利用旋轉性質解決幾何問題

一、單選題

1.（2024?北京?模擬預測）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8。=66，點。在線段上

運動（含氏。兩點），連接AP,以點A為中心，將線段行逆時針旋轉60。到AQ,連接OQ,

則線段OQ的最小值為（）

A.1B.5&C.竽D.3

2.（2024.北京門頭溝.一模）如圖，在等邊三角形ABC中，有一點P,連接孫、PB、PC,

將AP繞點8逆時針旋轉60。得到，連接P。、AD,有如下結論：①.BPCWBDA；②

△8DP是等邊三角形：③如果ZBPC=150°,那么RV=p￥+PC2.以上結論正確的是（）

A.①②B.??C.②③D.①②③

二、填空題

4

3.（13-14九年級上.遼寧?階段練習）如圖，直線y=—§x+4與x軸、），軸分別交于A、8兩

點，把叢04繞點A順時針旋轉90。后得到△49E,則點方的坐標是.

三、解答題

4.（2024.北京房山?模擬預測）如圖，在工8。中，AB=AC,/8=。（0。＜。＜45。），4）是

中線?點E是3。上的動點（不與端點B,。重合）.將線段繞點E順時針旋轉力得到

線段防，連接版.在CB延長線上存在點G,使GE=CE,連接

（1）補全圖形;

⑵判斷A凡G廠的位置關系,證明結論；

DE

（3）若a=30。，且GB=AB,直接寫出——=

試卷第2頁，共41頁

5.(2024.北京豐臺?一模)在"C中，AB=AC,N84C=。，點。是BC中點，點E是線

段8c上一點，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉。得到線段四，連接七八

(1)如圖1,當點E與點。重合時，線段Eb,4c交于點G,求證：點6是￡廠的中點；

(2)如圖2,當點石在線段4。上時(不與點8,。重合)，若點H是E尸的中點,作射線

交AC于點M,補全圖形，直接寫出NWW。的大小，并證明.

6.(2024.北京石景山.一模)在，ABC中，AB=AC,0°<ZfiAC<60°,將線段8c繞點4逆

時針旋轉60。得到線段8。，連接AQ.將線段4。繞點A順時針旋轉90。得到線段AE,連接

DE.

⑴如圖1,求證：EA//BC-

(2)延長BC到點F,使得CE=C8,連接DF交AC于點”，依題意補全圖2.若點、M是AC

的中點，用等式表示線段Mb,MQ,。月之間的數量關系，并訐明.

試卷第4頁，共41頁

7.(2024?北京房山?一模)在^A3C中，AB=AC,ZBAC=2a(45°<a<90°),。是上的

動點(不與點C重合)，且8Q>QC,連接AD,將射線AD繞點、A順時針旋轉?得到射線AG,

過點。作A。交射線AG于點E,連接加，在BO上取一點〃，使“。=C。，連接E”.

(I)依題意補全圖形：

(2)直接寫出NA4E的大小，并證明.

8.（2024?北京大興?一模）在"C中，AC=BC,NACB=90。，點。是線段A8上一個動

點（不與點A,8重合），Z4CD=6Z（0<6Z<45°）,以。為中心，將線段。C順時針旋轉90。

得到線段￡>E,連接￡3.

⑴依題意補全圖形；

⑵求NEO3的大?。ㄓ煤ǖ拇鷶凳奖硎荆?/p>

（3）用等式表示線段跖，BC,AO之間的數量關系，并證明.

試卷第6頁，共41頁

9.（2024?北京東城?一模）在RtZsABC中，ZBAC=90°,/W=AC,點。，石是BC邊上的

點，?！?如。，連接4D.過點。作AD的垂線，過點￡作8c的垂線，兩垂線交于點凡連

接AF交8C于點G.

⑴如圖1,當點。與點8重合時，直接寫出/D4尸與NE4C之間的數量關系；

⑵如圖2,當點。與點8不重合（點。在點E的左側）時，

①補全圖形；

②與N84C在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請

說明理由.

（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段8DDG,CG之間的數量關系.

1().(2024?北京朝陽?一模)如圖，在菱形ABCZ)中，Z5AD=120°,E是C。邊上一點(不

與點C,。重合).將線段AE繞點A逆時針旋轉60。得到線段人廣，連接。尸，連接斷交4c

于點G.

(1)依據題意，補全圖形；

⑵求證：GB二GF；

(3)用等式表示線段8C,CE,8G之間的數量關系.

試卷第8頁，共41頁

11.（2024?北京海淀?一模）在..必C中.ZAC5=90°,ZAAC=30°,將線段AC繞點人順

時針旋轉。（?！悖?。460。）得到線段相＞.點/）關于直線叱的對稱點為E.連接AE,DE.

AA

E

圖1圖2

（1）如圖1,當。=60。時，用等式表示線段AE與BO的數量關系，并證明;

（2）連接30,依題意補全圖2.若AE=BD,求？的大小.

12.（23-24九年級下.北京.階段練習）如圖在RtZSABC中，ZAC5=90°,

/8=。（45。＜。＜90。），Z）為8c延長線上一點，將線段DC繞點。順時針旋轉2。得到線段

DE,連接CE,AE,過點E作線段AE的垂線，交射線于點〃，連接瓶.

E

（I）依題意補全圖形，并直接寫出一以/?'的度數（用含夕的式子表示）;

(2)求證：DB=DF.

試卷第10頁，共41頁

13.(2024?北京?一模)如圖，"C是等邊三角形，。，石兩點分別在邊A8,滿足=

BE與CD交于點F.

⑴求的度數；

(2)以C為中心，將線段C4順時針旋轉60。得到線段CM,連接M/L點N為M/的中點,

連接CN.

①依題意補全圖形；

②若BF+CF=k,CN,求A的值.

⑴如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉60。得到AZ),連接C/)、BD,NB4c的平分線交8。

于點E,連接CE.

①求證：ZAED=NCED；

②求證：2CE+AE=BD；

(2)在圖2中，若將線段AC繞點A順時針旋轉60。得到AO,連結C。、BD,連結CE,請

補全圖形，若CE=6+2>/L求BD.

試卷第12頁，共41頁

15.（23-24九年級下?北京?階段練習）已知：線段A8,點C是線段A8的中點，點。在線

段4/3上，線段8繞點C順時針旋轉90。得到線段CK,過8作BF_LAE交AE的延長線

于點兒交直線OE于點G.

⑴如圖，補全圖形，設NE4C=a,求ZDG8的度數（可以用a表示）；

⑵在（1）中補全圖形中，求AE與8G的數量關系；

（3）在（1）中補全圖形中，用等式表示AB、EG、C￡＞的數量關系，并證明.

答案解析

一、單選題

1.（2024?北京?模擬預測）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8。=66，點。在線段上

運動（含氏。兩點），連接AP,以點A為中心，將線段行逆時針旋轉60。到AQ,連接OQ,

則線段OQ的最小值為（）

A.1B.5&C.竽D.3

【答案】解:如圖，以A8為邊向右作等邊△4M,作射線FQ交A。f點E,過點D作。“■LQE

于H.

??,四邊形A8CO是矩形，

/.ZABP=ZBAD=90°,

???△A8F,Z\APQ都是等邊三角形，

AZB4F=ZPAe=60°,BA=FA,PA=QA,

???ZBAP=ZFAQ,

BA=EA

在△BAP和△E4Q中，N84P=NFAQ,

PA=QA

???△5AP^AE4C（SAS）,

.?.4BP=ZAFQ=900,

???點Q在與過點F且與AF垂直的射線上運動,

*/ZME=90°-60°=30o,

試卷第14頁，共41頁

ZAEF=90o-30°=60°,

VAB=AF=6,4￡=AA'4-COS30°=4X/3,

點Q在射線房上運動，

AD=BC=6。，

DE=AD-AE=2y/3,

DH±EF,乙DEH=/AEF=0）。,

，DH=DE-sin60°=2V3x—=3.

2

根據垂線段最短可知，當點Q與H重合時，OQ的值最小，最小值為3.

故選D.

2.（2024?北京門頭溝?一模）如圖，在等邊三角形A8C中，有一點P,連接八4、PB、PC,

將3P繞點8逆時針旋轉60。得到5。，連接P。、AD,有如下結論：①BPC與BDA；②

是等邊三角形；③如果N8PC=15（）。，那么尸/=尸呼+尸0.以上結論正確的是（）

A.①②B.??C.②③D.①②③

【答案】解：①???43c是等邊三角形，

/.AB=BC,ZABC=6OC,

,/BP繞點B逆時針旋轉60。得到BD，

：.BD=BP,NDBP=&）0,

???ZABC-ZABP=/DBP—ZABP,即ZABD=Z.CBP，

-：AB=BC,ZABD=NCBP,BD=BP,

:「BPCeBDA,故①正確，符合題意；

②;BP繞點、B逆時針旋轉60。得到BD,

：.BD=BP、NDBP=g0,

???△8DP是等邊三角形，故②正確，符合題意；

③???△8DP是等邊三角形，

，/BOP=60。

BPCaBDA,ZBPC=150°,

:.ZADB=150°,

/.ZADP=ZADB-/BDP=90°，

工PN=PB2+PO,故③正確，符合題意；

綜上：正確的有①②③，

故選：D.

二、填空題

4

3.（13/4九年級上?遼寧?階段練習）如圖，直線丁=-鼻工+4與x軸、），軸分別交于4、B兩

點，把408繞點A順時針旋轉90。后得到△AOF,則點力的坐標是.

，點B的坐標為（。,4）,

，OB=4.

4

當）,=0時，丁+4=0,

解得：x=3,

???點A的坐標為（3,0）,

，QA=3.

由旋轉可知：（7A=OA=3,OB=OB=4,

???點9的坐標為（3+4,3）,即（7,3）.

故答案為：（7,3）.

三、解答題

試卷第16頁，共41頁

4.（2024?北京房山?模擬預測）如圖，在A8C中，AB=AC,4=。（0。＜。＜45。），4）是

中線?點E是30上的動點（不與端點8,。重合）.將線段繞點E順時針旋轉力得到

線段防，連接版.在CB延長線上存在點G,使GE=CE,連接

（1）補全圖形;

⑵判斷A凡G廠的位置關系,證明結論；

DE

（3）若a=30。，且G8=A8,直接寫出——=______

DB

【答案】（1）解；如圖所示，即為所求；

如圖所示，延長G尸到H,使得Grn"/.連接AG、AH.CH,

'：GE=CE,GF=HF,

J石尸是△”CG的中位線，

:.CH=2EF,EF//CH,

JZGCH=\SG°-ZCEF,

由旋轉的性質可得ED=即，/DEF=2a,

/.ZGCH=\S00-2a,

*/AB=AC,

ZABC=ZACB=a,

JZABG=180°-ZABC=180。-。，NACH=/GCH+ZACB=180°-a,

AZAC7/=ZABG：

???AD是中線,

??.BD=CD,

，BG=EG-BE=CE-BE=CD+DE-BE=BD^DE-BE=IDE，

.?.BG=CH=2EF=2DE,

ABG^AC”(SAS),

???AG=AH,

/.AFXCF；

(3)解：設OE=x,由(2)得GB=2DE,

又???GB=A8,

,GB=AB=2x,

VAB=AC,AO是中線，

工ADIBC,

VZAB￡>=?=30°,

/.AO=；A8=x,

5.（2024?北京豐臺?一模）在A8C中，AB=AC,ZBAC=a,點。是BC中點，點￡是線

試卷第18頁，共41頁

段BC上一點，以點人為中心，將線段AE逆時針旋轉。得到線段心,連接打

⑴如圖1,當點E與點。重合時，線段E/，AC交于點G,求證：點G是Eb的中點；

（2）如圖2,當點后在線段30上時（不與點。重合），若點〃是E廠的中點，作射線

交AC于點M,補全圖形，直接寫出NAMO的大小，并證明.

【答案】（I）???A8=AC,點D是中點，

ZDAC=-ABAC=-a.

22

ZDAF=a,

：.ZCAF=ZDAC=-a.

2

*.*AE=AF,

，點G是EF的中點.

（2）依題意補全圖形.

證明：連接尸。，截取KC=8￡,連接尸K交AC于N.

*/ZBAC=ZEAF=a,

JZBAE=ZCAF.

VAE=AF,AB=AC,

??.BAEmC4P(SAS),

??BE=CF,NB=ZACF.

：NB=ZACB,

ZACB=ZACF.

??KC=BE,

?KC=CF,

???KFJ.AC^N.

???點D是BC中點，

???BD=CD,

/.DE=DK.

???點H是Er的中點,

，DH//KF,

???ZAW=ZWK=90°.

6.（2024.北京石景山.一模）在ABC中，AB=AC,0°<ZfiAC<60°,將線段8C繞點4逆

時針旋轉60。得到線段8。，連接AQ.將線段A。繞點A順時針旋轉90。得到線段AK,連接

DE.

⑴如圖1,求證：EA//BC-

（2）延長8C到點F，使得CF=CB,連接DF交AC于點M,依題意補仝圖2.若點M是4C

的中點，用等式表示線段“產，M。，OE之間的數量關系，并證明.

【答案】（1）證明：延長AO交4c于點G,連接CD,如下圖所示，

???△OBC是等邊三角形.

:.DC=DB=BC,NOCB=60°.

???點O在線段3c的垂直平分線上.

試卷第20頁，共41頁

VAB=AC,

???點A在線段BC的垂比平分線上.

AG1BC.

：.ZAGC=NG4￡=90＞.

EA//BC.

（2）解：依題意補全圖，如下圖所示，延長尸。交AE的延長線7點N,連接CO,

：tCF=CD.

ZF=ZFDC=-Z1=3O°.

2

EA//BC,

：.4V="=30°.

XVZAMN=NCMF,AM=CM,

NN=NF

J，/AMN=NCMF

AM=MC

???AAMNRCMF(AAS).

：.MF=MN.

在RtE4O中，AE=AD,可得OE=0A。.

在RI△附。中，NN=30。，可得DN=2AD.

/.DN=sliDE.

,:MN=MD+DN=MD+&DE，

MF=MD+s/2DE.

7.（2024?北京房山?一模）在^ABC中，AB=AC,/助。=20（45。＜。＜90。），。是6c上的

動點(不與點。重合)，且QC,連接，將射線AD繞點A順時針旋轉a得到射線4G,

過點。作OE1AO交射線AG于點石，連接8E,在上取一點〃，使，。=C。，連接￡77.

(I)依題意補全圖形；

(2)直接寫出/A8E的大小，并證明.

【答案】(1)解：依題意補全圖形，如圖.

(2)解：結論：ZABE-^P.

理由：過點A作于點T，設AE,8C交于點0.

二ZBAT=ZCAT=-ZBAC=a,

2

.ADA.DE,

Z4DE=90°,

:,ZEAD+ZAED=90°,

試卷第22頁，共41頁

ZA7B=90°,

二."47+4=90°,

-.ZBAT=ZEAD=a,

:.Z\=ZAED,

?;ZAOB=NDOE,

;.&AO吐DOE,

.AOOB

,~DO~OE'

.AODO

"~OB~~Ed"

“OD=NBOE,

.\AAOD^/\BOE,

Z2=Z.OAD=a,

.?.N2=N&\7=a,

/.Zl+Z2=90°,

ZABE=90°.

8.（2024?北京大興?一模）在二ABC中，AC=BC,Z4CB=90°,點。是線段4B上一個動

點（不與點A,5重合），ZACD=a（O<a<45°）,以。為中心，將線段QC順時針旋轉90。

得到線段DE,連接E6.

⑴依題意補全圖形；

（2）求N夕出的大?。ㄓ煤５拇鷶凳奖硎荆?；

（3）用等式表示線段比3BC,A。之間的數量關系，并證明.

【答案】（1）補全圖形如下：

B

D

E

(2)解：；AC=BC，ZACB=90°,

AZ4=ZABC=45°.

ZCDB=ZA+ZACD=450+a.

ZCDE=90°,

???4EDB=NCDE-ZCDB=45。-a.

(3)解：用等式表示線段即，BC,AO之間的數量關系是3C=&A￡)+3￡.

證明：過點。作交AC于點F,交3C的延長線于點

4CDM-=NEDB.

NMBD=45。,

「?NM=ZMBD=45。.

???DM=DB.

又DC=DE,

AADCMWADEB.

CM=BE.

???NM=45。，Z4CB=90°,

???NC”M==45°.

CF=CM.

/.CF=BE.

在中，

?JNA=45，

試卷第24頁，共41頁

，zS4FZ）=ZA=45°,

JAD=FD,

AF=y/AD2+FD2=x/2AD?

.AC=AF+FC,

AC=y/2AD+FC-

?:CF=BE,BC=AC,

：.BC=y/2AD+BE.

9.（2024.北京東城.一模）在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點。，七是〃。邊上的

點，O￡=；8C,連接40.過點D作AO的垂線，過點E作8C的垂線，兩垂線交于點F.連

接4：交8c于點G.

8（。）

圖2

（1）如圖1,當點D與點B重合時，直接寫出NDA廠與N84C之間的數量關系;

⑵如圖2,當點力與點8不重合（點力在點E的左側）時,

①補全圖形;

②NZM/與NAAC在（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請

說明理由.

（3）在（2）的條件下，直接用等式表示線段ADDG,CG之間的數量關系.

【答案】（1）解：???在RtaABC中，ZBAC=90°.48=AC,點D與點B重合，DE.BC,

???AWGNBAE『AC'

EFJ.BC,

???A、E、尸三點共線,

/.ZDAF=-ZBAC-

2

（2）解：①如圖所示，即為所求:

A

如圖所示，過點A作A〃_L6。于H,

JZA//D=90°,

ADYDF.EFYCD,

/.ZAHD=ZADF=ZDEF=90。，

???/HAD+NHDA=90。=ZHDA+NEDF,

/./HAD=NEDF,

??,在RtZ\A6c中，N8AC=90°,AB=AC,

AH=-BC,

2

DE=-BC.

2

AH=DE,

A.ADH^DFE(ASA),

AD=DF,

JZDAF=45°,

???ZDAF=-ZBAC,

2

(3)解：如圖所示，將△43。繞點A逆時針旋轉得到：ACT,連接TG,

由旋轉的性質可得CT=6nAT=AD,ZBAD=ZCAT.

VZ/MC=90°,AB=AC,

JN8=ZAC8=45。，

???ZACT=45°,

試卷第26頁，共41頁

，N7TG=90。，

VZZ^4F=45°,

，NBA。+NC4G=45。，

/.ZCAT+ZCAG=45°,即NG47=45。，

???ZDAG=ZTAG,

又〈AG=4GAD=AT

???.AGD^-AGT(SAS),

/.DG=TG，

在RtZ\7TG中，由勾股定理得TU:MCGZ+CT"

：-DG2=CG2+BD2.

10.（2024.北京朝陽?一模）如圖，在菱形A8C。中，NBAO=120。，￡是CO邊上一點（不

與點C,。重合）.將線段4E繞點A逆時針旋轉60。得到線段AF,連接OD連接斷交4C

于點G.

（I）依據題意，補全圖形；

（2）求證：GB=GF；

⑶用等式表示線段8C,CE,BG之間的數量關系.

【答案】（1）解：如圖：

.1

(2)證明：連接3。，與AC相交于點0.如圖:

???線段AE繞點、A逆時針旋轉60°得到線段AF,

尸=60°,AE=AF,

???在菱形ABCD^V，ABAD=120°,

AAB=BC,=ZCAD=-^BAD=60°,BO=OD,

2

???，A8C、.以。。是等邊三角形，

AAC=AD,ZACD=60°,

ZCAE=ZDAFy

LACE^&ADF,

NADF=NACD=60°,

/.DF//AC,

.BGHO

??--=---，

GFOD

???BO=OD,

；?GB=GF；

（3）解：3BC2+CE2=4BG2,理由如下:

DF//AC,BD1AC,

DF工BD，

在RlBFD中,BD2+DF2=BF2=（2BG）2=4BG2,

???48c是等邊三角形，BO-LAC,

試卷第28頁，共41頁

：.ZOBC=-ABC=30°,

2

cos30°=cosZOBC=,

BC2

，BC=—

3

4

貝

則38c2=4BO2=（28O『=Blf,

J38c2+CE2=BD~+DF-=4BG2，

即3BC2+CE2=4BG2.

11.（2024?北京海淀?一模）在A8C中.ZACB=90°,ZABC=30°,將線段AC繞點A順

時針旋轉W0°<a<60。）得到線段A。.點。關于直線比?的對稱點為￡連接4E,DE.

AA

圖1圖2

(1)如圖1,當a=60。時，用等式表示線段4E與8。的數量關系，并證明;

(2)連接8Z),依題意補仝圖2.若AE=8L>,求"的大小.

【答案】(1)解：線段AE與4。的數量關系：AE=>5BD.

證明：連接3￡,如圖1.

???點。，E關下直線8c對稱，

???直線BC是線段DE的垂直平分線.

:.BD=BE.

;"DBC=NEBC=30.

ZDBE=60.

.?.△DBE是等邊三角形.

A

???-ASC中，ZXCB=90，ZL4?C=30,

：.AB=2AC.

依題意，得AD=AC,點。在AB上.

:.AB=2AD.

：.BD=AD.

：.DE=AD.

；.NDAE=NDEA=30.

BEA=90.

在RtZ\ABE中，=tanZ/ABE=tan60=V3.

BE

：.AE=6BE.

?.AE=6BD.

（2）解：依題意補全圖2,如圖.

方法一：延長AC至尸，使b=AC,連接BF,BE,EF,CD,CE,如圖2.

vZACB=90，

；.AB=BF.

,NZMC=60，

.?…48/是等邊三角形.

試卷第30頁，共41頁

：.AB=AF=BF^ZBFC=60.

點。，七關于直線BC對稱，

???直線BC是線段DE的垂宜平分線.

;.BD=BE,CD=CE.

:"DCB=/ECB.

?;ZACB=NDCF=90，

：.ZDCA=ZECF.

\AC=FC,

^CAD=ZCFE.

AE=BD，

BE=AE.

?:EF=EF，BF=AF,

:.△BEF/AAEF.

ZBFE=ZAFE=30.

?.ZC4D=ZAF￡=30.

二.a=30.

方法二：如圖3,取八〃中點尸，連接。尸，BE,CD,設NDRT=￡.

點。，E關r直線8c對稱,

直線BC是線段DE的垂直平分線.

;.BD=BE,CD=CE.

:"DBC=/EBC=B.

ZEBA=3()+0、NDBA=3()-p.

AE=BD，

AE=BE.

/.ZEAB=ZEBA=3（）+/.

yZ4CT=90，NA3C=3（），

.?./8AC=60.

/.ZEAC=30-p.

ZEAC=^DBA.

由（1）可得AB=2AC.

F為AB中點,

:.AB=2AF=2BF.

.\AC=AF=BF.

AC=BF,4EAC=NDBA,AE=BD,

:.4ACEm4BFD.

:.CE=FD.

：.CD=FD.

AD=AD,AF=AC,

/.△ADF^AAZX?.

/.ZFAD=ZCAD=30.

a=30.

12.（23-24九年級下.北京.階段練習）如圖在RtZXABC中，48=90。，

/8=。（45。<a<90。），D為8c延長線上一點，將線段。。繞點。順時針旋轉2a得到線段

DE,連接CE,AE,過點￡作線段AE的垂線，交射線4c于點尸，連接心.

(I)依題意補全圖形，并直接寫出/以/；的度數(用含a的式子表示);

(2)求證：DB=DF.

【答案】(1)解：如圖所示，即為所求；

由旋轉的性質可得。產=OG4CDE=2a,

試卷第32頁，共41頁

180°-/COE

ZDCE=ZDEC==90°-a

~2~

AEA.EF,

：.ZA￡/=90°,

?「ZAC￡?=90°,

：,ZACF=90°=ZAEF,

???A、C、E、F四點共圓,

???ZEAF=NECF=90°-a：

（2）證明：如圖所示，延長ED到M,使得OE=DW,

由旋轉的性質可得DE=OC,

DE=DC=DM,

:,NDCM=NDMC,NDEC=NDCE,

TZDCM+NDMC+/DEC+NDCE=180°,

，NDCM+ZDCE=90°,

JZMCE=90°,

/.ZMCE=ZBCA=90°,

*/ZBAC=90°-ZABC=90。一a=NMEC,

???AMCEseBCA,

.CMBC

??二,

CEAC

〈ZMCE+ZACM=NBCA+NACM,即ZACE=NBCM,

，/CBM=NCAE,

,:A、C、E、F四點共圓，

???ZCAE=ZCFE,

，NDBM=/DFE,

又?：NBDM=/FDE,DM=DE,

Z.BDM@，/DE(AAS),

；?DF=DB.

13.（2024.北京.一模）如圖，A8C是等邊三角形，E兩點分別在邊44,滿足3O=AE，

BE與CD交于點、F.

⑵以C為中心，將線段CA順時針旋轉60。得到線段CM,連接M/L點N為M/的中點,

連接CN.

①依題意補全圖形；

②若BF+CF=k.CN,求&的值.

【答案】（1）解：丁48c是等邊三角形，

/.AC=BC,ZA=ZA6C=60c,

?/BD=AE,

在AABE和△88中，

AB=BC

NA=ZABC=60°,

BD=AE

???八BCD（SAS）,

試卷第34頁，共41頁

:./ABE=/BCD,

/DFB=NFBC+NBCD=ZFBC+ZABE=ZABC=60°；

（2）解：①依題意補全圖形如圖1所示：

圖1

②如圖2'|',由（1）知AABEdBCD,

???NBCF=ZABE,

，NFBC+NBCF=60。,

???NMC=120。，

如圖2中，延長CN到Q,使得NQ=CN,連接"2,

Q

,:NM=NF/CNM=4FNQ,NQ=CN、

...4CNMq（SAS）,

，FQ=CM=BC,

，NPFN=NNMC,

:.FQ〃CM,

ZPFQ=ZPCM,

延長。尸到P,使得P尸=8〃，則△P8廠是等邊三角形,

JNPBC+/PCB=12伊,

*/ZACM+ZACB=\200=ZPCM+ZPCB,

/./PBC=/PCM,

???4PFQ=4PCM,

4PFQ=/PBC,

在△PFQ和△PBC中,

PF=PB

?NPFQ=NPBC,

FQ=BC

Z./XPFQ^/XPBC(SAS),

...4QPF=NBPC=60°,PQ=PC,

???△PQC是等邊三角形，

JQC=PC=PF+CF=BF+CF=2CN,

:.k=2.

⑴如圖1,將線段AC繞點A逆時針旋轉60。得到A￡),連接C。、B。,/B4C的平分線交8Q

于點E,連接CE.

①求證：ZAED=NCED；

②求證：2CE+AE=BD；

(2)在圖2中，若將線段AC繞點A順時針旋轉60。得到AO,連結C。、BD,連結CE,請

補全圖形，若CE=6+2x/L求BD.

【答案】(1)證明：①如圖：

???將線段AC繞點A逆時針旋轉60。得到AD,

試卷第36頁，共41頁

AAC=ALKNZ^4C=60°,

ABAD=ABAC4-ZC4Z)=150°,1=1.AB=AC=AD,

，ZABD=ZADB=\5°,

VZBAC=90°,AB=AC,AE平分N8AC,

JZBAE=/CAE=45°,ZABC=ZACB=45°,

*.*AE=AE,

??.”BE^ACE(SAS),

/.ZABE=ZACE=\5°,BE=CE,

/.NEBC=NECB=30。,

???NCED=NEBC+/ECB=60°,

?；ZAED=ZABE+NBAE=60°,

???ZAED=/CED；

②過點A作AHJL即于點H,如圖:

由①知：BE=CE,

,ZAED=60°,AHYBD,

?AE=2EH,

AI3=AD,AH±BD,

?BD=2BH,

?BE+EH=BH,

,BE+EH=-BD.

2

.2BE+2EH=BD,

?2CE+AE=BD；

(2)補全圖形如下:

以A為頂點，AE為一邊作NE4Q=60。，設AE交4c于K,

???/BAC=90。，AB=AC,

工/BAE=Z.CAE=ZABC=ZACB=45°,

???BK=AK