2024-2025學年福建省寧德一中九年級（上）第二次月考數學試卷一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是A． B． C． D．2．（4分）已知，則的值為A． B． C． D．3．（4分）已知反比例函數的圖象經過點，則下列各點中也在該函數圖象上的是A． B． C． D．4．（4分）拋物線的頂點坐標是A．9， B． C． D．5．（4分）在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在附近，則口袋中黑球可能有A．10個 B．11個 C．12個 D．13個6．（4分）如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1，若的三個頂點在圖中相應的格點上，則的值為A．1 B． C． D．7．（4分）如圖，，是上直徑兩側的兩點，設，則A． B． C． D．8．（4分）如圖，在直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為，．則木桿在軸上的投影長為A．3 B．5 C．6 D．79．（4分）一次函數與反比例函數，為常數且均不等于在同一坐標系內的圖象可能是A． B． C． D．10．（4分）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若是銳角，，則度．12．（4分）如圖，與位似，點為位似中心，已知，的面積為2，則的面積為．13．（4分）如圖，點是反比例函數的圖象上一點，過點作軸于點，點是軸上任意一點，連接，．若△的面積等于3，則的值為．14．（4分）如圖拋物線的對稱軸是直線，與軸的一個交點為，則不等式的解集為．15．（4分）如圖，在矩形中，點為延長線上一點，為的中點，以為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點，連接．若，，則．16．（4分）京劇是中國的一門傳統文化藝術．如圖，在平面直角坐標系中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形．點，，，分別是圖形與坐標軸的交點，已知點的坐標為，為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標為．關于圖形給出下列五個結論，其中正確的是（填序號）．①圖形關于直線對稱；②線段的長為；③圖形圍成區域內（不含邊界）恰有12個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；④當時，直線與圖形有兩個公共點；⑤圖形的面積小于．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（9分）計算：．18．（9分）已知如圖，，分別是△的邊，上的點，，，，．求的長度．19．（9分）如圖，小明想要用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長為．設動力為，動力臂長為．（杠桿平衡時，動力動力臂阻力阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計）（1）求關于的函數解析式．（2）當動力臂長為時，撬動石頭至少需要多大的力？20．（9分）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴建，我國人民的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個出入閘口，分別記為、、、．（1）一名乘客通過該站閘口時，求他選擇閘口通過的概率；（2）當兩名乘客通過該站閘口時，請用樹狀圖或列表法求兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．21．（9分）已知關于的一元二次方程有兩個實數根、，請用配方法探索有實數根的條件，并推導出求根公式．22．（9分）如圖大樓的高度為，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發，沿水平地面前行到達處，再沿著斜坡走到達處，測得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點，，，，，在同一平面內（結果精確到（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數據：，，，23．（9分）把邊長為的正方形硬紙板（如圖，在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無蓋盒子（如圖．若剪掉的小正方形的邊長為，長方體形的無蓋盒子的側面積為．（1）①求與的函數關系式；②直接寫出的取值范圍．（2）求當取何值時，達到最大，并求出最大值．24．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，點的坐標為．（1）該拋物線的表達式為；（2）點為拋物線上一點（不與點重合），連接．當時，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，在對稱軸上是否存在一點，連接，將線段繞點順時針旋轉，使點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．25．（14分）如圖，在矩形中，，點，分別在邊，上（均不與端點重合），且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當時，與的數量關系為．【類比探究】（2）如圖③，當時，矩形繞點順時針旋轉，連接，則與之間的數量關系與（1）是否發生變化？若變化，求出數量關系，若不變化，請說明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的條件下，已知，，當矩形旋轉至，，三點共線時，請直接寫出線段的長．

參考答案題號12345678910答案ABBDBBBCDD一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．（4分）從正面觀察如圖所示的幾何體，看到的形狀圖是A． B． C． D．解：從正面看，下方長方體看到的是長方形，上方圓柱看到的也是長方形，且兩個長方形在左側位置對齊，故選：．2．（4分）已知，則的值為A． B． C． D．解：設，，則，故選：．3．（4分）已知反比例函數的圖象經過點，則下列各點中也在該函數圖象上的是A． B． C． D．解：反比例函數的圖象經過點，，、，故此點不在此函數圖象上；、，故此點在此函數圖象上；、，故此點不在此函數圖象上；、，故此點不在此函數圖象上．故選：．4．（4分）拋物線的頂點坐標是A．9， B． C． D．解：，拋物線頂點坐標為，故選：．5．（4分）在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發現，摸到白球的頻率穩定在附近，則口袋中黑球可能有A．10個 B．11個 C．12個 D．13個解：設黑球個數為：個，摸到白色球的頻率穩定在左右，口袋中得到白色球的概率為，，解得：，故黑球的個數為11個．故選：．6．（4分）如圖，在的矩形網格中，每個小正方形的邊長都是1，若的三個頂點在圖中相應的格點上，則的值為A．1 B． C． D．解：在直角中，，，則．故選：．7．（4分）如圖，，是上直徑兩側的兩點，設，則A． B． C． D．解：是的直徑，，，，，故選：．8．（4分）如圖，在直角坐標系中，點是一個光源．木桿兩端的坐標分別為，．則木桿在軸上的投影長為A．3 B．5 C．6 D．7解：延長、分別交軸于、，作軸于，交于，如圖，，，．，，，，△，，即，，故選：．9．（4分）一次函數與反比例函數，為常數且均不等于在同一坐標系內的圖象可能是A． B． C． D．解：、一次函數的圖象經過第一、二、三象限，則，，所以，則反比例應該位于第一、三象限，故本選項不可能；、一次函數的圖象經過第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應該位于第二、四象限，故本選項不可能；、一次函數的圖象經過第一、三、四象限，則，，所以，則反比例應該位于第二、四象限，故本選項不可能；、一次函數的圖象經過第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應該位于第二、四象限，故本選項有可能；故選：．10．（4分）已知二次函數（其中是自變量），當時對應的函數值均為正數，則的取值范圍為A． B． C．或 D．或解：當時，拋物線開口向下；當時對應的函數值均為正數，對稱軸為直線，時，，時，，解得，故，當時，拋物線開口向上；當時對應的函數值均為正數，對稱軸為直線，時，，，故，故選：．二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若是銳角，，則30度．解：是銳角，，．12．（4分）如圖，與位似，點為位似中心，已知，的面積為2，則的面積為18．解：與位似，點為位似中心，，，，，，．故答案為：18．13．（4分）如圖，點是反比例函數的圖象上一點，過點作軸于點，點是軸上任意一點，連接，．若△的面積等于3，則的值為6．解：設反比例函數的解析式為，△的面積△的面積，△的面積，，；又反比例函數的圖象的一支位于第一象限，．．故答案為：6．14．（4分）如圖拋物線的對稱軸是直線，與軸的一個交點為，則不等式的解集為．解：根據圖示知，拋物線圖象的對稱軸是直線，與軸的一個交點坐標為，根據拋物線的對稱性知，拋物線圖象與軸的兩個交點關于直線對稱，即拋物線圖象與軸的另一個交點與關于直線對稱，另一個交點的坐標為，不等式，即，拋物線的圖象在軸上方，不等式的解集是．故答案為：．15．（4分）如圖，在矩形中，點為延長線上一點，為的中點，以為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點，連接．若，，則3．解：四邊形是矩形，，，為的中點，，，，故答案為：3．16．（4分）京劇是中國的一門傳統文化藝術．如圖，在平面直角坐標系中，某臉譜輪廓可以近似地看成是一個半圓與拋物線的一部分組合成的封閉圖形，記作圖形．點，，，分別是圖形與坐標軸的交點，已知點的坐標為，為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標為．關于圖形給出下列五個結論，其中正確的是①②（填序號）．①圖形關于直線對稱；②線段的長為；③圖形圍成區域內（不含邊界）恰有12個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；④當時，直線與圖形有兩個公共點；⑤圖形的面積小于．解：點關于對稱軸的對稱點為，過點作，由圖象可知：圖形關于直線對稱，故①正確；為半圓的直徑，且，半圓圓心的坐標為．圓的半徑為2，，點的坐標為，，故②正確；圖形圍成區域內（不含邊界）恰有13個整點（即橫、縱坐標均為整數的點），故③錯誤；當時，直線與圖形有兩個公共點，故④錯誤；，，圖形的面積大于，故⑤錯誤．故答案為：①②．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（9分）計算：．解：．18．（9分）已知如圖，，分別是△的邊，上的點，，，，．求的長度．解：，，△△，，，，，，．19．（9分）如圖，小明想要用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力為，阻力臂長為．設動力為，動力臂長為．（杠桿平衡時，動力動力臂阻力阻力臂，圖中撬棍本身所受的重力忽略不計）（1）求關于的函數解析式．（2）當動力臂長為時，撬動石頭至少需要多大的力？解：（1）由題意可得：，則，即關于的函數表達式為；（2），當時，，故當動力臂長為時，撬動石頭至少需要的力．20．（9分）隨著高鐵、地鐵的大量興建以及鐵路的改擴建，我國人民的出行方式越來越多，出行越來越便捷．為保障旅客快捷、安全的出入車站，每個車站都修建了如圖所示的出入閘口．某車站有四個出入閘口，分別記為、、、．（1）一名乘客通過該站閘口時，求他選擇閘口通過的概率；（2）當兩名乘客通過該站閘口時，請用樹狀圖或列表法求兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．解：（1）一名乘客通過該站閘口時，他選擇閘口通過的概率為；（2）畫樹狀圖得：由樹狀圖可知：有16種等可能的結果，其中兩名乘客選擇相同閘口通過的有4種結果，兩名乘客選擇相同閘口通過的概率．21．（9分）已知關于的一元二次方程有兩個實數根、，請用配方法探索有實數根的條件，并推導出求根公式．解：，，，即，，當時，方程有實數根，，當時，，，當時，．22．（9分）如圖大樓的高度為，小可為了測量大樓頂部旗桿的高度，他從大樓底部處出發，沿水平地面前行到達處，再沿著斜坡走到達處，測得旗桿頂端的仰角為．已知斜坡與水平面的夾角，圖中點，，，，，在同一平面內（結果精確到（1）求斜坡的鉛直高度和水平寬度．（2）求旗桿的高度．（參考數據：，，，解：（1）在中，，，，，斜坡的鉛直高度約為，水平寬度約為；（2）過點作，垂足為，由題意得：，，在中，，，，旗桿的高度約為．23．（9分）把邊長為的正方形硬紙板（如圖，在四個頂點處分別剪掉一個小正方形，折成一個長方體形的無蓋盒子（如圖．若剪掉的小正方形的邊長為，長方體形的無蓋盒子的側面積為．（1）①求與的函數關系式；②直接寫出的取值范圍．（2）求當取何值時，達到最大，并求出最大值．解：（1）①由題意得，長方體形的無蓋盒子的底面邊長為，盒子的側面積．②由題意，，．（2）由題意得，，即，即，當時，．即當剪掉的正方形的邊長為時，長方形盒子的側面積最大為．24．（9分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，點的坐標為．（1）該拋物線的表達式為；（2）點為拋物線上一點（不與點重合），連接．當時，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，在對稱軸上是否存在一點，連接，將線段繞點順時針旋轉，使點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對稱軸為直線，點的坐標為，，，故答案為：；（2）方法一：作于，交于，如圖：在中，令得，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，直線的關系式為：，由得：（舍去），，，，方法二：過點作垂直于軸，交于，如圖：，為等腰直角三角形，，，，，，，直線的解析式為，由得：（舍去），，，；（3）在對稱軸上存在一點，將線段繞點順時針旋轉，使點恰好落在拋物線上，理由如下：點旋轉后的對應點為，當在上方時，作對稱軸于，對稱軸于，，，對稱軸為直線，，設，將線段繞點順時針旋轉得線段，，，，，，，，，恰好落在拋物線上，，解得，，，當在上方時，作對稱軸于，如圖：由圖可得，，關于直線對稱，是等腰直角三角形，△，是等腰直角三角形，，，綜上所述：或．25．（14分）如圖，在矩形中，，點，分別在邊，上（均不與端點重合），且，以和為鄰邊作矩形，連接，．（1）如圖②，當時，與的數量關系為．【類比