第3章整式的乘除一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列運算正確的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3?a2＝a62．（3分）計算：a3b（a﹣1b）﹣2＝（）A．ab﹣1 B．a5b C．a5b D．a23．（3分）已知n﹣m＝3，則2m÷2n的值為（）A．18 B．8 C．﹣8 D．4．（3分）若2n+2A．8 B．7 C．6 D．55．（3分）對于實數a，b，整式P，Q，規定整式的運算：P⊕Q＝aP+bQ，n⊙P=P⊕P⊕?⊕P︸n個P．當n≠1時，若對于n⊙P＝P始終成立，則aA．a＝b B．ab＝0 C．a+b＝0 D．a+b＝16．（3分）如圖，大正方形與小正方形的面積差為72，則陰影部分的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．727．（3分）若（x+m）與（x+5）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．0 D．±58．（3分）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在長方形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（）．A．a＝2b B．a＝3b C．a＝3.5b D．a＝4b9．（3分）若n為整數，則代數式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除10．（3分）如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）填空：8x2y?＝﹣24x3y3．12．（3分）計算：20252﹣4050×2023+20232＝．13．（3分）如果x+y＝﹣6，xy＝8，那么x2+y2＝，14．（3分）當x＝1時，ax+b+1的值為﹣2，則（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值為．15．（3分）如圖，為了綠化校園，某校準備在一個長為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的通道，則草坪的面積是．16．（3分）計算：20152三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）計算：（1）(1（2）x4?x8+3（x6）2+（2x4）3．18．（8分）先化簡，再求值：（a﹣2b）2+（b﹣3a）（b+3a）﹣2（a﹣4b）（a+b），其中a＝﹣1，b=119．（8分）在數學研究活動中，老師給學生們布置了一些有趣的數學題目．小明和小紅是研究活動中的積極成員，他們決定一起討論并解決這些問題．請你幫助他們完成這些計算．（1）小明在活動中遇到了一道題目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．請你幫助小明解答這個問題．（2）小紅在活動中也遇到了一道題目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．請你幫助小紅解答這個問題．20．（8分）如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形（A類）、長為a寬為b的長方形（B類）以及邊長為b的大正方形（C類），發現利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取圖①中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（2a+b）（a+2b），在虛框中畫出圖形，并根據圖形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為a2+5ab+6b2．根據你畫的長方形，可得到恒等式；（3）如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x，y表示四個相同形狀的長方形的兩條鄰邊長（x＞y），觀察圖案，指出以下正確的關系式（填寫選項）．A．xy=m2?n24B．x+y＝mC．x2﹣y2＝mnD．21．（8分）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t為任意有理數．（1）A?B+13的值可能為負數嗎？請說明理由；（2）請通過計算說明：當t是整數時，A2﹣B2的值一定能被24整除．22．（10分）觀察下列圖形及圖形所對應的等式，探究圖形陰影部分的面積變化與對應等式的規律，并解答下列問題：22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝．（1）補全第四個等式，并直接寫出第n個圖對應的等式；（2）計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+?+992﹣1002．（3）若x是正整數，且（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，求x的值．23．（10分）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規劃部門計劃在中間留一塊邊長為（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分鋪設草坪（陰影部分）．（1）求草坪的面積是多少平方米？（用含a、b的代數式表示）（2）若a、b滿足（x+2）（x+3）＝x2+ax+b時，草坪的單價為每平方米50元．求購買草坪所需要的總費用．24．（12分）定義：如果2m＝n（m，n為正數），那么我們把m叫做n的D數，記作m＝D（n）．（1）根據D數的定義，填空：D（2）＝，D（16）＝．（2）D數有如下運算性質：D（s?t）＝D（s）+D（t），D（qp）＝D（q）﹣D（p），其中q＞p根據運算性質，計算：①若D（a）＝1，求D（a3）；②若已知D（3）＝2a﹣b，D（5）＝a+c，試求D（15），D（53），D（108），D（2720）的值（用a、b、

第3章整式的乘除參考答案與試題解析題號12345678910答案ACADDCABCA一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列運算正確的是（）A．（ab3）2＝a2b6 B．3a+3b＝9ab C．2（a+5）＝2a+5 D．a3?a2＝a6【解答】解：A．（ab3）2＝a2b6，故本選項符合題意；B.3a+3b不能合并同類項，故本選項不符合題意；C.2（a+5）＝2a+10，故本選項不符合題意；D.5a3?a2＝a5，故本選項不符合題意．故選：A．2．（3分）計算：a3b（a﹣1b）﹣2＝（）A．ab﹣1 B．a5b C．a5b D．a2【解答】解：a3b（a﹣1b）﹣2＝a3b?a2b﹣2＝a5b﹣1=a故選：C．3．（3分）已知n﹣m＝3，則2m÷2n的值為（）A．18 B．8 C．﹣8 D．【解答】解：原式＝2m﹣n＝2﹣3=1故選：A．4．（3分）若2n+2A．8 B．7 C．6 D．5【解答】解：根據已知，得8×2n＝28，∴23+n＝28，∴3+n＝8，∴n＝5．故選：D．5．（3分）對于實數a，b，整式P，Q，規定整式的運算：P⊕Q＝aP+bQ，n⊙P=P⊕P⊕?⊕P︸n個P．當n≠1時，若對于n⊙P＝P始終成立，則aA．a＝b B．ab＝0 C．a+b＝0 D．a+b＝1【解答】解：由題意得n⊙P＝（an+b）P，∵當n≠1時，若對于n⊙P＝P始終成立，∴n≠1，an+b＝1，∴b＝1，a＝0，∴a+b＝0+1＝1．故選：D．6．（3分）如圖，大正方形與小正方形的面積差為72，則陰影部分的面積為（）A．18 B．24 C．36 D．72【解答】解：如圖，設正方形ABCD的邊長為a，正方形CEFG的邊長為b，則a2﹣b2＝72，S陰影部分＝S△EDG+S△BDG=12DG?CE+1=12b（a﹣b）+12a（=12（a﹣b）（a+=12（a2﹣b=1＝36．故選：C．7．（3分）若（x+m）與（x+5）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．0 D．±5【解答】解：由題意得：（x+m）（x+5）＝x2+5x+mx+5m＝x2+（5+m）x+5m，由條件可知5+m＝0，解得：m＝﹣5．故選：A．8．（3分）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在長方形ABCD內，未被覆蓋的部分用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（）．A．a＝2b B．a＝3b C．a＝3.5b D．a＝4b【解答】解：左上角陰影部分的長為AE，寬為AF＝3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，∴陰影部分面積之差S＝AE?AF﹣PC?a＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，則3b﹣a＝0，即a＝3b．故選：B．9．（3分）若n為整數，則代數式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（）A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除【解答】解：原式＝3n2+12n+9﹣6＝3n2+12n+3＝3（n2+4n+1），∴該代數式的值一定可以被3整除．故選：C．10．（3分）如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的平方差，那么稱該正整數為“和諧數”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均為“和諧數”），在不超過2017的正整數中，所有的“和諧數”之和為（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554【解答】解：設相鄰的兩奇數分別為2n+1，2n﹣1（n≥1，且n為正整數），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根據題意得：8n≤2017，∴n≤25218∴n最大為252，此時2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故選：A．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）填空：8x2y?（﹣3xy2）＝﹣24x3y3．【解答】解：根據題意得，﹣24x3y3÷8x2y＝﹣3xy2，故答案為：（﹣3xy2）．12．（3分）計算：20252﹣4050×2023+20232＝4．【解答】解：原式＝20252﹣2×2025×2023+20232＝（2025﹣2023）2＝22＝4．故答案為：4．13．（3分）如果x+y＝﹣6，xy＝8，那么x2+y2＝20，【解答】解：∵x+y＝﹣6，xy＝8，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝36﹣16＝20．故答案為：20．14．（3分）當x＝1時，ax+b+1的值為﹣2，則（a+b+1）（1﹣a﹣b）的值為﹣8．【解答】解：∵當x＝1時，ax+b+1的值為﹣2，∴a+b+1＝﹣2，∴a+b＝﹣2﹣1，∴a+b＝﹣3，∴（a+b+1）（1﹣a﹣b）＝[（a+b）+1][1﹣（a+b）]＝（﹣3+1）×[1﹣（﹣3）]＝（﹣2）×（1+3）＝（﹣2）×4＝﹣8，故答案為：﹣8．15．（3分）如圖，為了綠化校園，某校準備在一個長為（3a﹣b）米，寬為（a+2b）米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的通道，則草坪的面積是（3a2+ab﹣2b2）平方米．【解答】解：（3a﹣b﹣b）（a+2b﹣b）＝3a2+ab﹣2b2（平方米）；故答案為：（3a2+ab﹣2b2）平方米．16．（3分）計算：201522014【解答】解：201=201=201=201=1故答案為：12三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（8分）計算：（1）(1（2）x4?x8+3（x6）2+（2x4）3．【解答】解：（1）(＝2﹣1+5=5（2）x4?x8+3（x6）2+（2x4）3＝x12+3x12+8x12＝12x12．18．（8分）先化簡，再求值：（a﹣2b）2+（b﹣3a）（b+3a）﹣2（a﹣4b）（a+b），其中a＝﹣1，b=1【解答】解：原式＝a2﹣4ab+4b2+b2﹣9a2﹣2（a2﹣3ab﹣4b2）＝a2﹣4ab+4b2+b2﹣9a2﹣2a2+6ab+8b2＝﹣10a2+2ab+13b2；當a＝﹣1，b=1原式＝﹣10×（﹣1）2+2×（﹣1）×12+13×（＝﹣10×1﹣1+13×＝﹣10﹣1+=?3119．（8分）在數學研究活動中，老師給學生們布置了一些有趣的數學題目．小明和小紅是研究活動中的積極成員，他們決定一起討論并解決這些問題．請你幫助他們完成這些計算．（1）小明在活動中遇到了一道題目：已知2x＝5，2y＝9，求22x﹣y的值．請你幫助小明解答這個問題．（2）小紅在活動中也遇到了一道題目：已知（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，求x2+6xy+y2的值．請你幫助小紅解答這個問題．【解答】解：（1）∵2x＝5，2y＝9，∴22x﹣y＝22x÷2y＝（2x）2÷2y＝52÷9=25（2）∵（x+y）2＝16；（x﹣y）2＝6，∴x2+2xy+y2＝16①，x2﹣2xy+y2＝6②，①+②，得2x2+2y2＝22，∴x2+y2＝11，①﹣②，得4xy＝10，∴xy=5∴x2+6xy+y2＝11+6×520．（8分）如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形（A類）、長為a寬為b的長方形（B類）以及邊長為b的大正方形（C類），發現利用圖①中的三種材料各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式．比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取圖①中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（2a+b）（a+2b），在虛框中畫出圖形，并根據圖形回答（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；（2）若取其中的若干個（三種圖形都要取到）拼成一個長方形，使其面積為a2+5ab+6b2．根據你畫的長方形，可得到恒等式a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）如圖③，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若用x，y表示四個相同形狀的長方形的兩條鄰邊長（x＞y），觀察圖案，指出以下正確的關系式A、B、C、D（填寫選項）．A．xy=m2?n24B．x+y＝mC．x2﹣y2＝mnD．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案為：2a2+5ab+2b2；拼圖如圖所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1張，B型的5張，C型的6張，可以拼成如圖所示的圖形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案為：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由圖③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2?m2+n22=故答案為：A、B、C、D．21．（8分）已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t為任意有理數．（1）A?B+13的值可能為負數嗎？請說明理由；（2）請通過計算說明：當t是整數時，A2﹣B2的值一定能被24整除．【解答】（1）解：A?B+13的值不可能為負數，理由如下：∵A?B+13＝（2t+3）（2t﹣3）+13＝4t2﹣9+13＝4t2+4，∴4t2≥0，∴4t2+4＞0∴A?B+13的值不可能為負數；（2）證明：A2﹣B2＝（2t+3）2﹣（2t﹣3）2＝24t，∵t是整數，∴24t一定能被24整除，∴當t是整數時，A2﹣B2的值一定能被24整除．22．（10分）觀察下列圖形及圖形所對應的等式，探究圖形陰影部分的面積變化與對應等式的規律，并解答下列問題：22﹣12＝2×1+1×1；32﹣22＝3×1+2×1；42﹣32＝4×1+3×1；52﹣42＝5×1+4×1．（1）補全第四個等式，并直接寫出第n個圖對應的等式；（2）計算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+?+992﹣1002．（3）若x是正整數，且（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，求x的值．【解答】解：（1）根據題意得：第四個等式：52﹣42＝5×1+4×1，第n個圖對應的等式：（n+1）2﹣n2＝（n+1）×1+n×1．故答案為：5×1+4×1，（2）12﹣22+32﹣42+52﹣62+…+992﹣1002＝﹣（22﹣12+42﹣32+…+1002﹣992）＝﹣（2×1+1×1+4×1+3×1+…+100×1+99×1）＝﹣（2+1+4+3+…+100+99）=?100×(100+1)＝﹣5050．（3）因為x是正整數，（x+2）2﹣2025＝（x+1）2，所以（x+2）2﹣（x+1）2＝2025．所以（x+2）×1+（x+1）×1＝2025，解得x＝1011．即x的值為1011．23．（10分）如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，規劃部門計劃在中間留一塊邊長為（a+b）米的正方形空地修建雕像，其余部分鋪設草坪（陰影部分）．（1）求草坪的面積是多少平方米？（用含a、b的代數式表示）（