的三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)的圖象,可知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R，即y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R。通過正、余弦函數(shù)的圖象，可知它有如下的主要性質(zhì)。一、周期性1.對(duì)于函數(shù)y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R的周期可由誘導(dǎo)公式一或通過觀察它們的圖象得出:任何一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈Z且k≠0）都是這兩個(gè)函數(shù)的周期,它們的最小正周期都是2π.設(shè)T是y=sinx的最小正周期，且0＜T＜2π，根據(jù)周期函數(shù)的定義，當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)，都有sin（x+T)=sinx。令x=，代入上式，得sin（+T）=sin=1。但是sin(+T）=cosT，于是cosT=1，這表明T的值是0,2π，…，即T=2kπ,k∈Z，這與0＜T＜2π相矛盾.所以不存在小于2π的最小正周期,即y=sinx的最小正周期為2π。2。y=Asin（ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ）型的函數(shù)的周期僅與函數(shù)解析式中x的系數(shù)ω有關(guān)，而與其他量無關(guān).事實(shí)上,設(shè)y=Asin（ωx+φ），x∈R，其中A、ω、φ均為常數(shù)，且A≠0，ω＞0。令z=ωx+φ,因?yàn)閤∈R，所以z∈R，且函數(shù)y=Asinz，z∈R的周期是2π。由于z+2π=ωx+φ+2π=ω(x+)+φ，所以自變量x只需增加到x+.函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn).所以函數(shù)y=Asin（ωx+φ)，A≠0，ω＞0的最小正周期是。同理可證y=Acos（ωx+φ),A≠0，ω＞0的最小正周期也是.例如y=2sin（x—)的周期是等.學(xué)法一得反證法是一種典型的補(bǔ)集思想,它也是一種常見的證明方法，是高考中常常考查的一個(gè)重要內(nèi)容。對(duì)一些正面推證有困難而結(jié)論的反面較結(jié)論更明確、更具體、更簡單的題目,可考慮用反證法。具體地說,對(duì)于那些含有否定詞的命題,如“至少”“唯一性”“至多”“都不是”“不存在”等命題，尤為適宜.反證法證題的核心是從求證結(jié)論的反面出發(fā),把題設(shè)連同結(jié)論的反面一起作為本題的題設(shè)進(jìn)行推證，如果導(dǎo)出的結(jié)論與公理相矛盾、與已知條件或臨時(shí)假設(shè)相矛盾、與既成事實(shí)相矛盾、自相矛盾等，那么就否定了假設(shè)，從而肯定了原命題的正確.記憶要訣函數(shù)y=Asin(ωx+φ），x∈R及函數(shù)y=Acos（ωx+φ)，x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期為T=.二、奇偶性對(duì)于函數(shù)f(x）=sinx，它的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(—x)=sin(-x）=-sinx=—f(x),即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f（—x)=-f（x)，所以它是奇函數(shù)。對(duì)于函數(shù)f（x)=cosx,它的定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(-x)=cos（—x)=cosx=f（x)，即對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=f(x）,所以它是偶函數(shù)。三、單調(diào)性1。由正弦函數(shù)的圖象及其周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［—+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從—1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù),其值從1減小到-1。由余弦函數(shù)的圖象及其周期性可知：余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k-1）π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù),其值從-1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，（2k+1)π］（k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.2.正、余弦函數(shù)單調(diào)性的用途主要有：（1)比較三角函數(shù)值的大小：解決這類問題的關(guān)鍵是把所比較的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角的同名三角函數(shù)值，再比較大小，也可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成與銳角的三角函數(shù)值相關(guān)的形式，再比較大小.(2）求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：對(duì)于形如y=Asin（ωx+φ）+k或y=Acos（ωx+φ）+k，ω＞0的函數(shù)，可把(ωx+φ)視為一個(gè)整體，按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，結(jié)合正、余弦函數(shù)的單調(diào)性，直接寫出ωx+φ的單調(diào)區(qū)間，再解關(guān)于x的不等式即可.(3）借助于正、余弦函數(shù)的圖象解三角不等式:對(duì)于可化為形如sin(ωx+φ)≥a〔cos(ωx+φ)≥a〕或sin（ωx+φ）＜a〔cos（ωx+φ)＜a〕，ω＞0的弦函數(shù)不等式，可把（ωx+φ）視為一個(gè)整體，借助于y=sinx，x∈R或y=cosx，x∈R的圖象和單調(diào)性，先在長度為2π的一個(gè)周期上找出適合條件的區(qū)間,然后兩邊加上2kπ，把它擴(kuò)展到整個(gè)定義域上，最后解關(guān)于x的不等式，便可求出x的解。典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的周期例1若彈簧振子對(duì)平衡位置的位移x(cm）與時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系如圖所示:(1）求該函數(shù)的周期；(2)求t=10.5s時(shí)彈簧振子對(duì)平衡位置的位移.解：(1）由圖1—4-10，可知該函數(shù)的周期為4s。圖1-4-10(2）設(shè)x=f(t），由函數(shù)的周期為4s,可知f（10。5）=f（2。5+2×4)=f(2。5)=—8.方法歸納周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的那個(gè)數(shù)(非零實(shí)數(shù)），這個(gè)數(shù)僅僅是相對(duì)于x而言的.函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的最小正周期是。知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的奇偶性例2函數(shù)f(x)=cos（2x+)的（）A。最小正周期是2πB。圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D。圖象關(guān)于x軸對(duì)稱思路分析：先利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，再作出判斷。∵y=cos(2x+π+)=-cos(2x+）=sin2x,∴它的周期T==π，排除A.顯然，它是奇函數(shù)。答案:C例3函數(shù)f（x）=xsin(-x)是（)A.奇函數(shù)B.非奇非偶函數(shù)C.偶函數(shù)D。既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)思路分析：先利用誘導(dǎo)公式化簡，再作出判斷。對(duì)于函數(shù)f（x）=xcosx，∵f（-x）=（-x)cos(—x)=—xcosx=—f（x），∴f(x)是奇函數(shù)。答案：A例4試判斷函數(shù)在區(qū)間(，)上的奇偶性.思路分析：可先將函數(shù)式化成最簡形式,再判斷.解:（1）。因?yàn)閤∈（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)f（x)在(，）上是奇函數(shù).巧妙變式：如果將題中的（，）改為[，］，情況會(huì)怎樣呢?由于當(dāng)x=時(shí)，f(）=1，而f(）無意義，因此f(x）在x∈[，］上不具有奇偶性,即函數(shù)f(x)在x∈［，］上既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。方法歸納函數(shù)的奇偶性是研究f(—x）與f(x）之間關(guān)系的，其中f（-x）是把f(x）解析式中的x換成-x而得到的.奇、偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)包括奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)四類。奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)則相反.例5已知函數(shù)f(x)=ax+bsin3x+2(a、b為常數(shù)），且f(3)=5，試求f(—3)的值.思路分析：要求函數(shù)值，需先確定函數(shù)解析式，因含a、b兩個(gè)參數(shù),需要列關(guān)于a、b的兩個(gè)方程,而題目僅提供了f(3)=5這一個(gè)條件,它無法求a、b的值。由f(3)與f(-3）的自變量互為相反數(shù)這一條件,應(yīng)聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，由于f（x）—2是奇函數(shù)，所以問題可解決。解：令g(x)=f（x)-2=ax+bsin3x,因?yàn)間（-x)=a（-x)+bsin3（—x）=-(ax+bsin3x）=—g(x）,所以g（x)=ax+bsin3x是奇函數(shù)。所以g（-3)=-g（3)，即f(-3)-2=—［f（3）-2］.所以f（—3)=2—[f（3)—2]=4—f（3)=4—5=—1,即f（-3）=-1.方法歸納一般地，在兩個(gè)函數(shù)的公共定義域內(nèi),兩個(gè)奇(偶)函數(shù)的和仍是奇（偶）函數(shù);兩個(gè)奇(偶）函數(shù)的積卻是偶函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)三比較三角函數(shù)值的大小例6不通過求值,比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小。（1）sin110°18′與sin146°30′；（2）sin(）與sin（).解：∵sin110°18′=sin69°42′，sin146°30′=sin33°30′，33°30′,69°42′∈[0°，90°］，且33°30′＜69°42′，而y=sinx在［0°,90°]上是增函數(shù)，所以sin33°30′＜sin69°42′，即sin110°18′＞sin146°30′.(2)sin（)=sin（-8π+)=sin,sin（）=sin(-8π+)=sin。因?yàn)?∈[0,］，且，y=sinx在x∈［0，]上是增函數(shù),所以sin＞sin，即sin（）＞sin()。方法歸納要比較不同角的三角函數(shù)值的大小，需利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，化簡的步驟是先把負(fù)角化成正角，再把正角化成0到2π的角,再化成銳角，最后利用函數(shù)在［0,］上的單調(diào)性去判斷.知識(shí)點(diǎn)四求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例7求函數(shù)y=()cosx的單調(diào)遞減區(qū)間。解：令μ=cosx，則y=(）μ，因?yàn)閥=（）μ是減函數(shù)，所以函數(shù)y=（）cosx的單調(diào)減區(qū)間為函數(shù)μ=cosx的單調(diào)增區(qū)間：［2kπ—π，2kπ］,k∈Z。方法歸納求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是分清函數(shù)的復(fù)合過程,即把所求函數(shù)分解成若干層已知其單調(diào)性的函數(shù),按照“同增異減”的法則,來判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及其單調(diào)區(qū)間.例8求函數(shù)y=sin（）,x∈［-2π，2π］的單調(diào)區(qū)間。思路分析:應(yīng)先把y=sin（)化簡成y=—sin（），再把“"視為一個(gè)整體,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。解：因?yàn)閥=sin（)=-sin（）,所以要使函數(shù)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增，只需+2kπ≤≤+2kπ，解得+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z.令k=-1，得；令k=0，得.由于x∈［-2π,2π］，所以該函數(shù)y=sin(），x∈［—2π，2π］的單調(diào)增區(qū)間是［—2π，-］或[，2π].同理，可得函數(shù)y=sin(）,x∈［-2π，2π]的單調(diào)減區(qū)間是[，］.方法歸納求函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時(shí),一般先將x的系數(shù)化成正值,再把“ωx+φ”視為一個(gè)整體，結(jié)合基本初等函數(shù)y=sinx的性質(zhì)找到“ωx+φ”在x∈R上滿足的條件,通過解不等式組求得單調(diào)區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)五借助于正、余弦函數(shù)的圖象解三角不等式例9解不等式2sin（—2x+)＞1。思路分析：首先將原式化為sin(2x-）＜,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性.解：原式可化為sin（2x—）＜，把2x-視為一個(gè)整體，如圖1-4-11，在區(qū)間［0，2π］上,適合條件的x的范圍是，在整個(gè)定義域上，滿足+2kπ＜2x—＜+2kπ。圖1-4—11解得+kπ＜x＜+kπ，k∈Z。方法歸納①把ωx+φ，ω＞0視為一個(gè)整體，是化未知為已知,化生疏為熟悉的化歸思想的具體應(yīng)用.②解三角不等式時(shí)，要注意結(jié)合正弦曲線、余弦曲線。由于弦函數(shù)的周期性，應(yīng)先在一個(gè)長度為2π的周期上求范圍，該范圍的選擇并非一定是[0，2π]或［-π，π］，而應(yīng)該以是否得到一個(gè)完整的周期區(qū)間為標(biāo)準(zhǔn).知識(shí)點(diǎn)六求最大值與最小值例10求函數(shù)y=1—cos(2x-)的最值及函數(shù)取最值時(shí)自變量x的集合。思路分析：可把“2x—”視為一個(gè)整體，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法寫出函數(shù)的最值及取得最值時(shí)2x-的集合，再通過解方程求得x的集合.解：當(dāng)cos(2x-）=—1時(shí)，ymax=1-×(-1)=，此時(shí)2x—=2kπ+π，k∈Z，解得x=kπ+，k∈Z，即函數(shù)y=1-cos（2x—)的最大值是,此時(shí)x的集合是{x｜x=kπ+，k∈Z｝.同理，可得函數(shù)y=1—cos（2x-)的最小值是，此時(shí)x的集合是｛x｜x=kπ+，k∈Z｝。方法歸納在求三角函數(shù)的最值(或值域)時(shí)，這種先把“ωx+φ,ω＞0”視為一個(gè)整體，再把sin(ωx+φ）視為一個(gè)整體，利用函數(shù)的性質(zhì)去研究函數(shù)的值域（或最值)的方法是化未知為已知的化歸思想的具體應(yīng)用,它是我們研究函數(shù)問題的重要方法之一。例11求y=2sin2x—2cosx+3的最值。思路分析：可先利用平方關(guān)系把sin2x轉(zhuǎn)化成1-cos2x，即把函數(shù)轉(zhuǎn)化成以cosx為未知數(shù)的二次函數(shù)的形式，再配方求值.解：y=2（1-cos2x)—2cosx+3=—2cos2x-2cosx+5=-2(cosx+）2+，∵-1≤cosx≤1，∴當(dāng)cosx=-時(shí)，ymax=；當(dāng)cosx=1時(shí)，ymin=—2×12—2×1+5=1.方法歸納對(duì)于可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于某一三角函數(shù)為未知數(shù)的二次函數(shù)形式問題，可利用配方法求解。問題?探究材料信息探究由單位圓中的正弦線、余弦線的定義,可知正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1，1］，即—1≤sinx≤1，—1≤cosx≤1。特別地，當(dāng)角α的終邊落在y軸的正半軸上時(shí),其正弦線等于1，函數(shù)值最大,即當(dāng)且僅當(dāng){x|x=+2kπ，k∈Z}時(shí),y=sinx取得最大值1；當(dāng)角α的終邊落在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，其正弦線等于—1，函數(shù)值最小，即當(dāng)且僅當(dāng){x|x=-+2kπ，k∈Z}時(shí)，y=sinx取得最小值—1。同理可知對(duì)余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)｛x|x=2kπ，k∈Z}時(shí)，取得最大值1；當(dāng)且僅當(dāng){x｜x=（2k+1)π，k∈Z｝時(shí),取得最小值-1。觀察正、余弦函數(shù)的圖象也極易看出它們的最大值都是1，最小值都是-1.問題函數(shù)的最值是函數(shù)值域的端點(diǎn)值，在三角函數(shù)的值域中，我們主要研究它的最值，那么如何求三角函數(shù)的最值呢？探究過程：依托正、余弦函數(shù)的圖象,使數(shù)形緊密結(jié)合，借助于函數(shù)單調(diào)性,尋求含有正、余弦函數(shù)的式子的最值。探究結(jié)論:常見的方法有：（1)可化為一個(gè)角的一個(gè)函數(shù)的形式，利用三角函數(shù)的有界性求最值;（2）轉(zhuǎn)化成關(guān)于某一三角函數(shù)為未知數(shù)的二次函數(shù)的形式，利用配方法求解;（3）逆用三角函數(shù)的有界性求最值.思維發(fā)散探究問題已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ)（ω＞0,0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）對(duì)稱.利用你所學(xué)的知識(shí)，加上一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件,使φ、ω為確定的值，并求出它們的值。探究思路：本題是一個(gè)條件開放型