2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫——多元統(tǒng)計(jì)分析選擇題與解答考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、隨機(jī)向量與矩陣1.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布\(N(0,1)\)，則\(\boldsymbol{X}\)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：（1）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（2）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}^3}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（3）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)（4）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{2\pi}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)2.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3)\)的列向量\(\boldsymbol{\alpha}_1\)，\(\boldsymbol{\alpha}_2\)，\(\boldsymbol{\alpha}_3\)均服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的特征值分別為：（1）3，0，0（2）0，0，0（3）3，1，0（4）1，1，13.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{X}\)為一個(gè)\(3\times3\)的隨機(jī)矩陣，其中\(zhòng)(\boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right]\)，則\(\boldsymbol{X}\)的特征值分別為：（1）3，3，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，0，04.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}\)為一個(gè)\(3\times3\)的正定矩陣，\(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)，則\(\boldsymbol{B}\)的特征值分別為：（1）3，1，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，3，35.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}\)服從\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{X}\)的概率密度函數(shù)為：（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)（2）\(f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{4}(x_1-1)^2\right)\)（3）\(f(x)=\frac{1}{3\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{6}(x_1-1)^2\right)\)（4）\(f(x)=\frac{1}{6\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{18}(x_1-1)^2\right)\)6.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{A}\)的行列式值為：（1）2（2）0（3）1（4）37.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{A}\)的逆矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)8.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{A}\)的秩為：（1）1（2）2（3）3（4）09.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的行列式值為：（1）3（2）2（3）1（4）010.設(shè)矩陣\(\boldsymbol{A}=\left[\begin{matrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{A}\)的特征值分別為：（1）3，1，0（2）1，1，1（3）0，0，3（4）3，0，0二、協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)1.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的協(xié)方差矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)2.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的相關(guān)系數(shù)矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)3.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的協(xié)方差矩陣的行列式值為：（1）1（2）0（3）2（4）34.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式值為：（1）1（2）0（3）2（4）35.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的協(xié)方差矩陣的跡值為：（1）1（2）3（3）2（4）06.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的相關(guān)系數(shù)矩陣的跡值為：（1）1（2）3（3）2（4）07.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的協(xié)方差矩陣的特征值分別為：（1）1，1，1（2）3，0，0（3）1，1，1（4）0，0，08.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值分別為：（1）1，1，1（2）3，0，0（3）1，1，1（3）0，0，09.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的協(xié)方差矩陣的逆矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)10.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)，其中\(zhòng)(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立且都服從\(N(0,1)\)的正態(tài)分布，則\(\boldsymbol{X}\)的相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)三、多元線性回歸分析1.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服從正態(tài)分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{X}\)的概率密度函數(shù)為：（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)（2）\(f(x)=\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{4}(x_1-1)^2\right)\)（3）\(f(x)=\frac{1}{3\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{6}(x_1-1)^2\right)\)（4）\(f(x)=\frac{1}{6\sqrt{3\pi}}\exp\left(-\frac{1}{18}(x_1-1)^2\right)\)2.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服從正態(tài)分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{X}\)的期望值為：（1）\(\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}0\\1\\2\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]\)3.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服從正態(tài)分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}\)，\(\boldsymbol{\Sigma}=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)，則\(\boldsymbol{X}\)的方差協(xié)方差矩陣為：（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{matrix}\right]\)（2）\(\left[\begin{matrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{matrix}\right]\)（3）\(\left[\begin{matrix}0&1&2\\1&2&3\\2&3&4\end{matrix}\right]\)（4）\(\left[\begin{matrix}0&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{matrix}\right]\)4.設(shè)隨機(jī)向量\(\boldsymbol{X}=(X_1,X_2,X_3)\)服從正態(tài)分布\(N(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})\)，其中\(zhòng)(\boldsymbol{\mu}=(1,2,3)^{\mathrm{T四、因子分析1.因子分析中，特征值大于1的因子個(gè)數(shù)為：（1）1（2）2（3）3（4）42.在因子分析中，提取因子的目的是：（1）簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（2）提高數(shù)據(jù)精度（3）減少數(shù)據(jù)誤差（4）以上都是3.設(shè)一個(gè)\(4\times4\)的相關(guān)矩陣，其特征值分別為2,1,0.5,0.1，則該矩陣的秩為：（1）4（2）3（3）2（4）14.在因子分析中，主成分分析的作用是：（1）確定因子個(gè)數(shù)（2）估計(jì)因子載荷（3）解釋因子含義（4）以上都是5.因子分析中，因子載荷的絕對(duì)值越接近1，說明：（1）該變量與因子相關(guān)性越強(qiáng)（2）該變量與因子相關(guān)性越弱（3）該變量與因子無關(guān)（4）以上都不對(duì)五、主成分分析1.主成分分析中，協(xié)方差矩陣的特征值代表：（1）方差（2）協(xié)方差（3）相關(guān)系數(shù)（4）以上都不對(duì)2.設(shè)一個(gè)\(4\times4\)的協(xié)方差矩陣，其特征值分別為2,1,0.5,0.1，則該矩陣的跡為：（1）3.6（2）4（3）2.6（4）33.在主成分分析中，第一主成分的解釋方差最大，說明：（1）第一主成分對(duì)原始數(shù)據(jù)的解釋能力最強(qiáng)（2）第一主成分對(duì)原始數(shù)據(jù)的解釋能力最弱（3）第一主成分與原始數(shù)據(jù)無關(guān)（4）以上都不對(duì)4.主成分分析中，降維的目的是：（1）提高數(shù)據(jù)精度（2）減少數(shù)據(jù)誤差（3）簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（4）以上都是5.主成分分析中，協(xié)方差矩陣的特征向量代表：（1）方差（2）協(xié)方差（3）相關(guān)系數(shù)（4）以上都不對(duì)六、聚類分析1.聚類分析中，距離度量方法中的歐氏距離公式為：（1）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\)（2）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)（3）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2}\)（4）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\)2.聚類分析中，層次聚類法中的合并方式有：（1）最近鄰法（2）最遠(yuǎn)鄰法（3）組間平均法（4）以上都是3.在聚類分析中，距離度量方法中的曼哈頓距離公式為：（1）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}\)（2）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2}\)（3）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2}\)（4）\(\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2}\)4.聚類分析中，基于密度聚類法中的DBSCAN算法的鄰域半徑參數(shù)為：（1）\(\epsilon\)（2）\(\delta\)（3）\(\rho\)（4）以上都是5.在聚類分析中，距離度量方法中的夾角余弦公式為：（1）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2}}\)（2）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2}}\)（3）\(\frac{x_1y_1}{\sqrt{x_1^2}}\)（4）\(\frac{x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}}\)本次試卷答案如下：一、隨機(jī)向量與矩陣1.（1）\(f(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2+x_3^2)\right)\)解析：這是三維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，每個(gè)分量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2.（1）3，0，0解析：由于矩陣\(\boldsymbol{A}\)的列向量相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布，其協(xié)方差矩陣為單位矩陣，特征值等于列向量的方差。3.（1）3，3，0解析：矩陣\(\boldsymbol{X}\)的特征值等于其行列式除以\(3\)（因?yàn)閈(\boldsymbol{X}\)是\(3\times3\)矩陣），而行列式等于\(3\)。4.（1）3，1，0解析：正定矩陣的平方還是正定矩陣，且特征值相等。5.（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)解析：這是多維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，參數(shù)為期望值和協(xié)方差矩陣。6.（1）2解析：矩陣\(\boldsymbol{A}\)的行列式等于其特征值的乘積，而特征值為\(2\)。7.（2）\(\left[\begin{matrix}1&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1\end{matrix}\right]\)解析：矩陣\(\boldsymbol{A}\)的逆矩陣可以通過初等行變換得到。8.（2）2解析：矩陣\(\boldsymbol{A}\)的秩等于其非零特征值的個(gè)數(shù)。9.（1）3解析：\(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}\)的行列式等于其特征值的乘積，而特征值為\(3\)。10.（1）3，0，0解析：矩陣\(\boldsymbol{A}\)的特征值等于其行列式除以\(3\)。二、協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)1.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：由于\(X_1\)，\(X_2\)，\(X_3\)相互獨(dú)立，其協(xié)方差矩陣為單位矩陣。2.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：相關(guān)系數(shù)矩陣為單位矩陣，因?yàn)樽兞恐g相互獨(dú)立。3.（1）1解析：協(xié)方差矩陣的行列式等于其特征值的乘積，而特征值為\(1\)。4.（1）1解析：相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式等于其特征值的乘積，而特征值為\(1\)。5.（1）1解析：協(xié)方差矩陣的跡等于其特征值的和，而特征值為\(1\)。6.（1）1解析：相關(guān)系數(shù)矩陣的跡等于其特征值的和，而特征值為\(1\)。7.（1）1，1，1解析：協(xié)方差矩陣的特征值等于其變量的方差，均為\(1\)。8.（1）1，1，1解析：相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值等于其變量的相關(guān)系數(shù)，均為\(1\)。9.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：協(xié)方差矩陣的逆矩陣為單位矩陣。10.（1）\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}\right]\)解析：相關(guān)系數(shù)矩陣的逆矩陣為單位矩陣。三、多元線性回歸分析1.（1）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{14\pi}}\exp\left(-\frac{1}{14}(x_1-1)^2\right)\)解析：這是多維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，參數(shù)為期望值和協(xié)方差矩陣。2.（1）\(\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]\)解析：多維正態(tài)分布的期