學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、倍角公式1。公式的推導：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令α=β，就可得出相應的倍角公式。sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosα；cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβcos2α=cos2α-sin2α.由于sin2α+cos2α=1,顯然，把sin2α=1-cos2α代入cos2α=cos2α—sin2α，得cos2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α—1.同理，消去cos2α，得cos2α=1—2sin2α.tan(α+β)=。綜上,我們把公式叫做二倍角公式.2。二倍角公式中角α的范圍由任意角的三角函數的定義可知S2α、C2α中的角α是任意的,但公式T2α即tan2α=中的角是有條件限制的.要使tan2α有意義，需滿足1—tan2α≠0且tanα有意義。當tanα有意義時,α≠+kπ（k∈Z）；當1-tan2α≠0，即tanα≠±1時,α≠±+kπ(k∈Z）.綜上,可知要使T2α有意義，需α≠±+kπ且α≠+kπ(k∈Z).特別地,當α=+kπ(k∈Z)時，雖然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，這時求tan2α的值，可用誘導公式進行，即tan2(+kπ)=tan(π+2kπ）=tanπ=0.學法一得二倍角的切函數是用單角的切函數表示出來的，它的角α除了使解析式有意義外,還應使函數自身也有意義。3.倍角公式中的倍角是相對的二倍角公式不僅僅可用于將2α作為α的2倍的情況，對于兩個角的比值等于2的情況都成立，如8α是4α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等。在運用倍角公式對半角的三角函數進行變換時,無論正用還是逆用,都可直接使用這一公式.例,-1=1-2sin2;sin3α·cos3α=(2sin3αcos3α）=sin6α；cos22α—sin22α=cos4α；;=tan70°等。4.倍角公式的幾種變形形式（sinα±cosα)2=1±sin2α;1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α;cos2α=;sin2α=.學法一得我們常把1+cosα=2cos2，1-cosα=2sin2稱為升冪換半角公式，利用該公式消去常數項，便于提取公因式化簡三角函數式；把cos2α=，sin2α=稱為降冪換倍角公式，利用該公式能使之降次，便于合并同類項化簡三角函數式.倍角公式給出了α的三角函數與2α的三角函數之間的關系。對于該公式不僅要會正用，還應會逆用和變用.5。倍角公式與和角公式的內在聯系只有理清公式的來龍去脈及公式的變形形式，才能及時捕捉到有價值的信息,完成問題的解答.典題?熱題知識點一直接應用倍角公式求值例1求下列各式的值：（1)2sin15°sin105°;(2）；（3）；（4）。解：(1）原式=2sin15°·sin(90°+15°）=2sin15°cos15°=sin30°=。(2)原式=（1—2sin215°）=cos30°=。(3)原式=.（4)原式=。方法歸納倍角公式中的角是相對的，對它應該有廣義上的理解,即(n∈N＊)，（n∈N*），（n∈N＊)。知識點二利用倍角公式給值求值例2已知x∈(，0），cosx=，則tan2x等于()A.B.C。D.思路分析：運用三角函數值在各個象限的符號及倍角公式求解。解法一:∵x∈(,0）,cosx=，∴sinx=.由倍角公式sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x—1=2×（)2-1=。得tan2x=。解法二：∵x∈(,0)，cosx=，∴sinx=.∴tanx=.∴tan2x=.答案：D方法歸納①解好選擇題的關鍵在于能否針對題目的特點,選擇合理而適當的解法，最忌對任何題目都按部就班地演算求解，小題大做,應力求做到“小題小做”“小題巧做".②像這種從題目的條件出發，通過正確地運算推理，得出結論，再與選擇肢對照確定選項的方法叫做定量計算法；像這樣通過對題干和選擇肢的關系進行觀察、分析，再運用所學知識，通過邏輯推理作出正確選擇的方法叫做定性分析法。例3已知sin(+α）sin(—α）=,α∈（，π）,求sin4α的值.思路分析:要求sin4α的值，根據倍角公式可知只需求出sin2α、cos2α的值或sinα、cosα的值即可.由于(+α)+（—α)=,可運用二倍角公式求出cos2α的值.解：由題設條件得sin(+α)sin(-α）=sin（+α）cos［-（—α)］=sin（+α）cos(+α）=sin（+2α)=cos2α=,∴cos2α=.∵α∈（，π)，∴2α∈（π，2π）。又∵cos2α=〉0,∴2α∈（，2π）.∴sin2α=。∴sin4α=2sin2α·cos2α=2×。例4已知cos（+x）=,，求的值.思路分析：由于結論中同時含有切、弦函數,所以可先對結論切化弦，化簡后不難發現，只需求出sin2x和tan(+x）的值即可，注意到2(+x）=+2x,這樣通過誘導公式就容易找到sin2x同cos(+x)的關系了.解:∵，∴。又∵cos(+x)=>0，∴＜+x＜2π。∴sin(+x)=，.∵sin2x=-cos2（+x)=1—2cos2（+x)=，∴原式=。例5在△ABC中,已知AB=AC=2BC(如圖3-1-10),求角A的正弦值。圖3—1—10思路分析:由于所給三角形是等腰三角形，所以可通過底角的三角函數值或頂角一半的三角函數值來求解。解：作AD⊥BC于點D,設∠BAD=θ,那么A=2θ.∵BD=BC=AB，∴sinθ=。∵0＜2θ＜π,∴0＜θ＜。于是cosθ=。故sinA=sin2θ=2sinθcosθ=。巧解提示：作AD⊥BC于點D,∵BD=BC=AB，又∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴cosB=cosC=.∵0＜B＜,∴sinB=.又∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C)=π—2B。∴sinA=sin（π-2B）=sin2B=2sinBcosB=.方法歸納在△ABC中，由于A+B+C=π，所以A=π-(B+C），。由誘導公式可知：sinA=sin（B+C)；cosA=—cos（B+C)；tanA=—tan（B+C)；。任意變換A、B、C的位置，以上關系式仍然成立。例6已知sin22α+sin2αcosα—cos2α=1，α∈（0，），求sinα、tanα的值.思路分析:已知是二倍角，所求的結論是單角；已知復雜，結論簡單，因此可從化簡已知入手，推出求證的結論。解：把倍角公式sin2α=2sinαcosα，cos2α=2cos2α—1代入已知得4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，即2cos2α（2sin2α+sinα-1）=0，即2cos2α(2sinα—1)（sinα+1）=0.∵α∈(0，），∴sinα+1≠0，cos2α≠0.∴2sinα—1=0，即sinα=。又∵α∈(0，）,∴α=。∴tanα=。知識點三利用倍角公式化簡三角函數式例7利用三角公式化簡sin50°（1+tan10°)。思路分析：本題給我們的感覺是無從下手，很難看出有什么公式可直接利用。從角的角度去分析，10°、50°除了它們的和60°是特殊角外，別無特點；從函數名稱的角度去分析，由于該式子有弦，有切，我們可從化切為弦入手去嘗試解決，轉化成弦函數。通分后出現asinθ+bcosθ的形式,由于3是一特殊角的三角函數值，可把它拼湊成兩角和(差)的正、余弦展開式的形式逆用公式求值。若把50°轉化成(60°-10°)從同一角入手,也可以求值。解：原式=sin（60°—10°)(1+tan10°)=(cos10°-sin10°）(1+tan10°)=cos10°+cos10°tan10°-sin10°-sin10°tan10°=cos10°+sin10°—sin10°·tan10°=(cos10°-）+sin10°=.巧解提示:原式=.方法歸納對于三角整式,基本思路是降次、消項和逆用公式;對三角分式，基本思路是分子與分母約分或逆用公式；對二次根式,要設法使被開方數升次，通過開方進行化簡.另外，還可用切割化弦、變量代換、角度歸一等方法。對于形如1±sinα、1±cosα的形式,我們可采取升冪換半角的形式，消去常數項1，通過提取公因式化簡有理式或通過開方化簡無理式.例8求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。解：由于cos60°=，所以原式=cos20°cos40°cos80°。方法歸納對于可化為cosαcos2αcos4α…cos2n-1α(n∈N且n>1）的三角函數式,由于它們的角是以2為公比的等比數列，可將分子、分母同乘以最小角的正弦，運用二倍角公式進行化簡.巧解提示:此外，本題也可構造一對偶式求解.設M=cos20°·cos40°·cos60°·cos80°，N=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°，則MN=sin40°·sin80°·sin120°·sin160°=sin20°·sin40°·sin60°·sin80°=N，∴M=，即cos20°·cos40°·cos60°·cos80°=.知識點四利用倍角公式證明三角恒等式例9求證：.證明：原式等價于1+sin4θ—cos4θ=(1+sin4θ+cos4θ)，即1+sin4θ-cos4θ=tan2θ（1+sin4θ+cos4θ）.①而①式右邊=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ)=（2cos22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin22θ=sin4θ+1—cos4θ=左邊.所以①式成立，原式得證.例10求證：.思路分析：由于分母是三角函數值平方的形式，通分后轉化成3cos240°—sin240°，按平方差公式展開得（cos40°+sin40°）(cos40°-sin40°）,恰好是兩個輔助角公式的形式，可運用三角函數的和差公式求值；此外,也可對它的分母降冪換倍角進行化簡.證明：左邊==右邊，所以原式成立.方法歸納對于三角函數式的化簡、求值和證明，可從角的角度、運算的角度或函數名稱的角度去考慮，其中通過通分，提取公因式、約分、合并同類項等運算的手法去化簡是非常必要的。例11已知3sin2α+2sin2β=1，3sin2α—2sin2β=0，求證：cos(α+2β)=0。思路分析:從求證的結論看，cos（α+2β)的展開式中含有cosα、cos2β、sinα、sin2β這樣的函數值.由已知條件結合倍角公式的特點，恰好能轉化出cos2β、sin2β這樣的函數值.證明:由3sin2α+2sin2β=1，得1—2sin2β=3sin2α,∴cos2β=3sin2α.又∵sin2β=sin2α，∴cos(α+2β）=cosαcos2β—sinαsin2β=cosα·3sin2α—sinα·sin2α=sinαsin2α—sinαsin2α=0.方法歸納首先觀察條件與結論的差異，從解決某一差異入手.確定從結論開始，通過變換將已知條件代入得出結論;或通過變換已知條件得出結論；或同時將條件與結論變形，直到找到它們間的聯系.如果上述方法都難奏效的話，可采用分析法；如果已知條件含有參數，可采用消去參數法;如果已知條件是連比的式子,可采用換元法，等等.問題?探究材料信息探究問題倍角和半角公式：sinα=，cosα=，tanα=，這組公式稱為“萬能公式”，那么“萬能公式”是怎樣來的？它真的是“萬能"的嗎？探究過程：萬能公式是一組用tan來表示sinα、cosα和tanα的關系式.這組公式可以利用二倍角公式推導,其中正切tanα=，可以由倍角公式直接獲得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos2可得：，.這組“萬能公式”為一類三角函數的求值提供了一座方便可行的橋梁,如要計算cosα或sin（α+β)的值，可以先設法求得tan或的值。由于公式中涉及角的正切，所以使用時要注意限制條件，即要保證式子有意義。探