福建專題訓練方法歸類圓切線判定的兩種方法直線與圓有交點：連半徑，證垂直1．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，延長ED交AB的

延長線于點F.求證：EF是⊙O的切線；證明：如圖，連結OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠ODA＝∠EAD.∴OD∥AE.∵EF⊥AE，∴OD⊥EF，又∵OD是半徑，∴EF是⊙O的切線．2345612．[2024·仙游聯考]如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝

∠B＝30°，過點C作CD⊥AC交AB于點D，(1)尺規作圖：作△ACD的外接圓⊙O(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；(2)在(1)所作的圖形中，求證：BC是⊙O的切線．證明：如圖，連結OC.∵∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－2×30°＝120°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°，∴BC⊥OC.又∵OC是半徑，∴BC是⊙O的切線．解：如圖，⊙O即為所求作．2345613．[2024·福州期末]如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦．點P，O位于AC異側，PA與⊙O相切，∠APC＝2∠BAC.(1)求證：PC是⊙O的切線；證明：如圖，連結OC，∵PA是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°.∵

，∴∠BOC＝2∠BAC.∵∠APC＝2∠BAC，∴∠BOC＝∠APC.∵∠BOC＋∠AOC＝180°，∴∠APC＋∠AOC＝180°.∵在四邊形OAPC中，∠OAP＋∠APC＋∠AOC＋∠OCP＝360°，∴∠OCP＝90°，∴OC⊥PC.又∵C為⊙O上的點，∴PC為⊙O的切線．2345613．[2024·福州期末]如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦．點P，O位于AC異側，PA與⊙O相切，∠APC＝2∠BAC.(2)若PC＝AB＝4，求AC的長．解：如圖，連結OP交AC于點D.∵PA，PC是⊙O的切線，PC＝AB＝4，∴PA＝PC＝AB＝4，PO平分∠APC，∴OP⊥AC，AC＝2AD.在Rt△OAP中，∠OAP＝90°，OA＝

AB＝2，∴OP＝又∵S△OAP＝

OA·AP＝

OP·AD，2345614．如圖，在△OAB中，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的半徑

為3.求證：AB是⊙O的切線．【思路導航】過點O作OC⊥AB，利用等腰三角形的性質

和勾股定理即可解題．不確定直線與圓是否有交點：作垂直，證半徑證明：過點O作OC⊥AB于點C，∵OA＝OB，AB＝8，∴AC＝

AB＝4.在Rt△OAC中，OC＝

＝3，∵⊙O的半徑為3，∴OC為⊙O的半徑．又∵OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線．2345615．如圖，在△OAB中，OA＝2，OB＝4，OA⊥OB，以O為圓心，4為半徑作⊙O，求證：AB是⊙O的切線．證明：作OC⊥AB于C.∵OA⊥OB，∴在Rt△OAB中，∵⊙O的半徑為4，∴OC為⊙O的半徑．又∵OC⊥AB，∴AB是⊙O的切線．2345616．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點O在AB上，AD⊥CO，交CO的延長線于點D，∠DAO＝∠ACO，以點O為圓心，OB為半徑作圓．(1)求證：AC是⊙O的切線；證明：如圖，過點O作OM⊥AC，垂足為M，則∠OMC＝90°.∵AD⊥CO，∴∠D＝90°，∴∠DAB＋∠AOD＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠COB＋∠BCD＝90°.∵∠AOD＝∠COB，∴∠DAB＝∠BCD.∵∠DAO＝∠ACO，∴∠BCD＝∠ACO.∵∠ABC＝∠OMC＝90°，OC＝OC，∴△OBC≌△OMC，∴OB＝OM.∵OB為⊙O的半徑，∴OM為⊙O的半徑，∴AC是⊙O的切線．2345616．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點O在AB上，AD⊥CO，交CO的延長線于點D，∠DAO＝∠ACO，

以點O為圓心，OB為半徑作圓．(2)若CB＝6，AB＝8.求OC的長．234561解：∵∠ABC＝90°，CB＝6，AB＝8，由(1)得△OBC≌△OMC，∴BC＝C