第27章

圓全章整合與提升圓的有關概念1．生活中經常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，其中蘊含的道理是(

)A．同樣長度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B．同一個圓所有的直徑都相等C．圓的周長是直徑的π倍D．圓是軸對稱圖形B2345678910111213141516171181920212223242.如圖所示，下列說法正確的是(

)A．線段AB，AC，CD都是⊙O的弦B．線段AC是⊙O的直徑C．弦AC把⊙O分成了兩條不等的弧D．弦AB把圓分成兩條弧，其中弧ACB是劣弧B234567891011121314151617118192021222324圓的相關定理及其推論3.[創新題·新考法][2024·檳榔中學期中]如圖，用直角三角板經過兩次畫圖找到圓形工件的圓心，這種方法應用的道理是(

)A．垂徑定理B．勾股定理C．直徑所對的圓周角是直角D．90°的圓周角所對的弦是直徑D2345678910111213141516171181920212223244．[2024·福州期末]有下列語句：①平分弦的直徑垂直于弦；②相等的圓心角所對的弧相等；③長度相等的兩條弧是等弧；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；⑤在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓周角相等．其中不正確的有(

)A．2個B．3個

C．4個D．5個D2345678910111213141516171181920212223245．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB＝AD，∠ABD＝70°，則∠BCD的度數是(

)A．120°B．130°C．140°D．150°C2345678910111213141516171181920212223246．如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則下列說法正確的是(

)A．點O是△ABC的內心B．點O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形A2345678910111213141516171181920212223247．如圖，點A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足為D.若OA＝4，則BC的長為________．2345678910111213141516171181920212223248．已知⊙O的半徑為5cm，弦AB的長為8cm，則此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離為______________．2cm或8cm2345678910111213141516171181920212223249．[2024·泉州鯉城區期末]如圖，△ABC內接于⊙O，點E在

上，且AE∥BC，若AC＝BC，AB＝8，BE＝12，則⊙O的半徑是________．23456789101112131415161711819202122232410．已知⊙O的直徑為12，A，B，C為射線OP上的三個點，OA＝7，OB＝6，OC＝5，則(

)A．點A在⊙O內

B．點B在⊙O上

C．點C在⊙O外

D．點C在⊙O上B234567891011121314151617118192021222324與圓有關的位置關系11．已知⊙O的半徑為2，直線l上有一點P滿足PO＝2，則直線l與⊙O的位置關系是(

)A．相切B．相離C．相離或相切D．相切或相交D23456789101112131415161711819202122232412．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，D為BC的中點，DE⊥AC于點E，連結AD，則下列結論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝

AC；④DE是⊙O的切線．正確的有(

)A．1個

B．2個

C．3個

D．4個D23456789101112131415161711819202122232413．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，已知⊙O經過點C，且與AB相切于點D.(1)在圖中作出⊙O；(要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)解：(1)如圖①，⊙O即為所作．234567891011121314151617118192021222324(2)若D是邊AB上的動點，⊙O與邊CA，CB分別相交于

點E，F，求EF的最小值．如圖②，連結CO，OD，過點C作CT⊥AB于點T，∴S△ABC＝

AB·CT＝

AC·BC.在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理，得AB＝

＝10，∴

×10·CT＝

×6×8，解得CT＝4.8.∵∠ACB＝90°，∴EF是⊙O的直徑．∴EF＝CO＋OD≥CD，∴當C，O，D三點共線，且點D與點T重合時，EF最小，最小值為CT的長，即4.8.23456789101112131415161711819202122232414．如圖，四邊形ACBD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交AB于點E，點P在AB的延長線上，∠PCB＝∠BDC.(1)求證：PC是⊙O的切線；證明：連結OC，如圖．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠OCB＝90°.∵∠2＝∠BDC，∠PCB＝∠BDC，∴∠2＝∠PCB.∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠PCB，∴∠PCB＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC.又∵OC是⊙O的半徑，∴PC是⊙O的切線．23456789101112131415161711819202122232414．如圖，四邊形ACBD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交AB于點E，點P在AB的延長線上，∠PCB＝∠BDC.(2)求證：PE2＝PA·PB；證明：由(1)，得∠2＝∠PCB.∵∠P＝∠P，∴△CBP∽△ACP，∴

，∴PC2＝PA·PB.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＋∠2＝∠BCD＋∠PCB，即∠PEC＝∠PCE.∴PC＝PE，∴PE2＝PA·PB.234567891011121314151617118192021222324(3)若BC＝2

，△ACD的面積為12，求PB的長．解：作AF⊥CD于點F，如圖，∴∠AFD＝∠AFC＝90°.∵CD平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠CAF＝90°－∠ACD＝45°，∴∠CAF＝∠ACD，∴CF＝AF，∴易得AC＝

AF.∵∠ADC＝∠ABC，∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△ADF∽△ABC，

∴DF＝2.設CF＝AF＝a，∴CD＝a＋2，∴S△ACD＝

a(a＋2)＝12.解得a＝4(負值已舍去)．∴CF＝AF＝4，∴AC＝

AF＝4，234567891011121314151617118192021222324由(2)得△CBP∽△ACP，∴PA＝2PC，PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB，23456789101112131415161711819202122232415．如圖，扇形紙扇完全打開后，外側兩竹條AB，AC的夾角為120°，AB的長為30cm，貼紙部分BD的長為20cm，則貼紙部分的面積是________．(結果保留π)234567891011121314151617118192021222324與圓有關的計算16．如圖，在△ABC中，BC＝4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A與BC相切于點D，交AB于點E，交AC于點F，點P是⊙A上的一點，且∠EPF＝45°，則圖中陰影部分的面積是________(結果保留π)．4－π23456789101112131415161711819202122232417.[真實情境][2024·深圳三模]如圖所示的是某十字路口機動車轉彎時的示意圖，設計轉彎半徑O1A＝10m，轉彎角度∠AO1B＝90°，大型機動車實際轉彎時，轉彎半徑O2C＝20m，轉彎角度∠CO2D＝80°，則大型機動車轉彎實際行駛路程(的長)與設計轉彎行駛路程

(的長)的差為________(結果保留π)．23456789101112131415161711819202122232418．如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底的圓錐(接縫處忽略不計)，若該圓錐的底面圓的周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是________．150°23456789101112131415161711819202122232419．如圖，有一直徑為

m的圓形紙片，要從中剪出最大的圓心角是90°的扇形BAC.(1)求被剪掉的陰影部分的面積；解：(1)連結BC.∵∠A＝90°，∴BC為⊙O的直徑．在Rt△ABC中，易得AB＝AC＝∴S陰影＝S⊙O－S扇形BAC＝π×23456789101112131415161171820212219232419．如圖，有一直徑為

m的圓形紙片，要從中剪出最大的圓心角是90°的扇形BAC.(2)用所留的扇形紙片圍成一個圓錐，求圓錐的全面積．23456789101112131415161171820212219232420．[2024·福建寧德一模]蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀為正六邊形，如圖是部分巢房的橫截面圖，則∠BAC＝________°.120234567891011121314151611720181921222324正多邊形和圓21．如圖，⊙O是正八邊形ABCDEFGH的外接圓，⊙O的半徑是1，則下列結論正確的是________．(填序號)③△ODE為等邊三角形；④S正八邊形ABCDEFGH＝AE·DF.①②④23456789101112131415121161718192022232422．[2024·福建中考]如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為

的中點，則∠ACM等于(

)A．18°B．30°C．36°D．72°A23456789101112131415122161718192021232423.[創新題·新考法][2023·福建中考]我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416.如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計

⊙O的面積，可得π的估計值為

，若用圓內接正十二

邊形作近似估計，可得π的估計值為(

)C23456789101112131415122161718192021232424．[2024·福建中考]如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E，BE

的延長線交

于點F.(1)求

的值；解：∵AB＝AC，且AB是⊙O的直徑，∴AC＝2AO.∵∠BAC＝90°，∴在Rt△AOC中，tan∠AOC＝

＝2.∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中，tan∠AOC＝

.234567891011121314151221617181920212324(2)求證：△AEB∽△BEC；證明：過點B作BM∥AE，交EO的延長線于點M，如圖①，則∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°.又∵AO＝BO，∴△AOE≌△BOM，∴AE＝BM，OE＝OM，∴EM＝2OM.

∴BM＝2OM，∴BM＝EM，∴∠