第1頁/共1頁高三數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】化簡已知復(fù)數(shù)，由純虛數(shù)的定義可得a值.【詳解】由，因?yàn)榧兲摂?shù)，所以,解得故選:B2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】先解不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的概念進(jìn)行判斷即可.【詳解】由.由不能推出，而可以推出.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C3.若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為1，則的虛軸長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)點(diǎn)到漸近線的距離列出關(guān)于的方程，解出后計(jì)算虛軸長.【詳解】對于雙曲線，其漸近線方程為，即.點(diǎn)到漸近線（取這條漸近線計(jì)算，取另一條結(jié)果相同）的距離，已知距離，則.即，兩邊同時(shí)平方可得，解得.把代入可得虛軸長為.故選：B.4.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且，，則（）A.5 B.4 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，于是，結(jié)合，于是.故選：A5.廢棄礦山治理事關(guān)我國的生態(tài)環(huán)境保護(hù)，甲、乙兩種植物可以在一定程度上加快污染地生態(tài)的恢復(fù)．若在某一片污染地上甲、乙至少有一種可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，則在該片污染地上甲、乙都存活的概率為（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)容斥原理的概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)甲存活為事件，乙存活為事件，則，，則甲乙至少有一種存活的概率為，則所以甲、乙都存活的概率為.故選：D6.已知某圓臺軸截面的周長為10、面積為，圓臺的高為，則該圓臺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若圓臺上下底面半徑分別為且，根據(jù)已知列方程求得，再應(yīng)用圓臺的表面積的求法求結(jié)果.【詳解】若圓臺上下底面半徑分別為且，則圓臺軸截面腰長為，所以，，即，所以，可得，故，綜上，圓臺的表面積為.故選：C7.已知為圓的直徑且，為圓上的動(dòng)點(diǎn)且與，均不重合，等邊三角形與共面且點(diǎn)，位于的異側(cè)，則的最大值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】先把轉(zhuǎn)化成：，再求的最大值即可.【詳解】如圖：因?yàn)椋?取中點(diǎn)，則，因?yàn)椋栽O(shè)，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，為最大值.此時(shí)為最大值.故選：D8.已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若存在正整數(shù)，使得，則的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)，得到，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合條件，得到，再利用，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題有，整理得到，又，所以，整理得到，將代入得到，，又，則或或，解得或或（舍），故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)變化時(shí)，下列結(jié)論可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ABC【解析】【分析】通過選取不同的值，確定相應(yīng)的區(qū)間，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)來找出每個(gè)區(qū)間上的最大值，進(jìn)而分析選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)取時(shí)，考慮函數(shù).對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，時(shí)取得最大值，最大值.所以選項(xiàng)A可能成立.對于選項(xiàng)B，當(dāng)取時(shí)，考慮函數(shù).對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，時(shí)取得最大值，最大值.所以選項(xiàng)B可能成立.對于選項(xiàng)C，當(dāng)取時(shí)，對于區(qū)間，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，和時(shí)取得最大值，所以該區(qū)間上的最大值.對于區(qū)間，同樣根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)，時(shí)取得最大值，最大值.所以選項(xiàng)C可能成立.對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，區(qū)間和至少含有半個(gè)周期，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的存在使，即.故D不成立.故選：ABC.10.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為的中點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.三棱錐的體積為 D.與所成角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定方法判斷A的真假；判斷直線與的位置關(guān)系，判斷B的真假；求三棱錐的體積判斷的真假；構(gòu)造異面直線所成的角并求其余弦，判斷的真假.【詳解】對選項(xiàng)A：因?yàn)椋矫妫矫妫云矫妫蔄正確；對B：如圖：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，平面.所以平面.平面，所以.在直角中：，，所以.又，所以，又為中點(diǎn)，所以與不垂直.所以平面是錯(cuò)誤的，故B錯(cuò)誤；對C：因?yàn)椋裕蔆正確；對D：取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)椋约礊楫惷嬷本€與所成的角.在中，，，所以.在中，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知曲線和相切，且曲線和拋物線圍成封閉曲線，過的焦點(diǎn)的動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，過線段的中點(diǎn)作垂直于的準(zhǔn)線的直線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.的最大值為C.不大于點(diǎn)到軸的距離的4倍 D.若的斜率為，則【答案】ACD【解析】【分析】由解析式求得圓心，由兩圓相切求得半徑，判斷A選項(xiàng)；取點(diǎn)在上，且三點(diǎn)共線，求此時(shí)，判斷B選項(xiàng)；分類討論點(diǎn)在，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由作差法比較與點(diǎn)橫坐標(biāo)的4倍的大小，判斷C選項(xiàng)；由斜率寫出直線方程，聯(lián)立方程組后化簡為一元二次方程，由韋達(dá)定理得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得到中點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)坐標(biāo)，寫出向量，由向量的數(shù)量積來判斷直線的位置關(guān)系判斷D選項(xiàng).【詳解】如圖：，，∵圓與圓相切，∴，即，∴，A選項(xiàng)正確；當(dāng)直線與曲線交于圓上時(shí)，三點(diǎn)共線時(shí)最大，此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，設(shè)，，即，；當(dāng)點(diǎn)曲線上時(shí)，設(shè)，，；由對稱性可知當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，結(jié)論也成立，C選項(xiàng)正確.若的斜率為時(shí)，，顯然此時(shí)直線與曲線交于，則，整理得，設(shè)，，則，，即，則，所以，∴，，，∴，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題時(shí)解析幾何的綜合題目，難度較大.在解決這類題目的時(shí)候一般采用數(shù)形結(jié)合，通過圖形觀察可以找到特殊點(diǎn)進(jìn)行排除.在解析幾何中證明直線垂直，可以利用向量的數(shù)量積為0來證明.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某蔬菜種植基地最近五年的年投資成本（萬元）和年利潤（萬元）的統(tǒng)計(jì)表如下：1011121314111219若關(guān)于的線性回歸方程為，則的平均數(shù)______．【答案】##【解析】【分析】因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，將代入即可.【詳解】因?yàn)榫€性回歸方程過樣本中心點(diǎn),將代入得故答案為：13.已知函數(shù)的圖像與直線相切，且與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則______．【答案】6【解析】【分析】寫出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意分析得且存在唯一零點(diǎn)，且函數(shù)單調(diào)遞增，由判別式求得的關(guān)系，代回求得對應(yīng)橫坐標(biāo)，由圖像與直線相切得到，求得的值，從而得到結(jié)果.【詳解】，由題意知函數(shù)單調(diào)遞增，且且存在唯一零點(diǎn)，∴，即，∴，，則，則，∴，∴.故答案為：6.14.記表示三個(gè)數(shù)中的最大數(shù)．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先由值域?yàn)榈玫讲坏仁剑倮貌坏仁降男再|(zhì)比較三者大小，再借助分?jǐn)?shù)的性質(zhì)及不等式放縮求解最值可得.【詳解】若函數(shù)值域?yàn)椋洠瑒t，故，由，得，且，所以，又，所以，故.則由且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于利用不等式及分?jǐn)?shù)的性質(zhì)求解最小值.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列前項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)列前項(xiàng)和與的關(guān)系求的通項(xiàng)公式.（2）先求出的表達(dá)式，再根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)：已知，那么，所以.當(dāng)時(shí)：，先展開式子.則，所以.當(dāng)時(shí)，，上式也成立.所以.【小問2詳解】已知，把代入可得：.可以發(fā)現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)相加為，除了第一項(xiàng)中的和最后一項(xiàng)中的.所以.16.如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，先證四邊形為平行四邊形，再證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得，最后應(yīng)用線面平行的判定證明結(jié)論；（2）構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則．因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕恚裕运倪呅螢槠叫兴倪呅危剩郑裕制矫妫矫妫云矫妫拘?詳解】如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，則，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由函數(shù)的解析式求得其導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得遞減區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)求得遞增區(qū)間；（2）將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在已知條件下，所以不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，由解析式可知遞增，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得，從而得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間并得到函數(shù)最小值，證明函數(shù)最小值大于等于0即可得證.【小問1詳解】因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】要證明，即證明，因?yàn)椋遥裕手恍枳C明，即．設(shè)，則．易知在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的，使得，即，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，故原命題成立．18.已知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為4，，為與軸的交點(diǎn)，且點(diǎn)在的上方．（1）求的方程；（2）若過的直線與交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)），作，為垂足，直線，的斜率分別為，證明：；（3）若點(diǎn)在上，且，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）整理曲線方程，由題意知長軸為4，求得，從而求出曲線方程；（2）寫出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，得到斜率，由求，然后得到，由在曲線上求得即可得結(jié)果；（3）設(shè)，，寫出直線的方程，聯(lián)立方程組后整理成一元二次方程，由韋達(dá)定理得到橫坐標(biāo)的關(guān)系.因?yàn)椋越⒎匠探獬龅闹?代回直線方程知道直線過定點(diǎn)，結(jié)合交點(diǎn)弦長公式求得，由基本不等式求得最小值.【小問1詳解】由題可知，該方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，任意兩點(diǎn)間的最大距離為長軸長，所以，解得，故的方程為．【小問2詳解】由（1）可知，．設(shè)，則．因?yàn)椋裕裕郑剩矗拘?詳解】由題可知直線的斜率存在．設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立方程得消去可得，則，（*）．因?yàn)椋裕矗瑢ⅲ?）式代入，可得，即，解得或（舍去），所以的方程為，易知過定點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離為，所以，令，則，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值2，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題是圓錐曲線的綜合題目.在解析幾何中已知線線垂直，可以利用斜率乘積為1來建立等式求得參數(shù)的值.直線與圓錐曲線產(chǎn)生的交點(diǎn)三角形問題，由直線方程和曲線方程聯(lián)立整理得到一元二次方程，由韋達(dá)定理結(jié)合交點(diǎn)弦長公式得到弦長，然后求得三角形的高即可得到三角形面積.19.甲、乙兩個(gè)不透明的袋中各有個(gè)材質(zhì)、大小相同的小球，甲袋中的小球分別編號為，乙袋中的小球分別編號為．從甲袋中任取兩個(gè)小球，編號記為，從乙袋中任取兩個(gè)小球，編號記為．（1）若，設(shè)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)，，事件“”發(fā)生的概率記為．（ⅰ）用含的組合數(shù)表示；（ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．附：．【答案】（1）分布列見解析，2（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）先確定的所有可能取值，然后分別計(jì)算每個(gè)取值的概率，進(jìn)而得到分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）（i）要根據(jù)的條件，