2025年浙江省嘉興市重點中學高三下學期聯合數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設正項等差數列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．362．在中，是的中點，，點在上且滿足，則等于（）A． B． C． D．3．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．4．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．5．已知中內角所對應的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．6．為了進一步提升駕駛人交通安全文明意識，駕考新規要求駕校學員必須到街道路口執勤站崗，協助交警勸導交通.現有甲、乙等5名駕校學員按要求分配到三個不同的路口站崗，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．已知函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，在平行四邊形中，為對角線的交點，點為平行四邊形外一點，且，，則（）A． B．C． D．9．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．110．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設、為兩個同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．12．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A．2 B．3 C．3.5 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數為________________．14．在平面直角坐標系中，雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為________.15．已知函數函數，則不等式的解集為____．16．四邊形中，，，，，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數記錄結果中隨機抽取10天的數據，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務費情況如下：甲公司規定每件0.65元，乙公司規定每天350件以內(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據題中數據寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數的平均數和眾數；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務費記為(單位：元)，求的分布列和數學期望；（3）根據題中數據估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務費.18．（12分）已知函數，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.19．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若，設，證明：，，使.20．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.21．（12分）已知函數．（1）若，求的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求的取值范圍．22．（10分）已知，點分別為橢圓的左、右頂點，直線交于另一點為等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于兩點，總使得為銳角，求直線斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

方法一：由題意得，根據等差數列的性質，得成等差數列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數列的公差為d，由等差數列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．2．B【解析】

由M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足可得：P是三角形ABC的重心，根據重心的性質，即可求解．【詳解】解：∵M是BC的中點，知AM是BC邊上的中線，又由點P在AM上且滿足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM＝1∴∴故選B．判斷P點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點．②性質：或取得最小值③坐標法：P點坐標是三個頂點坐標的平均數．3．A【解析】

根據函數的奇偶性和單調性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【詳解】因為，所以是偶函數，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A本小題主要考查函數圖像的識別，考查利用導數研究函數的單調區間和極值，屬于中檔題.4．B【解析】由題意可得c=，設右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．5．A【解析】

由余弦定理可得，結合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.6．C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體，當作一個元素，再將這四個元素分成3個部分，每一個部分至少一個，再將這3部分分配到3個不同的路口，根據分步計數原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體，個人變成了4個元素，再把這4個元素分成3部分，每部分至少有1個人，共有種方法，再把這3部分分到3個不同的路口，有種方法，由分步計數原理，共有種方案。故選：C.本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法，插空法，先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題，屬于中檔題.7．A【解析】

首先求得平移后的函數，再根據求的最小值.【詳解】根據題意，的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數，所以，所以．又，所以的最小值為．故選：A本題考查三角函數的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.8．D【解析】

連接，根據題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案【詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎題9．C【解析】

根據雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.10．A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個正放的正四面體，一個倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.11．A【解析】

根據函數解析式，可知的定義域為，通過定義法判斷函數的奇偶性，得出，則為偶函數，可排除選項，觀察選項的圖象，可知代入，解得，排除選項，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以的定義域為，則，∴為偶函數，圖象關于軸對稱，排除選項，且當時，，排除選項，所以正確.故選：A.本題考查由函數解析式識別函數圖象，利用函數的奇偶性和特殊值法進行排除.12．C【解析】

根據表中數據，即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知，種子發芽天數的中位數為，故選：C.本題考查中位數的計算，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

在二項展開式的通項中令的指數為，求出參數值，然后代入通項可得出結果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數為.故答案為：.本題考查二項展開式中指定項系數的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，屬于基礎題.14．【解析】

求出雙曲線的右準線與漸近線的交點坐標，并將該交點代入拋物線的方程，即可求出實數的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為，則雙曲線的右準線方程為，漸近線方程為，所以，該雙曲線右準線與漸近線的交點為.由題意得，解得.故答案為：.本題考查利用拋物線上的點求參數，涉及到雙曲線的準線與漸近線方程的應用，考查計算能力，屬于中等題.15．【解析】，，所以，所以的解集為。點睛：本題考查絕對值不等式。本題先對絕對值函數進行分段處理，再得到的解析式，求得的分段函數解析式，再解不等式即可。絕對值函數一般都去絕對值轉化為分段函數處理。16．【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）平均數為360，眾數為330；（2）見詳解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）【解析】

（1）將圖中甲公司員工A的所有數據相加，再除以總的天數10，即可求出甲公司員工A投遞快遞件數的平均數．從中發現330出現的次數最多，故為眾數；（2）由題意能求出的可能取值為340，360，370，420，440，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和數學期望；（3）利用（1）（2）的結果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務費．【詳解】解：（1）由題意知甲公司員工在這10天投遞的快遞件數的平均數為.眾數為330.（2）設乙公司員工1天的投遞件數為隨機變量，則當時，當時，當時，當時，當時，的分布列為204219228273291（元）；（3）由（1）估計甲公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元)由（2）估計乙公司被抽取員工在該月所得的勞務費為(元).本題考查頻率分布表的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題.18．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，代入，求出在處的導數值及函數值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當時，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當時，恒成立，此時函數在上單調遞減，∴函數無極值；②當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴；③當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴，綜上，函數的極大值恒大于0.本小題主要考查利用導數求切線方程，考查利用導數研究函數的極值，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.19．（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問題轉化為，利用導數找到與即可證明.【詳解】（1）.①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數.②當時，，.當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數.③當時，，則在上是減函數.④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數.（2）由題意，得.由（1）知，當，時，，.令，，故在上是減函數，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數，且，，所以存在使，且在上是減函數，在上是增函數，，所以，所以，命題成立.本題考查利用導數研究函數的單調性以及證明不等式的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道較難的題.20．（1）；（2）【解析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利