第27章圓27.2與圓有關的位置關系3.切線

第2課時切線長定理與三角形的內切圓目

錄CONTENTS011星題基礎練022星題中檔練033星題提升練切線長定理1．[知識初練]如圖，PA，PB都是⊙O的切線，

所以PA＝________，∠APO＝∠________．PB2345678910111213141BPO2．如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，C為⊙O上一點，連結AC、BC，若∠P＝70°，則∠ACB的度數為(

)A．50°B．55°C．60°D．65°2345678910111213141B3.[創新題·新考法]為了測量一元硬幣的半徑，小明把一元硬幣與直尺相切于點A，如圖，將一個含60°角的三角尺一邊與直尺一邊重合，水平移動三角尺，當三角尺與硬幣相切時停止移動，設三角尺60°角的頂點為B.小明測量出AB＝7mm，則這枚一元硬幣的半徑約是

__________mm.(結果保留整數，

≈1.73)2345678910111213141124．如圖，正方形ABCD的邊長是4，以BC為直徑作半圓O，從點A引半圓O的切線，切點為F，AF的延長線交DC于點E.求△ADE的面積．解：在正方形ABCD中，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB，CD都是半圓O的切線．又∵AF是半圓O的切線，∴AF＝AB＝4，EF＝EC.設EC＝x，則EF＝x，DE＝4－x.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2，即42＋(4－x)2＝(4＋x)2，解得x＝1.∴DE＝4－x＝3.∴△ADE的面積為

×4×3＝6.23456789101112131415．如圖，⊙O內切于△ABC，切點分別為D，E，F，已知∠B＝50°，∠C＝60°，則∠EDF的度數為______．234567891011121314155°三角形的內切圓6．如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F，且AD＝2，△ABC的周長為14，則BC的長為________．234567891011121314157．[2024·麗水一模]小陳同學從市場上購買了如圖①的花盆，花盆底部的橫截面是直徑為35cm的圓，他家中有一個花盆托盤，該托盤底部的橫截面是邊長為60cm的正三角形(如圖②)．(1)求正三角形一邊上的高；解：(1)如圖，過點A作AD⊥BC于D.∵△ABC為正三角形，∴AB＝BC＝AC＝60cm，∠ABC＝∠BAC＝60°.∵AD⊥BC，∴BD＝

BC＝30cm，∠ADB＝90°，∴AD＝∴正三角形一邊上的高為30cm.2345678910111213141(2)這個托盤是否適用于該花盆？請判斷并說明理由．這個托盤不適用于該花盆，理由如下：如圖，設點O為△ABC的內切圓的圓心，易知O在AD上，連結OB，∴∠OBD＝

∠ABC＝

×60°＝30°，∴

＝tan30°，∴OD＝BD·tan30°＝30×＝10(cm)，∴△ABC內切圓的半徑為10cm，∴△ABC內切圓的直徑為20cm.∵花盆底部的橫截面是直徑為35cm的圓，20cm<35cm，∴這個托盤不適用于該花盆．23456789101112131418．[2024·福州鼓樓區教育學院附中月考]如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∠ABC＝70°，PA，PC是⊙O的切線，則∠P＝________．234567891011121314140°9．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，點C，D在⊙O上．若∠P＝102°，則∠A＋∠C＝________．2345678910111213141219°

【點撥】連結AB.∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB.∴∠PAB＝∠PBA＝

×(180°－102°)＝39°.∵∠DAB＋∠C＝180°，∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝39°＋180°＝219°.10．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為(

)A．44B．42C．46D．472345678910111213141A11．[2021·福建中考]如圖，AB為⊙O的直徑，點P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點分別為C，D.若AB＝6，PC＝4，則sin∠CAD等于(

)2345678910111213141D12．如圖，點O是△ABC的內切圓的圓心，∠OAC＝40°，則∠BOC的度數為(

)A．80°B．100°C．130°D．140°2345678910111213141C13．如圖，PA，PB是圓的切線，A，B為切點．(1)求作這個圓的圓心O(用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明過程)；2345678910111213141解：(1)如圖，圓心O即為所求．13．如圖，PA，PB是圓的切線，A，B為切點．(2)在(1)的條件下，延長AO交射線PB于點C，若AC＝4，PA＝3，請補全圖形，并求⊙O的半徑．補全圖形如圖．由題意知CA⊥PA，∴∠CAP＝90°.∵AC＝4，PA＝3，∴PC＝

＝5.易知PA＝PB＝3，∴BC＝PC－PB＝2.由題意知OB⊥PB，∴∠OBC＝90°.在Rt△OBC中，∵OC2＝OB2＋BC2，OC＝AC－OA＝4－OA＝4－OB，∴(4－OB)2＝OB2＋22，解得OB＝

，∴⊙O的半徑為

.234567891011121314114.[推理能力]如圖，△ABC內接于⊙O，點I是△ABC的內心，AI的延長線交⊙O于點D.(1)若∠BAC＝60°，BD＝5，求⊙O的半徑；解：如圖，連結OB，OD.∵點I是△ABC的內心，∴AI平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝

∠BAC＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°.∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴OB＝BD＝5，∴⊙O的半徑為5.234567891011121314114.[推理能力]如圖，△ABC內接于⊙O，點I是△ABC的內心，AI的延長線交⊙O于點D.(2)求證：DC＝DI.證明：如圖，連結BI.∵點I是△ABC的內心，∴BI平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI