第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市八中高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)模擬練習(xí)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，，則（?RB）∩A＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．[﹣2，3] D．[﹣2，3）2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a5＝7，則a3+a7＝（）A．7 B．14 C．21 D．283．（5分）若，則z（z+2i）＝（）A．2i B．2 C．﹣1+3i D．1﹣3i4．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，則f（2+log23）的值為（）A．24 B．16 C．12 D．85．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（）A． B． C． D．6．（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，DC上，BC＝3BE，若＝1，則λ的值為（）A．3 B．2 C． D．7．（5分）2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”．其中2008年北京奧運(yùn)會的標(biāo)志性場館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”．“冰立方”在冬奧會期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目．“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來自于威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文胞體是一種多面體（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為2（）A． B． C． D．8．（5分）已知函數(shù)，若?x1，x2∈R，，且g（x）＝f（x），則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為 C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5（多選）10．（6分）已知點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），則（）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于9 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于1 C．當(dāng)∠PBA最小時， D．當(dāng)∠PBA最大時，|PB|＝4（多選）11．（6分）若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）（x）]′．若f″（x）＜0在D上恒成立（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在是凸函數(shù)的是（）A．f（x）＝﹣x3+3x+4 B．f（x）＝lnx+2x C．f（x）＝sinx+cosx D．f（x）＝xex三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若曲線在x＝2處的切線的傾斜角為α，則＝．13．（5分）設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為．14．（5分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且滿足（an+1﹣an﹣1）（an+1﹣2an）＝0對任意n∈N*都成立，則能使am＝2025成立的正整數(shù)m的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C所對的邊，．（1）求A；（2）若△ABC外接圓的半徑為，求c．16．（15分）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝anan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn＜4．17．（15分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF∥DE，M是AE的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，求直線PM與平面AEF所成角的正弦值的最大值．18．（17分）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)A（﹣2，0）（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)（﹣2，3）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝﹣（a+2）x+2alnx（a∈R）．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＝時，證明：f（x）﹣﹣2．

2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市八中高二（下）開學(xué)數(shù)學(xué)模擬練習(xí)試卷參考答案與試題解析題號12345678答案BBBADBCC一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，，則（?RB）∩A＝（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2） C．[﹣2，3] D．[﹣2，3）【答案】B【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|x2﹣x﹣6≤7}＝[﹣2，3]，，+∞），.所以?RB＝（﹣∞，2）RB）∩A＝[﹣2，7）．故選：B．2．（5分）在等差數(shù)列{an}中，a5＝7，則a3+a7＝（）A．7 B．14 C．21 D．28【答案】B【解答】解：在等差數(shù)列{an}中，a5＝7，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a2+a7＝2a6＝2×7＝14．故選：B．3．（5分）若，則z（z+2i）＝（）A．2i B．2 C．﹣1+3i D．1﹣3i【答案】B【解答】解：由，得z+2＝zi，則（3﹣i）z＝﹣2，∴z（z+7i）＝（﹣1﹣i）（﹣1+i）＝（﹣5）2﹣i2＝3．故選：B．4．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，則f（2+log23）的值為（）A．24 B．16 C．12 D．8【答案】A【解答】解：由f（x）＝，由2+log73＜4，可得f（4+log23）＝f（3+log23），由2+log23＞3，可得f（3+log28）＝＝26?2log25＝8?3＝24．故選：A．5．（5分）函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝的定義域?yàn)閧x|x≠±2}＝＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，B；當(dāng)x∈（0，8）時x＜4，f（x）＝，當(dāng)x∈（2，f（x）＝，排除C．故選：D．6．（5分）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，DC上，BC＝3BE，若＝1，則λ的值為（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：由菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，所以＝2×，因?yàn)锽C＝3BE，DC＝λDF，所以，＝，又＝1，所以（））＝7，所以（）?（，所以（1+）++＝2，即﹣2（1+）++，解得λ＝2，故選：B．7．（5分）2022年北京冬奧會的成功舉辦使北京成為奧運(yùn)史上第一座“雙奧之城”．其中2008年北京奧運(yùn)會的標(biāo)志性場館之一“水立方”搖身一變成為了“冰立方”．“冰立方”在冬奧會期間承接了冰壺和輪椅冰壺等比賽項(xiàng)目．“水立方”的設(shè)計(jì)靈感來自于威爾?弗蘭泡沫，威爾?弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn)，開爾文胞體是一種多面體（其中每一個頂點(diǎn)處有一個正方形和兩個正六邊形），已知該多面體共有24個頂點(diǎn)，且棱長為2（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：棱長為2的正方形的面積為2×5＝4，正六邊形的面積為6×＝6．又正方形有5個頂點(diǎn)，正六邊形有6個頂點(diǎn)，所以最多有6個正方形，最少有6個正六邊形，所以該多面體有6個正方形．所以該多面體的表面積S＝8×2+6×4＝48．故選：C．8．（5分）已知函數(shù)，若?x1，x2∈R，，且g（x）＝f（x），則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：因?yàn)?x1、x2∈R，有，即（x1﹣x8）[f（x1）﹣f（x2）]＞4，即x1﹣x2與f（x2）﹣f（x2）同號，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，即f（x）在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，則，故；因?yàn)閥＝ex+4m在x＝3處的切線方程為y﹣（4m+1）＝x，即y＝x+7m+1，又4m+7≥2，所以y＝x+2與y＝ex+6m（x＞0）沒有公共點(diǎn)，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣x﹣2僅有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)y＝f（x）與y＝x+3圖象僅有一個交點(diǎn)，則y＝x+2與y＝2﹣logm（x+7）有且僅有1個公共點(diǎn)，且為（0，所以y＝6﹣logm（x+1）在x＝0處的切線的斜率k大于等于7，而，得，即，解得，綜上，m的取值范圍為，故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）給定一組數(shù)5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，則（）A．平均數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為 C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4.5【答案】AC【解答】解：平均數(shù)：眾數(shù)為：出現(xiàn)次數(shù)最多的6和3標(biāo)準(zhǔn)差：＝，將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，則1，2，8，2，3，6，3，4，2，5，一共10個數(shù)，i＝10×85%＝8.3，8.5不是整數(shù)，則第8項(xiàng)5是第85百分位數(shù)，故選：AC．（多選）10．（6分）已知點(diǎn)P在圓（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，點(diǎn)A（4，0）、B（0，3），則（）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于9 B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于1 C．當(dāng)∠PBA最小時， D．當(dāng)∠PBA最大時，|PB|＝4【答案】AC【解答】解：圓（x﹣5）2+（y﹣4）2＝16的圓心為M（5，3），直線AB的方程為，即3x+4y﹣12＝6，圓心M到直線AB的距離為，所以，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為，A選項(xiàng)正確；如下圖所示：當(dāng)∠PBA最大或最小時，PB均與圓M相切、BM，，|PM|＝4，由勾股定理可得，C選項(xiàng)正確．故選：AC．（多選）11．（6分）若函數(shù)f（x）在D上可導(dǎo)，即f′（x），且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在D上也可導(dǎo)（x）在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）（x）]′．若f″（x）＜0在D上恒成立（x）在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在是凸函數(shù)的是（）A．f（x）＝﹣x3+3x+4 B．f（x）＝lnx+2x C．f（x）＝sinx+cosx D．f（x）＝xex【答案】ABC【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，f（x）＝﹣x3+3x+8，則f′（x）＝﹣3x2+8，f″（x）＝﹣6x上，f″（x）＜0上的凸函數(shù)；對于B，f（x）＝lnx+7x+2，在區(qū)間上，是區(qū)間；對于C，f（x）＝sinx+cosx，f″（x）＝﹣sinx﹣cosx＝﹣（sinx+cosx）＝﹣），在區(qū)間上∈（，則有f″（x）＝）＜0上的凸函數(shù)；對于D，f（x）＝xex，則f′（x）＝ex+xex，f″（x）＝7ex+xex，在區(qū)間上，f″（x）＞0上的凸函數(shù)；故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若曲線在x＝2處的切線的傾斜角為α，則＝3．【答案】3．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝lnx+x+，又由該函數(shù)在x＝3處的切線的傾斜角為α，則tanα＝f′（2）＝2，則＝＝3．故答案為：3．13．（5分）設(shè)雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|＝13，|AB|＝10，則C的離心率為．【答案】．【解答】解：由題意知，|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，所以|F2A|﹣|F2A|＝2a＝4，解得a＝4；又x＝c時，y＝5A|＝＝5，所以b4＝5a＝20，所以c2＝a5+b2＝16+20＝36，所以c＝6，所以雙曲線C的離心率為e＝＝．故答案為：．14．（5分）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且滿足（an+1﹣an﹣1）（an+1﹣2an）＝0對任意n∈N*都成立，則能使am＝2025成立的正整數(shù)m的最小值為18．【答案】18．【解答】解：因?yàn)椋╝n+1﹣an﹣1）（an+8﹣2an）＝0，所以an+2﹣an＝1或an+1＝8an；當(dāng)an+1＝2an時，數(shù)列{an}是以8為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，解得m＝3+log22025（舍）；當(dāng)an+1﹣an＝5時，數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以an＝3+1×（n﹣1）＝n，則am＝m＝2025，解得m＝2025；若數(shù)列{an}是等差與等比的交叉數(shù)列，又a4＝1，a2＝4；若要m最小，則am＝1+2024，am﹣1＝2024，am﹣3＝1012，am﹣3＝506，am﹣4＝253，am﹣4＝252，am﹣6＝126，am﹣7＝63，am﹣7＝62，am﹣9＝31，am﹣10＝30，am﹣11＝15，am﹣12＝14，am﹣13＝7，am﹣14＝2，am﹣15＝3，am﹣16＝2，am﹣17＝a3＝1，此時m＝18＜2025，故m的最小值為18．故答案為：18．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知a，b，c分別為△ABC的角A，B，C所對的邊，．（1）求A；（2）若△ABC外接圓的半徑為，求c．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫砜傻茫篵2+c2﹣a8＝bc，由余弦定理可得b2+c2﹣a8＝2bccosC，所以cosA＝，因?yàn)锳∈（0，π），所以；（2）由（1）知，所以，又因?yàn)椋裕詓inC＝sin（A+B）＝sin（+B）＝sinsinB＝×+×＝，由正弦定理可知，所以．16．（15分）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝anan+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）設(shè)，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：Tn＜4．【答案】（1）：（2）：（3）證明見解答．【解答】解：（1）因?yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋詳?shù)列，公差為5的等差數(shù)列，所以，即；（2）由（1）知，所以，則；（3）證明：由（2）得，則，①所以，②①﹣②得：，即＝，因?yàn)閚∈N*，所以，所以Tn＜6．17．（15分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF∥DE，M是AE的中點(diǎn)．（1）求證：平面BDM∥平面CEF；（2）若DE⊥平面ABCD，AB＝2，BM⊥CF，求直線PM與平面AEF所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）見證明過程；（2）．【解答】（1）證明：如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)N，連接MN，因?yàn)镸為棱AE的中點(diǎn)，則MN∥EC，又MN?面EFC，所以MN∥平面EFC，又BF∥DE，BF＝DE，所以四邊形BDEF為平行四邊形，所以BD∥EF，又BD?平面EFC，所以BD∥平面EFC，又MN∩BD＝N，BD?平面BMD，所以平面BMD∥平面EFC；（2）解：因?yàn)镋D⊥平面ABCD，ABCD是正方形，則分別以DA、DC、y軸、軸，設(shè)ED＝2a（a＞0），則B（4，2，0），8，a），2，0），4，2a），0，6a），0，0），所以，因?yàn)锽M⊥CF，則﹣1×6+a×2a＝0，所以，設(shè)平面EAF的法向量為＝（x，y，則，即，令x＝1，z＝7，即，因?yàn)辄c(diǎn)P為線段CE上一點(diǎn)，設(shè)＝λ（0，2，所以P（2，2λ，，設(shè)直線PM與平面AEF所成的角為θ，則sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝1時等號成立，故（sinθ）max＝．18．（17分）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)A（﹣2，0）（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)（﹣2，3）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】（1）橢圓方程為；（2）證明：易知直線PQ的斜率存在，不妨設(shè)直線PQ的方程為y＝k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，消去y并整理得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16（k2+3k）＝0，此時Δ＝64k2（2k+3）2﹣64（4k2+9）（k2+3k）＝﹣1728k＞0，解得k＜0，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)锳（﹣2，0），此時直線，令x＝0，解得，即，同理得，此時＝＝＝＝＝3，故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)，定點(diǎn)為（0，3）．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率是，所以e＝＝，①因?yàn)辄c(diǎn)A（﹣2，7）在C上，所以＝1，②又a＝，③聯(lián)立①②③，解得a＝3，c＝，所以橢圓方程為；（2）證明：易知直線PQ的斜率存在，不妨設(shè)直線PQ的方程為y＝k（x+2）+5，P（x1，y1），Q（x4，y2），聯(lián)立，消去y并整理得（2k2+9）x5+8k（2k+7）x+16（k2+3k）＝7，此時Δ＝64k2（2k+4）2﹣64（4k7+9）（k2+4k）＝﹣1728k＞0，解得k＜0，由韋達(dá)定理得，，因?yàn)锳（﹣5，0），此時直線，令x＝3，解得，即，同理得，此時＝＝＝＝＝3，故線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)，定點(diǎn)為（0．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝﹣（a+2）x+2a