專題強化靜電場中的功能關系及圖像問題[學習目標]1.能應用動能定理、機械能守恒定律等分析靜電場中的功能關系。2.理解φ－x、E－x和Ep－x等圖像的意義并會應用圖像解決電場問題。一、靜電場中的功能關系1．靜電力做功的計算2．電場中常見的幾種功能關系(1)靜電力做功等于帶電體電勢能的減少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。(2)合外力做功等于帶電體動能的變化量，即W合＝ΔEk，這里的W合指合外力做的功。(3)靜電力做正功，帶電體的機械能增加，靜電力做負功，帶電體的機械能減少。若只有靜電力做功，則動能和電勢能之間相互轉化，二者總和不變，即ΔEk＝－ΔEp。例1(多選)如圖所示，在水平向右的勻強電場中有一絕緣斜面，斜面上有一帶電金屬塊沿斜面滑下。已知在金屬塊滑下的過程中動能增加了12J，金屬塊克服摩擦力做功8J，重力做功24J，則以下判斷正確的是()A．金屬塊帶正電荷B．金屬塊的機械能減少12JC．金屬塊克服靜電力做功8JD．金屬塊的電勢能減少4J答案AB解析在金屬塊滑下的過程中動能增加了12J，金屬塊克服摩擦力做功8J，重力做功24J，根據動能定理得WG＋W電＋Wf＝ΔEk，解得W電＝－4J，所以金屬塊克服靜電力做功4J，金屬塊的電勢能增加4J，由于金屬塊下滑，靜電力做負功，所以金屬塊帶正電荷，故A正確，C、D錯誤；在金屬塊滑下的過程中重力做功24J，重力勢能減少24J，動能增加了12J，所以金屬塊的機械能減少12J，故B正確。例2(多選)圖中虛線a、b、c、d、f代表勻強電場內間距相等的一組等勢面，已知平面b上的電勢為2V。一電子經過a時的動能為10eV，從a到d的過程中克服靜電力所做的功為6eV。下列說法正確的是()A．平面c上的電勢為零B．該電子可能到達不了平面fC．該電子經過平面d時，其電勢能為4eVD．該電子經過平面b時的速率是經過d時的2倍答案AB解析因等勢面間距相等，由U＝Ed得相鄰虛線之間電勢差相等，由a到d，(－e)Uad＝－6eV，故Uad＝6V；因靜電力做負功，故電場方向向右，沿電場線方向電勢降低，又φb＝2V，則φc＝0，各等勢面電勢如圖所示，故A正確；因電子的速度方向未知，若不垂直于等勢面，如圖中實線所示，電子可能到達不了平面f，故B正確；電子經過平面d時，電勢能Ep＝(－e)φd＝2eV，故C錯誤；由a到b，Wab＝Ekb－Eka＝－2eV，所以Ekb＝8eV；由a到d，Wad＝Ekd－Eka＝－6eV，所以Ekd＝4eV；則Ekb＝2Ekd，根據Ek＝eq\f(1,2)mv2知vb＝eq\r(2)vd，故D錯誤。二、電場中的圖像問題1．φ－x圖像(1)φ－x圖像的意義：反映了電勢φ隨位置x變化的規律。在φ－x圖像中根據縱坐標值可以直接判斷各點電勢的高低。(2)φ－x圖線的斜率絕對值表示沿x軸方向電場強度的大小；電場強度為零處，其切線的斜率為零。(3)設電場強度的方向與x軸平行，圖像中沿x軸，電勢降低的方向即為電場強度方向。圖中A點電勢高于B點電勢，故A、B間電場方向沿x軸正方向，C點電勢低于D點電勢，故C、D間電場方向沿x軸負方向。例3(多選)在某個電場中，x軸上各點電勢φ隨x坐標變化的關系如圖所示，圖像關于φ軸左右對稱，一質量為m、電荷量為＋q的粒子只在靜電力作用下能沿x軸做直線運動。下列說法正確的是()A．x軸上x＝x1和x＝－x1兩點電場強度和電勢都相同B．粒子運動過程中，經過x＝x1和x＝－x1兩點時速度一定相同C．粒子運動過程中，經過x＝－x1點的加速度大小等于經過x＝x1點的加速度大小D．若粒子在x＝－x1點由靜止釋放，則粒子到達O點時加速度為零，速度達到最大答案CD解析x軸上x＝x1和x＝－x1兩點電勢相同，但是電場強度大小相等，方向不同，故A錯誤；粒子運動過程中，經過x＝x1和x＝－x1兩點時，靜電力做功為零，動能不變，則速度大小一定相同，但是速度方向可能相同或者相反，故B錯誤；φ－x圖線的斜率表示電場強度，則這兩點的電場強度大小相等，根據a＝eq\f(qE,m)，可知C正確；若粒子在x＝－x1點由靜止釋放，因為O點的電勢最低，并且該點的斜率為零，即電場強度為零，加速度為零，則粒子到達O點時加速度為零，速度達到最大，故D正確。針對訓練如圖甲所示，直線AB是電場中的一條電場線，沿與直線AB成θ＝37°的方向建立一維坐標軸Ox，令原點O處電勢為零，則沿Ox坐標軸上各點的電勢φ與x坐標的關系如圖乙所示，直線上P點坐標已標注在圖中。下列說法正確的是(cos37°＝0.8)()A．電場方向由B指向AB．電場方向沿x軸正方向C．原點O處的電場強度大小為2×102V/mD．原點O處的電場強度大小為1.6×102V/m答案C解析由于φ－x圖線的斜率表示電場強度，斜率不變則電場強度不變，故該電場為勻強電場，由題圖乙沿著x軸正方向電勢逐漸降低可知，電場方向由A指向B，故A、B錯誤；由題圖乙可知該電場的電場強度大小為E＝eq\f(φ,xcosθ)＝eq\f(3.2,2×10－2×0.8)V/m＝2×102V/m，故C正確，D錯誤。2．E－x圖像(1)E－x圖像的意義：反映了沿x軸方向電場強度E隨x變化的規律。(2)設x軸正方向為電場強度的正方向，E＞0表示電場強度沿x軸正方向；E＜0表示電場強度沿x軸負方向。(3)圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據電場方向判定。例4(2023·廣東省執信中學高二月考)某半導體PN結中存在電場，取電場強度E的方向為x軸正方向，其E－x關系如圖所示，ON＝OP，OA＝OB。取O點的電勢為零，則()A．A、B的電勢相等B．從N到O的過程中，電勢一直升高C．電子從N移到P的過程中，電勢能先增大后減小D．電子從N移到O和從O移到P的過程中，靜電力做功相等答案D解析根據U＝Ed可知E－x圖像與坐標軸圍成的面積表示某兩點間的電勢差，由于A和B之間圖線與坐標軸圍成的面積不為零，則A和B點的電勢不相等，故A錯誤；由題意知，電場強度E的方向為x軸正方向，根據沿電場線方向電勢降低可知，從N到O的過程中，電勢一直降低，故B錯誤；從N到P電場線方向一直是沿x軸正方向，電子從N移到P的過程中靜電力方向一直沿x軸負方向，靜電力一直做負功，電勢能一直增大，故C錯誤；E－x圖線與坐標軸圍成的面積表示某兩點間的電勢差，從N到O和從O到P電勢差相等，根據W＝qU可知，電子從N移到O和從O移到P的過程中，靜電力做功相等，故D正確。3．Ep－x圖像(1)Ep－x圖像的物理意義：反映了電勢能Ep隨x變化的規律。(2)圖像切線的斜率絕對值表示靜電力大小。圖像切線斜率為零時靜電力為零，該點的電場強度的大小也為零。例5(多選)(2023·北京市首都師范大學附屬中學高二期中)如圖甲所示，在某電場中建立x坐標軸，O為坐標原點，A點坐標為x1，一電子僅在靜電力作用下沿x軸運動，其電勢能Ep隨其坐標x變化的關系如圖乙所示。下列說法正確的是()A．過O點的電場線一定與x軸重合B．A點電場強度的方向沿x軸負方向C．該電子在A點受到的靜電力大于其在O點受到的靜電力D．該電子在O點的動能大于其在A點的動能答案ACD解析因為電子僅在靜電力作用下沿x軸運動，則靜電力方向一定與x軸重合，電場強度方向一定與x軸重合，所以過O點的電場線一定與x軸重合，A正確；電子在A點的電勢能比O點大，根據負電荷在電勢越低處電勢能越大可知，A點的電勢低于O點，即電場強度的方向由O指向A，沿x軸正方向，B錯誤；由EkA＋EpA＝EkO＋EpO和EpA>EpO得EkA<EkO，D正確；Ep－x圖像斜率表示受到的靜電力，斜率越大靜電力越大，則電子在A點受到的靜電力大于其在O點受到的靜電力，C正確。專題強化練[分值：60分]1～7題每題4分，共28分1.一帶電粒子僅在靜電力的作用下從A點運動到B點，其速度－時間圖像如圖所示。下列說法中不正確的是()A．A點的電場強度一定大于B點的電場強度B．A點的電勢一定比B點的電勢高C．粒子在A點的電勢能一定大于在B點的電勢能D．靜電力一定對粒子做正功答案B解析由題圖可知，帶電粒子做加速度減小的加速運動，根據a＝eq\f(qE,m)，aA＞aB，可得EA＞EB，所以A正確；根據動能定理qUAB＝eq\f(1,2)mvB2－eq\f(1,2)mvA2，粒子帶電性質未知，無法判斷UAB的正負，即無法判斷兩點電勢高低，所以B錯誤；由題圖可知，vB>vA，故靜電力對粒子做正功，電勢能減小，所以C、D正確。2．(2024·上海市洋涇中學高二月考)如圖，空間存在足夠大的水平方向的勻強電場，絕緣的曲面軌道處于勻強電場中，曲面上有一帶電金屬塊在力F的作用下沿曲面向上移動。已知金屬塊在向上移動的過程中，力F做功40J，金屬塊克服靜電力做功10J，金屬塊克服摩擦力做功20J，重力勢能改變了30J，則()A．電場方向水平向左B．電場方向水平向右C．在此過程中金屬塊電勢能減少20JD．在此過程中金屬塊機械能增加10J答案D解析因為不知道帶電金屬塊的電性，所以無法判斷電場方向，故A、B錯誤；克服靜電力做功為10J，則電勢能增加10J，故C錯誤；機械能的改變量等于除重力和彈力以外的其他力所做的總功，故應ΔE＝40J－10J－20J＝10J，故D正確。3.(多選)(2024·廣東省江門市第一中學高二月考)O、A、B為一條電場線上的三點，一電子僅在靜電力作用下由O點經A點向B點運動，以O點為零電勢點，該電子運動過程中電勢能Ep隨位置x的變化規律如圖所示，則下列說法中正確的是()A．該電場可能是孤立點電荷形成的電場B．A點的電場強度大小等于B點的電場強度大小C．電子由A點運動到B點的過程中，靜電力對其所做的功W＝EpA－EpBD．電子在A點的動能小于在B點的動能答案BC解析電子在A、B兩點的電勢能分別為EpA和EpB，且EpB>EpA，說明電子由A點運動到B點時電勢能增大，靜電力做負功，靜電力對其所做的功為W＝EpA－EpB，C正確；電子所受的靜電力對電子做負功，電子的動能減小，故電子在A點的動能大于在B點的動能，D錯誤；由題圖可知，從O點到B點，電子的電勢能均勻增加，則電勢也均勻增加，該電場一定為勻強電場，不可能為孤立點電荷形成的電場，A、B兩點的電場強度相等，A錯誤，B正確。4.空間中存在沿x軸方向的靜電場，各點電勢隨x的變化規律如圖所示，電子以一定的初速度沿x軸從O點運動到x4處，電子僅受靜電力作用，則該電子()A．在x1處電勢能最小B．在x1處加速度為零C．在x3處電勢為零，電場強度也為零D．在x2處的動能大于在x3處的動能答案B解析根據Ep＝qφ可知，負點電荷在電勢越低處，電勢能越大，由圖像可知x1處電勢最低，則電子在x1處的電勢能最大，故A錯誤；φ－x圖像斜率的絕對值表示電場強度大小，由題圖可知在x1處，圖像的斜率為零，即該處的電場強度為零，則電子在x1處受到的靜電力為零，由牛頓第二定律知電子在x1處的加速度為零，故B正確；結合上述，根據圖像可知，x3處的斜率不為零，所以x3處的電場強度不為零，故C錯誤；電子只在靜電力作用下運動，動能和電勢能總和保持不變，結合上述可知，負點電荷在電勢越低處，電勢能越大，則電子在x2處的電勢能大于在x3處的電勢能，所以電子在x2處的動能小于在x3處的動能，故D錯誤。5．(2023·廣東省廣州市實驗學校高二期中)a、b、c、d四個帶電液滴在如圖所示的勻強電場中，分別水平向左、水平向右、豎直向上、豎直向下做勻速直線運動，可知()A．c的電勢能減少，機械能增加B．a、b的電勢能增加，機械能不變C．a、b為同種電荷，c、d為異種電荷D．d的電勢能減少，機械能減少答案A解析四個帶電液滴均在勻強電場中做勻速直線運動，則受向上的靜電力與重力平衡，即所有液滴所受靜電力都向上，所有液滴都帶正電，C錯誤；靜電力對c做正功，電勢能減少，機械能增加，A正確；在運動過程中，靜電力和重力對a、b都不做功，因此a、b的電勢能、機械能均不變，B錯誤；靜電力對d做負功，電勢能增加，機械能減少，D錯誤。6.(多選)(2023·深圳市高二期末)沿電場中某條直線電場線方向建立x軸，該電場線上各點的電場強度E隨x的變化規律如圖所示。將一個帶正電的粒子從O點由靜止釋放，粒子僅在靜電力的作用下，由坐標原點O運動到位置x3的過程中，下列說法正確的是()A．粒子先加速運動后減速運動B．粒子的電勢能一直減小C．坐標原點O和位置x2間的電勢差U＝eq\f(E0x2,2)D．粒子動能的增加量等于電勢能的減小量答案BCD解析由坐標原點O運動到位置x3的過程中，電場方向一直為正方向，靜電力方向與速度方向相同，靜電力對粒子做正功，粒子速度一直增大，電勢能一直減小，粒子動能的增加量等于電勢能的減小量，A錯誤，B、D正確；坐標原點O和位置x2間的電勢差為圖像與x軸所圍成的面積，即U＝eq\f(E0x2,2)，C正確。7.(多選)(2023·福建省南靖縣第一中學高二期中)如圖所示，在水平向右的勻強電場中，質量為m的帶電小球以初速度v從M點豎直向上運動，通過N點時，速度大小為2v，方向與電場方向相反，不計空氣阻力，則小球從M運動到N的過程()A．動能增加eq\f(1,2)mv2B．機械能增加mv2C．重力勢能增加eq\f(1,2)mv2D．電勢能減少2mv2答案CD解析小球從M運動到N的過程中，動能增加了ΔEk＝eq\f(1,2)m(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2，故A錯誤；到達N點時豎直方向速度為0，由勻變速直線運動規律得，小球上升的高度為h＝eq\f(v2,2g)，由動能定理得W電－mgh＝ΔEk，解得W電＝2mv2，機械能的增加量為ΔE＝W電＝2mv2，電勢能減少了2mv2，故B錯誤，D正確；小球的重力勢能增加了ΔEp＝mgh＝eq\f(1,2)mv2，故C正確。8～11題每題6分，共24分8.(2024·湖南省長沙同升湖高級中學高二月考)將帶電荷量QA、QB的點電荷分別固定在x軸上坐標為－12cm和12cm的兩點，兩點電荷連線上各點的電勢φ隨x變化的關系圖像如圖所示，在x＝3cm處電勢有最小值。下列說法中正確的是()A．QA∶QB＝25∶9B．QA∶QB＝15∶3C．坐標原點處的電場強度大小為零D．坐標原點處的電場強度方向沿x軸負方向答案A解析在x＝3cm處電勢有最小值，則該點的電場強度為零，則keq\f(QA,rA2)＝keq\f(QB,rB2)，可得eq\f(QA,QB)＝eq\f(rA2,rB2)＝(eq\f(15,9))2＝eq\f(25,9)，A正確，B錯誤；因φ－x圖像的斜率絕對值表示電場強度大小，可知在坐標原點處的電場強度大小不為零，C錯誤；從x＝－12cm的點到x＝3cm的點電勢逐漸降低，可知該區間內的電場線沿x軸正方向，則坐標原點處的電場強度方向沿x軸正方向，D錯誤。9.(2024·河南省南陽中學高二月考)空間有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖像如圖所示，x軸正方向為電場強度的正方向，帶電粒子在此空間只受靜電力作用。下列說法中正確的是()A．帶正電的粒子在x1處和－x1處的電勢能相等B．x2處的電勢最高C．質子沿x軸由x1處運動到－x1處，在O點電勢能最小D．電子以一定的速度由－x1處沿x軸正方向運動的過程中，靜電力先做負功后做正功答案A解析由于x1處和－x1處關于E軸對稱，則電場強度的大小相等，故從O點到x1和從O點到－x1電勢降落相等，則－x1處的電勢與x1處的電勢相等，故A正確；根據沿著電場線方向電勢降低可知O點電勢最高，故B錯誤；若將質子由x1運動到－x1，即正電荷運動的方向先與電場的方向相反后與電場的方向相同，所以靜電力先做負功后做正功，電勢能先增大后減小，在O點電勢能最大，故C錯誤；電子以一定的速度由－x1處沿x軸正方向運動的過程中，靜電力方向先沿x軸向右后向左，則靜電力先做正功后做負功，故D錯誤。10.(2024·廣東省廣州市實驗外語學校高二期中)一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動。取該直線為x軸，起始點O為坐標原點，其電勢能Ep與位置x的關系如圖所示，下列圖像中電場強度與位置關系、動能與位移關系、速度與位移關系、加速度與位移關系可能正確的是()答案D解析帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，則由ΔEp＝－F電Δx可知Ep－x圖像的切線斜率絕對值表示靜電力大小，根據題圖可知，帶電粒子受到的靜電力逐漸減小，則電場強度逐漸減小，帶電粒子的加速度逐漸減小，故A錯誤，D正確；根據動能定理可得ΔEk＝F電Δx可知Ek－x圖像的切線斜率表示靜電力，由于靜電力逐漸減小，則Ek－x圖像的切線斜率逐漸減小，故B錯誤；由于靜電力逐漸減小，可知粒子做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度為零時，速度達到最大值，故速度與位移一定不是線性關系，故C錯誤。11．(多選)兩個等量正點電荷固定于光滑水平絕緣桌面上，在水平桌面內兩電荷連線中垂線上有A、B、C三點，如圖甲所示，一個帶電荷量大小為2C、質量為1kg的小物塊(可看作質點，且不影響點電荷形成的電場)從C點由靜止釋放，其運動的v－t圖像如圖乙所示，其中B點處為整條圖線切線斜率最大的位置。則下列說法正確的是()A．B點為中垂線上電場強度最大的點B．由C點到A點的過程中物塊的電勢能先減小后變大C．該小物塊帶負電D．A、B兩點間的電勢差UAB＝－5V答案AD解析物塊水平方向上只受靜電力的作用，而從C向A方向運動，說明靜電力方向是由C指向A