專題九平面解析幾何

9.1直線與圓

考點一直線的方程

1.(2014四川文,9,5分)設meR,過定點A的動直線x+my-0和過定點B的南直線mx-y-m+3=0交于點P(x,y),

則IPAI+IPB的取值范圍是()

A.[Vs,2Vs]B.[VTo.2倔

C.tVlO,4-75]D.[2V5,4V5]

答案B直線x+my=0過定點A(0.0),直線mx-y-m+3=0過定點B(l,3).

①當m=0時,過定點A的直線方程為x-0,過定點B的直線方程為＞-3,兩條直線互相垂直,此時P(0.3),/.

PA|+|PB=4.

②當mWO時,直線x+my=0的斜率為」,直線mx-y-m+3=0的斜率為m.■Lm-T,..兩條直線互相垂直,即點

mm

P可視為以AB為百往的圓上的點.當點P與點A或點B重合時，PA+|PB有最小值五五當點P不與點A,

點B重合時,△「他為直角三角形，且PA2+PBJAB「=10.由不等式性質知|PA+PBW

2『川？陶。2vl.-.|PA|+|PB|E[-/Io,25/5j.

綜合①②得IPA1+PB|e[VlO,2\/5].

評析本題考直直線的方程、兩直線垂直及不等式的性質.解答本題的關鍵是找到點P的軌跡.屬中檔題.

2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點P是邊AB上異于A,B的一點.光線從點P出

發、經BC,CA反射后又回到點P(如圖).若光線QR經過的重心,則AP等于()

84

A.2B.1C.-D-

33

答案D以AB為x軸,AC為y軸建立如圖所示的坐標系,由懣可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方

程為xiy4-0.

"2B

設P(t,0)(0<Z4),由對稱知識可得點P關于直線BC的對稱點1乙的坐標為(4,4-t),點P關于y軸的對稱點

P.的坐標為(-1,0),根據反射定理可知PF就是光線RQ所在直線.由P：、P：兩點坐標可得直線PR的方程為

y=^(x+l),設△ABC的重心為G,易知嗚,因為重心Ggg在光線RQ上，所以有+芝Q+t),即

3tj1=0.

444

所以t=0或因為0代〈4,所以1=§,即AP=-.故選［).

3.(2012浙江理,3,5分)設a￡R,則%=1"是"直線L:ax+2yT=0與直線1,建+1+17+4=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由1,〃必得《一士,解得a=l或"-2,代入檢驗符合，即“a=「是u\J/\：的充分不必要條件,

2a+1

故選A.

評析本題考查兩直線平行和充要條件的判斷,考查運算求解能力.

4.(2011浙江文，12.4分)若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則實數m=.

答案1

解析依題意廿0,所以由(-§xT=T,得m=l.

評析本題考查兩條直線垂直的充要條件,屬容易題.注意與平行的區別.

考點二圓的方程

1.(2015課標口理,7,5分)過三點乂1,3)1(4,2),(：(1,-7)的圓交丫軸于)1小兩點,則國用-()

A.2&B.8C.4遙D.10

答案C設圓心為P(a,b),由點A(l,3),C(l,-7)在圓上,知b=券-2.再由PA|=|PB|,得a=l.則

P(L-2),IPAKj(l—1>+(3+2)2=5,于是圓P的方程為(x-l)J+(y+2)12=25.令x=0,得y=-2±2&,則

MN|=|(-2+276)-(-2-2V6)|=4返

2.(2015課標n文.7,5分)已知三點A(l,0),B(0,百),C(2,百)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為

)

答案B在平面直角坐標系xOy中畫出△ABC,易知△ABC是邊長為2的E三角形,其外接圓的圓心為

1,(1，等)因此/+(竽)糜B.

3.(2015北京文,2,5分)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=lB.(xH)2+(y+l)2=l

C.(x+l)2+(y+l)2=2D.(x-|)z+(y-l)2=2

答案D由題意得圓的半徑為夜，故該圓的方程為(xT)：+(y-l)?=2,故選I).

4.(2022全國乙，理14,文15,5分)過四點(0,0),(4,0),(-1,I),(4,2)中的三點的一個圓的方程

為.

答案Cr-2)2+(y-1)2=5或.辦之心心門。或犬+產京-$=()或&)浣x-2y-￡=0

解析選取(0.0),(4,0),(4,2)時,不妨設這三點分別為O.A,B,則線段3的垂直平分線的方程為m2,

線段人8的垂直平分線的方程為尸1,所以經過這三點的圓的圓心坐標為(2,1),記為C,圓的半徑

r=\CO\=y/22+I2=后所以所求惻的方程為5-2)?+()，-1)2=5.

(F=0,

選取(0,0),(4,0),(J,I)時，設所求圓的方程為Ftv2+Dr+Ey+F=0(》+E2-4Q0),則16+4。+尸=0,

l+l-D+￡+F=0,

(D=-4,

解得E=-6,所以所求圓的方程為/+y24r-6.Y=0.

(F=0.

選取(0,0),(-1,1),(4,2)時，設所求圓的方程為產*72+以什3+*=032+七7/，>0),則

(C8

(F=o,D=-r

|1+1-D4-E+F=O,解得<￡=_絲

(16+4+4D+2E+F=0,3'

\F=Q.

所以所求圓的方程為片+戶!》-9=0.

選取(4,0),(-1,1),(4,2)時,設所求圓的方程為/+9+0.什母+尸=032+七7.>0),則

(16+4D+F=0,(0=-T-

1+1-D+E+F=O,解得(E=-2,所以所求圓的方程為

(16+4+4D+2F+F=0,1=_竺.

5.(2022全國甲文，14,5分)設點M在直線2計.I=0上，點(3,0)和(0.1)均在OM上,則GM的方程

為.

答案(X-1)2+(),+1>=5

_(2a+b—1=0,a=1,

解析解法一:設OM的方程為(.")2+(.妨2=/(>0),則，(3-a)2+(0-b)2=已解得b=-1,

.(0-a)2+(1-b)2=r2,r二底

所以0M的方程為(x/)2+(尸4)2工.

解法二：易得過(3.0)和(0,I)的直線方程為加=1,即x+3)、3=O.

以(3.0)和(0,1)為端點的線段的垂克平分線的方程為3.?>4=0,聯立二:；解得｛：191,所以圓

心為(1,-1),則所求圓的半徑7(1-3)2+(-1-0)2=底所以0M的方程為Cr-l)2+(尹1)2=5.

6.(2016天津文，12,5分)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,遙)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0

的距離為手,則圓C的方程為.

22

答案(x-2)+y=9

解析設圓C的方程為(x-a尸+yJr'(a>0),

(|2a|=4V5

由題意可得向"5'解得］二0所以圓C的方程為(x-2)為J9.

((-a)2+(西2=/，

方法總結待定系數法是求解圓方程的常用方法,一般步驟為①設出圓的方程;②列出關于系數的方程組，

并求出各系數的值;③檢蛉各值是否符合題意,并寫出滿足題意的圓的方程.有時也可利用圓的幾何性質進

行求解.

評析本題主要考查點與圓的位置關系，點到直線的距離公式以及圓的方程的求法,考查方程思想方法的應

用,注意圓心的橫坐標的取值范圍是解決本題的關鍵.

7.(2。15課標I理,14,5分)f圓經過橢雇的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準

方程為.

答案(，-滬中

解析由已知得該圓經過橢圓的三個頂點A(4,0)、B(0,2),C(0「2).易知線段AB的垂直平分線的方程為

2x-y-3=0.令y=0,得x=1,所以圓心坐標為像°),則半徑廠4芳.故該圓的標準方程為(x-茅y號

評析本題考查圓和橢圓的方程,求出圓心坐標是解題關健.

8.(2014陜西理,12,5分)若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關于直線y=x對稱，則圓C的標準方程

為.

答案X，6T)」

解析根據題意得點(1,0)關于直線產x對稱的點(0,1)為圓心，又半徑所以圓C的標準方程為

x：+(y-l)=1.

考點三直線與圓的位置關系

1.(2022北京,3,4分)若直線2什)，“=0是例(x-?)2+^=l的一條對稱軸，則片()

A.gB.-：C.1D.-1

答案A由題意可知網心(a,0)在直線2r+.y-l=0上，故2。”1=0,解得“專.故選A.

2.(多選)(2021新高考/,11,5分)已知點P在圓35)2+05)2=16上，點4(4,0),5(0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線A8的距離大于2

C.當NP8A最小時,|尸8|=3后

D.當/尸8A最大時，尸8|=3企

答案ACD由題意可知直線期的方程為彳+Ml,即x+2v4=0,

42

則圓心(5.5)到直線AH的距離公弓*1=邛＞4,

真線AH與圓(xSA+Cy-Sl'Ib和圖.

點P到直線AB的距離的取值范圍為[若-4,竽+4),

?.?譬-4w(0,l),^+4e(8,9),

選項A正確，選項B錯誤.

過點B作圓的兩條切線,切點分別為Pi,P2,如圖，當點P在切點P\的位置時，NPBA最小，當點P在切點P2

的位置時，/PBA最大，易知仍出|=心叫圓心(5,5)到點B的距離為回,圓的半徑為4,所以

I"必=|比8|=、34-16=V18=3a故選項C,D均正確.故選ACD.

方法點撥：1.當直線與圓C相離時，班上的點P到直線的距離的取值范圍為M-r,"+r],其中r為半徑,4為圓

心到直線的距離.2.從圓外?點刃)向圓F+v+Dt+E.y+FRQ+EMQO)引切線，切點為4,則

\QA\=yjx^+Xo+DXQ+Ey0+F.

3.(2015廣東理,5,5分)平行于直線2x+y+1=0且與圓x'y'5相切的直線的方程是()

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+V5=0或2x+y-?=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+V5=0或2x-y-,\f5-0

答案A切線平行于直線2x+y+l=0,故可設切線方程為2x+y+c=0(crl),結合迤意可得號-通.解得c=±5.

故選A.

4.(2015山東理,9.5分〉f光線從點(-2,-3)射出,經y軸反射后與圓(x-3)?+(y-2)J=l相切,則反射光線所

在直線的斜率為()

5T3c3T2

A.一1或一￡

JD

C.3或I3

D.

答案D由題意可知反射光線所在直線過點(2.-3),設反射光線所在直線方程為y+3=k(X2),即

kx-y-2k-3=0.

..反射光線所在直線與圓相切,/節2-2"3|一[解得卜:一或k3

M+1

評析本題主要考查直線和圓的位置關系.

5.(2015重慶理,8,5分)已知直線1:x+ay-l=0(a￡R)是圓C:x:+yMx-2y+l=0的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C

的T切線,切點為B,則|AB|=()

A.2B.4y/2C.6D.2-710

答案CdC的標準方程為(x-2)：+(y-l)?=2：圓心為C(2,1),半徑r=2,由直線I是圓C的對稱軸,知直線1

過點C,所以2+axl-l=0,a=T,所以A(-4,T),于是AC12=40,所以ABI=y/AC\2-2z=>/40-4=6.故選C.

6.(2014課標H文.12,5分)設點MM,1),若在圓0:始+丫2-1上存在點N.使得/OMN-45。,則x“的取值范圍是

()

A.[-1,1]B.1

C.[-V2,V2J

答案A過V作圓。的兩條切線以、VB,切點分別為A、B,若在圓0上存在點N,使40冊「45°,則/0VB1

ZOMN=45",所以/AMB290。,所以-Wx“W1,故選A.

評析本題考查直線與圓的位置關系，體現了數形結合的思想方法.

7.(2014浙江文,5,5分)已知圓-+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數a的值是()

A.-2B.-4C.-6D.-8

答案B將圓的方程化為標準方程為(x+l)'+(y-l)2=2-a,所以圓心為(7,1),半徑r=G￡圓心到直線

x+y+2=0的距離d上鬻故r-dM,即2-a-2=4,所以a=-4,故選B.

V2

8.(2014安徽文,6.5分)過點P(-后T)的直線I與圓有公共點.則直線I的傾斜角的取值范圍是

()

A.M]B.(0,2]C.[o,2]D,[o,2]

答案D過P點作圓的切線PA、PB,連接OP.如圖所示.

顯然，直線PA的傾斜角為0,又0P=V(-A/3)2+(-1)2=2,PA=V3,0A=l,因此NOPA=T，由對稱性笈],直線PB

O

的傾斜角為全若直線I與圓有公共點,由圖形知其傾斜角的取值范圍是[。哥故選D-

9.(2016山東文,7,5分)已知圓M:>3+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=O所得線段的長度是2e.則圓M與圓

N:(x-l)2+(y-D』的位置關系是()

A.內切B.相交

C.外切D.相離

答案B由題意知圓M的圓心為@a),半徑R-a,因為圓M截直線x+y-0所得線段的長度為2日所以圓心

M到直線x+y=O的距離霉=〃2-2(a>0),解得a=2,又知圓N的圓心為：】，I),半徑r=I,所以國N=&,則

R-r〈e〈R+r,所以兩圓的位置關系為相交,故選B.

思路分析利用直線被圓所截得的愛段的長度構造關于a的方程,從而求出圓M的圓心及半徑,根據兩圓圓

心距及兩圓半徑和與差的大小關系判斷兩圓的位置關系.

10.(2014北京文,7,5分)已知圓C:(x3)i+(y4)2=l和兩點A(in,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P,使得

NAPB=90°,則m的最大值為()

A.7B.6C.5D.4

答案B若/APB=90°,則點P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為x句%；由題意知圓C:(x-3尸+(y-4)』

與圓Od+y』：有公共點所以m-lWOCWm+I,易知OC|=5,所以4WmW6,故m的最大值為6.選B.

11.(2013重慶理,7,5分)已知圓C:(x-2)?+(y-3)?=1,圓。:(x-3)■(y-4)'=9,M,N分別是圓C..C上的動點,P

為x軸上的動點，則PMI+IPNI的最小值為()

A.5-72-4B.V17-]C.6-2近D.V17

設P是x軸上任意一點，則BI的最小值為IPCJ-1,同理可得PN|的最小值為叫-3,則|掰+IPN的最小值

為PC+1PC，-4.作3關于x軸的時稱點C,(2.-3).連接C'C.與x軸交于點P.連接PG,根據二角形兩邊之

和大于第三邊可知PGl+lPC」的最小值為CC,則PM+1PN的最小值為5讓-4.選A.

評析本題考查了圓的標準方程及圓的幾何性質等知識，同時又考查了數形結合思想、轉化思想.把折線段

長的和轉化成兩點間的距離是本題的關鍵.

12.(2016課標H.4,5分)圓x4yHx-8y+13=0的圓心到直線ax+yT=O的距離為1,則a=()

A.--B.~C.y/3D.2

34

答案A圓的方程可化為(x-l)--+iy-4)則圓心坐標為(1.4),圓心到直線ax+y-1=0的距離為個誓-1,

Va2+1

4

解得a=-§.故選A.

思路分析將圓的方程化成標準方程,從而得出圓心坐標,進而利用點到直線的距離公式列出關于a的方程,

解方程即可求得"的值.

13.(2016北京,5,5分)圓(x+l)，y2=2的圓心到直線y=x+3的距閣為()

A.IB.2C.y/2D.2yfi

答案C由題知圓心坐標為(1,0),將直線y=x+3化成一股形式為x廣3=0,故圓心到直線的距離

d豐故選C.

易錯警示在應用點到直線的距離公式＜1=出獸竺4寸,一定要將直線方程化成一股形式，正確寫出

任標

A.B,C的值,此處符號易出現錯誤.

14.（2016課標1,15,5分）設直線尸（+22與圓（：:大+廣2@丫-2=0相交于,4,1?兩點若八B|=2百，則圓C的面

積為.

答案4TT

解析把圓C的方程化為x2+（y-a）,=2+a；則圓心為（0,a）,半徑r八展圓心到直線x-y+2a=0的距離

d=^.由1=皿（等）:得小2=（3,解得az=2,貝!）產=4,所以圓的面積S=TlrMn.

15.（2016課標ID,15,5分）已知直線1:x-百y+6=0與圓x2+yz=12交于A,B兩點，過A,B分別作1的垂線與x

軸交于C,D兩點.則CDI=

答案4

解析圓心（0.0）到直線x-百y+6=O的距離d=^篇=3,AB|=202-32=26,過C作CE_LBD于巨因為直

線1的傾斜角為30。,所以|CD|=3-=上曳=等F.

cos300cos300浮

4

16.（2016課標ID理，16,5分）已知直線1:mx+y+3m-ji=o與圓x+yn2交于A,B兩點過A,B分別作1的垂

線與x軸交于C,D兩點若AB=2仃,則1CD|=.

答案4

解析由題意可知直線1過定點（-3,百），該定點在圓Y+*12上,不妨設點A（-3,百），由于

AB=2JIr=2，I所以圓心到直線AB的距離為＜1=疝豆=麗13,又由點到直線的距離公式可得

d_|3m-V3|_3解得忤￥所以直線?的斜率k~m=■即直線I的傾斜角為30°.如圖,過點C作CH1BD,垂

Vni2+133

足為H,所以ICH]在RtACHD中，/HCD=30",所以|CD=這=4.

cos30°

B

qD]*

解后反思涉及直線與圓的位置關系的問題要充分利用圓的性質,利用數形結合的思想方法求解.

17.(2015江蘇J0,5分)在平面直角坐標系xOy中.以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2mT=0(m￡R)相切的所

有圓中.半徑最大的圓的標準方程為.

答案(x-l)V=2

解析由mx-y-2m-l-0可得m(x-2)=y+1,由R知該直線過定點⑵T),從而點(1,0)與直線mx-y-2m-l-0

的距離的最大值為J(2-I)?+(T-0)2=0,故所求圓的標準方程為(x-l)，y2=2.

18.(2014重慶理,13,5分)已知直線ax+y-2=0與畫心為C的圓(xT)'+(尸>=4相交于A,B兩點且aABC為

等邊三角形,則實數a=.

答案4±V15

|a+a-2|

解析易知是邊長為2的等邊三角形，故圓心C(1,a)到直線AB的距離為百.即-百,解得a=4

Va2+1

±/15.經檢驗均符合題意，則a=4±jil

評析本題考查過定點的直線與圓相交的弦長問題,以及數形結合的思想方法，對綜合能力要求較高.

19.(2022新高考〃,15,5分)設點4(-2,3),8(0,?),若直線AB關于…對稱的直線與圓B+3)2+(>2”=l有

公共點，則”的取值范圍是.

答案M

解析設直線AB關于尸a對稱的直線為/,?.?匕卡等,.?4一等.

顯然點從0,加在直線I上，，直線；的方程為產上熱+a,即(a-3)x+2y-2?=D.???/與圓有公共點，

繳J讖通血_

即|-3(a-3)+2x：2)-2a|即癡””壬0.

解猾Wa與.?.實數a的取值范圍為|昊].

20.(2022全國甲理，14,5分)若雙曲線產今=1(加乂))的漸近線與圓廣+產4”3=0相切，則〃尸.

答案日

解析易得雙曲線的漸近線方程為產±專(，〃>0),

圓的方程可化為.F+G，-2）2=l,其半徑r=\.

.2.

???漸近線與圓相切，，圓心（0,2）到漸近線的距離等于r.k.，?，”話,又/n>0,

21.（2022新高考/,14,5分）寫出與圓爐+尸=］和（工一3）2+（廣4）2=］6都相切的一條宜線的方程.

答案)=-1(或3A+4V-5=0或7.r-24y-25=0)

解析二,兩圓6:r+>2=1,Q：（。3）2+（3，-4）2=16的圓心分別為G（0,0）C（3,4）,八=1,。=4,，

|CiC2|=5=n+r2,則兩@1外切，如圖所示灼與直線/i:4-1相切，兩圓圓心連戲C\Cz所在宜戲的方程為產，，記

為/.h與/交于點由兩列另一外公切線八過點P,設/2：y+^=^（x+i）,rh〃與圓。［：/+盧1相切，

得煤=1,求出胃,則直線，2的方程為7.24），-25=0,由內公切線h與/垂直，設人的方程為尸*相由h

與圓Ci:.v2+y2=l相切得〒=1坦=q=l,，〃J=：或1.當m=［時，產［x-與圓C?不相切,不符合題意,舍去.故

44444

則直線h的方程為3.v+4y-5=0.

綜上,可知三條切線方程分別為ml3.r+4y5=0,7.r-24y-25=0.

綜上,可知三條切線方程分別為ml3.r+4y-5=0,7.r-24y-25=0.

22.（2021全國甲理,20.12分）拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在x軸二，直線交C于P,。兩點，

且OPA.OQ.已知點M⑵0）,且0M與/相切.

（I）求C,OM的方程：

⑵設A,4是C上的三個點,直線4A2,44均與OM相切.判斷直線八達3與。M的位置關系，并說明理

由.

角竄析（1）由題意可設拋物線C的方程為尸=2N5>0）,則？Q的坐標為（1.+歷）.

'：OPLOQ,：.0P-OQ=\-2p=0,

???左也，拋物線c的方程為r=x

???OM的圓心為（2,0）,0M與直線x=l相切，...OM的半徑為I,

???GM的方程為（x-2）2+產】.

⑵直線4A3與。」W相切.理由如下:

設4（犬,MA2（無,yi）,A3（修.V2）,?直線AlAi,A1A3均與。M相切,；?*￡I,p/1,用±1,

由4,小的坐標可得直線八也的方程為）」=受巴（"海，整理，得『（沖5））七＞好1=0,由「直線八也與。M

%—V1

2+yyJ

相切，，的到直線4A2的距離公oI,整理得(濟1)資+2yOyl+3-據=0,①

、”+仇+丫1產

同理可得，（必-1）川+2yoy2+3-%=0,②

觀察①②,得＞?.,”是關于x的?元二次方程（必-1）/+2，出+3-昧=0的兩根

=_①

必+為產'(*)

3-辭''

而,

同理，得直線人93的方程為x-（＞'i+）2）y+yo,2=0,

:,把(*)代入,得公,留=12魂-1尸3-曲|

[2+>'1刈

則點M（2,0）到直線4加的距離＜/'=■

口+5+丫2）2

i+卜制工J(yJ-i)2+(-zyo)2

|y<?>n=盟上1：?直線A加與OM相切?

Jy：+2光+1

解后反思本題第（D問較為基酬,熟練掌握拋物線和圓的標準方程是關鍵;第（2）問涉及的條件較多，其中

直線AA?與圓相切,是最重要的一個條件，由此條件可求出直線A.Ai的方程,進而直線44,A/a的方程就

可同理求得,可大大簡化運算過程,而由①②歸納出抖），：;是方程0本1）/+2）水+3-弁=0的兩根,則需要有較

深的數學功底和知識儲備，需要同學們平時不斷枳累.

23.（2015課標I文,20,12分）已知過點A（0,1）且斜率為k的直線1與圓C:（xW+g）,交于M,N兩點.

⑴求k的取值范圍；

⑵若而?而E2,其中。為坐標原點求刑.

解析（1）由題設，可知直線1的方程為kkx+L

因為與交于兩點,所以

1C與-3+1L

解律9k〈竿.

所以k的取值范圍為（亨,苧）（5分）

⑵設M(x”yi)?N(xz,yj.

將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)M，整理得

(l+k*)x-4(l+k)x+7=0.

4(1+ZQ7

所以X,+Xi=XiX：----(7分)

1+k2l+/c2

OM?O/V=XiX.+yiy2

=(l+k*)x1x:+k(x)+x;)+l

坐喀+8.

1+k，

由題設可得竿尹+8=12,解得k二,

1iK

所以1的方程為y=x+l.

故圓心C在1上，所以IMNI=2.(12分)

24.(2015廣東理,20,14分)已知過原點的動直線1與圓G:x2+y-6x+5-0相交于不同的兩點A,B.

(1)求圓G的圓心坐標；

⑵求線段AB的中點\1的軌跡C的方程；

(3)是否存在實數k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說

明理由.

解析(1)圓&的方程x'+yL6x+5-0可化為(x-3)2+yM,所以圓心坐標為(3.0).

⑵設A(x1,yi),B(x〃y：)&WxJ,M(xo,y<.),

i+%2力+力

貝mi！Jx,)=,y產一--.

由遂意可知直線I的斜率必存在.設直線1的方程為y-tx.

將上述方程代入圓C的方程，化簡得(Ht2)x，-6x+5=0.

由題意,可得A=36-20(l+/)>0(*)R+x：-y^,

所以X產缶，代入直線1的方程,得雙言.

E二2299/9(l+t2)9c

因為反?%一(1+22(1+岸)2一丁田廣而:3x°,

所以(與-滬湍

由(*)解得W，又共0,所以|〈x°W3.

所以線段AB的中點M的軌跡C的方程為(X-|)2+>'4(|<x<3).

⑶由(2)知,曲線C是在區間C,上的一段圓弧.

如圖,D