★問題解決策略：歸納

助力教學僅限個人使用，學習目標1.歸納的步驟：由幾種特殊情形出發，進而找到一般規律的過程。（重點）2.歸納是發現數學規律，解決數學問題的一種重要策略，學會用歸納的方法，解決問題。（難點）

助力教學僅限個人使用，課時導入“低多邊形風格”是一種數字藝術設計風格。它將整個區域分割為若干三角形，通過把相鄰三角形涂上不同顏色，產生立體及光影的效果。隨著三角形數量增加，效果更為斑斕絢麗(如圖所示)。

助力教學僅限個人使用，

將長方形區域分割成三角形的過程:在長方形內取一定數量的點，連同長方形的4個頂點，逐步連接這些點，保證所有連線不再相交產生新的點，直到長方形內所有區域都變成三角形。

助力教學僅限個人使用，當長方形內有35個點時，可分得多少個三角形？

如圖，當長方形內有1個點時，可分得4個三角形;當長方形內有2個點時，可分得6個三角形。

助力教學僅限個人使用，(1)直接研究“長方形內有35個點”的情形，你遇到了什么困難?(2)哪些情形容易研究?從中你能發現什么規律?(3)你發現的規律正確嗎?你能給出合理的解釋嗎?

助力教學僅限個人使用，知識講解知識點

用歸納策略解決問題

（1）先研究長方形內有3個點、4個點的情形（如圖所示）。

助力教學僅限個人使用，（2）幾種容易情形的數據如下表，發現規律：長方形內點的個數增加1，三角形的個數增加2。

助力教學僅限個人使用，

（3）猜想是合理的。在長方形內已經有n個點的情況下，新增的一個點要么在某個三角形內部，要么在某條線段上。當新增的這個點在某個三角形內部時，連接該點和三角形的頂點，原來的1個三角形分成3個小三角形，三角形的個數增加2;當新增的這個點在某條線段上時，連接該點和它所在兩個三角形的頂點，三角形的個數同樣增加2。

因此，當長方形內有35個點時，分得的三角形的個數是

4+2×34=72。

助力教學僅限個人使用，（1）如果長方形內有100個點呢？一般地，如果長方形內有n個點呢？（2）你還能提出并解決什么問題？（3）從容易的情形開始思考有什么好處?通過容易情形歸納一般性結論你有哪些經驗？

助力教學僅限個人使用，當長方形內有1個點時，三角形的個數為：4=4+2×（1-1）;當長方形內有2個點時，三角形的個數為：6=4+2×（2-1）;當長方形內有3個點時，三角形的個數為：8=4+2×（3-1）;當長方形內有4個點時，三角形的個數為：10=4+2×（4-1）;當長方形內有5個點時，三角形的個數為：12=4+2×（5-1）;……當長方形內有100個點時，三角形的個數為：4+2×（100-1）；歸納：當長方形內有n個點時，三角形的個數為：4+2×（n-1）。

助力教學僅限個人使用，1.32024的個位數字是多少?用歸納策略解決下列問題解：31的個位數字是3；32的個位數字是9；33的個位數字是7；34的個位數字是1；35的個位數字是3；36的個位數字是9；…四個一組循環，2024÷4=506，則32024的個位數字是1。

助力教學僅限個人使用，2.如圖，將一根繩子折成三段，然后按如圖所示方式剪開。剪1刀，繩子變為4段;剪2刀，繩子變為7段。(1)剪12刀，繩子變為多少段?(2)有可能正好剪得101段嗎?

助力教學僅限個人使用，解：分析：因為n=1時,繩子為1+3×2=4（段）；n=2時,繩子為1+3×2=7(段)；n=3時,繩子為1+3×3=10(段)；n=4時,繩子為1+3×4=13(段)；…n=12時,繩子為1+3×12=37(段)；…所以剪n刀時，繩子為(1+3n)段。

助力教學僅限個人使用，（1）剪12刀時,繩子變為1+3×12=37(段)。（2）不可能；因為剪n刀時，繩子為(1+3n)段。101=1+100，100不是3的倍數，故不能直接剪得101段。

助力教學僅限個人使用，3.由1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…組成的三角形數陣如圖所示。(1)第10行的10個數的和是多少?解：（1）前9行共有1+2+3++9=45個數，第10行的第一個奇數為91,故第10行的10個數的和為91+93+95+97+99+101+103+105+107+109=1000。

助力教學僅限個人使用，（2）(答案不唯一)如:根據三角形數陣可知,第1行1=13,第2行的數字和為3+5=8=23，第3行的數字和為7+9+11=27=33，第4行的數字和為13+15+17+19=64=43，第5行的數字和為21+23+25+27+29=125=53，…故第n行的數字和為n3。（2）你還能找到其他規律嗎？試一試

助力教學僅限個人使用，4.某類容易化合物中前6種化合物的分子結構模型如下頁圖所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子。按照這一規律，第60種化合物的分子結構模型中有多少個氫原子?

助力教學僅限個人使用，

助力教學僅限個人使用，解：由圖知，第1種化合物中氫原子有4個，從前6種化合物的分子結構模型，知氫原子的個數依次增加2,依此規律可知第60種化合物的分子結構模型中有4+(60-1)x2=122(個)氫原子。

助力教學僅限個人使用，隨堂小測1.將全體正偶數排成一個三角形數陣，按照如圖所示的排列規律，第10行第5個數是(

B

)A.98B.100C.102D.104B

助力教學僅限個人使用，2.先觀察下列算式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…通過觀察歸納，第2

024個算式是(

B

)A.2

0232－2

0212＝8×2

024B.4

0492－4

0472＝8×2

024C.2

0252－2

0232＝8×2

024D.4

0472－4

0452＝8×2

024B

助力教學僅限個人使用，3.如圖，點P從數0的位置出發，每次運動一個單位長度，運動一次到達數1的位置，運動二次到達數2的位置，運動三次到達數3的位置……依此規律運動下去，點P從0運動6次到達P1的位置，點P從0運動21次到達P2的位置……點P1，P2，P3，…，Pn在同一條直線上，則點P從0運動

次到達P20的位置。1

830

助力教學僅限個人使用，解析：由題意知點P從0運動6次到達P1，6＝1＋2＋3，運動21次到達P2，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6，由此可得，運動到Pn，運動次數等于從1開始連續的正整數的和，最后一個加數為n×3，所以點P從0運動到P20運動了1＋2＋3＋4＋…＋60＝1

830(次)。

助力教學僅限個人使用，5.用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面：

助力教學僅限個人使用，（1）觀察圖形，填寫下表：圖形①②③…黑色瓷磚的塊數4710…黑白兩種瓷磚的總塊數91521…（2）依上推測，第n個圖形中黑色瓷磚的塊數為

?，黑白兩種瓷磚的總塊數為

。(用含n的代數式表示)(6n＋3)

（3n＋1）

助力教學僅限個人使用，（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數可能是2

024嗎？若能，求出是第幾個圖形；若不能，請說明理由。解：不可能。令6n＋3＝2

024，

助力教學僅限個人使用，最后送給我們自己1、教學的藝術不在于傳授本領，而在于善于激勵喚醒和鼓舞。

2、把美德、善行傳給你的孩子們，而不是留下財富，只有這樣才能給他們帶來幸福。

3、每個人在受教育的過程當中，都會有段時間確信：嫉妒是愚昧的，模仿只會毀了自己；每個人的好與壞，都是自身的一部分；縱使宇宙間充滿了好東西，不努力你什么也得不到；你內在的力量是獨一無二的，只有你知道能做什么，但是除非你真的去做，否則連你也不知道自己真的能做。

4、既然習慣是人生的主宰，人們就應當努力求得好的習慣。習慣如果是在幼年就起始的，那就是最完美的習慣，這是一定的，這個我們叫做教育。教育其實是一種從早年就起始的習慣。

助力教學僅限個人使用，樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署