2017-2018學年新疆昌吉市高二（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題（每題4分，共48分）1．（4分）已知集合A={5}，B={4，5}，則A∩B=（）A．? B．{4} C．{5} D．{4，5}2．（4分）函數f（x）=的定義域為（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]3．（4分）函數f（x）=x3﹣x﹣1的零點所在的區間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（4分）如圖，網格紙上小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某空間幾何體的三視圖，則這個空間幾何體的體積為（）A．π B．2π C．3π D．4π5．（4分）直線l的斜率是3，過點A（1，﹣2），則直線l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣5=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣1=06．（4分）在區間[0，5]內任取一個實數，則此數大于3的概率為（）A． B． C． D．7．（4分）按照程序框圖（如圖）執行，第3個輸出的數是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（4分）在等比數列{an}中，a1=1，a5=4，則a3=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．9．（4分）滿足線性約束條件，的目標函數z=x+y的最大值是（）A．1 B． C．2 D．310．（4分）要得到y=sin（2x﹣）的圖象，只需將y=sin2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位11．（4分）已知函數f（x）=sin2x+2cos2x，則函數f（x）最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．2+212．（4分）設f（x）為奇函數，且在（﹣∞，0）內是減函數，f（﹣2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2二、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知函數f（x）=，則f[f（）]的值是．14．（5分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，則實數y的值是．15．（5分）某校有學生2000人，其中高三學生500人．為了解學生的身體素質情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個200人的樣本．則樣本中高三學生的人數為．16．（5分）已知點A（m，n）在直線x+2y﹣1=0上，則2m+4n的最小值為．三、解答題（17、18、19、20題每小題10分，21題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=1，前n項和為Sn，bn=．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）設數列{bn}前n項和為Tn，求Tn．18．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三內角，a，b，c是三內角對應的三邊，已知b2+c2﹣a2=bc（1）求角A的大小（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．19．（10分）已知曲線方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）當m=﹣6時，求圓心和半徑；（2）若曲線C表示的圓與直線l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且|MN|=，求m的值．20．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點．（1）求證AC⊥BC1（2）求證AC1∥平面CDB1．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

2017-2018學年新疆昌吉市高二（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每題4分，共48分）1．（4分）已知集合A={5}，B={4，5}，則A∩B=（）A．? B．{4} C．{5} D．{4，5}【解答】解：∵A={5}，B={4，5}，∴A∩B={5}，故選：C．2．（4分）函數f（x）=的定義域為（）A．[﹣2，2] B．（﹣1，2] C．[﹣2，0）∪（0，2] D．（﹣1，0）∪（0，2]【解答】解：要使函數有意義，x應滿足，解得﹣1＜x＜0或0＜x≤2，故函數的定義域為：（﹣1，0）∪（0，2]；故選：D3．（4分）函數f（x）=x3﹣x﹣1的零點所在的區間是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：因為f（﹣1）=﹣1+1﹣1=﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，f（1）=1﹣1﹣1=﹣1＜0，f（2）=8﹣2﹣1=5＞0，f（3）=27﹣3﹣1=23＞0，所以函數f（x）=x3﹣x﹣1的零點所在區間是[1，2]；故選：B．4．（4分）如圖，網格紙上小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某空間幾何體的三視圖，則這個空間幾何體的體積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖是圓錐，底面圓的半徑是1，高為3，體積為=π，故選：A．5．（4分）直線l的斜率是3，過點A（1，﹣2），則直線l的方程是（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x+y﹣5=0 C．3x﹣y+1=0 D．3x+y﹣1=0【解答】解：∵直線l的斜率是3，過點A（1，﹣2），由點斜式求得直線l的方程是y+2=3（x﹣1），化簡可得3x﹣y﹣5=0，故選A．6．（4分）在區間[0，5]內任取一個實數，則此數大于3的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：要使此數大于3，只要在區間（3，5]上取即可，由幾何概型的個數得到此數大于3的概率為為；故選B．7．（4分）按照程序框圖（如圖）執行，第3個輸出的數是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次執行循環體時，輸出A=1，S=2，滿足繼續循環的條件，則A=3，第二次執行循環體時，輸出A=3，S=3，滿足繼續循環的條件，則A=5，第三次執行循環體時，輸出A=5，故選：C8．（4分）在等比數列{an}中，a1=1，a5=4，則a3=（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【解答】解：在等比數列中，由a5=4得a5=q4=4，得q2=2，則a3=q2=2，故選：A，9．（4分）滿足線性約束條件，的目標函數z=x+y的最大值是（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：先根據約束條件畫出可行域，當直線z=x+y過點B（1，1）時，z最大值為2．故選C．10．（4分）要得到y=sin（2x﹣）的圖象，只需將y=sin2x的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【解答】解：將y=sin2x的圖象向右平移個單位，可得y=sin（2x﹣）的圖象，故選：B．11．（4分）已知函數f（x）=sin2x+2cos2x，則函數f（x）最大值為（）A．2 B．2 C．3 D．2+2【解答】解：函數f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，由正弦函數的值域可知：2sin（2x+）≤2，∴2sin（2x+）+1≤3．函數f（x）最大值為：3．故選：C．12．（4分）設f（x）為奇函數，且在（﹣∞，0）內是減函數，f（﹣2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2【解答】解：∵f（x）為奇函數，且在（﹣∞，0）內是減函數，f（﹣2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，在（0，+∞）內是減函數∴xf（x）＜0則或根據在（﹣∞，0）內是減函數，在（0，+∞）內是減函數解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）故選C二、填空題（每題5分，共20分）13．（5分）已知函數f（x）=，則f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案為：14．（5分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，則實數y的值是．【解答】解：根據題意，向量=（2，5），向量=（1，y），若，則有2y=5，即y=；故答案為：．15．（5分）某校有學生2000人，其中高三學生500人．為了解學生的身體素質情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個200人的樣本．則樣本中高三學生的人數為50．【解答】解：分層抽樣即是按比例抽樣，易知抽樣比例為2000：200=10：1，故500名高三學生應抽取的人數為=50人．故答案為：5016．（5分）已知點A（m，n）在直線x+2y﹣1=0上，則2m+4n的最小值為2．【解答】解：點A（m，n）在直線x+2y﹣1=0上，可得m+2n=1，則2m+4n≥2=2=2，當且僅當m=2n=時，等號成立，即有2m+4n的最小值為2．故答案為：2．三、解答題（17、18、19、20題每小題10分，21題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=1，前n項和為Sn，bn=．（1）求數列{bn}的通項公式；（2）設數列{bn}前n項和為Tn，求Tn．【解答】解：（1）由等差數列{an}的首項a1=1，公差d=1，∴前n項和為Sn=n+=．∴bn==．（2）bn=2．∴Tn=2=2=．18．（10分）在△ABC中，A、B、C是三角形的三內角，a，b，c是三內角對應的三邊，已知b2+c2﹣a2=bc（1）求角A的大小（2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．【解答】解：（1）由余弦定理有：b2+c2﹣a2=2bccosA，…（2分）所以2bccosA=bc，于是cosA=，…（4分）又因為A∈（0，π），所以A=…（7分）（2）由正弦定理有a2+b2=c2，…（9分）于是△ABC為以角C為直角的直角三角形，…（12分）所以B==…（14分）19．（10分）已知曲線方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）當m=﹣6時，求圓心和半徑；（2）若曲線C表示的圓與直線l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且|MN|=，求m的值．【解答】解：（1）當m=﹣6時，方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，可化為（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，圓心坐標為（1，2），半徑為；（2）∵（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴圓心（1，2）到直線l：x+2y﹣4=0的距離d=，又圓（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m的半徑r=，|MN|=，∴（）2+（）2=5﹣m，解得：m=4．20．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點．（1）求證AC⊥BC1（2）求證AC1∥平面CDB1．【解答】證明：（1）∴CC1⊥底面ABC∴CC1⊥AC…（1分）∴AC=3BC=4AB=5∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC…（2分）∴AC⊥平面BCC1B1…（3分）∴AC⊥BC1…（4分）（2）設BC1∩B1C=E，連接DE∵BCC1B1是矩形，∴E是BC1的中點…（5分）又D是AB的中點，在△ABC1中，DE∥AC1…（6分）又AC1?平面CDB1，DE?平面CDB1∴AC1∥平面CDB1…（8分）21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點．（Ⅰ）求證：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，∴AC=BC=2．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）（Ⅱ）如圖，以點C為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），A（2，