學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2總體分布的估計在統(tǒng)計中,為了考察一個總體的情況，特別是總體很大或不便于獲得時，通常是從總體中抽取一個樣本，用樣本的有關情況去估計總體的相應情況.這種估計大體分為兩類,一類是用樣本頻率分布估計總體分布，另一類是用樣本的某種數(shù)字特征（例如平均數(shù)、方差等)去估計總體的相應數(shù)字特征.下面我們先通過具體案例來介紹用樣本頻率分布來估計總體分布。2．1頻率分布表案例探究我國是世界上嚴重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出。某市政府為了節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準a,用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費.如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標準a定為多少比較合理呢？你認為要較合理地確定出這個標準，需要做哪些工作?很明顯，如果標準太高，會影響居民的日常生活;如果標準太低，則不利于節(jié)水。為了確定一個較為合理的標準a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等.由于城市住戶較多,通常采用抽樣調(diào)查的方式，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況，假設通過抽樣方式我們獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t):3。12。52.02.01。51。01.61。81.91.63.42。62.22.21。51.20.20。40.30。43。22.72。32。11.61。23。71.50。53.83.32。82。32.21。71。33.61.70。64.13.22.92.42.31.81。43。51.90。84。33.02。92。42。41.91。31。41.80。72.02.52.82。32.31。81。31。31.60。92。32.62。72。42.11。71.41.21。50。52。42。52。62.32。11。61.01.01.70.82.42.82.52.22。01。51。01。21.80。62。2上面這些數(shù)據(jù)能告訴我們什么呢？分析：該數(shù)據(jù)中最小值是0。2t，最大值是4.3t，它們相差4。1，其他在0.2t～4.3t之間.可取區(qū)間［0，4。5］，并將此區(qū)間分成9個小區(qū)間，每個區(qū)間長度為0.5，再統(tǒng)計每個區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)并計算相應的頻率。我們將整個取值區(qū)間的長度稱為全距，分成的區(qū)間的長度稱為組距。解：（1）在全部數(shù)據(jù)中找出最小值0。2和最大值4。3,則兩者之差為4。1(稱為極差）,確定全距為4。5，決定以組距0.5將區(qū)間[0，4。5］分成9組（為了方便組距應力求取整)；組數(shù)=極差/組距=4.1/0。5=8.2,所以組數(shù)取9（取進位）。（2）從第一組［0,0.5)開始,分別統(tǒng)計各組中的頻數(shù)，再計算各組的頻率，并將結果填入下表：分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率［0，0.5）440。04［0。5，1）1280。08[1，1．5）27150。15[1．5，2）49220.22[2，2．5）74250。25[2．5，3）88140。14［3，3．5）9460.06［3．5,4）9840.04[4,4。5]10020。02合計1001結論：從上面所作頻率分布表中，我們可以看到月均用水量在區(qū)間［2,2．5)內(nèi)的居民最多，在[1．5，2）內(nèi)的次之，大部分居民的月均用水量都在［1，3）之間.且可以計算出大約有88％的居民月均用水量在3噸以下，因此，居民月均用水量標準定為3噸是市政府可以考慮的一個標準。注：在畫頻率分布表時，除最右邊的區(qū)間是閉區(qū)間外,其他均為左閉右開區(qū)間，稱區(qū)間的左端點為下組限,右端點為上組限。此處采用下組限在內(nèi)，上組限不在內(nèi)的分組方法。自學導引1．什么叫做頻率分布表?答案：我們把反映總體頻率分布的表格稱為頻率分布表。2．給定一組數(shù)據(jù)如何作出它們的頻率分布表?答案：一般地，作頻率分布表的步驟如下：（1）求全距，決定組數(shù)和組距,組距=全距/組數(shù)；（2）分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；（3）登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.3．什么叫做全距和組距？組距等于什么？答案：我們將整個取值區(qū)間的長度稱為全距，所分成的區(qū)間的長度稱為組距；組距=全距/組數(shù)。4.在制作頻率分布表時，分的組數(shù)過多或過少各有何利弊?答案：分組過多或過少都不好.分組過多給制作頻率分布表帶來困難.過少雖減少了作表步驟，但不能很好地反映總體。一般樣本容量越大,所分組數(shù)應越多。當樣本容量不超過100時，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5至12組。5.一個容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別是30和0.25,則n=120。6。將100個數(shù)據(jù)分成8個組,其中有一組是9個數(shù)據(jù)，那么該組的頻數(shù)是9,頻率是0。09（頻率=頻數(shù)/樣本容量).疑難剖析【例1】為了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，當?shù)亟逃龣C構抽查了本地區(qū)內(nèi)100名年齡為17。5～18歲的男生的體重情況,結果如下（單位:kg）:56.569.56561。564。566。56464.57658.57273.556677057。565。56871756268。562。56659.563.564。567.57368557266.574636055。57064.5586470。55762.5656971。573625876716663。55659.563.5657074。568.56455。572。566.5687657。56071。55769。57464。55961．5676863。5585965.562.569。57264。575。568.5646265.558。567。570。5656666。5706359.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布表。思路分析：此題容量較大，先要對所給數(shù)據(jù)進行分析，找到最大值與最小值以確定全距，再分組作出頻率分布表.解:按照下列步驟獲得樣本的頻率分布.(1）求最大值與最小值的差（即全距).在上述數(shù)據(jù)中,最大值是76,最小值是55,它們的差(又稱為極差)是76-55=21,所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動范圍有多大。(2)確定組距與組數(shù).如果將組距定為2,那么由21÷2=10。5，組數(shù)為11，這個組數(shù)是合適的.于是組距為2，組數(shù)為11．(3）決定分點.根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點，第1小組的起點可取為54。5，第1小組的終點可取為56。5。為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點,又是終點從而造成重復計算,我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣,所得到的分組是［54.5，56.5)，［56。5，58。5)，…，［74。5,76.5）。（4）列頻率分布表分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率［54.5，56.5）550。05［56。5，58.5)1270。07[58。5，60。5）2190.09［60。5，62．5)2650。05［62．5,64.5）39130.13［64。5，66。5）55160。16[66.5,68.5）67120.12[68.5，70.5）78110.11［70。5,72．5）8790。09［72．5，74.5)9360。06[74.5,76.5）10070。07合計1001.00【例2】為檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為30的樣本，檢測結果為一級品5件,二級品8件，三級品13件，次品4件.試列出樣本的頻率分布表。思路分析：由于總體中的個體取不同數(shù)值很少，只有四種：一級品、二級品、三級品和次品,可分別記為1，2,3和4.所以所取樣本的不同數(shù)值及其相應的頻率可用頻率分布表表示，并根據(jù)頻率分布表估計總體分布。解：把一級品、二級品、三級品和次品,分別記為1，2，3和4，由題意列樣本的頻率分布表為：產(chǎn)品頻數(shù)頻率一級品（記為1）50.17二級品（記為2）80.27三級品（記為3）130.43次品（記為4）40.13【例3】有一容量為50的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：［10,15）4，［15,20)5，［20，25)10，［25,30)11,[30,35）9,[35，40）8,［40，45）3請列出所給樣本的頻率分布表。思路分析：本題考查樣本的頻率分布表的畫法以及用樣本頻率分布估計總體分布。由于是連續(xù)型總體，所以對樣本分成7組,組距為5,從而可用頻率分布表表示樣本的頻率分布，并估計總體分布.解:樣本的頻率分布表為：分組頻數(shù)頻率［10，15）40.08［15，20)50.10［20,25)100.20［25，30）110.22［30，35)90.18［35,40)80。16［40，45)30。06拓展遷移【拓展點】下面列出43位美國歷屆總統(tǒng)（從1789年的華盛頓到2001年的小布什）的就任年齡:57615757585761546851496450486552564654495147555554425156555154516062435556615269644654(1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)以5為組距畫出相應的頻率分布表.(2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)以4為組距畫出相應