第四節直線、平面垂直的判定與性質

考試要求：1.能以立體幾何中的定義、基本事實和定理為出發點，認識和理解

空間中線面垂直的有關性質和判定定理.

2.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形中垂直關系的

簡單命題.

、必備知識?回頑教材重“四基7

一、教材概念-結論-性質重現

1.直線與平面垂直

(1)定義：一般地，如果直線1與平面a內的任意一條直線都垂直,我們就說直線

/與平面a互相垂直，記作/_La.直線/叫做平面a的垂線,平面a叫做直線/的

垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.

微提醒■■■

“任意一條直線”與“所有直線”是同義的，但與“無數條直線”不同，定義的

實質是直線與平面內的所有直線都垂直.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線與一個a,bua)

判定平面內的兩條相交直1

IA.u

定理線垂直，那么該直線7lib)

與此平面垂直

b

性質垂直于同一個平面的a

L7ala)...

定理兩條直線平行b1a)

微提醒■■■

線面垂直的判定定理中平面內的兩條直線必須是相交的.

2.平面與平面垂直

(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩

個平面互相垂直.

（2）判定定理與性質定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個平面過另

判定一個平面的垂線,11a)

/u0卜卬

定理那么這兩個平面垂4/

直

兩個平面垂百■,如

果一個平面內有一a1夕\

性質直線垂直于這兩個

an夕=Q(

定理平面的交線,那么4力/11a)

這條直線與另一個_La

平面垂直

微提醒■■■

面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據.我們要作一個平面的一條垂

線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可.

3.線面角與二面角

（1）直線與平面所成的角（線面角）

①平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線利這個平面所成

的角.

②特例：若一條直線垂直于平面，它們所成的角是90。.

若一條直線和平面平行,或在平面內，它們所成的角是0。.

③直線與平面所成的角。的取值范圍是：0°^^90°.

⑵二面角

①二面角：從?條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內

分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角.

③二面角的平面角的范圍：（rwe<i8o。.

4.常用結論

（1）若一條直線垂宜于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直十一個平面，則另一條也垂直「這個平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直.

(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

二、基本技能-思想-活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“，錯的畫“X”.

(1)若直線/與平面a內的無數條直線都垂直，貝(X)

(2)若直線a_L平面a,直線/?〃a,則直線。與〃垂直.(J)

(3)若直線〃_LQ,bA.a,Ma//b.(V)

(4)若a_L.,at。,則a〃a.(X)

(5)a_La,auga】。.(V)

2.設a,夕是兩個不同的平面，/,，〃是兩條不同的直線，且/ua,〃?u夕，則下列

說法正確的是()

A.若LLQ,則a_LQB.若a_1_夕，則

C.若/〃夕，貝Ua〃6D.若a〃分則/〃加

A解析：因為LLQ,/ca,所以a_L以面面垂直的判定定理).

3.(多選題)如圖，圓柱的軸截面是四邊形人8CZ),七是底面圓周上異于A,8的

一點，則下列結論中正確的是()

A.AE.LCE

B.BELDE

C.OE_L平面CEB

D.平面ADE_L平面8c石

ABD解析：由48是底面圓的直徑，得NAE8=90。，KpAELEB.因為圓柱的

軸截面是四邊形A8CDBCJL底面AE8,所以8CJ_A￡又片例?8。=8,BC,BEu

平面BCE,

所以AE_L平面所以4E_LCE,故A正確.

同理可得，BEVDE,故B正確.

若OE_L平面CEB,則QE_LBC.因為BC//AD,所以DE1AD.在AADE中AD

1AE,所以。EJ_A。不成立，所以DELL平面CE3不成立，故C錯誤.

由A的證明可知AE_L平面BCE.因為4Eu平面A。區所以平面BCEL平面ADE,

故D正確.故選ABD.

4.“直線。與平面。內的無數條直線都垂直”是“直線。與平面a垂直”的

條件，

必要不充分解析：根據直線與平面垂直的定義知“直淺。與平面。內的無數條

直線都垂直”不能推出“直線。與平面。垂直”，反之則可以，所以應是必要不

充分條件.

5.如圖，已知以_L平面ABCBC1AC,則圖中直角三用形的個數為.

4解析：因為%_L平面A8C,

所以以_L48,PA±ACtPA±BC,

則△雨8,△%C為直角三角形.

由BC_LAC,^LACC\PA=A,

所以BC_L平面以C,從而BCLPC.

因此△A8C,△P8C也是直南三角形.

故圖中共有4個直角三角腦.

—、關鍵能力?研析考點強“四翼”/

考點1垂直關系的基本問題——基礎性

「多維訓練」

1.已知平面a和直線a,b,若a〃a,則*_L〃”是"b_La”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

B解析：根據空間中直線與平面之間的位置關系，由bla,可得b_L〃.

反之不成立，可能b與a相交或平行.所以是“〃_La”的必要不充分條

件.

2.（多選題）已知a,“表示兩條不同的直線，”，夕表示兩個不同的平面，下列說

法正確的是（）

A.若aJ_a,b邛,a//p,JlPJa//b

B,若a_La,b【p,a_LZ?,則a_L/?

C.若a_La,a_Lb,a//p,WJb//p

D.若aC0=a,a//b,則8〃a或b〃夕

ABD解析：對于A,若〃_1%a〃從WaLp,"blp,所以a〃b,故A正

確；

對于B,若。_La,a_L〃，則hua或8〃a,所以存在直線"?ua,使得/〃〃〃，又

b邛,所以加_1_4，所以或LK故B正確；

對于C,若a_La,alb,則8ua或/?〃〃，又a〃從所以/?u4或〃〃從故C錯

誤；

對于D,若an/S=a,a//b,則人〃a或人〃人故D正確.

3.在三棱錐S-4BC中，/S8A=NSC4=90。，△4AC是斜邊A8=a的等腰直角

三角形，則以下結論：s

①異面直線SB與AC所成的角為90°；V\

②直線SB_L平面ABC：

③平面SBCJ_平面SAG

④點C到平面SAB的距離是，.

其中正確的是.（填序號）

①②③④解析：由題意知4C_L平面SBC,故4C_LS8,故①正確；再根據SB

1AC,SBLAB,可得SBJ_平面ABC,平面SBCJL平面SAC,故②③正確；取A8

的中點E,連接CE（圖略），可證得CELL平面”8,故CE的長度即為點C到平

面SAB的距離,為京，故④正確.

解聯通法

在判斷垂直關系問題時，需明確各類垂直關系及其內在聯系，可借助幾何圖形來

判斷，也可列舉反例進行判斷，同時要注意判斷滿足定理的條件.

考點2空間角及其應用——應用性

「典例引領」

例U*（2022?全國甲卷）在長方體ABCZXAiSGDi中，已知8。與平面A8CO和

平面所成的角均為30。，貝"）

A.AB=2AD

B.43與平面ASG。所成的角為30。

C.AC=CB\

D.辦。與平面所成的角為45°

D解析：如圖所示，連接BD,不妨令A4i=1,

在長方體ABCD-AIBICQI中，4Q_L平面A4|B|8,85_L平面ABC。，

所以N8Q8和NOBA分別為8Q與平面A8CO和平面AAIBIB所成的角，

即/BiDB=/。61A=30°,

所以在中，BB\=AA\=\,BD=a,B\D=2,

在RSAO8中，DBi=2,AD=\,AB\=V3,所以AB=應，CB\=AC=V3,

故選項A,C錯誤，

由圖易知，AB在平面ABiCiD上的射影在AB\上，所以N3A8為AB與平面

A8C1D所成的角，在RtAABBi中，sinZ/?i/4?=—=^=—,故選項B錯誤，

AB】V33

如圖，連接4C,則力〃在平面441cle上的射影為為C,

所以NOBiC為B】D與平面881GC所成的角，

在RtZkOBC中，BiC=a=DC,所以NO8C=45。，所以選項D正確.

解跟通法

求線面角、二面角的常用方法

(1)線面角的求法：找出斜淺在平面上的射影，關鍵是作垂線、找垂足，把線而角

轉化到一個三角形中求解.

(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量.平面角的作法常見的

有定義法和垂而法.注意利用等腰三角形和等邊三角形的性質.

「多維訓練」

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側面都是側

棱長為右的等腰三角形，則二面角V-A8-C的大小為.

60°解析：如圖，作VO_L平面ABCO,垂足為O,W'jVOA.AB.取AB的中點

H,連接VH,OH，則VHLAB.

因為VHC\VO=Vf所以4B_L平面YH0,所以A8_L。"，所以NV〃。為二面角

V-A8-C的平面角.易求丫序=%2-4“2=4,所以四=2.而OH=T8C=1,所以

NV”O=60°.故二面角V-AB-C的大小是60。.

考點3線面、面面垂直的判定與性質——琮合性

「典例引領」

考向1線面垂直的判定與性質

例?，如圖，菱形A8C。的對角線AC與8。交于點O,AB=5,AC=6,點E,

產分別在AD，CD上，AE=CF=3,EF交BD于點H.將4DEF沿EF折到AD'EF

4

的位置，求證：平面ABCD

證明：由已知得。=。。.又由/得"="，故〃因此

AC_L3Q,4AE=CAuCDACE￡

EFA.HD,從而EFLD'H.

由48=5,AC=6得D0=B0=、AB2一心二幺

由族〃AC得需=%=[,所以0〃=1,D'H=DH=3.

于是DW2+OH2=324-12=10=^02,

故D'HVOH.

又DH工EF,而OHC\EF=H,且OH,EFu平面ABCD,所以。7/_1_平面ABCD.

解題通法

證明線面垂直的4種方法

(1)線面垂直的判定定理：！J_a,/±Z?,aua,bua,aC\b=P=>ll.a.

(2)面面垂直的性質定理：3,aC或=1,aua,。_1_/=〃_1_從

(3)性質：①a"b,Z?_La=a_La;a_L"=a_La.

(4)?±y,pLy,/=/_!_/(客觀題可用)

考向了面面垂直的判定與性質

例?*如圖，在四棱$住P-A3C。中，AB.LAC,AB±PA,AB//CD,AB=2CD,E,

F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點.

求證：⑴CE〃平面B4O；

(2)平面EfGJ_平面EMN.

證明：(1)(方法一)取應的中點”，連接EH,DH.

E

M,

//糕/I'F\R

DC

因為E為P8的中點，所以EH〃AB且EH=：AB.

又C力〃48且C力=夕\8,所以、EH〃CD且EH=CD.

所以四邊形DC￡〃是平行四邊形，所以CE〃。//.

又。，u平面BAD,CEQ平面外￡>,所以CE〃平面RW.

(方法二)連接CE

因為尸為48的中點，所以4b=/艮又。￡)=/48,所以4尸=。。.

又A5〃C。，所以四邊形AR7O為平行四邊形，

因此C/〃A。.又CRJ平面小Q,AQu平面BW,

所以CF〃平面PAD.

因為區”分別為P8,AE的中點，所以E/〃辦.

又ERZ平面以。，%u平面以力，所以EF〃平面以O.

因為CFClEF=F,故平面CEF"平面PAD.

又CEu平面所以CE〃平面小D.

(2)因為反尸分別為P8,AB的中點，所以EF//PA.

又因為A8_L%,所以E/LLAB,同理可證A8_L/G.

又因為/G=￡EF,FGu平面EFG,所以A8_L平面E/G.

又因為M,N分別為PO,PC的中點，

所以MN〃C。，又48〃CO,所以MN〃A8,所以MN_L平面ERS.

又因為MNu平面EMN,所以平面EFG_L平面EMM

解題通法

1.證明平面和平面垂直的方法:

(1)面面垂直的定義.

(2)面面垂直的判定定理.

2.已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂

線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.

「多維訓練」

如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,AD=AB,N8CO=45。，NR4O=90。.將

/\ABD沿對角線BD折起，記折起后點A的位置為點P,且使平面平面

BCD.

求證：(l)CDL平面P8。：

(2)平面P8CJ_平面PCD.

證明：(1)因為AO=AB,/氏4。=90°,所以//18L>=/AO8=45°.

又因為AO〃8C,所以NOBC=45°.

又NOC3=45。，所以NBDC=90°,即BD上CD.

因為平面平面BCD,平面PBDC平面BCD=BD,所以CDL平面PBD.

(2)由CO_L平面PBD,得CD±BP.

義BP1.PD,PDnCD=D,所以8PJ_平面PCD.

又BPu平面PBC,所以平面尸8。3_平面PCD.

課時質量評價(三十五)

A組全考點鞏固練

1.已知平面圓用滿足a_Lp,aCg,過平面Q和￡外的一點P作直線

則“加〃a”是“，〃"L/'的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

C解析：當〃?〃a時，過"?作平面想。=〃，則〃?〃〃，結合夕，得〃_1_人從

而〃z_L尸；當"?_L4時，在a內作直線〃_L/,結合a_LA得"_1_夕，所以"7〃”.又

mQa,〃ua,所以m//a.故選C.

2.如圖，以垂直于矩形48C。所在的平面，則圖中與平面PCO垂直的平面是

()

p

RC

A.平面ABC。B.平面P8c

C.平面PADD.平面PAB

C解析：因為布J_平面ABC。，所以辦_LCD.因為四邊形A8CD為矩形，所

以CO_LAO,所以CO_L平面附。，所以平面PCO_L平面布￡).

3.已知AB是圓柱上底面的一條直徑，。是上底面圓周.上異于A,B的一點，D

為下底面圓周上一點，且AO_L圓柱的底面，則必有()

A.平面A8C_L平面BCD

B.平面BCO_L平面ACO

C.平面A8O_L平面ACO

D.平面平面48D

B解析：因為A8是圓柱上底面的一條直徑，所以AC_L8C.又八。_1.圓柱的底

面，所以AQ_L8C,因為ACrMZ)=A,所以8cL平面ACO.又BCu平面BCD,

所以平面RCOJ_平面ACD.

4.已知三楂柱A8C-A山iG的側棱與底面垂直，體積為；，底面是邊長為V5的正

三角形.若P為底面45a的中心，則山與平面A8C所成角的大小為()

A.—B.-

123

C.ED.E

46

B解析：如圖，取正三角形ABC的中心O,連接OP,則N%O是辦與平面

ABC所成的角.

因為底面邊長為百，

所以AD=V5x立=之，AO=-AD=-x-=］.

22,332

三棱柱的體積為在X（百）244尸？，

44

解得AAi=百，即OP=A4=百，

所以tanZPA0=—=y/3.

OA

因為直線與平面所成角的危圍是［o,",

所以N%0=：

3

5.若圓錐的側面積是底面積的3倍，則其母線與底面夾角的余弦值為.

\解析：設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,由題意"/=3兀/，即/=3r,設母

線與底面夾角為。，則cosO=￡=±

6.如圖，在四棱錐P-A8CO中，布_1_底面A8CZ）,且底面各邊都相等，M是尸C

上的一動點，當點例滿足時，平面"8。J_平面PCD（只要填寫一個

你認為正確的條件即可）

QM_LPC（或BMUC等）解析：因為雨，底面ABCD,所以BDLPA.連接

AC（圖略），則BQ_LAC,且如CIAC=A,所以BO_L平面B4C,所以8OJ_PC.所

以當OM_LPC（或8MJ_PC）時，即有PC_L平面MBD.又PCu平面PCD,所以

平面平面PCD.

7.如圖，在棱長為2的正方體A8CO-48iGD］中，E為8c的中點，點P在線

段GE上?點P到直線CQ的距離的最小值為.

■解析：點P到直線CCi的距離等于點P在平面ABC。上的射影到點C的距

離，設點P在平面A8CO上的射影為P,顯然點P到直線CG的距離的最小值

為PC的長度的最小值.當P'CJLOE時，PC的長度最小，此時尸C=善三=

V22+12

2x(5

8.如圖，三棱錐P-ABC中，底面A8C是邊長為2的正三角形，PALPC,PB=

2.

(1)求證：平面出C_L平面ABC；

(2)若以=PC,求三棱錐P-ABC的體積.

(1)證明：如圖，取AC的中點。，連接8。，P0.

因為是邊長為2的正三南形，所以8OJ_AC,B0=y/3.

因為％_LPC,所以尸O=；AC=L

因為PB=2,所以OP2+O82=P82,所以PO_LOB.

因為ACnOP=O,AC,ORz平面附C,所以80_L平面FC.

又OBu平面ABC,08a平面PAC,

所以平面玄。_1_平面ABC

(2)解：因為%=PC,PALPCfAC=2,所以％=PC=&.

由(1)知8OJ_平面PAC,所以V/MBC=△陰c?BO=gx|xx/2xV2xV3

=V3

B組新高考培優練

9.（2022?全國乙卷）在止方體中中，E,尸分別為48,8C的中

點，貝U（）

A.平面％EEL平面8。口

B.平面SE凡L平面43。

C.平面歷E”〃平面4AC

D.平面DE/〃平面41GD

A解析：對于A,由于E,產分別為A8,8c的中點，則E尸〃AC.

又AC_LBD,AClDDlfBDC\DD}=D,且BD,DD】u平面BDDi,

所以AC_L平面BDD\,則EFl.平面BDD\.

又EFu平面B\EF,

所以平面8//口_平面BDDi,選項A正確：

對于B,由選項A可知，平面8行凡L平面8OD1,而平面平面Ai8Q=

BD,在該正方體中，試想功運動至Ai時，平面8小/不可能與平面AiBD垂直，

選項B錯誤；對于C,在平面A881Al上，易知人4］與必相交，故平面SEF

與平面4AC不平行，選項C錯誤；

對于D,易知可面ABC〃呼面A1G7）,而可面ABC與耳面BiE廣有公共點回，

故平面小￡/與平面AiCiD不可能平行，選項D錯誤.

10.（多選題）如圖，在正方體4ACQ-4HG。］中，則下面結論正確的是（）

A.3。〃平面CSIDI

B.AC\±I3D

C.平面ACG4J_C8iOi

D.異面直線AD與C囪所成的角為60。

ABC解析：對于A,因為ABCQ-A/iGOi為正方體，所以BD〃BiDi,由線面

平行的判定可得80〃平面CBD,故A正確；對于B,連接prt

AC,因為/WCQ-AiBiGQi為正方體，所以8O_LAC,且CG_L

BD,由線面垂直的判定可得8Q_L平面ACG,所以8/）_LAG,，拓1.JAL

故B正確；對于C,由上可知8￡>_1_平面ACG,又力B

所以SC平面4CG,則平面ACG4J_CS。］,故C正確；對于D,異面直線

AD與CBi所成的角即為直線BC與CBi所成的角為45°,故D錯誤.故選ABC.

11.如圖，在長方形48C。中，AB=V3,8C=1,點七為線段。C上一動點，現

將△4￡>￡：沿AE折起，便點。在平面A8C內的射影K在直線AE上，當點七從

。運動到C,則點K所形成軌跡的長度為（）

解析：由題意，將△AEZ）沿AE折起，使平面4石。_1平

面48C,在平面AEO內過點。作OK_LAE,K為垂足，由小一

翻折的特征知，連接￡TK,則NQ'KA=90。，故點K的枕跡產---------B

是以為直徑的圓上一弧，根據長方形知圓半徑是也如圖，當EgC重合時，

4（=畢=工，取。為A。的中點，得到△Q4K是正三角形.故NKQA=P,所以

V423

/KOQ'=?,其所對的弧長為;故選C.

3233

12.如圖所示，在斜三棱柱A8aA由Cl中，NBAC=90。，BCi±AC,則點G在

平面A6c上的射影“必在（）

A.直線A8上B.直線8C上

C.直線4。上D./XABC的內部

A解析：連接AG,

Bc

a

4

因為AC_LA8,AC.LBC\fAI3OI3C\=B,

所以AC1.平面ABCi.又ACu平面A8C,

所以平面A8GJ■平面ABC,

所以點Ci在平面48c上的射影〃必在兩平面的交線A8上.

13.已知I,m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:①/_!_"?；②m〃a；

③/_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題:

若/L〃，/±a?則"?〃a（答案不唯一）解析：若/_La,/_L"z,則m〃a,顯然①

③n②正確；若/_L"m"a,則/〃a,/與a相交但不垂直都可以，故①②n③

不正確；若/_La,〃z〃a