點.第二章直線.平面之間的位置關系立體幾何第1頁本章內容2.1空間點、直線、平面之間位置關系2.2直線、平面平行判定及其性質2.3直線、平面垂直判定及其性質第二章小結第2頁本章小結本章小結知識關鍵點復習參考題自我檢測題第3頁1.

三個公理知識要點公理1:假如一條直線上兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.

公理2:過不在一條直線上三點,有且只有一個平面.

三推論:①兩相交直線確定平面;②兩平行直線確定平面;③直線外點與直線確定平面.

公理3:假如兩個不重合平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點公共直線.返回目錄第4頁知識要點2.

線線之間位置關系相交平行異面共面判定兩直線平行公理4:平行于同一條直線兩直線相互平行.第5頁知識要點3.

兩異面直線所成角①角范圍(0,90].②由定義找角:③垂直相交非鈍角,且兩邊分別平行兩異面直線.異面垂直,無垂足.第6頁知識要點4.

線面平行判定定理b

a,a

a,b//a,?

b∥a.l∥a,l

b,b∩a=m?

l∥m.由線線平行得線面平行.5.

線面平行性質定理由線面平行得線線平行.第7頁知識要點a

a,b

a,a∩b,a∥b,b∥b,?a∥b.a∥b,g∩a

=a,g∩b

=b,?a∥b.6.

面面平行判定定理由線面平行得面面平行.7.

面面平行性質定理由面面平行得線線平行.第8頁知識要點8.

線面垂直定義

⊕若直線l垂直平面a

內任意一直線,則叫l⊥a.應用:若l⊥a,

則

l垂直平面a

內任意一直線.l⊥a,m

a,

l⊥m.

⊕過空間任意一點,有且只有一條直線和已知平面垂直.第9頁知識要點9.

線面垂直判定定理

⊕假如一條直線和一個平面內兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面.l⊥a,l⊥b,a∩b=P,

l⊥a.a

a,b

a,

⊕兩平行線中一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.第10頁知識要點10.

三垂線定理假如平面內一條直線垂直平面斜線,則這條直線垂直斜線在平面上射影;假如平面內一條直線垂直平面一條斜線在平面上射影,則這條直線垂直斜線.第11頁知識要點11.

直線和平面所成角⊕斜線與斜線在平面上射影夾角(銳角).⊕垂線與平面所成角為90.

⊕平行線或在平面內直線與平面所成角為0.

⊕斜線和平面所成角是斜線和平面內全部直線所成角中最小.

⊕兩條平行線和同一個平面所成角相等.第12頁知識要點12.

直線與平面垂直性質定理垂直于同一個平面兩條直線平行.l1⊥a,l2⊥a,

l1//l2.由線面垂直得線線平行.第13頁知識要點13.

二面角及它平面角從一條直線出發兩個半平面所組成圖形叫做二面角.

以二面角棱上任意一點為端點,在兩個半面內分別作垂直于棱兩條射線,這兩條射線所成角叫做二面角平面角.二面角大小由它平面角確定.第14頁知識要點14.

兩平面垂直判定一個平面過另一個平面垂線,則這兩個平面垂直.abll⊥a,l

b,?b⊥a.第15頁知識要點15.

平面與平面垂直性質

⊕兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線直線與于另一個平面垂直.a⊥b,a∩b=m,l⊥m,l

a,?l⊥b.abml

⊕兩平面垂直,平行于一平面直線垂直于另一平面.第16頁復習參考題返回目錄第17頁A組1.三個平面可將空間分成幾部分?你能畫出它們直觀圖嗎?

答:三個平面可將空間分成4個、或6個、或7個、或8個部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag復習參考題第18頁

2.

如圖,一塊正方體形木料上底面上有一點E,經過點E在上底面上畫一條直線與CE垂直,怎樣畫?ABCDA1B1C1D1·EMN畫法:①連結C1E,過點E作MN⊥C1E.②在平面A1C1內,則MN就是所要求作直線.∵CC1⊥平面A1C1,MN

平面A1C1,∴MN⊥CC1.所作MN⊥C1E,其理由:則MN⊥平面C1EC,得MN⊥CE.第19頁3.證實:兩兩相交且不過同一點三條直線必在同一個平面內.

如圖,已知直線a∩b=A,b∩c=B,c∩a=C.求證

a,b,c共面.證實:∵a∩b=A,?

a、b確定平面,設為a,則a

a,b

a,得C

a,B

b,∴a、b、c共面于a.a又c∩a=C,c∩b=B,ABCabc于是得C

a,B

a,即得c

a,第20頁4.如圖,正方體棱長是a,C,D分別是兩條棱中點.(1)證實四邊形ABCD是一個梯形;(2)求四邊形ABCD面積.證實:如圖,連結上底面∵C,D是兩棱中點,ACBDA

B

而A

B//AB,且A

B

=AB,∴CD//AB,且CD≠AB,則ABCD是梯形.(1)對角線A

B,∴CD//A

B

,且第21頁ACBDA

B

4.如圖,正方體棱長是a,C,D分別是兩條棱中點.(1)證實四邊形ABCD是一個梯形;(2)求四邊形ABCD面積.解:在底面正方形中求得如圖,在Rt△O

OE中可求得∴梯形ABCD面積為(2)OEO

梯形高OE=E第22頁5.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求證EF//E1F1,且EF=E1F1.證實:連結EE1,FF1,在正方體中,AE∥A1E1,AF∥A1F1,又知AE=A1E1,AF=A1F1,∴AEE1A1和AFF1A1是□,則EE1//AA1,且EE1=AA1,FF1//AA1,且FF1=AA1,∴四邊形EE1F1F是□,得EE1//FF1,且EE1=FF1,則EF//E1F1,且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D1第23頁

6.如圖,長方體三個面對角線長分別是a,b,c,求長方體對角線AC

長.AA

DCD

C

BB

abc解:設長方體中同一頂點處三條棱長為x,y,z,而AC

2=AC2+CC

2=AB2+BC2+CC

2xyz則a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z2第24頁

7.如圖,四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是邊長為2正方形,其它四個側面都是側棱長為等腰三角形,試畫出二面角V-AB-C平面角,并求它度數.ABCDVEF解:分別取AB、CD中點E、F,連結VE、EF,則∠VEF就是二面角V-AB-C平面角.連結VF,由已知可得VF=VE==2,又EF=2,∴∠VEF=60

,即二面角V-AB-C度數是60.第25頁8.已知a,b,g是三個平面,且a∩b=a,a∩g=b,b∩g=c,且a∩b=O.求證a,b,c三線共點.bgabac證實:∵a∩b=O,得O

a,O

b,a∩b=a,

a

b,a∩g=b,

b

g,

O

b,O

g,即O為b與g公共點,而b∩g=c,∴交線c必過O點,則a,b,c三線共點O.第26頁9.

如圖,平面a、b、g

兩兩相交,a、b、c為三條交線,且a//b,求證a//b//c.bagabc∵a∥b,證實:g∩b=

b,a

g,

a//b.同理,a∥b,a∩b=

c,a

a,

a//c.于是得b//c,∴得a//b//c.第27頁10.如圖,a∩b=AB,PC⊥a,PD⊥b,C,D是垂足,試判斷直線AB與CD位置關系?并證實你結論.答:

AB⊥CD.證實:∵a∩b=AB,∴AB

a,AB

b.而PC⊥a,PD⊥b,∴

PC⊥AB,PD⊥AB.則

AB⊥平面PCD.而CD平面PCD,∴AB⊥CD.abABCDP第28頁B組

1.如圖,邊長為2正方形ABCD中,

(1)點E是AB中點,點F是BC中點,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于點A

,求證:A

D⊥EF.

(2)當BE=BF=

BC時,求三棱錐A

EFD體積.ABCDEFA

BEDF(1)證實:∵DA⊥AE,DC⊥CF,∴DA⊥A

E,DA⊥A

F,則DA

⊥平面A

EF,于是得DA

⊥EF.第29頁B組

1.如圖,邊長為2正方形ABCD中,

(1)點E是AB中點,點F是BC中點,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于點A

,求證:A

D⊥EF.

(2)當BE=BF=

BC時,求三棱錐A

EFD體積.ABCDEFA

BEDF(2)解:∵BC=2,則得H△A

EF高A

H=第30頁B組

1.如圖,邊長為2正方形ABCD中,

(1)點E是AB中點,點F是BC中點,將△AED,△DCF分別沿DE,DF折起,使A,C兩點重合于點A

,求證:A

D⊥EF.

(2)當BE=BF=

BC時,求三棱錐A

EFD體積.ABCDEFA

BEDF(2)解:∵BC=2,則得H△A

EF高A

H=A

D=AD=2,∴三棱錐A

EFD體積為第31頁2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D與平面A1C1B交點H是△A1C1B重心(三角形三條中線交點).ABCDA1B1C1D1H·(1)證實:連結B1D1,則A1C1⊥B1D1,又A1C1⊥D1D,∴A1C1⊥平面B1D1D,則A1C1⊥B1D.同理,連結B1C,可得BC1⊥B1D.∴B1D⊥平面A1C1B.第32頁2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求證:(1)

B1D⊥平面A1C1B;(2)

B1D與平面A1C1B交點H是△A1C1B重心(三角形三條中線交點).設A1C1∩B1D1=O,則O,H,B是平面A1BC1與平(2)證實:ABCDA1B1C1D1H·面B1BDD1公共點,即B,H,O共線.而O點是A1C1中點,即BO是△A1C1B中線.O同理,設BC1∩B1C=E,EA1,H,E共線且是△A1C1B中線.∴H是△A1C1B重心.第33頁自我檢則題返回目錄第34頁自我檢測題一、選擇題.

1.如圖,點P,Q,R,S分別在正方體四條棱上,而且是所在棱中點,則直線PQ與RS是異面直線圖是()2.以下命題中,錯誤命題是()(A)平行于同一直線兩個平面平行(B)平行于同一平面兩個平面平行(C)一條直線與兩個平行平面中一個相交,那么這條直線必與另一個相交(D)一條直線與兩個平行平面所成角相等3.在正體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1中點,則直線CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D14.以下命題中,正確是()(A)一個平面把空間分成兩部分(B)兩個平面把空間分成三部分(C)三個平面把空間分成四部分(D)四個平面把空間分成五部分5.已知直線l⊥平面a,直線m

平面b,有以下命題:①a//b

l⊥m;②a⊥b

l//m;③l//m

a⊥b;④l⊥m

a//b.其中正確命題是()(A)①與②(B)③與④(C)②與④(D)①與③PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)第35頁二、填空題.6.若點M在直線a上,a在平面a上,則M,a,a間關系可用集合語言表示為

.7.設a,b,c是空間三條直線,下面給出四個命題:①若a⊥b,b⊥c,則a//c;②若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c也是異面直線;③若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.其中真命題個數是

.三、解答題.8.(1)用符號語言表示語句:“直線l經過平面a內一定點P,但l在a外”,并畫出圖形.(2)把下面符號語言改寫成文字語言形式,并畫出圖形.若直線a

平面a,A

a,A

a,A

直線b,a//b,則b

a.9.如圖,在長方體ABCD-A

B

C

D

中,指出B

C,D

B所在直線與各個面所在平面關系.

10.如圖,過點S引三條不共面直線SA,SB,SC,其中∠BSC=90

,∠ASC=∠ASB=60

,且SA=SB=SC=a.求證:平面ABC⊥平面BSC.ABCDA

B

C

D

SACB第36頁一、選擇題.1.如圖,點P,Q,R,S分別在正方體四條棱上,而且是所在棱中點,則直線PQ與RS是異面直線圖是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交異面C第37頁

2.以下命題中,錯誤命題是()(A)平行于同一直線兩個平面平行(B)平行于同一平面兩個平面平行(C)一條直線與兩個平行平面中一個相交,那么這條直線必與另一個相交(D)一條直線與兩個平行平面所成角相等A第38頁

3.在正體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1中點,則直線CE垂直于()(A)AC(B)BD(C)A1D(D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如圖,(A)AC與CE相交,排除.(B)直觀BD可能垂直CE.∵BD⊥AC,且BD⊥CC1,則BD⊥平面ACC1A1,而CE平面ACC1A1,∴BD⊥CE.B第39頁4.以下命題中,正確是()(A)一個平面把空間分成兩部分(B)兩個平面把空間分成三部分(C)三個平面把空間分成四部分(D)四個平面把空間分成五部分A一個平面如圖.兩個平面如圖.三個平面如圖.四個平面如圖.第40頁5.已知直線l⊥平面a,直線m平面b,有以下命題:①a//b

l⊥m;②a⊥b

l//m;③l//m

a⊥b;④l⊥m

a//b.其中正確命題是()(A)①與②(B)③與④(C)②與④(D)①與③almbalmbalmbalmb①成立②反例③成立④反例D第41頁

二、填空題.

6.若點M在直線a上,a在平面a內,則M,a,a間關系可用集合語言表示為

.M

a,a

a第42頁

7.設a,b,c是空間三條直線,下面給出四個命題:①若a⊥b,b⊥c,則a//c;②若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c也是異面直線;③若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.其中真命題個數是

.ABCDA1B1C1D1abc①反比如圖.bc②反比如圖.③反比如圖.④反比如圖.0個第43頁

三、解答題.

8.(1)用符號語言表示語句:“直線l經過平面a內一定點P,但l在a外”,并畫出圖形.

(2)把下面符號語言改寫成文字語言形式,并畫出圖形.若直線a平面a,A

a,A

a,A直線b,a//b,則b

a.解:(1)P

l,P

a,l

a.aPl第44頁

三、解