保研數(shù)學(xué)筆試試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列函數(shù)中，哪一個(gè)是奇函數(shù)？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

2.若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n-1，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是多少？

A.18

B.19

C.20

D.21

3.已知一個(gè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，4，7，則該數(shù)列的公差是多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

4.下列函數(shù)中，哪一個(gè)是偶函數(shù)？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x^3

D.f(x)=x^4

5.若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3n+1，則該數(shù)列的第5項(xiàng)是多少？

A.16

B.17

C.18

D.19

二、填空題（每題5分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c在x=1時(shí)取得最小值，則a=________，b=________，c=________。

2.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，5，8，則該數(shù)列的第10項(xiàng)是________。

3.若函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x在x=3時(shí)取得最大值，則該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為________。

4.已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為2，6，18，則該數(shù)列的公比是________。

5.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+4在x=2時(shí)取得最小值，則該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為________。

三、解答題（每題10分，共30分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求函數(shù)的極值。

2.設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，3，5，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和。

3.求函數(shù)f(x)=x^2-4x+4的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

四、證明題（每題10分，共10分）

1.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b，都有(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

2.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有x^3-x=(x-1)(x^2+x+1)。

五、應(yīng)用題（每題10分，共10分）

1.一輛汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛，在行駛了2小時(shí)后，因?yàn)楣收贤＼嚲S修。維修后，汽車以80公里/小時(shí)的速度繼續(xù)行駛，行駛了1.5小時(shí)后到達(dá)目的地。求汽車從起點(diǎn)到目的地的總路程。

2.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm、6cm和4cm，求該長(zhǎng)方體的體積。

六、綜合題（每題10分，共10分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)的零點(diǎn)，并分析函數(shù)的單調(diào)性。

2.設(shè)a、b、c是等差數(shù)列的前三項(xiàng)，且a+b+c=21，求該等差數(shù)列的公差和第10項(xiàng)的值。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B

解析思路：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)，只有選項(xiàng)B滿足這個(gè)條件。

2.D

解析思路：根據(jù)通項(xiàng)公式an=2n-1，將n=10代入得到a10=2*10-1=19。

3.B

解析思路：等差數(shù)列的公差是相鄰兩項(xiàng)之差，所以公差d=4-1=3。

4.A

解析思路：偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)，只有選項(xiàng)A滿足這個(gè)條件。

5.B

解析思路：根據(jù)通項(xiàng)公式an=3n+1，將n=5代入得到a5=3*5+1=16。

二、填空題

1.a=1，b=-2，c=1

解析思路：因?yàn)楹瘮?shù)在x=1時(shí)取得最小值，所以其一階導(dǎo)數(shù)在x=1時(shí)為0，即2a*1+b=0，解得a=1，b=-2。由于是最小值，所以二階導(dǎo)數(shù)大于0，即2a>0，解得a=1。

2.35

解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1，an=5n-3，n=10得到S10=10(1+47)/2=35。

3.3x^2-12x+9

解析思路：求導(dǎo)數(shù)得f'(x)=3x^2-12x+9，因?yàn)閒'(3)=3*3^2-12*3+9=0，所以x=3是函數(shù)的臨界點(diǎn)。

4.3

解析思路：等比數(shù)列的公比q=an/an-1，代入a1=2，an=18，an-1=6得到q=18/6=3。

5.2x-4

解析思路：求導(dǎo)數(shù)得f'(x)=2x-4，因?yàn)閒'(2)=2*2-4=0，所以x=2是函數(shù)的臨界點(diǎn)。

三、解答題

1.解析思路：求導(dǎo)數(shù)得f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0解得x=1或x=2。由于f''(x)=6x-6，f''(1)=0，f''(2)=6>0，所以x=1是極小值點(diǎn)，x=2是極大值點(diǎn)。

2.解析思路：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2，代入a1=1，an=5n-3，n=10得到S10=10(1+47)/2=35。

3.解析思路：函數(shù)f(x)=x^2-4x+4可以寫成f(x)=(x-2)^2，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。

四、證明題

1.解析思路：將(a+b)^2展開，得到a^2+2ab+b^2，與右邊相等，所以證明成立。

2.解析思路：將x^3-x展開成(x-1)(x^2+x+1)，與右邊相等，所以證明成立。

五、應(yīng)用題

1.解析思路：汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛2小時(shí)，路程為60*2=120公里。維修后以80公里/小時(shí)的速度行駛1.5小時(shí)，路程為80*1.5=120公里。所以總路程為120+120=240公里。

2.解析思路：長(zhǎng)方體的體積公式為V=長(zhǎng)*寬*高，代入長(zhǎng)8cm，寬6cm，高4cm得到V=8*6*4=192立方厘米。

六、綜合題

1.解析思路：令f(x)=0，得到x^2-4x+3=0，解得x=1或x=3。由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=2x-4，當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。所以x=2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，x=3是函數(shù)的極大值點(diǎn)。

2.解析思路：等差數(shù)列的公差d=an-a1=(5n-3)-1=5n-4，代入a+b+c=21得到3a+3d=21，解得a=7-d。由于a1=a-d=7-2d，代入an=a1+(n-1)d得到7-2d+(n-1)d=2