2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯編（2025年中考復(fù)習(xí)全國通用）

專題20圓

一、選擇題

1.（2024江蘇連云港）如圖，將一根木棒的一端固定在O點，另一端綁一重物．將此重物拉到A點

后放開，讓此重物由A點擺動到B點．則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【解析】本題考查動點的移動軌跡，根據(jù)題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧．

在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的一段圓弧，

故選：C．

2.（2024四川涼山）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的解決

方案是：在工件圓弧上任取兩點A,B，連接AB，作AB的垂直平分線CD交AB于點D，交AB于

點C，測出AB40cm,CD10cm，則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【解析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識．由垂徑定理，可得出BD的長；設(shè)圓心為O，連接OB，

在Rt△OBD中，可用半徑OB表示出OD的長，進而可根據(jù)勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得

出輪子的直徑長．

【詳解】∵CD是線段AB的垂直平分線，

∴直線CD經(jīng)過圓心，設(shè)圓心為O，連接OB．

1

Rt△OBD中，BDAB20cm，

2

根據(jù)勾股定理得：

OD2BD2OB2，即：

2

OB10202OB2，

解得：OB25；

故輪子的半徑為25cm，

故選：C．

3.（2024四川瀘州）如圖，EA，ED是O的切線，切點為A，D，點B，C在O上，若

BAEBCD236，則E（）

A.56B.60C.68D.70

【答案】C

【解析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，正確作輔助

線是解題關(guān)鍵．

根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得BADBCD180，由BAEBCD236得

EAD56，由切線長定理得EAED，即可求得結(jié)果．

【詳解】如圖，連接AD，

∵四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，

∴BADBCD180，

∵BAEBCD236，

∴BAEBCDBADBCD236180，

即BAEBAD56，

∴EAD56，

∵EA，ED是O的切線，根據(jù)切線長定理得，

∴EAED，

∴EADEDA56，

∴E180EADEDA180565668．

故選：C．

4.（2024內(nèi)蒙古赤峰）如圖，AD是O的直徑，AB是O的弦，半徑OCAB，連接CD，交

OB于點E，BOC42，則OED的度數(shù)是（）

A.61B.63C.65D.67

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得

1

AOCBOC42，利用圓周角定理求得DAOC21，再利用三角形的外角性質(zhì)即

2

可求解．

【詳解】解：∵半徑OCAB，

∴ACBC，

∴AOCBOC42，AOB84，

∵，

ACAC

1

∴DAOC21，

2

∴OEDAOBD63，

故選：B．

5.（2024云南省）如圖，CD是O的直徑，點A、B在O上．若ACBC，AOC36，

則D（）

A.9B.18C.36oD.45

【答案】B

【解析】本題考查了弧弦圓心角的關(guān)系，圓周角定理，連接OB，由ACBC可得

BOCAOC36，進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】連接OB，

∵ACBC，

∴BOCAOC36，

1

∴DBOC18，

2

故選：B．

6.（2024甘肅臨夏）如圖，AB是O的直徑，E35，則BOD（）

A.80B.100C.120D.110

【答案】D

【解析】本題考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出AOD2E．

由圓周角定理得到AOD2E70，由鄰補角的性質(zhì)求出BOD18070110°．

E35，

AOD2E70，

BOD18070110．

故選：D．

7.（2024甘肅威武）如圖，點A，B，C在O上，ACOB，垂足為D，若A35，則C的

度數(shù)是（）

A.20B.25C.30D.35

【答案】A

【解析】根據(jù)A35得到O70，根據(jù)ACOB得到CDO90，根據(jù)直角三角形的兩

個銳角互余，計算即可．

本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【詳解】∵A35，

∴O70，

∵ACOB，

∴CDO90，

∴C90O20．

故選A．

8.（2024湖南省）如圖，AB，AC為O的兩條弦，連接OB，OC，若A45，則BOC

的度數(shù)為（）

A.60B.75C.90D.135

【答案】C

【解析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

1

一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可知ABOC，即可得到答案．

2

【詳解】根據(jù)題意，圓周角A和圓心角BOC同對著BC，

1

ABOC，

2

A45，

BOC2A24590．

故選：C．

9.（2024吉林省）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，過點B作BE∥AD，交CD于點E．若

BEC50，則ABC的度數(shù)是（）

A.50B.100C.130D.150

【答案】C

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．

先根據(jù)BE∥AD得到DBEC50，再由四邊形ABCD內(nèi)接于O得到

ABCD180，即可求解．

【詳解】∵BE∥AD，BEC50，

∴DBEC50，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于O，

∴ABCD180，

∴ABC18050130,

故選：C．

10.（2024四川宜賓）如圖，AB是O的直徑，若CDB60，則ABC的度數(shù)等于（）

A.30B.45C.60D.90

【答案】A

【解析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周

角為直角得到ACB90，同弧或等弧所對的圓周角相等得到CDBA60，進一步計算即

可解答．

【詳解】AB是O的直徑，

ACB90，

CDB60，

ACDB60，

ABC90A30，

故選：A．

11.（2024四川宜賓）如圖，ABC內(nèi)接于O，BC為O的直徑，AD平分BAC交O于D．則

ABAC

的值為（）

AD

A.2B.3C.22D.23

【答案】A

【解析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，合理

作輔助線為解題的關(guān)鍵．

作輔助線如圖，先證明BDCD，ACDABD180，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明

ADA是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．

【詳解】解：如圖，連接BD、CD，

∵BC是O的直徑，

∴BACBDC90，

∵AD平分BAC，

∴BADCAD，

∴BDDC，

∴BDCD，

在四邊形ABDC中，BACBDC90，

∴ACDABD180，

∴△ADC繞D點逆時針旋轉(zhuǎn)90，則A,B,A三點共線，如圖所示

∴ABACABABAA，

∵由旋轉(zhuǎn)可知∠ADB∠ADC，ADAD

∴ADAADBBDAADCBDABDC90，

AD2

∴在等腰直角三角形ADA中，sinAsin45，

AA2

AAABAC

∴2．

ADAD

故選：A

12.（2024武漢市）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，則O的半徑是（）

62232

A.B.C.D.

3322

【答案】A

【解析】延長AB至點E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點F，連接AF，即

可證得ADC≌EBCSAS，進而可求得ACcos45AE2，再利用圓周角定理得到

AFC60，結(jié)合三角函數(shù)即可求解．

【詳解】延長AB至點E，使BEAD，連接BD，連接CO并延長交O于點F，連接AF，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于O，

∴ADCABCABCCBE180

∴ADCCBE

∵BACCAD45

∴CBDCDB45，DAB90

∴BD是O的直徑，

∴DCB90

∴△DCB是等腰直角三角形，

∴DCBC

∵BEAD

∴ADC≌EBCSAS

∴ACDECB，ACCE,

∵ABAD2

∴ABBEAE2

又∵DCB90

∴ACE90

∴△ACE是等腰直角三角形

∴ACcos45AE2

∵ABC60

∴AFC60

∵FAC90

AC26

∴CF

sin603

16

∴OFOCCF

23

故選：A．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)與判

定等知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

13.（2024上海市）在ABC中，AC3，BC4，AB5，點P在ABC內(nèi)，分別以A、B、P

為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【解析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，

熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

【詳解】圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，

圓A含在圓P內(nèi)，即PA312，

P在以A為圓心、2為半徑的圓與ABC邊相交形成的弧上運動，如圖所示：

當(dāng)?shù)絇位置時，圓P與圓B圓心距離PB最大，為124217，

17325，

圓P與圓B相交，

故選：B．

14.（2024福建省）如圖，已知點A,B在O上，AOB72，直線MN與O相切，切點為C，

且C為AB的中點，則ACM等于（）

A.18B.30C.36D.72

【答案】A

【解析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)為的中點，三角

CAB

1

形內(nèi)角和可求出OCA(18036)72，再根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解．

2

【詳解】∵AOB72，C為AB的中點，

∴AOC36

∵OAOC

1

∴OCA(18036)72

2

∵直線MN與O相切，

∴OCM90，

∴ACMOCMOCA18

故選：A．

二、填空題

1.（2024北京市）如圖，O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若D35，則

C___________

【答案】55

【解析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)

鍵．

先由垂徑定理得到ABCD，由BCBC得到AD35，故C903555．

【詳解】∵直徑AB平分弦CD，

∴ABCD，

∵BCBC，

∴AD35，

∴C903555，

故答案為：55．

2.（2024江蘇連云港）如圖，AB是圓的直徑，1、2、3、4的頂點均在AB上方的圓弧

上，1、4的一邊分別經(jīng)過點A、B，則1234__________．

【答案】90

【解析】本題考查圓周角定理，根據(jù)半圓的度數(shù)為180，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行

求解即可．

∵AB是圓的直徑，

∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為180，

∵1、2、3、4所對的弧的和為半圓，

1

∴123418090，

2

故答案為：90．

3.（2024陜西省）如圖，BC是O的弦，連接OB，OC，A是BC所對的圓周角，則A與OBC

的和的度數(shù)是________．

【答案】90##90度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握圓周角定理是解

題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理可得BOC2A，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，

可證明2AOBCOCB180，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知OBCOCB，由此即得

答案．

【詳解】A是BC所對的圓周角，BOC是BC所對的圓心角，

BOC2A，

BOCOBCOCB180，

2AOBCOCB180，

OBOC，

OBCOCB，

2AOBCOBC180，

2A2OBC180，

AOBC90．

故答案為：90．

4.（2024江蘇蘇州）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OBC28，則A______．

【答案】62##62度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，連接OC，利用等腰三角

形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出BOC的度數(shù)，然后利用圓周角定理求解即可．

【詳解】解：連接OC，

∵OBOC，OBC28，

∴OCBOBC28，

∴BOC180OCBOBC124，

1

∴ABOC62，

2

故答案為：62．

5.（2024山東棗莊）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若OA∥CB，ACB25，則

CAB________．

【答案】40##40度

【解析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，利用圓周角定理求

出AOB的度數(shù)，利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理求出OAB的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求

出OAC的度數(shù)，即可求解．

【詳解】連接OB，

∵ACB25，

∴AOB2ACB50，

∵OAOB，

1

∴OABOBA180AOB65，

2

∵OA∥CB，

∴OACACB25，

∴CABOABOAC40，

故答案為：40．

6.（2024江蘇蘇州）鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，

由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，AB所在圓的圓心C恰好

是ABO的內(nèi)心，若AB23，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結(jié)果保留π）

【答案】8π

【解析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作CEAB，根據(jù)正多邊形的性

質(zhì)得出AOB為等邊三角形，再由內(nèi)心的性質(zhì)確定CAOCAECBE30，得出

AE

ACB120，利用余弦得出AC2，再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識點是解

cos30

題關(guān)鍵．

【詳解】解：如圖所示：過點C作CEAB，

∵六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，

∴AOB60,OAOB，

∴AOB為等邊三角形，

∵圓心C恰好是ABO的內(nèi)心，

∴CAOCAECBE30，

∴ACB120，

∵AB23，

∴AEBE3，

AE

∴AC2，

cos30

1202π4

∴AB的長為：π，

1803

4

∴花窗的周長為：π68π，

3

故答案為：8π．

7.（2024江蘇鹽城）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，C40，連接OA、OB，則

OAB________．

【答案】50

【解析】本題考查主要考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，先根據(jù)圓周角定理

計算出AOB2C80，再根據(jù)等邊對等角得出OABOBA，最后利用三角形內(nèi)角和定理

即可求出OAB．

【詳解】C40，

AOB2C80，

OAOB，

OABOBA，

OABOBAAOB180，

11

OAB180AOB1808050，

22

故答案為：50．

8.（2024四川眉山）如圖，ABC內(nèi)接于O，點O在AB上，AD平分BAC交O于D，連

接BD．若AB10，BD25，則BC的長為______．

【答案】8

【解析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形

的判定和性質(zhì)，延長AC，BD交于E，由圓周角定理可得ADBADE90，

ACBBCE90，進而可證明ABD≌AEDASA，得到BDDE25，即得

BEBC

BE45，利用勾股定理得AD45，再證明△ABD∽△BCE，得到，據(jù)此即可求

ABAD

解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：延長AC，BD交于E，

AB是O的直徑，

ADBADE90，ACBBCE90，

AD平分BAC，

BADDAE，

又∵ADAD，

∴ABD≌AEDASA，

BDDE25，

BE45，

AB10，BD25，

2

AD1022545，

DACCBD，

又∵BADDAE，

∴BADCBD，

ADBBCE90，

ABD∽BEC，

BEBC

，

ABAD

45BC

，

1045

BC8，

故答案為：8．

9.（2024重慶市B）如圖，AB是O的直徑，BC是O的切線，點B為切點．連接AC交O于

點D，點E是O上一點，連接BE，DE，過點A作AF∥BE交BD的延長線于點F．若BC5，

CD3，F(xiàn)ADE，則AB的長度是________；DF的長度是________．

20282

【答案】①.##6②.##2

3333

【解析】由直徑所對的圓周角是直角得到ADBBDC90，根據(jù)勾股定理求出BD4，則

CD3

cosC，由切線的性質(zhì)得到ABC90，則可證明CABD，解直角三角形即可求

BC5

BD20

出AB；連接AE，由平行線的性質(zhì)得到BAFABE，再由FADE，

cos∠ABD3

20208

ADEABE，推出FBAF，得到BFAB，則DFBFBD4．

333

【詳解】解：∵AB是O的直徑，

∴ADBBDC90，

在RtBDC中，由勾股定理得BDBC2CD24，

CD3

∴cosC，

BC5

∵BC是O的切線，

∴ABC90，

∴∠C∠CBD∠CBD∠ABD90，

∴CABD，

BD420

AB

在Rt△ABD中，cos∠ABD33；

5

如圖所示，連接AE，

∵AF∥BE，

∴BAFABE，

∵FADE，ADEABE，

∴FBAF，

20

∴BFAB，

3

208

∴DFBFBD4；

33

208

故答案為：；．

33

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，

解直角三角形，等腰三角形的判定等等，證明FBAF是解題的關(guān)鍵．

三、解答題

1.（2024湖北省）Rt△ABC中，ACB90，點O在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交AB于點D，

交AC于點E．且BDBC．

（1）求證：AB是O的切線．

（2）連接OB交O于點F，若AD3,AE1，求弧CF的長．

【答案】（1）見解析（2）弧CF的長為．

3

【解析】（1）利用SSS證明△OBD≌△OBC，推出ODBOCB90，據(jù)此即可證明結(jié)論成

立；

（2）設(shè)O的半徑為x，在RtAOD中，利用勾股定理列式計算求得x1，求得AOD60，

再求得COF60，利用弧長公式求解即可．

【小問1詳解】

證明：連接OD，

BDBC

在OBD和△OBC中，OBOB，

ODOC

∴OBD≌OBCSSS，

∴ODBOCB90，

∵OD為O的半徑，

∴AB是O的切線；

【小問2詳解】

解：∵ODB90，

∴∠ODA90°，

設(shè)O的半徑為x，

22

在RtAOD中，AO2OD2AD2，即x1x23，

解得x1，

OD1

∴ODOC1，OA2，cosAOD，

OA2

∴AOD60，

∵△OBD≌△OBC，

1

∴BODCOF1806060，

2

601

∴弧CF的長為．

1803

【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題

是解題的關(guān)鍵．

2.（2024貴州省）如圖，AB為半圓O的直徑，點F在半圓上，點P在AB的延長線上，PC與半

圓相切于點C，與OF的延長線相交于點D，AC與OF相交于點E，DCDE．

（1）寫出圖中一個與DEC相等的角：______；

（2）求證：ODAB；

（3）若OA2OE，DF2，求PB的長．

1616

【答案】（1）DCE（答案不唯一）（2）（3）

33

【解析】【分析】（1）利用等邊對等角可得出DCEDEC，即可求解；

（2）連接OC，利用切線的性質(zhì)可得出DCEACO90，利用等邊對等角和對頂角的性質(zhì)可

得出AOEDCE，等量代換得出AEOCAO90，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出

AOE90，即可得證；

（3）設(shè)OE2，則可求AOOFBO2x，EFx，OD2x2，DCDE2x，在Rt△ODC

222OPOC

中，利用勾股定理得出22xx22x，求出x的值，利用tanD可求出OP，

ODCD

即可求解．

【小問1詳解】

解：∵DCDE，

∴DCEDEC，

故答案為：DCE（答案不唯一）；

【小問2詳解】

證明：連接OC，

，

∵PC是切線，

∴OCCD，即DCEACO90，

∵OAOC，

∴OACACO，

∵DCEDEC，AEODEC，

∴AEOCAO90，

∴AOE90，

∴ODAB；

【小問3詳解】

解：設(shè)OEx，則AOOFBO2x，

∴EFOFOEx，ODOFDF2x2，

∴DCDEDFEF2x，

在Rt△ODC中，OD2CD2OC2，

222

∴22xx22x，

解得x14，x20（舍去）

∴OD10，CD6，OC8，

OPOC

∵tanD，

ODCD

OP8

∴，

106

40

解得OP，

3

16

∴BPOPOB．

3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用等知識，靈活

運用以上知識是解題的關(guān)鍵．

3.（2024甘肅臨夏）如圖，直線l與O相切于點D，AB為O的直徑，過點A作AEl于點E，

延長AB交直線l于點C．

（1）求證：AD平分CAE；

（2）如果BC1，DC3，求O的半徑．

【答案】（1）見解析（2）4

【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出ODl，結(jié)合題意可證OD∥AE，即得

出DAEADO，再根據(jù)等邊對等角可得出DAOADO，即得出DAODAE，即AD

平分CAE；

（2）設(shè)O的半徑為r，則OCOBBCr1，ODr．再根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于r的等式，

求解即可．

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OD．

∵直線l與O相切于點D，

∴ODl．

∵AEl，

∴OD∥AE，

∴DAEADO．

∵OAOD，

∴DAOADO，

∴DAODAE，即AD平分CAE；

【小問2詳解】

解：設(shè)O的半徑為r，則OCOBBCr1，ODr．

在Rt△OCD中，OD2CD2OC2，

2

∴r232r1，

解得：r4，

∴O的半徑為4．

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，同圓半徑相等，平行線的判定和性質(zhì)，角平分線

的判定，勾股定理等知識．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．

4.（2024北京市）如圖，AB是O的直徑，點C，D在O上，OD平分AOC.

（1）求證：OD∥BC；

（2）延長DO交O于點E，連接CE交OB于點F，過點B作O的切線交DE的延長線于點P.

OF5

若，PE1，求O半徑的長.

BF6

3

【答案】（1）見解析（2）

2

【解析】（1）根據(jù)題意，得AOCBC，結(jié)合OBOC，得到BC，繼而得到

AOC2B，根據(jù)OD平分AOC，得到AOC2AOD，繼而得到BAOD，可證

OD∥BC；

（2）不妨設(shè)OF5x,BF6x，則OBOFBF11xOCOE，求得

66x

OPOEPE11x1，證明OFE∽BFC，OBMPOB，求得BC，取BC的中

5

33x33

點M，連接OM，則BM，求得cosOBM，cosPOB，結(jié)合切線性質(zhì)，得到

555

3OBOBOB

cosPOB，解答即可.

5OPOEPEOB1

【小問1詳解】

根據(jù)題意，得AOCBC，

∵OBOC，

∴BC，

∴AOC2B，

∵OD平分AOC，

∴AOC2AOD，

∴BAOD，

∴OD∥BC；

【小問2詳解】

OF5

∵，PE1，

BF6

不妨設(shè)OF5x,BF6x，則OBOFBF11xOCOE，

∴OPOEPE11x1，

∵OD∥BC，

∴OFE∽BFC，OBCPOB，

OEOF5

∴，

BCBF6

11x5

∴，

BC6

66x

解得BC，

5

取BC的中點M，連接OM，

33x

則BM

5

∵OBOC，

∴OMBC，

BM3

∴cosOBM，

OB5

3

∴cosPOB，

5

∵PB是O的切線，

∴OBPB，

3OBOBOB

∴cosPOB，

5OPOEPEOB1

3

解得OB，

2

3

故O半徑的長為.

2

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形相似的判定和性質(zhì)，切線

的性質(zhì)，解直角三角形的相關(guān)計算，等量代換思想，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，

解直角三角形的相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵.

5.（2024福建省）如圖，在ABC中，BAC90,ABAC，以AB為直徑的O交BC于點D，

AEOC，垂足為E,BE的延長線交AD于點F．

OE

（1）求的值；

AE

（2）求證：△AEB∽△BEC；

（3）求證：AD與EF互相平分．

1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

2

AC

【解析】（1）先證得AC2AO，再在RtAOC中，tanAOC2．在Rt△AOE中，

AO

AEAE

tanAOC，可得2，再證得結(jié)果；

OEOE

（2）過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，先證明AOE≌BOM，可得

AEBM,OEOM，再證得BAECBE，再由相似三角形的判定可得結(jié)論；

（3）如圖，連接DE,DF，由（2）△AEB∽△BEC，可得

AEAB2AOAO

,EAOEBD，從而得出AOE∽BDE，從而得出

BEBC2BDBD

BEDAEO90，得出AFBDEF，再上平行線判定得出AF∥DE，再證得AE∥FD，

從而得出四邊形AEDF是平行四邊形，最后由平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果．

【小問1詳解】

ABAC，且AB是O的直徑，

AC2AO．

BAC90，

AC

在RtAOC中，tanAOC2．

AO

AEOC，

AE

在Rt△AOE中，tanAOC．

OE

AE

2，

OE

OE1

；

AE2

【小問2詳解】

過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M．

BAEABM,AEOBMO90．

AOBO，

△AOE≌△BOM，

AEBM,OEOM．

OE1

，

AE2

BM2OEEM，

MEBMBE45，

AEBAEOMEB135，BEC180MEB135，

AEBBEC．

ABAC,BAC90，

ABC45，

ABMCBE，

BAECBE，

△AEB∽△BEC．

【小問3詳解】

如圖，連接DE,DF．

AB是O的直徑，

ADBAFB90,AB2AO．

ABAC,BAC90，

BC2BD,DAB45．

由（2）知，△AEB∽△BEC，

AEAB2AOAO

,EAOEBD，

BEBC2BDBD

△AOE∽△BDE，

BEDAEO90．

DEF90．

AFBDEF，

AF∥DE．

由（2）知，AEB135，

AEF180AEB45．

DFBDAB45，

DFBAEF，

AE∥FD，

四邊形AEDF是平行四邊形，

AD與EF互相平分．

【點睛】本小題考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)等基

礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．

6.（2024甘肅威武）如圖，AB是O的直徑，BCBD，點E在AD的延長線上，且

ADCAEB．

（1）求證：BE是O的切線；

（2）當(dāng)O的半徑為2，BC3時，求tanAEB的值．

7

【答案】（1）見解析（2）tanAEB

3

【解析】【分析】（1）連接BD，OC，OD，證明OB垂直平分CD，得出AFD90，證明CD∥BE，

得出ABEAFD90，說明ABBE，即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)AB是O的直徑，得出ACB90，根據(jù)勾股定理求出

AC7

ACAB2BC242327，根據(jù)三角函數(shù)定義求出tanABC，證明

BC3

7

AEBABC，得出tanAEBtanABC即可．

3

【小問1詳解】

證明：連接BD，OC，OD，如圖所示：

∵BCBD，

∴BCBD，

∵OCOD，

∴點O、B在CD的垂直平分線上，

∴OB垂直平分CD，

∴AFD90，

∵ADCAEB，

∴CD∥BE，

∴ABEAFD90，

∴ABBE，

∵AB是O的直徑，

∴BE是O的切線；

【小問2詳解】

解：∵O的半徑為2，

∴AB224，

∵AB是O的直徑，

∴ACB90，

∵BC3，

∴ACAB2BC242327，

AC7

∴tanABC，

BC3

∵，

ACAC

∴ADCABC，

∵AEBADC，

∴AEBABC，

7

∴tanAEBtanABC．

3

【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判

定，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．

7.（2024深圳）如圖，在△ABD中，ABBD，O為△ABD的外接圓，BE為O的切線，AC

為O的直徑，連接DC并延長交BE于點E．

（1）求證：DEBE；

（2）若AB56，BE5，求O的半徑．

【答案】（1）見解析（2）35

【解析】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，中垂線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)：

（1）連接BO并延長，交AD于點H，連接OD，易證BO垂直平分AD，圓周角定理，切線的性

質(zhì)，推出四邊形BHDE為矩形，即可得證；

（2）由（1）可知DHBE5，勾股定理求出BH的長，設(shè)O的半徑為r，在Rt△AOH中，

利用勾股定理進行求解即可．

【小問1詳解】

證明：連接BO并延長，交AD于點H，連接OD，

∵ABBD，OAOD，

∴BO垂直平分AD，

∴BHAD，AHDH，

∵BE為O的切線，

∴HBBE，

∵AC為O的直徑，

∴ADC90，

∴四邊形BHDE為矩形，

∴DEBE；

【小問2詳解】

由（1）知四邊形BHDE為矩形，BHAD，AHDH，

∴AHDHBE5，

∴BHAB2AH255，

設(shè)O的半徑為r，則：OAOBr,OHBHOB55r，

22

在Rt△AOH中，由勾股定理，得：r2555r，

解得：r35；

即：O的半徑為35．

8.（2024廣西）如圖，已知O是ABC的外接圓，ABAC．點D，E分別是BC，AC的中

點，連接DE并延長至點F，使DEEF，連接AF．

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）求證：AF與O相切；

3

（3）若tanBAC，BC12，求O的半徑．

4

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）10

【解析】【分析】（1）先證明BDCD，DEEF，再證明△AEF≌△CED，可得AFCD，

FEDC，再進一步解答即可；

（2）如圖，連接AD，證明ADBC，可得AD過圓心，結(jié)合AF∥BD，證明AFAD，從而

可得結(jié)論；

（3）如圖，過B作BQAC于Q，連接OB，設(shè)BQ3x，則AQ4x，可得CQACAQx，

12610

求解x，可得AB5x610，求解ADAB2BD218，設(shè)O半徑為r，

105

可得OD18r，再利用勾股定理求解即可．

【小問1詳解】

證明：∵點D，E分別是BC，AC的中點，

∴BDCD，AECE，

又∵AEFCED，DEEF，

∴△AEF≌△CED，

∴AFCD，F(xiàn)EDC，

∴AFBD，AF∥BD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形；

【小問2詳解】

證明：如圖，連接AD，

∵ABAC，D為BC中點，

∴ADBC，

∴AD過圓心，

∵AF∥BD，

∴AFAD，

而OA為半徑，

∴AF為O的切線；

【小問3詳解】

解：如圖，過B作BQAC于Q，連接OB，

3

∵tanBAC，

4

BQ3

∴，

AQ4

設(shè)BQ3x，則AQ4x，

∴ACABAQ2BQ25x，

∴CQACAQx，

∴BCBQ2CQ210x，

∴10x12，

12610

∴x，

105

∴AB5x610，

∵ABAC，BC12，ADBC，

∴BDCD6，

∴ADAB2BD218，

設(shè)O半徑為r，

∴OD18r，

2

∴r218r62，

解得：r10，

∴O的半徑為10．

【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形

的判定與性質(zhì)，切線的判定，垂徑定理的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．

9.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CDAB于點D，將

△CDB沿BC所在的直線翻折，得到CEB，點D的對應(yīng)點為E，延長EC交BA的延長線于點F．

（1）求證：CF是O的切線；

2

（2）若sinCFB，AB8，求圖中陰影部分的面積．

2

【答案】（1）見解析（2）2π4

【解析】【分析】（1）連接OC，由折疊的性質(zhì)得DBCEBC，BECCDB90，再

證明OC∥BE，推出FC⊥OC，據(jù)此即可證明CF是O的切線；

（2）先求得CFB45，在RtCOD中，求得CDOD22，再利用扇形面積公式求解即可．

【小問1詳解】

證明：連接OC，

∵CDAB，

∴CDB90，

∵△CDB沿直線BC翻折得到CEB，

∴DBCEBC，BECCDB90，

∵OB，OC是O的半徑，

∴OBOC，

∴OCBOBC，

∴EBCOCB，

∴OC∥BE，

∴FCOBEC90，

∴FC⊥OC于點C，

又∵OC為O的半徑，

∴CF是O的切線；

【小問2詳解】

2

解：∵sinCFB，

2

∴CFB45，

由（1）得FCO90，

∴FOC90CFB45，

∵CDAB，

∴CDO90，

∵AB8，

11

∴OCAB84，

22

在RtCOD中，AOC45，

2

∴CDODOCsinAOC422，

2

11

∴S△ODCD22224，

COD22

45