備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷05(新高考II卷專用)

第I卷(選擇題)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知集合人={-1,01,2},8=卜,2工]},則A「8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

K答案)]B

k解析U^={x|x2<l)={x|-l<x<l},

又刊={-1,0,1,2},則8={-1,0,1}.

故選：B.

2.(2-i)(l+3i)=()

A.5+5iB.5-5i

C.-l+5iD.-l-5i

R答案HA

K解析』(2-i)(l+3i)=2+6i-i+3=5+5i.

故選：A

3.斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖

1,這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2,已知拉索上端

相鄰兩個(gè)錨的間距出匕」(，=123,…,9)約為4m,拉索下端相鄰兩個(gè)錨的間距Md/

(，=1,2,3,…,9)均為18nL最短拉索的錨片，A滿足QR|=84m,|QA|=78m,以為4所在

直線為x軸，所在直線為〉軸，則最長拉索所在直線的斜率為()

K答案2B

K解析》由題意知｛。用，｛3｝（i=123,…,10）分別是公差為4和18的等差數(shù)列,

所以10Koi=|。圖+9x4=84+9x4=12。，|。線=+9x18=78+9x18=240,

所以3島=黑=；,勾島=號=一；,即最長拉索所在直線的斜率為

U+Z4UZU—Z4UZZ

故選：B.

4.已知平面向量〃=7（4,3）,??=（2,0）,i=〃；+/5，若＜：〃?,，）=（〃"），貝必=（）

K答案UD

K解析U[=機(jī)+版=（4,3）+（2左,0）=（4+2匕3）,

mt4(4+泉)+925+82

COS(772.r

kikl5H5”

2(4+24)4+2左

2H

25+824+2Zs

所以書二方,解得火w

故選：D

5.2023年杭州亞運(yùn)會期間，甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員與5名志愿者站成一排拍照留念，若甲

與乙相鄰、丙不排在兩端，則不同的排法種數(shù)有（）

A.1120B.7200C.8640D.14400

K答案XB

k解析?]]甲與乙相鄰有A：種不同的排法，將甲與乙看作是一個(gè)整體，與除丙外的5人排好,

有A：種不同的排法，

再將丙排入隔開的不在兩端的5個(gè)空中，有C；種不同的排法，

所以共有A；A：C；=7200種不同的排法.

故選：B.

6.已知角a,#e(0,7t),且sin(c—/?)+cos(a+")=0,sin?sin/7-3cosarcos/?,則

tan(cr-。)=()

A.-2B.」

c?ID.2

2

R答案》c

k解析H因?yàn)閟in(a-0+cos(a+〃)=O,

所以sinacos/y-cosasinp+cosacos〃-sinasin〃=0,

sinacosB-cosasin3,

所以?：：-7=—］，

cosacosp-sinasinp

,tanor-tanZ?,

mil-----------------=-l,

1-tantztanp

Xsinasin=3cosacosp,則tanatan/?=3,

貝(jtana—tan.=2,

，zc、tana-tanB21

所以tan(a?/?)=-------------=—=

1+tanatanp1+32

故選：c.

7.已知正三棱錐戶-人BC的外接球的表面積為3萬，若外_L平面PBC,則三棱錐P-A3C的

體積為()

A.-B.-C.—D.—

634824

R答案HA

K解析工設(shè)外接球半徑為R,則4萬川=3萬，所以犬=爭

設(shè)PB=PC=PA=a,因?yàn)镋4J_平面P8C,所以個(gè)_L依，PALPC

所以AB=AC=V^/，又因?yàn)椤鰽BC為正三角形，BC=&a，「./〉8_LPC

即以，PB,PC兩兩垂直.

將三棱錐補(bǔ)成以％,PB,PC為鄰邊的正方體，貝1」扭=走=立〃，得〃=|,

22

所以三棱錐的體積為V=：x〈x|xl="

326

故選：A.

8.函數(shù)/(x)和g(x)的定義域均為R,已知)，=/(1+3])為偶函數(shù)，y=g(x+l)+l為奇函

數(shù),對于VrwR,均有f(x)+g(工)=/+3,則〃4)g(4)=()

A.66B.70C.124D.144

K答案2B

R解析』??,y=f(l+3x)為偶函數(shù),即f(l+3x)=f(l-3x),

\的圖像關(guān)于x=l對稱，

?)，=g(x+l)+l為奇函數(shù)，即g(x+l)+l=-g(-x+l)-l,

??.g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對稱，

,?,對于WxwR,均有/(x)+g(x)=f+3,

”(-2)+&(-2)=4+3=7,

??"(%)的圖像關(guān)于x=1對稱,「.〃-2)=/(4),

???g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,-1)對稱，,g(-2)=-g(4)-2

"(4)-g(4)=9

又〃4)+g(4)=42+3=l9

解得〃4)=14,g(4)=5,

.J(4)g(4)=70.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題

9.對于函數(shù)〃x)=-2sin3x+?+-(xeR),有以下四種說法正確的是：()

A.函數(shù)的最小值是-?!

B.圖象的對稱軸是直線工點(diǎn)喂AeZ)

C.圖象的振幅為2,初相為:

4

D.函數(shù)在區(qū)間[一得上單調(diào)遞增

JL乙

K答案HAD

K解析》因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=-2sin(3x+T+；(xeR)，則有：

對于選項(xiàng)A：當(dāng)3]+2=2+2面,kwZ,即1=二+2而從62時(shí)，

42123

I7

函數(shù)/(x)取得最小值為-2*1+萬=-本故A正確；

對于選項(xiàng)B：令3x+C=Z+E#eZ,解得產(chǎn)工+蛆,%6%,

42123

函數(shù)/（"的圖象的對稱軸是直線4聯(lián)+爭良Z,故B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?/p>

Ji37r+-=2sinf3x--+2^71+',ke.Z,

/(v)=-2sin|3x+-|+-=-2sinI3x--+2ibr|+7r

4；242I4）2

所以圖象的振幅為2,

令乙=一2E+2E?WZ,解得4=2￡Z,

442

所以;不為初相，故C錯(cuò)誤；

4

對于選項(xiàng)D：令二+2EW3X+至42+2E,kwZ,解得烏+也+也/wZ,

242123123

即函數(shù)/3的遞增區(qū)間為七+半，居+§］，%eZ,

當(dāng)％=T時(shí)，/5）的遞增區(qū)間為-得，-;，故D正確.

故選：AD.

10.（多選題）“塹堵”“陽馬”和“鱉嚅”是我國古代對一些特殊兒何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》:

“斜解立方，得兩塹堵，斜解量堵，其一為陽馬，其一為鱉嚅一個(gè)長方體沿對角面斜解（圖

1），得到一模一樣的兩個(gè)塹堵（圖2）,再沿一個(gè)塹堵的一個(gè)頂點(diǎn)和相對的棱斜解（圖2）,

得一個(gè)四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個(gè)三棱錐稱為鱉膈（圖4）.若長方體的體積為匕由該

長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉嚅的體積分別為匕，匕，匕，則下列選項(xiàng)正確的是（）

R答案UACD

K解析U設(shè)長方體的長寬高分別為。也c,V=ahc,

V]1]L'abc'abc,

則匕=-=—abc,%=-xabc=-abc,匕=

,22233326

3I

故匕+%+K="c=V，匕=：匕，匕=2匕，則B錯(cuò)誤，ACD正確；

26

故選：ACD.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（—2,-1）在拋物線C：X2=_2py（p>0）上，過點(diǎn)8（0,1）的直線交

拋物線。于P,Q兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=iB.直線袒與拋物線C相切

C.OP0Q為定值3D.忸斗忸@>|84『

K答案HABD

K解析》對于A：因?yàn)辄c(diǎn)A（-2,-l）在拋物線c：/=-2刀（〃>0）上，

則4=2〃，解得p=2,

所以拋物線C：x2=-4y,

其準(zhǔn)線為y=l,故A正確；

對于B：令=

則廣（”=一?，可得r（-2）=1,kAB==1,

即拋物線在A點(diǎn)處切線斜率與直線4B斜率相同，

所以直線與拋物線C相切，故B正確；

對于C：由題意可知，直線PQ斜率存在，

設(shè)直線PQ的方程為》=履+1,尸（百,*）,。（孫％），

聯(lián)立方程y工=“+1消去得7+疝+”。,

可得A=1622-16>O,得公>1,

%1+x=-4k

且2

xAx2=4

2

umuuu（rVv-

因?yàn)椤＃俊！?內(nèi)/+）叱2=內(nèi)再+-十--T

14人4

22

=X[X>+上4=4+1=5,故C錯(cuò)誤；

~16

2

對于D；山題意可知忸入「=（2O）I（11/=8,

因?yàn)殁疃窇z。|=?+后歸-0].?7尸卜2-。|=（1+公）|即q=40+公）,

則忸斗忸Q=4（l+&2）>8.

所以|四.忸0|〉|例）故D正確.

A.4.v+3j<2>/3B.4x+3y>-l

C.4x2-6町+9）*W8D.4.r2-6沖+9y2>1

k答案UAD

1771

K解析D對于AB,因?yàn)?f+6肛，+9y2=/4x+3），）2+-r），2=3,所以二（44+3），[43,當(dāng)

444

且僅當(dāng)y=0時(shí)取等號，

所以（4x+3?W12,所以一2604x+3），&2百，所以A正確，B錯(cuò)誤，

對于C因?yàn)?（2%+3心0,所以2（4312盯+9/）",當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3y時(shí)取等號,

所以8x2+24.17+i8y2>0.所以12—+18外+27/24x2-6.p+9,y2,

所以3（4/+6xy+9y2）>4x2-6xy+9y2,

所以4/-6與，+9），249,當(dāng)且僅當(dāng)2x=-3），時(shí)取等號，所以C錯(cuò)誤，

對于D,因?yàn)?（2x-3?2（）,所以2（4/一12心+9），2）20,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3），時(shí)取等號：

所以8x2-24xy+18/>0.所以12.?-18^+27y2>4x2+6盯+9/,

所以4/-6冷，+9^2空等土2匚=1,當(dāng)且僅當(dāng)2x=3），時(shí)取等號，所以D正確，

故選：AD

第H卷（非選擇題）

三、填空題

13.已知隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布N(4,，)，且P(4>6)=0.2,則P(2<J<4)=.

K答案』0.3

K解析》隨機(jī)變量g服從正態(tài)分布N(4Q2),且尸(4>6)=0.2,

所以2(4<4<6)=0.5-2(4>6)=0.3,

所以P(2<《<4)=尸(4<g<6)=0.3,

故K答案X為：0.3

14.已知函數(shù)/(x)=lnx+x,過原點(diǎn)作曲線)，=/("的切線/,則切線/的斜率為.

k答案H-+1

e

K解析》由題意得，/(力=,+1,設(shè)切點(diǎn)為。(與』入％1%)，

X/

(1、

則切線方程為丁=一+1(x-x0)+lnx0+x0,

Mo/

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，

，1)

所以0=—+1(-%0)+111^+^=lnX0-l,

kXo7

解得%=e,所以rA)=/'(e)」+l.

e

故R答案X為：-+1

e

15.已知圓C：工2+),2+24-4)，+3=0,直線/：(〃z+2)x+(〃Ll)y+4-4"?=0,若在/上總

存在點(diǎn)M,使得過M點(diǎn)作的圓。的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

K答案X-2</n<10

K解析II根據(jù)題意，圓C：V+),2+2工一4)，+3=0即(八+1)2+(>-2)2=2,

其圓心為(-L2),半徑7?=&,

如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為A,8.連接人C,BC,MC,

由==3c=9(T,又由AC=8C=r=&，

則四邊形MACS為正方形且=V2r=2,

若直線/上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直,

|-（77：+2）+2（/ZJ-1）+4-4W|

只需圓心（-1，2）到直線/的距離d=<2,

“71+2）2+（“2-I）?

即—8/〃-20&0，

解可得：-2<77?<10,

即，"的取值范圍為-2〈〃區(qū)10；

故K答案U為：-2</n<10

16.已知橢圓C：￡+君的左，右焦點(diǎn)分別為耳，人,過點(diǎn)耳且垂直于x軸的

直線與橢圓交于A、5兩點(diǎn)，AK、分別交y軸于2、。兩點(diǎn)，PQ6的周長為4.過與作

/工46外角平分線的垂線與直線BA交于點(diǎn)N,則|ON=,

k答M3V17

K解析》因?yàn)槭琎/皿所以\PQ品\|=「居鬲|=\Q局F2\）1

因?yàn)椋琍QK的周長為4,所以△A85的周長k用+配用+忸制+忸瑪|=4a=8,

所以〃=2,所以橢圓方程為:+]=1,02=4-3=1,所以4（一1,0）,

直線A4垂直x軸，設(shè)4（-1,），。）,），0>0,代入：+孽=1,求得

所以|A&=防「+|即「=（+4=曰，|4F2|=|,

因?yàn)?鳥人片外角平分線AT的垂線與直線BA交于點(diǎn)N,

所以M段=MM=mw|^|=|+|=4,

則|0討=加用2+|602=42+1=17,所以|例=行?

17.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且--々=%-名=包-q.

(1)證明：4=4；

⑵若集合"=任也二%-《」金〃450｝,求集合用中的元素個(gè)數(shù).

q+d-2々=4+2J-4/7)

(1)證明：設(shè)數(shù)列｛〃”｝的公差為"，則,

4+d_2bl=8b「M+3d)

d=2b.

即4,

[Cly+2J-5/?!=0

解得4=4=g,所以原命題得證.

(2)解：由(1)知〃=4=[，所以瓦=?“+6=4x2"」=q+(〃?-l)d+q,

因?yàn)椋＃裕?=2卜2目1,50],解得2WA410g250+2=3+k)g"5,

由24=15,25=32,Jfc4<log225<5,g|J7<3+log225<8,

所以滿足等式的解攵=2,345,6,7.

故集合M中的元素個(gè)數(shù)為6.

18.在①sin8=>/5sinA;②〃cosC+ccos8=2cos3這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問

題中并解答.

問題：設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為J且sinA+sin(4-A)=sinC"=后,

(1)求3;

(2)求ABC的周長.

注：若選擇條件①、條件②分別解答，則按第-個(gè)解答計(jì)分.

解：(1)在；A8C中，。二工一4一8,

.,.sinC=sin(A+/?),

sinA+sin(^-A)=sinC,

sin4+sin(/?-4)=sin(4+^),

則sin4+sin"cosA-cosAsin4=sin“cos4+cosAsinA,

化簡得sinA=2sinAcos8.

在/BC中，sinAhO,

cosB=—.

2

又0<fi<7t,

?、江

B=—.

3

⑵由余弦定理,得〃=/+c2-2accosB,即，/+c2-ac=3.

若選①，

?.,sinB=GsinA,即〃=\/5a,且/+。？一改=3，

a=1,C=2,

此時(shí)A8C的周長為3+6.

若選②，

bcosC+ccosB=2cosB,

?>->2，，，?

.a~+b--c~a+c--b-一?I,

:.bx---------------+cx---------------=2cosB，Bn|Jila=2cosB=2ox—=I,

lab2ac2

又a2+c2—ac=3，

:.c=2,

此時(shí)4?C的周長為3+6.

19.據(jù)調(diào)查，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，減少水資源的浪費(fèi)，計(jì)劃在本市試行居民生

活用水定額管理，即確定一個(gè)合理的居民用水量標(biāo)準(zhǔn)x（單位：噸），月用水量不超過x的

部分按平價(jià)收費(fèi)，超出X的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解全市居民用水量分布情況，通過抽樣，

獲得了〃戶居民某年的月均用水量(單位：噸)，其中月均用水量在(9,12］內(nèi)的居民人數(shù)為

⑴求。和〃的值；

⑵若該市政府希望使80%的居民月用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)工噸，試估計(jì)x的值；

⑶在(2)的條件下，若實(shí)施階梯水價(jià)，月用水量不超過x噸時(shí)，按3元/噸計(jì)算，超出x噸

的部分，按5元/噸計(jì)算.現(xiàn)市政府考核指標(biāo)要求所有居民的月用水費(fèi)均不超過70元，則

該市居民月用水量最多為多少噸？

解：(1)\(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050+0.020+0.015+0.005+?)x3=l,

I

a=----.

300

丁用水量在(9,12］的頻率為0.065x3=0.195,3前9=200(戶)

(2)(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085)x3=0.72<0.8,

(0.015+0.025+0.050+0.065+0.085+0.050)x3=0.87>0.8,

0.80-0.72

15+3x16.6(噸)

0.R7-0.72

(3)設(shè)該市居民月用水量最多為“噸，因?yàn)?6.6x3=49.8<70,所以m>16.居

則卬=I6.6X3+(〃L16.6)x5070,解得/nV20.64,

答：該市居民月用水量最多為20.64噸.

20.如圖，在四棱錐P-/13C。中，底面A8CD是正方形，尸。_1底面48。。，E,6分別是

PC,AO中點(diǎn).

C

AB

⑴求證：/平面尸尸8;

(2)若AO=1,03與平面ABC。所成角為45。，求平面尸/由與平面EFQ夾角的余弦值.

⑴證明：設(shè)G為PR中點(diǎn),連接GE/G,

乂E戶分別是中點(diǎn)，

所以尸O=LAO,GE=，8C,GE!IBC.

22

乂底面A8CO是正方形，

所以")=GE,GE//FD,故四邊形a)EG為平行四邊形，則DE//FG,

由。七(2平面勿E,尸Gu平面打火，則。七//平面

(2)解：因?yàn)镻8與平面/WC。所成角為45。，所以/尸8。=45,以及為原點(diǎn)，構(gòu)建空間直角

坐標(biāo)系，

由于AO=1,則。。二05=a，

所以8(1,1,0),。(0,0,0),E0，；，孝,0,0)，尸(0,0.閭,

<2

所以QE二

m-DE=—y+z=0

令"7=（M），,Z）為平面EF。的一個(gè)法向量，則?2-2

m-DF=—x=0

2

令y=4i,即m=（0,夜，-1）,

n-PB=a+b-y/lc=0

令〃=卜/，"。）為平面/Y8的1-個(gè)法向量，則，

n-FB=—a+b=0

2

令。=2,即〃=2,-1,

3>/2

所以cos（〃?,〃，=m?nF二3后

高廠5

即平面PFB與平面EDB夾角的余弦值工竺

55

21.已知雙曲線C：二-1力>0）經(jīng)過點(diǎn)尸（4,6）,且浙近線方程為），=±瓜.

ab~

（I）求。的方程;

⑵過點(diǎn)尸作）'軸的垂線，交直線/：x=l于點(diǎn)M,交）'軸于點(diǎn)N.不過點(diǎn)P的直線交雙曲

s

線。于A、8兩點(diǎn)，直線力,依的斜率分別為占，Q若勺+&=2,求廣.

JNAB

解：（1）由二一二=0=），=±2不，即2=6=//=3。2,

a~b~aa

將尸（4.6）代入雙曲線方程得，爺=1n/=44—

（2）當(dāng)直線A3的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線A"：y="+〃i,4（西,乂）,4（工2，%），

聯(lián)立雙曲線方程；=7=。=-2熱"心。.

其中公±3/=4&加2-4（3--）（一〃?2_]2）>0=62+]2_48>0,

2km-m2-12

Xi+X2_,V2=__?

R—X—6,.―62煙0+（〃?_6_必）您+當(dāng)）_8（〃?_6）

1

2內(nèi)―4x2-4內(nèi)再—4（玉+xj+]6

（2人一2）%修+（"7+2-4樞N+/）-8/〃+16=0,

化簡得病+2k〃-8k2-12伏+"?)+36=("?-2k-6)(〃z+必-6)=0

所以〃？=2&+6或tn=-4k+6，

當(dāng)〃?=-4k+6時(shí)，直線AB過P,不符題意舍去，

故〃?=2攵+6,則此時(shí)直線A8:)，=k(x+2)+6,過定點(diǎn)。(一2.6).

如圖所示,易知M(l,6),N(0,6),

胤s”；帆一)訃QM|0陷_3

「NABL\yB-yA\.\DN\PM2

乙

當(dāng)直線A8的斜率不存在時(shí)，可設(shè)A8:x=/,

與雙曲線方程聯(lián)立，則=1=),=±J3/-12,

可令人’,,3產(chǎn)12),葉,43212卜

in.1..,53.—12—6_12_6..

此時(shí)0k、+k、=-----------+-----------=2nf=-2，

7-4