2017-2018學年黑龍江省大慶高二（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題（本大包括12小題，每小題5分，共60分．每小題只有一個選項符合題目要求）1．（5分）某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統抽樣法 D．分層抽樣法2．（5分）把38化為二進制數為（）A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）3．（5分）若直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量為，則（）A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．A、C都有可能4．（5分）已知空間向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣與垂直，則||等于（）A． B． C． D．5．（5分）已知p：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：?x0∈N，；則下列選項中是假命題的為（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）6．（5分）對具有線性相關關系的兩個變量x和y，測得一組數據如下表所示：x24568y20406070m根據上表，利用最小二乘法得到他們的回歸直線方程為y=10.5x+1.5，則m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．907．（5分）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）．若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，78．（5分）執行如圖的程序框圖，則輸出的結果是（）A．﹣1 B． C．2 D．19．（5分）若在區間[0，2]中隨機地取兩個數，則這兩個數中較小的數大于的概率是（）A． B． C． D．10．（5分）設命題p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命題q：lg（2x﹣1）≤1，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．（5分）已知F1，F2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是以F1F為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF1F2=2∠PF2F1，則這個橢圓的離心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．12．（5分）設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A、B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|=2，則△BCF與△ACF的面積之比=（）A． B． C． D．二、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若雙曲線的焦距為8，點在其漸近線上，則C的方程為．14．（5分）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線D1E和A1F所成角的余弦值等于．15．（5分）從雙曲線﹣=1的左焦點F1引圓x2+y2=16的切線，切點為T，延長F1T交雙曲線右支于P點，設M為線段F1P的中點，O為原點坐標，則|MO|﹣|MT|=．16．（5分）下列說法正確的有①函數f（x）=4cos（2x+）的一個對稱中心為（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中點，則=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要條件；④定義min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，則f（x）的最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）令cn=log3a2n，bn=，記數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．18．（12分）“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛人員血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q＞80時，為醉酒駕車．某市交通管理部門于某天晚上8點至11點設點進行一次攔查行動，共依法查出60名飲酒后違法駕駛機動車者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測后所得結果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數計入120≤Q＜140人數之內）．（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數；（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取2人，求兩人中恰有1人醉酒駕車的概率．19．（12分）△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面積的最大值．20．（12分）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；（2）求四棱錐F﹣ABCD的體積．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值．（2）求B點到平面PCD的距離．（3）線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．22．（12分）如圖，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設圓T與橢圓C交于點M與點N．（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時圓T的方程；（3）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|?|OS|為定值．

2017-2018學年大慶高二（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大包括12小題，每小題5分，共60分．每小題只有一個選項符合題目要求）1．（5分）某學校有男、女學生各500名，為了解男、女學生在學習興趣與業余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統抽樣法 D．分層抽樣法【解答】解：總體由男生和女生組成，比例為500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．故擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是分層抽樣法．故選：D．2．（5分）把38化為二進制數為（）A．100110（2） B．101010（2） C．110010（2） D．110100（2）【解答】解：38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38（10）=100110（2）故選：A．3．（5分）若直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量為，則（）A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．A、C都有可能【解答】解：∵直線l的一個方向向量，平面α的一個法向量為，則=2，∴l⊥α．故選：B．4．（5分）已知空間向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣與垂直，則||等于（）A． B． C． D．【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），∴2﹣=（4，2n﹣1，2），∵2﹣與垂直，∴（2﹣）?=0，∴﹣8+2n﹣1+4=0，解得，n=，∴=（1，，2）∴||==．故選：B．5．（5分）已知p：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：?x0∈N，；則下列選項中是假命題的為（）A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）【解答】解：對于m命題p：方程x2﹣mx﹣1=0，則△=m2+4＞0，因此：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命題p是真命題．對于命題q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命題．∴下列選項中是假命題的為p∧（￢q），故選：B．6．（5分）對具有線性相關關系的兩個變量x和y，測得一組數據如下表所示：x24568y20406070m根據上表，利用最小二乘法得到他們的回歸直線方程為y=10.5x+1.5，則m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．90【解答】解：∵=5，回歸直線方程為y=10.5x+1.5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故選：B．7．（5分）如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）．若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（）A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7【解答】解：由已知中甲組數據的中位數為65，故乙組數據的中位數也為65，即y=5，則乙組數據的平均數為：66，故x=3，故選：A．8．（5分）執行如圖的程序框圖，則輸出的結果是（）A．﹣1 B． C．2 D．1【解答】解：模擬程序的運行，可得a=2，i=1執行循環體，可得a=﹣1，i=2不滿足條件i≥6，執行循環體，a=，i=3不滿足條件i≥6，執行循環體，a=2，i=4不滿足條件i≥6，執行循環體，a=﹣1，i=5不滿足條件i≥6，執行循環體，a=，i=6滿足條件i≥6，退出循環，輸出a的值為．故選：B．9．（5分）若在區間[0，2]中隨機地取兩個數，則這兩個數中較小的數大于的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在區間[0，2]中隨機地取一個數，這兩個數中較小的數大于的概率為=，故選：C．10．（5分）設命題p：x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0，命題q：lg（2x﹣1）≤1，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0，得[x﹣（a+1）]（x﹣a）＜0，即a＜x＜a+1，即p：a＜x＜a+1，由lg（2x﹣1）≤1，得0＜2x﹣1≤10，解得：＜x≤，若p是q的充分不必要條件，則，解得：≤a≤，故選：A．11．（5分）已知F1，F2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P是以F1F為直徑的圓與該橢圓的一個交點，且∠PF1F2=2∠PF2F1，則這個橢圓的離心率是（）A．﹣1 B．2﹣ C． D．【解答】解：∵P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個交點，∴△PF1F2為直角三角形，且∠P=90°，∵∠PF1F2=2∠PF2F1，∴∠PF1F2=60°，F1F2=2c，∴PF1=c，PF2=c，由橢圓的定義知，PF1+PF2=c+c=2a，即==﹣1∴離心率為﹣1．故選：A12．（5分）設拋物線y2=2x的焦點為F，過點M（，0）的直線與拋物線相交于A、B兩點，與拋物線的準線相交于點C，|BF|=2，則△BCF與△ACF的面積之比=（）A． B． C． D．【解答】解：如圖過B作準線l：x=﹣的垂線，垂足分別為A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物線定義==．由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得yA=2，xA=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故選A．二、填空題（本題包括4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若雙曲線的焦距為8，點在其漸近線上，則C的方程為．【解答】解：根據題意，雙曲線的焦距為8，即2c=8，則c=4，若點在其漸近線上，則雙曲線的一條漸近線方程為y=x，又由雙曲線的方程為，則有=，又由c=4，則a2+b2=c2=16，解可得a2=4，b2=12，則雙曲線的方程為：故答案為：14．（5分）如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線D1E和A1F所成角的余弦值等于．【解答】解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2．則A1（2，0，2），F）1，0，0），D1（0，0，2），E（0，2，1）則，，==，∴異面直線D1E和A1F所成角的余弦值等于，故答案為：．15．（5分）從雙曲線﹣=1的左焦點F1引圓x2+y2=16的切線，切點為T，延長F1T交雙曲線右支于P點，設M為線段F1P的中點，O為原點坐標，則|MO|﹣|MT|=1．【解答】解：設F'是雙曲線的右焦點，連接PF'．∵M、O分別為FP、FF'的中點，∴|MO|=|PF'|．|FT|==5，由雙曲線定義得，|PF|﹣|PF'|=8，故|MO|﹣|MT|=|PF'|﹣|MF|+|FT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=﹣4+5=1．故答案為：1．16．（5分）下列說法正確的有①②③④①函數f（x）=4cos（2x+）的一個對稱中心為（﹣，0）；②在△ABC中，AB=1，AC=3，D是BC的中點，則=4；③在△ABC中，A＜B是cos2A＞cos2B的充要條件；④定義min{a，b}=，已知f（x）=min{sinx，cosx}，則f（x）的最大值為．【解答】解：對于①，∵，∴函數f（x）=4cos（2x+）的一個對稱中心為（﹣，0），故正確；對于②，∵===4，故正確；對于③，在△ABC中，A＜B?0＜sinA＜sinB?1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B?cos2A＞cos2B，反之也成立，故正確；對于④，∵f（x）=min{sinx，cosx}=，則f（x）的最大值為，故正確．故答案為：①②③④三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．（1）求數列{an}的通項公式；（2）令cn=log3a2n，bn=，記數列{bn}的前n項和為Tn，求Tn．【解答】解：（1）∵an+1=2Sn+1，n∈N?，n≥2時，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．n=1時，a2=2a1+1=3=3a1，滿足上式．∴數列{an}是等比數列，∴an=3n﹣1．…．（6分）（2）c=log3a2n==2n﹣1．bn===（），數列{bn}的前n項和Tn=+…++]=（1+）…（12分）18．（12分）“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛人員血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q＞80時，為醉酒駕車．某市交通管理部門于某天晚上8點至11點設點進行一次攔查行動，共依法查出60名飲酒后違法駕駛機動車者，如圖為這60名駕駛員抽血檢測后所得結果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數計入120≤Q＜140人數之內）．（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數；（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取2人，求兩人中恰有1人醉酒駕車的概率．【解答】解：（1）由已知得，（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車的人數為15人．（2）利用分層抽樣抽取8人中含有醉酒駕車者為2人，酒后駕車6人，從8人中抽取2人，恰有1人為醉酒駕車為事件A，則基本事件總數為：n==28事件A包含的基本事件數為：m==12，所以兩人中恰有1人醉酒駕車的概率P（A）=．19．（12分）△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知．（1）求∠B的大小；（2）若，且，求△ABC面積的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理==，，因為sinC≠0，所以，又因為0＜B＜π，所以．（2）考慮△BMC，由余弦定理CM2=BM2+BC2﹣2BM?BC?cosB，即，，當且僅當BM=BC時等號成立，所以．20．（12分）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；（2）求四棱錐F﹣ABCD的體積．【解答】（1）證明：設DF的中點為N，則，又，∴，∴MNAO為平行四邊形∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF．（2）解：過點F作FG⊥AB于G，∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高，∴，∴S△BCD=2，∴．21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O為AD中點．（1）求直線PB與平面POC所成角的余弦值．（2）求B點到平面PCD的距離．（3）線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）在△PAD中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD，又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，易得OC⊥AD；所以以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系．則P（0，0，1），A（0，﹣1，0），B（1，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；所以，易證：OA⊥平面POC，所以，平面POC的法向量，所以PB與平面POC所成角的余弦值為…．（4分）（2），設平面PDC的法向量為，則，取z=1得B點到平面PCD的距離…．（8分）（3）假設存在，則設=λ（0＜λ＜1）因為=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．設平面CAQ的法向量為=（a，b，c），則，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因為二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）22．（12分）如圖，已知橢圓C：