專題13立體幾何初步

思維導(dǎo)圖

知識速覽

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征2.特殊的腐1柘棱徜

3.旋睜鶴演伽

4.空間幾何體的鹵觀圖

____1.空問幾何體的表面模和體積公式

知識點2空間幾何體的表面積和體積12.柱帳鉗體.像MS?儂I的關(guān)系

3柱體.誰休、臺體體相問的關(guān)系

L四個公理

(2.等一定理

知識點3點、直線、平面之間的位置關(guān)系卜;■直腦直蝴叫關(guān)系

立體幾何初步

、4、點線與平面的位置關(guān)系

\5、兩個平面的位置關(guān)系

1.鹵線與平面平行

知識點4直線.平面平行的判定與性后2、平面與平面平行

3、平行關(guān)系之間硼I化

1、直線力平面垂直

知識點5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)2、直注和平面所成的角

3、平面與平面垂直

4、亞直關(guān)系之詞標化

二、考點速覽

知識梳理

知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

I、多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

A麻

圖形

ABAABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點，但不一定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2、特殊的棱柱和棱錐

（1）側(cè)極唯宜于底面的被柱叫做直核柱，底面是止多邊形的直棱柱叫做止核柱.反之，止棱柱的底面是止

多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

（2）底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱卷叫做正棱錐.特別地，各棱長均相

等的正三棱錐叫做正四面體.反過來?正棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面正多邊形的

中心.

【注意】（1）棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一定是棱柱.

（2）棱臺的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺.

（3）注意極臺的所有側(cè)樹相交干一點.

3、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺球

唐盒③

圖形

旋轉(zhuǎn)圖形矩形直角三角形直角梯形半圓形

任一直角邊所在的垂直于底邊的腰直徑所在的

旋轉(zhuǎn)軸任i邊所在的直線

直線所在的直線直線

互相平行且相等，垂直

母線相交于一點延長線交于一點

于底面

軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形X圓

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

4,空間幾何體的直觀圖

（1）畫法：常用斜二測畫法.

（2）規(guī)則：

①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、_/軸的夾角為45。（或135。），/軸與V軸和.短軸

所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持

原長度不變：平行干y軸的線段長度在宜觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?

（3）直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：S〃=*S原陽形:S麗彩=2巾5’“我冏

知識點2空間幾何體的表面積和體積

1、空間幾何體的表面積和體積公式

表面枳體枳

幾何體

柱體（棱柱和圓柱）5衣曲枳=5例+23.&V=S?.h

v=|s?/?

錐體（棱錐和圓錐）S&血枳=Sfw+S底

V=；（S」：+ST+^/^）/?

臺體（樓臺和圓臺）S衣而（H=SM+Sr.+SK

3

球S=4nR2V=^TIR

幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點

①幾何體的側(cè)面枳是指（各個）側(cè)面面枳之和，而表面積是側(cè)面積與所有底而面積之和.

②組合體的表面積應(yīng)注意壟合部分的處理.

2、柱體、錐體、臺體側(cè)面積間的關(guān)系

（1）當正棱臺的上底面與下底面全等時，得到正棱柱：當正棱臺的上底面縮為一個點時，得到正棱錐,

Iz*r^（）I

則S正檢樣的=c力'<-----S正核臺輯=g（c+c''）/?'-----?S正校儺施=]"?'.

（2）當圓臺的上底面半徑與下底面半徑相等時，得到圓柱；當圓臺的上底面半徑為零時，得到圓錐,

產(chǎn)=廠產(chǎn)=0

WJsm^K=2itrh-----S內(nèi)臺利=兀（7+/）/----->Sn^=itrl.

3、柱體、錐體、臺體體枳間的關(guān)系

知識點3點、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、四個公理

（1）公理1：如果一條宜線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條宜線在此平面內(nèi).

作用：判斷一條直線是否在某個平面內(nèi)的依據(jù)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.

【拓展】公理2的三個推論

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條桓交醛有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

作用：公理2及其推論是判斷或證明點、線共面的依據(jù)

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，則它們有且只有一條過該點的公共直線.

作用：公理3是證明三線共點或三點共線的依據(jù)

（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

2、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別時應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

3、直線與直線的位置關(guān)系

（1）空間兩條直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系特點

相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點

平行同一平面內(nèi)，沒有公共點

異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

（2）異面直線所成的角

①定義：設(shè)。，人是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線〃心bf//b,把/與“所成的銳角（或直

角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

②范圍：（0。，90。］.

4、直線與平面的位置關(guān)系

直線a在平面a外

位置關(guān)系直線a在平面a內(nèi)

直線。與平面a相交直線a與平面a平行

公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點

符號表示quaaC\a=Aa//a

------a

圖形表示ZH7口

5、兩個平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交

公共點設(shè)有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)

符號表示a//fian片/

圖形表示口

知識點4直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1、直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義：直線/與平面a沒有公共點，則稱直線！與平面a平行.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條直線與此平面內(nèi)

____a____Ha，bua,

判定定理的一條直線平行，則該直線

allb=a〃a

平行于此平而

一條直線和一個平面平行，

a//a,auf),

性質(zhì)定理則過這條直線的任一平面與

aC\p=b^>a//h

此平面的交線與該直線平行

2、平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義：沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一aua,bua,aC\b=P,

判定定理

個平面平行，則這兩個平面平行4__/

兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的

4X/a//“uana〃/?

直線平行于另一個平面

性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平

a//fi,aC\y=a,fir\y=b=^a//b

面相交，那么它們的交線平行

3、平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

性原定理

判定定理判定定理

線線平行線面平行、a面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)定理4

判定定理

在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再至方面

面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的,

不可過于“模式化”.

知識點5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

1、直線與平面垂直

(1)定義：直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一個平面內(nèi)的兩a,bua、

1

aC\b=O

判定定理條相交直線都垂直，則該直>=>/±a

刁l±a

線與此平面垂直

ILb,

垂直于同一個平面的兩條直a_La

性質(zhì)定理-^a//b

線平行bA.a

2、直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線

垂直于平而，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0.

(2)范圍：0,.

3、平面與平面垂直

(1)二面角的有關(guān)概念

①二面角：從一-條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩

條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定義

兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

(3)平面與平面垂直的判定定理與忤質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平面的

判定定理=a_L￡

垂線，則這兩個平面垂直

a、

兩個平面垂直，則一個平面邛

性質(zhì)定理內(nèi)垂直于交線的直線與另>=>/!?

aC\p=a

一個平面垂直

Dl.La,

謹記五個結(jié)論

（1）若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

（2）若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個重要方法）.

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行.

（4）一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另?個平面也垂直.

（5）兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平而.

4、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化

在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件.同時抓住線線、線而、而面垂直的

轉(zhuǎn)化關(guān)系,即:

判定

列定I

線線垂直=三線面垂比面面垂H

|性質(zhì)性質(zhì)

牲質(zhì)

在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通

過作輔助線來解決.

||■1

L方法技巧J

一、求空間幾何體表面積的常見類型及思路

1、求多面體的表面枳：只需將它們沿著核“剪開??展成平面圖形，利用求平面圖形面枳的方法求多而體的表

面積；

2、求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面枳，但要搞清它們

的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系

3、求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、

錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積：

【注意】在求解組合題的表面積忖，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，面積不要多加或少加

【典例1】（2023秋?廣東廣州?高三校考階段練習(xí)）陀螺是中國民間較早的娛樂工具之一，也稱陀羅，圖/

是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓徘和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中A是圓錐的頂

點，B,C分別是圓柱的上、下底面圓的圓心，且A8=1,AC=3,底面圓的半徑為I,則該陀螺的表面積

是.

圖1圖2

【答案】（5+偽R

【解析】因為陀螺的底面圓的半徑為r=l，

由A6=1,AC=3,則6c=2,即圓柱的母線長為/'=2,

所以圓錐的母線長為/=#77=V2，

則圓錐的側(cè)而積為nr/=nx1xV2=0兀?

圓柱的側(cè)面積為2M/'=2兀x1x2=4兀,圓柱的底面積為“二〃？『n?

所以該陀螺的表面積為S=&兀+4兀+7T=（5+42）71.

【典例2】（2023春海南海口高三統(tǒng)考期中）如圖是一個圓臺形的水杯，圓臺的母線長為12cm,上、下底

面的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，該水杯配有一個皮革杯套，包裹住水杯|高度以下的外壁和

杯底，水杯和杯套的厚度忽略不計，則此杯套使用的皮革的面積為（）

n124?！?4072

A.38?rcm2B.------cm-C.------tcm-D.48ncm:

33

【答案】C

【解析】由題意可知杯套部分依然是圓臺,

則此杯套使用的皮革的面積即為對應(yīng)圓臺的側(cè)面枳加上較小底面面積:

如圖，作出水杯的軸截面，作AG_LCD于G,

設(shè)人加上為杯套部分對應(yīng)的軸截面，AG交EF與H,

22CD-AB8-4,

貝1］八七=一/1。=一xl2=8,GD=------------=-------=2，

3322

up4尸20—

則由△.人△但可得而=而=/加嚴=§

故EF=X+4言，

故此杯套使用的皮革的面積為5=*22+”[2+7上8=亍兀，故選：C

【典例3】(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖1所示，宮燈又稱宮廷花燈，是中國彩燈中富有特色的漢民族

傳統(tǒng)手工藝品之一.圖2是小明為自家設(shè)計的一個花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六枝臺與下面的正六

棱柱組成，若正六棱臺的上、下兩個底面的邊長分別為4dm和2dm,正六棱臺與正六棱柱的高分別為1dm和

6dm,則該花燈的表面積為()

圖1圖2

A.(108+30>/3)dm2B.(72+30x/3)dm2C.(64+24、/5)dnfD.(48+24x/5)dm2

【答案】A

【解析】正六棱柱的六個側(cè)面面積之和為2x6x6=72dm2,

正六棱柱的底面面積為一^xZ?x6=6>/3dm??

4

如圖所示，正六棱臺A8COM-A罔CQ&匕中，Ag=2dm,AB=4dm,

過點AHC，/九E*分別作A&B&CC，/)。芯G/入垂直于底面八BCDEF

于點A?,B?，G、D],E?、F2,

連接相交于點0,則42,82，。2，。2，4,乃分別為。4,08,。。,0￡),?！辏?0”的中點，

過點人作&GJLA3于點G,連接AG,則AG為正六棱臺的斜高，

其中&=】dm,AG-4'金比=1dm,AA,=；AO=2dm,

由勾股定理得Afi=7AA2-AG-=>/3dm,故/\G=JW+aW=2dm.

所以正六校臺的斜高為2dm,

故正六樓臺的側(cè)面積為;x（4+2）x2x6=36dnf,

又正六棱臺的下底面面積為在x4?x6=24>/箍/,

4

所以該花燈的表面積為72+66+36+24G=108+30G（dm2）.故選：A.

二、空間幾何體的體積

I、處理空間幾何體體積的基本思路

（1）轉(zhuǎn)：轉(zhuǎn)換底面與高，將原本不容易求面積的底面轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿蝗菀卓闯龅母?/p>

轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高；

（2）拆：將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個規(guī)則的幾何體，便于計算：

（3）拼：將小幾何體嵌入一個大幾何體中，如有時將一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱，將一個三棱柱復(fù)原乘

一個四棱柱，還臺位錐，這些都是拼補的方法。

2、求體積的常用方法

（1）直接法：對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計算：

（2）割補法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算：或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)

則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算；

（3）等體積法：選擇合適的底而來求幾何體的體積，常用于求三極錐的體積，即利用三棱錐的任一個而作

為三棱錐的底面進行等體積變換

【典例1】（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），己知該扇

環(huán)的面積為9兀，兩段圓弧AC所在圓的半徑分別為3和6,則該圓臺的體積為（）

A.他兀

3

【答案】A

【解析】圓臺的側(cè)面展開圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為白，

則其面積為S=：ax62-gax32=^a=9兀，解得a=|%

92

所以扇環(huán)的兩個圓弧長分別為.nX3=271和.兀X6=4幾，

JJ

設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為小弓，高為h,

所以2兀=2跖，解得4=1,

DoQ

47c=2叫,解得4=2,

作出圓臺的軸截面，如圖所示：

圖中OO=彳=1,O'A=4=2,>4/)=6—3=3?

過點。向人尸作垂線，垂足為T,則人丁=與一4=1,

所以圓臺的高/?=^ADr-AT2=V32-l=2應(yīng)，

2

則上底面面枳S=7CX『=JT,S2=7cx2=47t,

由圓臺的體積計和公式可得：V=gx(S1+S2+#75T)xa=gx7冗乂2應(yīng)=巴產(chǎn).故選：A.

【典例2】(2023秋?廣東珠海?高三?？茧A段練習(xí))已知四棱錐P-A8CQ的底面是邊長為4的正方形,

PC=PD=3,^PCA=45,四棱錐產(chǎn)一A8c。的體積為.

3?

【答案】Y

J

【解析】取A氏C。中點及尸，因為PC=PQ,所以CDLPF,

因為四邊形A8CO為正方形，所以CQ_L￡Z"

因為萬尸。尸尸=尸，平面正戶,

所以CDJ?平面PE/L

因為C'Ou平面ABC。，所以平面ABC。工平面PEF,

所以四棱錐的高即！PE產(chǎn)的邊E產(chǎn)上的高.

因為CZ5_L平面出如，PEu平面P￡F，所以CZ)_LPE,

因為八8/CO,所以ABLFE,所以/石垂直平分A8,所以乃4=/有,

在△%(7中，PC=3,ZPCA=45°,AC=4x/2.

所以由余弦定理得PA=ylPC2+AC2-2PCACconZPCA=^9+32-2x3x4s/2x^y

Vl7，

所以尸4=如，PE=>]PA2-AE2=V17-4=V13?

因為EF=4,PF=JPC?-CF?=眄。=后,

PE2+EF2-PF213+16-53

所以館AM中.由余弦定理得—J2pE,EF="T/.

9

J9rlUsinZPEF=五'

設(shè)！電廠中邊上的高為/?,則!EFh=gpEEFsmNPEF,

22

所以力=PEsin4PEF=V13x-^==2

S3

132

所以四棱錐尸-ABC。的體積：X4X4X2=￡.

32

故答案為：y

【典例3】（2023秋?浙江金華?高三階段練習(xí)）如圖，已知多面體ABC。-A4CQ的底面"CD與頂面

A/CQ平行且均為矩形.若八8=11,若。=5,44=9，AA=3,A4,=881=CG=OR=6,則該多面體的

【答案】C

【解析】如圖所示，設(shè)4、4、G、A在底面的投影分別為A'、B：、C'、D：、

延長A'8：分別交底面矩形于M、N兩點，延長D：A'、C：q'交人B于反產(chǎn)兩點,

由條件易得A,￡=5-3=\,AE=—1—1一9=1nAA,=&l,

所以幾何體的高為力=JMYM=1，

該幾何體的體積可分割為兩個幾何體M'A'DRA,的體積

加兩個幾何體AA/B：明A的體枳再加長方體AEG'R'-Agca的體機

易得工用明A=IA%?44?4〃+2x：A'M?AM?AA'x：=?’

1119Q

同理［的明4=54'曰4"閉'4'+2、545工6442鼻=”，

44DU

v....=3x9x1=27,

故該幾何體體枳為：27+2葭（11+不29卜1亍121.故選：C

三、共線共點共面證明方法

I、證明點或線共面問題的2種方法

（1）首先由所給條件中的部分線（或點）確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內(nèi)：

（2）將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.

2、證明點共線問題的2種方法

（1）先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；

（2）直接證明這些點都在同一條特定直線（如某兩個平面的交線）上.

3、證明線共點問題的常用方法

先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

【典例1】（2023秋?山西大同?高三?？茧A段練習(xí)）（多選）己知正方體ABC。-AqGA中，。為用。的中點,

直線交平面片4。于點則下列結(jié)論正確的是（）

A.AM,O三點共線B.AM.0小四點共面

C.四點共面D.氏穌O,M四點共面

【答案】ABC

【解析】連接AG，AC,AO,

因為。為的中點，所以AG。8a=O,平面AAGCQ平面=

因為AMI平面AMu平面AA￡C,

所以點M是平面MC.C和平面A&。的交點，

所以MwAO，X,M,。三點共線，故A正確；

因為A,M,。三點共線，所以A.M,O、A四點共面，A.M.O.C四點共面，故BC正確:

取AC中點。I，連接。。交AC于點E,

由題意得VAOMsVCAM,g=!，所以第=：，即M為AC的三等分點，

AC2CM2

因為。，四，8小共線，平闿叫4。，平面4qqoiAC=E,E為AC的中點，

所以點M任平面88Q。，B,月，。，M四點不共面，故D錯.故選：ABC.

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形48C。中，E,F,G,“分別在人仇人D8CCZ）上,

EG與FH交千點P,求證：P,AC三點共線.

【答案】證明見解析

【解析】??EGCFH=P,PwEG.EGu平面A8C,

.??Pc平面ABC,同理，Pe平面AQC.

〃是平面八BC與平而ADC的公共點.

又平面ABCc平面ADC=AC,

.?.PeAC,「.P,A,C三點共線.

【典例3】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知平面8夕，且=設(shè)在梯形A8C3中，AD//BC,

且ABuaCOuA.求證：A氏CD/共點.

【答案】證明見解析

【解析】如圖，梯形A8CO中，因為AO//6C,

所以八8與CO必交手一點，

設(shè)交CO于點M,則MwA及MeC，

又因為A5ua,CDu/，

所以Mwa,Mw/，

又因為an/=/,所以MwL

所以4仇8,/共點.

四、平移法求異面直線所成角的步驟

第一步平移：平移的方法一般有三種類型：（I）利用圖中已有的平行線平移；（2）利用特殊點（線段的端點或中

點）作平行線平移：（3）補形平移

第二步證明：證明所作的角是異面直線所成的角或其補角

第三步尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之

第四步取舍：因為異面直線所成角。的取值范圍是0。＜生90。，所以所作的角為鈍角時.，應(yīng)取它的補角作為

異面直線所成的角

【典例1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，圓柱的軸截面為矩形A8CO,點M,N分別在上、下底面圓匕

=2ANrCM=2MDr八8=2,BC=3,則界面直線AM與CN所成角的余弦值為（）

A3聞口右3同

八?D?L?Ln/?

104520

【答案】D

【解析】連接。設(shè)BMCCN=P,則P是8M的中點，

設(shè)Q是A8的中點，連接PQ，則PQ//AM,

則/NPQ是異而直線AM與CN所成角或其補角.

由于N/?=2AN，CM=2DM，所以/BAN=g,NN8A=?，

由于A3=2,而AB是圓柱底面圓的直徑，則ANJ.BN,

所以4N=I,BN=G,則AM=717^=715.PQ=，AM=叵，

22

C/V=5/3+9=2sH,PN=^CN=75,而QN=l,

c10,c1(

3+13H—

在三角形PQN中，由余弦定理得cc、/NPQ=——7=-=——%才=乍二.故選：D

2x73x2(122x&迪20

22

【典例2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，直三棱柱ABC-A8G中，NBCA=60。，M,N分別是

AGCC；的中點，fiC=CA=CC,,則BN與AM所成角的余弦值為（）

【答案】A

【解析】如下圖所示：分別取AC、叫的中點。、E,連接C4C"）、BD,

由題意有BN〃C\E,AM〃CQ,

所以用V與AM所成角的大小等TZDC.E,

不妨設(shè)3。=2,則4A/=8N=不，所以DQ=C#=有,

又因為N8C4=60°且8C=C4=2,所以8。=6，DE=2；

由余弦定理可得cos/DC七=℃+EG、-7^'=（&）'產(chǎn)I二聯(lián)=且=。，

2DC.EC,2x>/5xV5105

3

所以BN與AM所成角的余弦值為:故選：A.

【典例3】（2023秋?云南曲靖?高三?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形A8C2A8E尸的邊長均為2,動點N在線

段AB上移動，M,。分別為線段ERAC中點，且平面A3Q）,則當/MM7取最大值時，異面直線WN

與召。所成角的余弦值為（）

A.也B.立C.BD.近

4223

【答案】A

【解析】因為MO_L平面A8CQ,ONu平面A8C。，所以MOLON,

所以.MNO為直角；.用形，所以當NO最短時，4WNO取最人值,

可知NO_LAB,即N為A8的中點時，NMNO取最大值，

B

因為例，。分別固定在線段EF,AC的中點處,

所以O(shè)N=1,MN=2,所以COS/MNO=^=L,

MN2

因為NMNO為銳角，所以NMM7=60。，所以O(shè)M=VL

取A。的中點G,連接OG,GC,Gb,

因為M.N分別為線段EEAB的中點，則AN〃網(wǎng)W,且AN=FM,且MN〃AF,

可知異面直線MN與AC所成角為44尸。（或其補角）

且O,G分別為線段ACAO的中點，則。G〃8,且OG=CD,

且且人8=8，可得OG〃/7n，且OG=EW,

可知OM”G為平行四邊形，則6尸〃＜加，且G/=QM,

乂因為MO_L平面ABC。，則G廠_L平面ABC。，

由GCu平面A4CQ,可得GF_LGC,

可得AC=2正,GC=?CF=7GC2+GF2=2&，

在/XAR1中，由余弦定理可得cosZAFC=一一。=」+8-"=也，

2AFFC2x2x2及4

所以異面直線與AC所成角的余弦值為史.故選：A

五、證明直線與平面平行的方法

1、線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點（不相交）.

2、線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形

的對邊、成比例線段出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線.

3、面面平行的性質(zhì)：①兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面，即a〃仇auana

〃仇②兩個平面平行，不在兩個平面內(nèi)的一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，

即a〃0,aQa,aQ0,a〃a=a〃p.

【典例1】（2022秋?黑龍江雞西?高三?？茧A段練習(xí)）如圖甲，在梯形ABC。中，A5//CO,8=2/18,E、F

分別為A2CO的中點，以A/為折痕也△4?！闭燮穑ㄈ鐖D乙），求證:

（1）〃平而八皿）：（2）CD〃平面8￡F.

AB

【答案】（I）證明見解析；（2）證明見解析

［解析］（1）由于梯形中AB//CQ,折疊后仍有AB//CF,

又C/U平面45￡）,ABu平面ABD，

根據(jù)線面平行的判定，8〃平面板：

（2）連接AC交跖于0,連接0E,依題意得，AB//CF,AB=CF,

于是四邊形ABC戶是平行四邊形，故