2024年中考數學真題專題分類精選匯編（2025年中考復習全國通用）

專題32最值問題

一、選擇題

2

1.（2024四川樂山）已知二次函數yx2x1xt1，當x=1時，函數取得最大值；當

x1時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（）

A.0t2B.0t4C.2t4D.t2

【答案】C

【解析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識．熟練掌握二次函數的圖象與性

質是解題的關鍵．

2

由yx22xx11，可知圖象開口向上，對稱軸為直線x1，頂點坐標為1，1，當x=1

時，y3，即1，3關于對稱軸對稱的點坐標為3，3，由當x=1時，函數取得最大值；當x1時，

函數取得最小值，可得1t13，計算求解，然后作答即可．

2

【詳解】∵yx22xx11，

∴圖象開口向上，對稱軸為直線x1，頂點坐標為1，1，

當x=1時，y3，

∴1，3關于對稱軸對稱的點坐標為3，3，

∵當x=1時，函數取得最大值；當x1時，函數取得最小值，

∴1t13，

解得，2t4，

故選：C．

2.（2024四川南充）如圖，在RtABC中，C90，B30，BC6，AD平分CAB交

BC于點D，點E為邊AB上一點，則線段DE長度的最小值為（）

A.2B.3C.2D.3

【答案】C

【解析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質，垂線段最短，根據題意求得BAC和AC，

結合角平分線的性質得到CAD和DC，當DEAB時，線段DE長度的最小，結合角平線的性

質可得DEDC即可．

【詳解】∵C90，B30，

∴BAC60，

AC

在RtABC中，tanB，解得AC23，

CB

∵AD平分CAB，

∴CAD30，

DC

∴tanCAD，解得DC2，

CA

當DEAB時，線段DE長度的最小，

∵AD平分CAB，

∴DEDC2．

故選∶C．

3.（2024四川南充）當2x5時，一次函數y(m1)xm21有最大值6，則實數m的值

為（）

A.3或0B.0或1C.5或3D.5或1

【答案】A

【解析】本題主要考查了一次函數的性質，以及解一元二次方程，分兩種情況，當m10時和當

m10，根據一次函數性質列出關于m的一元二次方程，求解即可得出答案．

【詳解】當m10即m1時，一次函數y隨x的增大而增大，

∴當x5時，y6，

即5(m1)m216，

整理得：m25m0

解得：m0或m5（舍去）

當m10即m1時，一次函數y隨x的增大而減小，

∴當x2時，y6，

即2(m1)m216，

整理得：m22m30

解得：m3或m1（舍去）

綜上，m0或m3，

故選：A

4.（2024四川瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E，F分別是邊AB，BC上的動點，

且滿足AEBF，AF與DE交于點O，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG2GB，

1

則OMFG的最小值是（）

2

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【解析】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，直角三角形的性質，勾股定理等

等，先證明ADE≌BAFSAS得到ADEBAE，進而得到DOF90，則由直角三角

1

形的性質可得OMDF，如圖所示，在AB延長線上截取BHBG，連接FH，易證明

2

FBG≌FBHSAS，則FHFG，可得當H、D、F三點共線時，DFHF有最小值，即此

1

時OMFG有最小值，最小值即為DH的長的一半，求出AH8，在RtADH中，由勾股定

2

1

理得DHAD2AH210，責任OMFG的最小值為5．

2

【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴ADAB，∠DAB∠ABC90，

又∵AEBF，

∴ADE≌BAFSAS，

∴ADEBAF，

∴DOFADODAOBAFDAODAB90，

∵點M是DF的中點，

1

∴OMDF；

2

如圖所示，在AB延長線上截取BHBG，連接FH，

∵∠FBG∠FBH90，FBFB，BGBH，

∴FBG≌FBHSAS，

∴FHFG，

1111

∴OMFGDFHFDFHF，

2222

1

∴當H、D、F三點共線時，DFHF有最小值，即此時OMFG有最小值，最小值即為DH的

2

長的一半，

∵AG2GB，AB6，

∴BHBG2，

∴AH8，

在RtADH中，由勾股定理得DHAD2AH210，

1

∴OMFG的最小值為5，

2

故選：B．

5.（2024四川宜賓）如圖，在ABC中，AB32,AC2，以BC為邊作RtBCD，BCBD，

點D與點A在BC的兩側，則AD的最大值為（）

A.232B.622C.5D.8

【答案】D

【解析】如圖，把ABC繞B順時針旋轉90得到△HBD，求解AHAB2BH26，結合

ADDHAH，（A,H,D三點共線時取等號），從而可得答案．

【詳解】解：如圖，把ABC繞B順時針旋轉90得到△HBD，

∴ABBH32，ACDH2，ABH90，

∴AHAB2BH26，

∵ADDHAH，（A,H,D三點共線時取等號），

∴AD的最大值為628，

故選D

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，旋轉的性質，三角形的三邊關系，二次根式的乘法運算，做

出合適的輔助線是解本題的關鍵．

6.（2024四川達州）如圖，ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB4，點D，E分別在

2AE

AC，BC邊上運動，連結AE，BD交于點F，且始終滿足ADCE，則下列結論：①2；

2BD

②DFE135；③△ABF面積的最大值是424；④CF的最小值是21022．其中正確

的是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】過點B作BMAC于點M，證明ABE∽BMD，根據相似三角形的性質即可判斷①；

得出BAEMBD，根據三角形內角和定理即可判斷②；在AB的左側，以AB為斜邊作等腰直

角三角形AOB，以OA為半徑作O，根據定弦定角得出F在O的AB上運動，進而根據當

OFAB時，△ABF面積的最大，根據三角形的面積公式求解，即可判斷③，當F在OC上時，

FC最小，過點O作OHBC交CB的延長線于點H，勾股定理，即可求解．

【詳解】如圖所示，過點B作BMAC于點M，

∵ABC是等腰直角三角形，ABC90，AB4，

∴ABBC，ACAB2BC22BC，

2

∵ADCE，

2

11222

∴DMACAD2BCCEBCCEBE

22222

DMAD2

∴

BECE2

又∵DMBEBA90

∴ABE∽BMD，

AEAB

∴2，故①正確；

BDBM

∵ABE∽BMD，

∴BAEMBD，

∴BAEABDMBDABD

即180BAEABD180MBDABD

在△ABF中，AFB180BAEABD

即AFB180MBDABD

∵ABC是等腰直角三角形，BMAC

∴BM平分ABC

1

∴ABMCBMABC45

2

∴AFB180MBDABD180ABM135

∴AFB180BAEABD135，

∴DFE135，故②正確，

如圖所示，

在AB的左側，以AB為斜邊作等腰直角三角形AOB，以OA為半徑作O，且AB4

∴AOB90，OAOB，ABOA2OB22OA4

∵AFB135

1

∴DFEAOB180

2

∴F在O的AB上運動，

22

∴OFAOAB422，

22

連接OF交AB于點G，則AGGB2，

∴當OFAB時，結合垂徑定理，OG最小，

∵OF是半徑不變

∴此時CF最大

則△ABF面積的最大，

∴

SABF2SAGF2SAOFSAOG

112

2OFAGOG

22

22222

424，故③正確；

如圖所示，當F在OC上時，FC最小，過點O作OHBC交CB的延長線于點H，

∴OHB是等腰直角三角形，

22

∴OHHBOBOA2，

22

在RtOHC中，HCHBBC6，

∴OC2262210，

∴CF的最小值是21022．

故選：D．

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓內接四邊形對角互補，求圓外一點到圓上的距離最

值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．

二、填空題

1.（2024四川廣安）如圖，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，點M為直線BC上

一動點，則MAMD的最小值為______．

【答案】41

【解析】如圖，作A關于直線BC的對稱點A，連接AD交BC于M，則AHAH，AHBC，

AMAM，當M,M重合時，MAMD最小，最小值為AD，再進一步結合勾股定理求解即

可.

【詳解】解：如圖，作A關于直線BC的對稱點A，連接AD交BC于M，則AHAH，

AHBC，AMAM，

∴當M,M重合時，MAMD最小，最小值為AD，

∵AB4，ABC30，在YABCD中，

1

∴AHAB2，AD∥BC，

2

∴AA2AH4，AAAD，

∵AD5，

∴AD425241，

故答案為：41

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，求最小值問題，正確理解各性質

及掌握各知識點是解題的關鍵．

2.（2024四川成都市）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點B作y軸的

垂線l，P為直線l上一動點，連接PO，PA，則POPA的最小值為______．

【答案】5

【解析】本題考查軸對稱—最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質．先取點A關于直線l的對稱

點A，連AO交直線l于點C，連AC，得到ACAC，AAl，再由軸對稱圖形的性質和兩點

之間線段最短，得到當O,P,A三點共線時，POPA的最小值為AO，再利用勾股定理求AO即

可．

【詳解】取點A關于直線l的對稱點A，連AO交直線l于點C，連AC，

則可知ACAC，AAl，

∴POPAPOPAAO，

即當O,P,A三點共線時，POPA的最小值為AO，

∵直線l垂直于y軸，

∴AAx軸，

∵A3,0，B0,2，

∴AO3,AA4，

∴在RtAAO中，

AOOA2AA232425，

故答案為：5

3.（2024江蘇揚州）如圖，已知兩條平行線l1、l2，點A是l1上的定點，ABl2于點B，點C、D

分別是l1、l2上的動點，且滿足ACBD，連接CD交線段AB于點E，BHCD于點H，則當

BAH最大時，sinBAH的值為_____．

1

【答案】

3

1

【解析】證明ACE≌BDEASA，得出BEAEAB，根據BHCD，得出BHE90，

2

說明點H在以BE為直徑的圓上運動，取線段BE的中點O，以點O為圓心，OB為半徑畫圓，則點H

在O上運動，說明當AH與O相切時BAH最大，得出OHAH，根據

OHOE1

AOAEOE3OE，利用sinBAH，即可求出結果．

AO3OE3

【詳解】解：∵兩條平行線l1、l2，點A是l1上的定點，ABl2于點B，

∴點B為定點，AB的長度為定值，

∵l1∥l2，

∴ACEBDE，∠CAE∠DBE，

∵ACBD，

∴ACE≌BDEASA，

1

∴BEAEAB，

2

∵BHCD，

∴BHE90，

∴點H在以BE為直徑的圓上運動，

如圖，取線段BE的中點O，以點O為圓心，OB為半徑畫圓，

則點H在O上運動，

∴當AH與O相切時BAH最大，

∴OHAH，

∵AEOB2OE，

∴AOAEOE3OE，

∵OHOE，

OHOE1

∴sinBAH，

AO3OE3

1

故答案為：．

3

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，切線的性質，解直

角三角形等知識點，解題的關鍵是確定點H的運動軌跡．

5

4.（2024四川廣元）如圖，在ABC中，AB5，tanC2，則ACBC的最大值為______．

5

【答案】52

【解析】過點B作BDAC，垂足為D，如圖所示，利用三角函數定義得到

5

ACBCACDC，延長DC到E，使ECCDx，連接BE，如圖所示，從而確定

5

5

ACBCACDCACCEAE，E45，再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在

5

5

O上運動，AE是O的弦，求ACBC的最大值就是求弦AE的最大值，即AE是直徑時，

5

取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案．

【詳解】解：過點B作BDAC，垂足為D，如圖所示：

tanC2，

在RtBCD中，設DCx，則BD2x，由勾股定理可得BC5x，

DCx55

，即BCDC，

BC5x55

5

ACBCACDC，

5

延長DC到E，使ECCDx，連接BE，如圖所示：

5

ACBCACDCACCEAE，

5

BDDE，DE2xBD，

BDE是等腰直角三角形，則E45，

在ABE中，AB5，E45，由輔助圓-定弦定角模型，作ABE的外接圓，如圖所示：

5

由圓周角定理可知，點E在O上運動，AE是O的弦，求ACBC的最大值就是求弦AE

5

的最大值，根據圓的性質可知，當弦AE過圓心O，即AE是直徑時，弦最大，如圖所示：

AE是O的直徑，

ABE90，

E45，

ABE是等腰直角三角形，

AB5，

5

BEAB5，則由勾股定理可得AEAB2BE252，即ACBC的最大值為52，

5

故答案為：52．

【點睛】本題考查動點最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、圓的性

質、圓周角定理、動點最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動點最值問題-定弦定角模型的解法

是解決問題的關鍵．

5.（2024河南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，線段CD繞點C在平面

內旋轉，過點B作AD的垂線，交射線AD于點E．若CD1，則AE的最大值為_________，最小

值為_________.

【答案】①.221##122②.221##122

【解析】根據題意得出點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點E在以AB為直徑的圓上，根據

AEABcosBAE，得出當cosBAE最大時，AE最大，cosBAE最小時，AE最小，根據

當AE與C相切于點D，且點D在ABC內部時，BAE最小，AE最大，當AE與C相切于

點D，且點D在ABC外部時，BAE最大，AE最小，分別畫出圖形，求出結果即可．

【詳解】∵ACB90，CACB3，

1

∴BACABC9045，

2

∵線段CD繞點C在平面內旋轉，CD1，

∴點D在以點C為圓心，1為半徑的圓上，

∵BE⊥AE，

∴AEB90，

∴點E在以AB為直徑的圓上，

在Rt△ABE中，AEABcosBAE，

∵AB為定值，

∴當cosBAE最大時，AE最大，cosBAE最小時，AE最小，

∴當AE與C相切于點D，且點D在ABC內部時，BAE最小，AE最大，連接CD，CE，

如圖所示：

則CDAE，

∴ADCCDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵，

ACAC

∴∠CED∠ABC45，

∵CDE90，

∴CDE為等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最大值為221；

當AE與C相切于點D，且點D在ABC外部時，BAE最大，AE最小，連接CD，CE，如

圖所示：

則CDAE，

∴CDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵四邊形ABCE為圓內接四邊形，

∴∠CEA180∠ABC135，

∴∠CED180∠CEA45，

∵CDE90，

∴CDE為等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最小值為221；

故答案為：221；221．

【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，等腰三角形的

性質，解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質，找出AE取最大

值和最小值時，點D的位置．

6.（2024四川宜賓）如圖，正方形ABCD的邊長為1，M、N是邊BC、CD上的動點．若MAN45，

則MN的最小值為___________．

【答案】222##222

【解析】將△ADN順時針旋轉90得到ABP，再證明MAP≌MANSAS，從而得到

MNMPBMBPBMDN，再設設CNa，CMb，得到MN2ab，利用勾股

2

定理得到CN2CM2MN2，即a2b22ab，整理得到2a2b2，從而利用

完全平方公式得到MN2ab222a2b，從而得解．

【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為1，

∴ADABBCCD1，BADABCCD90，

將△ADN順時針旋轉90得到ABP，則ADN≌ABP，

∴DANBAP，DABP90，ANAP，DNBP，

∴點P、B、M、C共線，

∵MAN45，

∴MAPMABBAPMABDAN90MAN45MAN，

∵APAN，MAPMAN，AMAM，

∴MAP≌MANSAS，

∴MPMN，

∴MNMPBMBPBMDN，

設CNa，CMb，則DN1a，BM1b，

∴MNBMDN2ab，

∵C90，

2

∴CN2CM2MN2，即a2b22ab，

整理得：2a2b2，

∴MN2ab

22a2b

22

22a2b

22

22a22a2b2b22a2b

2

22a2b22a2b

222a2b

222，

當且僅當2a2b，即2a2b2，也即ab22時，MN取最小值222，

故答案為：222．

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，二次根式的運算，完全平方

公式等知識，證明MNBMDN和得到2a2b2是解題的關鍵．

7.（2024四川內江）如圖，在ABC中，ABC60，BC8，E是BC邊上一點，且BE2，

點I是ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PEPC

的最小值為________．

【答案】213

【解析】在AB取點F，使BFBE2，連接PF，CF，過點F作FHBC于H，利用三角形

內心的定義可得出ABDCBD，利用SAS證明BFP≌BEP，得出PFPE，則

PEPCPFPCCF，當C、P、F三點共線時，PEPC最小，最小值為CF，利用含30

的直角三角形的性質求出BH，利用勾股定理求出FH，CF即可．

【詳解】在AB取點F，使BFBE2，連接PF，CF，過點F作FHBC于H，

∵I是ABC的內心，

∴BI平分ABC，

∴ABDCBD，

又BPBP，

∴BFP≌BEPSAS，

∴PFPE，

∴PEPCPFPCCF，

當C、P、F三點共線時，PEPC最小，最小值為CF，

∵FHBC，ABC60，

∴BFH30，

1

∴BHBF1，

2

∴FHBF2BH23，CHBCBH7，

∴CFCH2FH2213，

∴PEPC的最小值為213．

故答案為：213．

【點睛】本題考查了三角形的內心，全等三角形的判定與性質，含30的直角三角形的性質，勾股定

理等知識，明確題意，添加合適輔助線，構造全等三角形和含30的直角三角形是解題的關鍵．

三、解答題

2

1.（2024河南?。牡孛尕Q直向上發射的物體離地面的高度hm滿足關系式h5tv0t，其

中ts是物體運動的時間，v0m/s是物體被發射時的速度．社團活動時，科學小組在實驗樓前從

地面豎直向上發射小球．

（1）小球被發射后_________s時離地面的高度最大（用含v0的式子表示）．

（2）若小球離地面的最大高度為20m，求小球被發射時的速度．

（3）按（2）中的速度發射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次

間隔的時間為3s．”已知實驗樓高15m，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．

v

【答案】（1）0

10

（2）20m/s

（3）小明的說法不正確，理由見解析

【解析】【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是：

（1）把函數解析式化成頂點式，然后利用二次函數的性質求解即可；

v

（2）把t0，h20代入h5t2vt求解即可；

100

（3）由（2），得h5t220t，把h15代入，求出t的值，即可作出判斷.

【小問1詳解】

2

解：h5tv0t

2

vv2

5t00，

1020

v

∴當t0時，h最大，

10

v

故答案為：0；

10

【小問2詳解】

解：根據題意，得

v

當t0時，h20，

10

2

∴v0v0，

5v020

1010

∴v020m/s（負值舍去）；

【小問3詳解】

解：小明的說法不正確．

理由如下：

由（2），得h5t220t，

當h15時，155t220t，

解方程，得，，

t11t23

∴兩次間隔的時間為312s，

∴小明的說法不正確．

2.（2024廣西）課堂上，數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數yx22axa3的最值問

題展開探究．

【經典回顧】二次函數求最值的方法．

（1）老師給出a4，求二次函數yx22axa3的最小值．

①請你寫出對應的函數解析式；

②求當x取何值時，函數y有最小值，并寫出此時的y值；

【舉一反三】老師給出更多a的值，同學們即求出對應的函數在x取何值時，y的最小值．記錄結果，

并整理成下表：

a…42024…

x…*2024…

y的最小值…*93515…

注：*為②的計算結果．

【探究發現】老師：“請同學們結合學過的函數知識，觀察表格，談談你的發現．”

甲同學：“我發現，老師給了a值后，我們只要取xa，就能得到y的最小值．”

乙同學：“我發現，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，

所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）請結合函數解析式yx22axa3，解釋甲同學的說法是否合理？

（3）你認為乙同學的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．

11

【答案】（1）①yx28x7；②當x4時，y有最小值為23（2）見解析（3）正確，

4

【解析】【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解題的關鍵：

（1）①把a4代入解析式，寫出函數解析式即可；②將一般式轉化為頂點式，進行求解即可；

（2）將一般式轉化為頂點式，根據二次函數的性質進行解釋即可；

（3）將一般式轉化為頂點式，表示出y的最大值，再利用二次函數求最值即可．

【詳解】解：（1）①把a4代入yx22axa3，得：

yx224x43x28x7；

∴yx28x7；

2

②∵yx28x7x423，

∴當x4時，y有最小值為23；

2

（2）∵yx22axa3xaa2a3，

∵拋物線的開口向上，

∴當xa時，y有最小值；

∴甲的說法合理；

（3）正確；

2

∵yx22axa3xaa2a3，

∴當xa時，y有最小值為a2a3，

2

即：2111，

yminaa3a

24

111

∴當a時，ymin有最大值，為．

24

3.（2024江蘇連云港）【問題情境】

（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內接正方形，那么大正方形面積是小正

方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉45°（如圖2），這時候就容易發現大正方形面積是小

正方形面積的__________倍．由此可見，圖形變化是解決問題的有效策略；

【操作實踐】

（2）如圖3，圖①是一個對角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數量關系．小昕

按所示步驟進行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請你結合整個變化過程，直接寫出圖4中以矩形內

一點P為端點的四條線段之間的數量關系；

【探究應用】

（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎上，小昕將△PDC繞點P逆時針旋轉，他發現旋轉過程中DAP

存在最大值．若PE8，PF5，當DAP最大時，求AD的長；

（4）如圖6，在Rt△ABC中，C90，點D、E分別在邊AC和BC上，連接DE、AE、BD．若

ACCD5，BCCE8，求AEBD的最小值．

【答案】（1）2（2）PA2PC2PB2PD2（3）AD39（4）89

【解析】【分析】（1）利用圓與正多邊形的性質分別計算兩個正方形的面積可得答案；

（2）如圖，由EGFH，證明a2c2b2d2，再結合圖形變換可得答案；

（3）如圖，將△PDC繞點P逆時針旋轉，可得D在以P為圓心，PD為半徑的圓上運動，可得當AD

與P相切時，DAP最大，再進一步解答即可；

（4）如圖，將BDC沿BC對折，D的對應點為D1，將△AEC沿AC對折，E的對應點為E1，

連接D1E1，再將ABE1沿AC方向平移，使A與D1重合，如圖，得B1D1E2，由（2）可得：

AEBDD1E2BD1，當E2,D1,B三點共線時，AEBDD1E2BD1最短，再進一步解答即

可.

【詳解】解：如圖，

∵正方形ABCD，EFGH及圓為正方形ABCD的內切圓，為正方形EFGH的外接正方形，

∴設AEDEDHCHCGBGAFBFm，A90，

∴ABAD2m，EFm2m22m，

2

∴S4m2，2，

正方形ABCDS正方形EFGH2m2m

∴大正方形面積是小正方形面積的2倍．

（2）如圖，∵EGFH，

∴a2OF2OE2，c2OG2OH2，

d2OE2OH2，b2OF2OG2，

∴a2c2b2d2，

如圖，

結合圖形變換可得：PA2PC2PB2PD2；

（3）如圖，∵將△PDC繞點P逆時針旋轉，

∴D在以P為圓心，PD為半徑的圓上運動，

∵A為圓外一個定點，

∴當AD與P相切時，DAP最大，

∴PDAD，

∴AD2AP2PD2，

由（2）可得：AEDF，

∵PE8，PF5，

∴AD2AP2PD2

PE2AE2PF2DF2

8252

=39，

∴AD39；

（4）如圖，將BDC沿BC對折，D的對應點為D1，將△AEC沿AC對折，E的對應點為E1，

連接D1E1，

∴CDCD1，CECE1，

再將ABE1沿AC方向平移，使A與D1重合，如圖，得B1D1E2，

由（2）可得：AEBDD1E2BD1，

∴當E2,D1,B三點共線時，AEBDD1E2BD1最短，

∵ACCD5，BCCE8，

∴E1E25，BE18，

∴2222；

BE2BE1E1E28589

∴AEBD的最小值為89；

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，軸對稱的性質，平移的性質，旋轉的性質，圓與正多邊形的

關系，切線的性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

4.（2024山東煙臺）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享美好

生活”，康寧公司新研發了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據市場調查，每輛輪椅盈利200元時，

每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，

但每輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

（2）全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

2

【答案】（1）yx220x12000，每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元

5

（2）這天售出了64輛輪椅

【解析】【分析】本題考查二次函數的實際應用，正確的列出函數關系式，是解題的關鍵：

（1）根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數關系式，再根據二次函數的性質求最值即可；

（2）令y12160，得到關于x的一元二次方程，進行求解即可．

【小問1詳解】

x22

解：由題意，得：y200x604x20x12000；

105

∵每輛輪椅的利潤不低于180元，

∴200x180，

∴x20，

222

∵yx220x12000x2512250，

55

∴當x25時，y隨x的增大而增大，

22

∴當x=20時，每天的利潤最大，為20251225012240元；

5

答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元；

【小問2詳解】

2

當y12160時，x220x1200012160，

5

，

解得：x110x240（不合題意，舍去）；

10

∴60464（輛）；

10

答：這天售出了64輛輪椅．

2

5.（2024山東棗莊）在平面直角坐標系xOy中，點P2,3在二次函數yaxbx3a0的

圖像上，記該二次函數圖像的對稱軸為直線xm．

（1）求m的值；

（2）若點Qm,4在yax2bx3的圖像上，將該二次函數的圖像向上平移5個單位長度，得

到新的二次函數的圖像．當0x4時，求新的二次函數的最大值與最小值的和；

2

（3）設yaxbx3的圖像與x軸交點為x1,0，x2,0x1x2．若4x2x16，求a的

取值范圍．

【答案】（1）m1

（2）新的二次函數的最大值與最小值的和為11；

3

（3）a1

8

2

【解析】【分析】（1）把點P2,3代入yaxbx3a0可得b2a，再利用拋物線的

對稱軸公式可得答案；

2

（2）把點Q1,4代入yax22ax3，可得：a1，可得拋物線為yx22x3x14，

22

將該二次函數的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數為：yx145x11，

再利用二次函數的性質可得答案；

3

（）由根與系數的關系可得，，結合2，

3x1x22x1x2xxxx4xx

a211212

4x2x16，再建立不等式組求解即可.

【小問1詳解】

解：∵點P2,3在二次函數yax2bx3a0的圖像上，

∴4a2b33，

解得：b2a，

∴拋物線為：yax22ax3，

2a

∴拋物線的對稱軸為直線x1，

2a

∴m1；

【小問2詳解】

解：∵點Q1,4在yax22ax3的圖像上，

∴a2a34，

解得：a1，

2

∴拋物線為yx22x3x14，

將該二次函數的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數為：

22

yx145x11，

∵0x4，

∴當x1時，函數有最小值為1，

2

當x4時，函數有最大值為41110

∴新的二次函數的最大值與最小值的和為11；

【小問3詳解】

2

∵yax2ax3的圖像與x軸交點為x1,0，x2,0x1x2．

3

∴xx2，xx，

1212a

∵2，

x2x1x1x24x1x2

123

∴xx421，

21aa

∵4x2x16，

33

∴4216即213，

aa

3

解得：a1.

8

【點睛】本題屬于二次函數的綜合題，利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的性質，一

元二次方程根與系數的關系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關鍵.

2

6.（2024天津市）已知拋物線yaxbxca，b，c為常數，a0的頂點為P，且2ab0，

對稱軸與x軸相交于點D，點Mm,1在拋物線上，m1，O為坐標原點．

（1）當a1，c1時，求該拋物線頂點P的坐標；

13

（2）當OMOP時，求a的值；

2

（3）若N是拋物線上的點，且點N在第四象限，MDN90，DMDN，點E在線段MN上，

點F在線段DN上，NENF2DM，當DEMF取得最小值為15時，求a的值．

【答案】（1）該拋物線頂點P的坐標為(1,-2)（2）10（3）1

【解析】【分析】（1）先求得a、b的值，再配成頂點式，即可求解；

3

（2）過點Mm,1作MHx軸，在RtMOH中，利用勾股定理求得m，在RtOPD中，

2

33

勾股定理求得PD，得該拋物線頂點P的坐標為1,，再利用待定系數法求解即可；

22

（3）過點Mm,1作MHx軸，過點N作NKx軸，證明△NDK≌△DMH，求得點N的坐

標為2,1m，在Rt△DMN中，利用勾股定理結合題意求得MENF，在DMN的外部，作

DNG45，且NGDM，證明△GNF≌△DME，得到GFDE，當滿足條件的點F落在

線段GM上時，DEMF取得最小值，求得點M的坐標為3,1，再利用待定系數法求解即可．

【小問1詳解】

解：2ab0，a1，得b2a2．又c1，

該拋物線的解析式為yx22x1．

2

yx22x1x12，

該拋物線頂點P的坐標為1,2；

【小問2詳解】

解：過點Mm,1作MHx軸，垂足為H，m1，

則MHO90，HM1，OHm．

13

在RtMOH中，由HM2OH2OM2，OM，

2

2

213．

1m

2

33

解得m，m（舍）．

1222

3

點M的坐標為,1．

2

b

2ab0，即1．

2a

拋物線yax22axc的對稱軸為x1．

對稱軸與x軸相交于點D，則OD1，ODP90．

13

在RtOPD中，由OD2PD2OP2，OP，

2

2

213．

1PD

2

3

解得PD負值舍去．

2

3

由a0，得該拋物線頂點P的坐標為1,．

2

23

該拋物線的解析式為yax1．

2

2

333

點M,1在該拋物線上，有1a1．

222

a10；

【小問3詳解】

解：過點Mm,1作MHx軸，垂足為H，m1，

則MHO90，HM1，OHm．

DHOHODm1．