第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

考試要求：1.了解指數(shù)靠的拓展過程，掌握指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).

2.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，了解指數(shù)函數(shù)的概念.

3.能畫具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

—、必備知識(shí)-回顧教材重“四基”/-----

一、教材概念-結(jié)論-性質(zhì)重現(xiàn)

1.〃次方根

(1)根式的概念

一般地，如果廣=。,那么x叫做”的〃次方根，其中心1,且〃WN”.當(dāng)該有意

義時(shí)，VH叫做根式，區(qū)叫做根指數(shù)，生叫做被開方數(shù).

(2)〃的〃次方根的性質(zhì)

①(,)〃=%

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，”而=分

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，府=間=卜a-0,

—a,a<0.

2.有理數(shù)指數(shù)塞

m___

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)慕：an=(Va)='VS沆(a>0,m,nE

幕的N*,n>l)

m

有關(guān)正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：0—^=6)*=患3>0,〃?，〃￡N*,

概念

n>l)

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于。，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)事沒有意義

指數(shù)

aras=ar+s(a>0,r,s￡Q)；

幕的

⑺、=貯(。>0,r,s￡Q)；

運(yùn)算

(abY=arbr(a>0,b>0,rEQ)

性質(zhì)

3.指數(shù)函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)(曲>0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域

是R.形如y=ka\k^\),且ZWO,a>0且a#l)的函數(shù)叫做指數(shù)型

函數(shù)，不是指數(shù)函數(shù).

4.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<?<1a>\

圖象

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)(0,1),即工=0時(shí)，y=1

當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)Q0時(shí)，

y>1；v>l;

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，當(dāng)XV0時(shí)，

0vy<l0<v<l

減函數(shù)增函數(shù)

二、基本技能-思想-活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“J”，錯(cuò)的畫“X”.

⑴怖=(VH)〃=a.(X)

21

(2)(-1>=(_1爐=產(chǎn)I.(X)

(3)函數(shù))，一々1是R上的增函數(shù).(X)

(4)函數(shù)》=2工是指數(shù)函數(shù).(J)

(5)若"且aWl),貝lj陽〈兒(X)

2.計(jì)算［(一2)61一(一1)。的結(jié)果為()

A.一9B.7

C.-10D.9

B解析：原式=26x9-1=23-1=7.故選B.

3.函數(shù)y=(a2—4〃+4)不是指數(shù)函數(shù)，則。的值是()

A.4B.3

C.2D.1

B解析：由指數(shù)函數(shù)的定義知4a+4=l且在1,解得。=3.

4.若函數(shù)兒t）=優(yōu)（〃＞（）,且〃W1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)｛2,1）,則大-1）=.

V2解析：由題意知：=*所以所以yw=g）,所以八一i）=O

=&.

5.若函數(shù)＞=（/—1》在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

心企或4＜一/解析：由），=（/-1尸在R上為增函數(shù)，得/一]＞1,解得心企

或a＜—42.

-、關(guān)鍵能力-研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼——

考點(diǎn)1指數(shù)暴的化簡與求值——基礎(chǔ)性

多維訓(xùn)練」

1.若實(shí)數(shù)＞0,則下列等式成立的是（）

A.（-2產(chǎn)=4B.2/=士

'2a3

C.（一2）。=-1D.（a4）4=l

D解析：對于A,（一2尸=工故A錯(cuò)誤；對于B,2/=三，故B錯(cuò)誤；對于

4

C,（-2）°=1,故C錯(cuò)誤；對于。，（a-4）4=l,故D正確.

2.（多選題）已知〃+/=3,在下列各選項(xiàng)中，其中正確的是（）

A./+。-2=7B./+/=]8

C.az+a-2=±V5D.ay[a+—

aT\]=a=2V5

ABD解析：在選項(xiàng)A中，因?yàn)閍+〃=3,所以〃2+/2=（。+"1）2一2=9—2=

7,故A正確；在選項(xiàng)B中，因?yàn)椤?小=3,所以a3+a-3=m+/）（a2—1+。2）

=（〃+/）?[（。+〃）2—3]=3義6=18,故B正確；在選項(xiàng)C中，因?yàn)閍+a"=3,

所以（萬+a另）=a4-a-1+2=5,且a＞0,所以+。一另=而，故C錯(cuò)誤：在

選項(xiàng)D中，因?yàn)?+〃-3=]8,且公＞0,所以焉）2=/+1+2=20,所

以尸=2遙，故D正確.

aVa

3.已知a>0,b>0,化簡：Q)

(O.l)f(a3bT"

23a23D-23

I解析：原式=23

X—r--X10-'=-.

2

lOaz-b

4.計(jì)算：(一芟)-5+(0.002)4一10(麻一2尸+兀。=.

-V解析：原式=(-J2+5。油-(嵩溜2)+1三+1電-1函-20+】

=一叱

9?

解題通法

1.解決這類問題要優(yōu)先考慮將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用

法則計(jì)算.在運(yùn)算過程中要先乘除后加減，負(fù)指數(shù)寐化成正指數(shù)幕的倒數(shù)，如果

底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成

假分?jǐn)?shù).

2.這類問題的運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)■含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分球又含有

負(fù)指數(shù)，形式要力求統(tǒng)一.

考點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例。*(1)已知函數(shù)?￥)=4+2優(yōu)」(4>1且。中1)的圖象恒過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

()

A.(1,6)B.(1,5)

C.(0,5)D.(5,0)

A解析：當(dāng)x=l時(shí)，火1)=6,與〃無關(guān)，所以函數(shù)兀0=4+2"川的圖象恒過

點(diǎn)P(l,6).故選A.

⑵若函數(shù))，=|2、一1|的圖象與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn)，則b的取值范圍為

(0,1)解析：作出曲線)，=|2丫一1|的圖象與直線)，=〃如圖所示.由圖象可得人

的取值范圍是(0,1).

">=|2-1|

同源異考/

在本例⑵中，若將條件中的“有兩個(gè)公共點(diǎn)”，改為“有一個(gè)公共點(diǎn)”，則結(jié)果

如何？

或〃=0解析：作出曲線y=|2'—1|的圖象與直線），=〃如圖所示.由圖象

可得人的取值范圍是力21或〃=0.

解題通法

指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用問題的求解方法

（1）有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形

結(jié)合求解.

（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x=l與圖象的交點(diǎn)進(jìn)

行判斷.

「多維訓(xùn)練」

1.（多選題）在同一坐標(biāo)系中，關(guān)于函數(shù)y=3,與），=6廣的圖象的說法正確的是

（）

A.關(guān)于），軸對稱B.關(guān)于x軸對稱

C.都在x軸的上方D.都過點(diǎn)（0,1）

ACD角帛析：在同一坐標(biāo)系中，作出y=3,與），=（3的圖象（略），知兩函數(shù)的圖

象關(guān)于y軸對稱，A項(xiàng)正確.

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知選項(xiàng)CD正確.

2.若曲線|），|=2，+1與直線y=〃沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是.

[-1,1]解析：作出曲線國=2'+1的圖象，如圖所示，要使該曲線與直線），=

沒有公共點(diǎn)，只需一iWbWl.

3.已知實(shí)數(shù)4,〃滿足等式C)"=G)b，下列五個(gè)關(guān)系式:

①OVZ?Va；?a<b<0；③OVaVb；?b<a<0^?a=b.

其中可能成立的有.(填序號)

①②⑤解析：函數(shù)yi=(J與戶=(9的圖象如圖所示.

由G)"=G)”得，aVbVO或OVbVa或a=b=O.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立.

考點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用一應(yīng)用性

典例引領(lǐng)

考向1比較大小

例以，(1)已知a=2"6=拆，。=25,，貝U()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A解析：因?yàn)椤?2W=4^>4E=〃，C=253=53>4^=a,所以

(2)若2x-2v<3-t-3->',則()

A.In(y—x+1)>OB.In(y—x+1)<O

C.In|x-y|>0D.In|x->1<0

A解析：因?yàn)?、-2「<3r—3?所以21—3一“<2'一3一工

因?yàn)?,=2》一3七=2'—(3'在R上單調(diào)遞增，

所以xVy,所以y—x+l>l,所以In。，一4+])>皿1=0.

解題通法

比較鬲的大小的方法

(I)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)森，再利用單調(diào)性比較大小.

(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.

考向2解指數(shù)不等式

例?，若偶函數(shù)兀0滿足人工)=2]-4。20),則不等式—2)>0的解集為

“卜>4或xVO｝解析：當(dāng)A<0時(shí)，J(x)=J(-x)=2~x-4.

2*-4,x>0,

所以/U)=

2r—4,x<0.

,x—2之0,x-2<0,

當(dāng)/(X—2)>0時(shí)，有｛r或

12"-2-4>02-x+2-4>0,

解得x>4或x<0.

所以不等式的解集為{x|x>4或xVO}.

解題通法

解簡單指數(shù)不等式的方法

先利用幕的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)幕，再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，要注

意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.

考向了指數(shù)型函數(shù)的單冊性

\_%2+2X+1

例0，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(—8,I]解析：設(shè)〃u—r+Zi+l,因?yàn)閥=Q)在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)

yw=G)的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)〃=一/+2丫+1的單調(diào)遞增區(qū)間.又

〃=-f+2t+l的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1],所以貝X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一00,

U.

同源異考/

z^'-X2+2X+1?.

在本例中，若將“/W=G)”改為"以)=2一爐+2工+1，，，則結(jié)果如何？

[1,+°°)解析：設(shè)"=一『+2丫+1,因?yàn)?，=2"在R上為增函數(shù)，所以函數(shù)7U)

=2-/+2%+1的單調(diào)遞減區(qū)間即為函數(shù)〃=一/+2、+1的單調(diào)遞減區(qū)間.又〃=

(——)+2i+l的單調(diào)遞減區(qū)間為［I,+oo),所以/U)的單調(diào)遞減區(qū)間為［1,+00).

解題通法

求函數(shù).八處=型*單調(diào)性的方法

(1)先將fix)=〃小)視為是由y=au與u=g(x)復(fù)合而成的.

(2)分別討論函數(shù)y=a“與〃=g(x)的單調(diào)性，利用“同增異減”的方法得出函數(shù)

凡￥)=房(箝的單調(diào)性.

考向4指數(shù)型函數(shù)的最值

例@*(1)已知函數(shù)段)=^+伙。>0,且。知)的定義域和值域都是［—1，0］,則。

+8=.

~|解析：當(dāng)時(shí)，易知凡T)在［-1,0］上單調(diào)遞增，

W(T)=T即=f無解.

當(dāng)04<1時(shí),易知外)在［-1,0J上單調(diào)遞減,

則f即解得卜/所以葉仁三.

1/(-1)=0,U1+b=0,{b=-2.2

ax2—4x4-3

(2)若函數(shù)yu)=Q/l)X有最大值3,則。=.

I解析：令萬")=〃/一4］+3,.因?yàn)镴(x)有最大值3,所以/z(jv)應(yīng)有最

小值一1,

a>0,

{I2a-16y解程。=1.

解題通法

1.研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與研究一般函數(shù)的定義域、單調(diào)性(區(qū)間)、奇偶性、最值

(值域)等性質(zhì)的方法一致.

2.研究復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，借助“同增異減”，將問

題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決.

「多維訓(xùn)練」

121

1.已知a=(&)3,b=2s,C=93,則()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

A解析：〃=(魚>=2=2羨h=2i,c、=9、35.由2<3,得a<c.由白日得

35

a>b,所以c>ci>b.故選A.

2.已知函數(shù)y=7U)的定義域?yàn)镽,y=/(x+l)為偶函數(shù)，對任意xi,X2,當(dāng)總>口21

時(shí)，ZU)單調(diào)遞增，則關(guān)于。的不等式火3+1)勺(3。-5)的解集為()

A.(一8,1)B.(-OO,10g32)

C.(Iog32,1)D.(1,+oo)

B解析：因?yàn)楹瘮?shù))，=/U)的定義域?yàn)镽,)，=/*+l)為偶函數(shù)，所以人一工+1)=

yU+l),所以函數(shù)y=/(x)關(guān)于x=1對稱.

因?yàn)楹瘮?shù)>=/")在[1,+8)為增函數(shù)，所以函數(shù)>=/&)在(-8,1]為減函數(shù).不

等式大9。+1)勺(3。-5)等價(jià)于儼+1-1|<|3"一5一1|,

即|3"一6|>9"=3“一6>%或3“一6<—9“，令3“=f(〉0)得到：產(chǎn)一/+6<0或尸+，一

6<0.

當(dāng)尸一[+6<()時(shí)，無解.

當(dāng)A+1—6<0時(shí)，(r+3)(r-2)<0,解得<2,即3y2,a<log32.

3.已知7U)=3xP(2WxW4,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,I),則共幻的值域?yàn)?)

A.[9,81]B.[3,9J

C.[1,9|D.[1,+8)

C解析：由/U)的圖象過定點(diǎn)(2,1)可知。=2.因?yàn)槿?)=3"在[2,4]上單調(diào)遞

增，所以_/U)min=*2)=3紜=1,y(X)max=/4)=34-2=9.故選C.

4.若函數(shù)yw=(2a—1嚴(yán)—2,則y=/(x)的圖象恒過定點(diǎn)；又於)在R

上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

(3,-1)(1,1)解析：對于函數(shù)./(#=(24—1廣3—2,令x-3=0,得x=3,

則/U)=(2。-1)°-2=1—2=—1,可得y=兀0的圖象恒過定點(diǎn)(3,-1).

又???函數(shù)/U)=(2〃一1尸.一2在R上是減函數(shù)，故有0<2“一1<1,求得

故答案為(3,-1);Q,1).

---------、一題N解-深化綜合提“素養(yǎng)”/----------

「試題呈現(xiàn)」

設(shè)4=(或b=(|)iC=(|)i則小b,C的大小關(guān)系是()

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

［四字程序］

讀想算思

比較大小的方法

比較大小式子變換轉(zhuǎn)化與化歸

是什么

1.利用函數(shù)單調(diào)

性.1.構(gòu)造函數(shù).注意分?jǐn)?shù)指數(shù)累

a,b,c均為第值

2.通過中間量比2.統(tǒng)一統(tǒng)指數(shù).的等價(jià)變形以及

的形式

較大小.3.化為根式形式運(yùn)算法則

3.作差或商比較

「一題多解」

解法

思路參考：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性求解.

A解析：先比較/?與c的大小，構(gòu)造函數(shù)y=(|).因?yàn)樗院瘮?shù))，=

32

G)為減函數(shù).又因?yàn)閨>版所以力=(丁<(丁=仁再比較a與°,因?yàn)椋?/p>

20

(2)5>(1)=1'且a，C均大于0，所以公C,所以G>C汕.故選A.

解法

思路參考：統(tǒng)一簌指數(shù)，利用幕函數(shù)單調(diào)性比較大小.

A解析：因?yàn)?,力，C為正實(shí)數(shù)，且/=()=總戶=(|)3=2，/=(|)2

=—,所以er'〉/〉/,即故選A.

法

思路參考：將三個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為同次根式的形式比較大小.

A解析：因?yàn)閍=s叵c=$區(qū),所以故選A.

「思維升華」

1.本題給出了三種比較指數(shù)某大小的方法，解法1是構(gòu)造函數(shù)法，利用指數(shù)困

數(shù)性質(zhì)比較大小，利用這種方法應(yīng)注意底數(shù)是否大于1；解法2與解法3比較類

似，都是對小〃，c進(jìn)行簡單變形，轉(zhuǎn)化為同次根式的形式，由被開方數(shù)的大小

可得出小兒c的大小.特別是解法3,結(jié)構(gòu)較為簡潔，轉(zhuǎn)化為同次根式迅速求

解.

2.基于新課程標(biāo)準(zhǔn)，解法比較大小的問題，要熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，

尤其是單調(diào)性，同時(shí)也要熟練掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化，指數(shù)累的運(yùn)算法則等

知識(shí).解決比較大小問題體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

「類題試練」

函數(shù)），=網(wǎng)幻的圖象如圖所示，該圖象由指數(shù)函數(shù)犬x）=〃與塞函數(shù)g（x）=?“拼

接”而成.

（1）求尸（工）的解析式；

⑵比較M與〃的大小；

（3）若（加+4）力〈（3—2〃7）"，求m的取值范圍.

-1

*=彳，

\

（G）bW

解得1；6

成但，

所以尸（幻=,]

IX2,

\X>4

⑵因?yàn)楣剩┴M筋心辭，

指數(shù)函數(shù)y=Q）在R上直調(diào)遞減，

所以G）2VG）正，即MVM

（3）由（m+4）”V（3-2m）-5,得

m+4>0,

3-2m>0,

{m+4>3—2m,

解得一

所以〃？的取值范圍是（一1，|）.

課時(shí)質(zhì)量評價(jià)（十）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.函數(shù)y=V16-2%的值域是（）

A.[0,+8）B.[0,4]

C.[0,4）D.（0,4）

C解析：函數(shù)），=，16-2”中,因?yàn)?6—2。0,所以2W16.因此2工在（0,16],

所以16—2戈￡[0,16）.故尸〃6—2」￡[0,4）.

2.（2022?北京卷）已知函數(shù)次x）=\,則對任意實(shí)數(shù)人有（）

1+2人

A./（-x）+y（x）=o

B./-x）-Av）=0

C.<一刈+危）=1

D.八一a—7U）=g

?5

C解析：八一》）十危:）=高+念=總+含=1,故A錯(cuò)誤，C正確；

大一'）一3一士=高一念=會(huì)=1—島，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)

誤.故選C.

3.若b>0,且M+（"=2或，則小一。一，等于（）

A.瓜B.一2或2

C.-2D.2

C解析：因?yàn)榛颍詰?43=8—2=6,

所以（/'一。與2=戶+4乃一2=4.

因?yàn)?<。<1,b>0,所以從而。〃一/〃=一2.

4.函數(shù)>=@)2*一"的值域?yàn)?)

A?b+8)B.(-00,1］

C.(0,1］D.(0,2J

A解析：設(shè)/=2x—x2,zWl,所以)，=G),Wl,所以,+8).故選A.

5.已知函數(shù)應(yīng)￥)=9(。?2"一2一)是偶函數(shù)，則。=.

1解析：因?yàn)?￥)=爐(。*2'—2-v),故人一x)=—.好(。?2r-2').

因?yàn)槲?為偶函數(shù)，故X.v)=A-X),

即?2x-2~x)=-^(a?2r—2'),整理得到(。-1)⑵+2一、)=0,故a=\.

6.(2022?保定模擬)函數(shù)/U)=JC)”一2的定義域是.

(—8,-1］解析：要使函數(shù)人工)=Jg)'-2有意義,自變量x須滿足：G)'一

210,解得xW-l,故函數(shù)—2的定義域?yàn)?-8,-1］.

7.已知函數(shù)J(x)=a^(a>0,且aHl)的值域?yàn)椋?,+8),則。的取值范圍為

，火一4)與火1)的大小關(guān)系是.

(1,+8)1一4)次1)解析：因?yàn)閨工+16()，函數(shù)人力=小田13>0,且啟1)的值

域?yàn)椋?,+8),所以公>1.由于函數(shù)凡T)=/■”在(-1,+oo)上單調(diào)遞增，且它的圖

象關(guān)于直線1=-1對稱，則函數(shù)人外在(-8,—1)上單調(diào)遞減，故犬］)=/(一3),

八一4)MD.

B組新高考培優(yōu)練

8.若函數(shù)人幻=言是奇函數(shù)，則使/U)>3成立的x的取值范圍為()

A.(-8,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,4-oo)

C解析：因?yàn)?U)為奇函數(shù)，所以八一幻=-/(工)，即^^二一等1，整理得3一

22人一Q

1)(2工+2'+2)=0,所以。=1,所以?r)>3,即為磬>3,當(dāng)x>0時(shí)，2A-l>0,

所以2V+1>3?2r-3,解得O〈E1;當(dāng)x<0時(shí)，2r-l<0,所以2葉1<3?2、-3,

無解.所