全章復習（3個考點+4個易錯+10個技巧總結）浙教版（2024）七年級數學上冊第一章有理數目錄/CONTENTS易錯易混考點梳理知識導圖技巧總結知識導圖考點一：有理數的概念及分類

A.1個B.2個C.3個D.4個C考點梳理2.

[2024·杭州上城區月考]下列說法正確的是(

D

)A.

整數分為正整數和負整數B.

正分數、負分數統稱有理數C.

零既可以是正整數，也可以是負整數D.

所有的分數都是有理數D3.

[立德樹人·深海科技]近年來，我國科技工作者踐行“科技強國”使命，不斷取得世界級的科技成果.如由我國研制的中國首臺作業型全海深自主遙控潛水器“海斗一號”，最大下潛深度10

907米，填補了中國水下萬米作業型無人潛水器的空白；由我國自主研發的極目一號Ⅲ型浮空艇升空高度至海拔9

050米，創造了浮空艇原位大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄.如果把海平面以上9

050米記作“＋9

050米”，那么海平面以下10

907米記作

?

?.－10

907米

10，＋66，2

019

0

考點二：數軸、相反數、絕對值的相關問題5.

下列各對數中，互為相反數的是(

D

)A.

－(－2)和2B.

＋(－3)和－(＋3)C.

和－2D.

－5和｜－5｜D6.

下列說法正確的有(

C

)①a的相反數是－a；②所有的有理數都能用數軸上的點表示；③－1的絕對值等于它的相反數.A.1個B.2個C.3個D.0個C7.

數軸上將一個點從點A處先向左移動2個單位長度，再向右移動5個單位長度，到達點B，若點B表示的數是1，則點A表示的數是(

D

)A.4B.3C.

－3D.

－2D8.

如圖，已知紙面上有一數軸，折疊紙面，使表示－3的點與表示1的點重合，則與表示－5的點重合的點表示的數是(

A

)A.3B.4C.5D.

－1A9.

[立德樹人·低碳環保]近幾年，全球的新能源汽車發展迅猛，尤其對于我國來說，新能源汽車產銷量都大幅度增加.小明家新換了一輛新能源純電汽車，他連續7天記錄了每天行駛的路程(如下表).以40

km為標準，多于40

km的記為正數，不足40

km的記為負數.第一

天第二

天第三

天第四

天第五

天第六

天第七

天路程/km－6－5＋8＋2－5＋11＋15(1)請求出小明家的新能源純電汽車這7天一共行駛了多少千米.【解】由題意，得這7天行駛路程分別為(單位：km)：34，35，48，42，35，51，55.34＋35＋48＋42＋35＋51＋55＝300(km).答：小明家的新能源純電汽車這7天一共行駛了300

km.(2)已知小明家原來的汽油車每行駛100

km需用汽油5.5升，汽油價為8.2元/升，而新換的新能源純電汽車每行駛100

km耗電量為15度，每度電為0.56元，小明家換成新能源純電汽車后這7天的行駛費用比原來節省多少錢？

答：小明家換成新能源純電汽車后這7天的行駛費用比原來節省110.1元.10.

已知a是最小的正整數，b是－7的相反數，c＝－｜－2｜，且a，b，c的對應點分別是A，B，C.

(1)a＝

，b＝

，c＝

?.(2)數軸上A和B兩點之間的距離是

，B和C兩點之間的距離是

?.(3)如果表示數m的點和點A之間的距離是3，那么m＝

?.1

7

－2

6

9

－2或4

(4)若數軸上表示數n的點位于A與C之間，求｜n－(－2)｜＋｜n－1｜的值.【解】因為｜n－(－2)｜＋｜n－1｜可以理解為表示n的點到表示－2的點和表示1的點的距離之和，－2＜n＜1，所以｜n－(－2)｜＋｜n－1｜＝2＋1＝3.考點三：有理數的大小比較11.

下列有理數的大小關系正確的是(

D

)A.

－1＞－0.01B.0＞｜－10｜DC.

｜－3｜＜｜＋3｜D.

－

＞－

【解】－｜3.5｜＝－3.5，如圖，

13.

[2023·杭州拱墅區月考]已知有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖，0表示原點.(1)請在數軸上表示出數－a，－b對應的點的位置；【解】在數軸上表示出數－a，－b對應的點的位置如圖所示：(2)請按從小到大的順序排列a，－a，－b，b，－1，0的大小.【解】a＜－b＜－1＜0＜b＜－a.14.

[新考法·分類討論法]我們已經學過：當a≥0時，｜a｜＝a；當a＜0時，｜a｜＝－a，這種分析方法體現了數學中常用的分類討論思想，請解答下列問題：(1)比較大小：｜－7｜

7，｜3｜

－3(填“＞”“＜”或“＝”)；＝

＞

(2)請仿照上述分類討論的方法，分析｜a｜與－a的大小關系.【解】當a＞0時，｜a｜＝a＞－a，當a＝0時，｜a｜＝－a＝0，當a＜0時，｜a｜＝－a.易錯點一對有理數的相關概念理解有誤而出錯例1.下列說法正確的是（

）A.正數和負數統稱為有理數B.符號不同的兩個數互為相反數C.絕對值等于本身的數只有正數D.互為倒數的兩個數的乘積等于1錯解剖析：對有理數的相關概念的辨析：1.要扣住關鍵詞，例如相反數的概念中“只有”兩字是關鍵詞，不能少，故B選項錯誤；2.要扣住關鍵數，例如關鍵數0，在很多概念中不能少，故C選項錯誤.D易錯易混易錯點二

數的正負性不確定而漏解例2.已知|a|=12，|b|=7，則a+b=

.正解：因為|a|=12，所以a=12或a=-12.因為|b|=7，所以b=7或b=-7.當a=12，b=7時，a+b=19；當a=-12，b=-7時，a+b=-19；當a=12，b=-7時，a+b=5；當a=-12，b=7時，a+b=-5.故答案為19，-19，5或-5.錯解剖析：由于a，b兩個數的正負性不確定，所以已知a，b的絕對值確定a，b時，要分別就a，b是正數或負數進行討論.易錯點三

數軸上點的位置不確定而漏解例3.在數軸上與表示-3的點相距10個單位長度的點表示的數是

.正解：當與-3相距10個單位長度的點在-3的右側時，-3+10=7；當與-3相距10個單位長度的點在-3的左側時，-3-10=-13.故答案為7或-13.錯解剖析：在數軸上與-3相距10個單位長度的點有可能在-3的右側也有可能在-3的左側.由于點的位置不確定，所以應分兩種情況考慮.易錯點四

數軸上點的位置不確定而漏解例4.某出租車上午從停車場出發，沿東西方向的大街行駛，到下午6時，行駛記錄如下（規定向東記為正，向西記為負，單位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽車每千米耗油0.06L，則從停車場出發開始到下午6時，出租車共耗油多少升？正解：（2）|+10|+|-3|+|+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7=66（km），66×0.06=3.96（L）即從停車場出發開始到下午6時，出租車共耗油3.96L.錯解剖析:出租車的總里程與運動的方向無關，而記錄的數據中"+”和"-”就表示運動的方向題型一：利用數軸比較大小【例1】有理數a，b，c，d在數軸上對應的點的位置如圖所示，下列結論正確的是(

B

)BA.

a＞0B.

｜b｜＝｜c｜C.

a＜－dD.

a＞c技巧總結技巧總結：利用數軸比較大小時，通過數形結合的方式，觀察有理數對應的點在數軸上的位置，確定有理數a，b，c，d的大小關系，再判斷各選項是否正確.【變式1】有理數a、b在數軸上對應的點的位置如圖所示，則a、－a、｜b｜的大小關系為(

B

)A.

－a＜a＜｜b｜B.

a＜－a＜｜b｜C.

｜b｜＜a＜－aD.

a＜｜b｜＜－aB題型二:利用數軸求點表示的數【例2】在數軸上，點A表示的數為－2，則到點A的距離等于4個單位長度的點所表示的數為(

C

)CA.2B.

－6C.2或－6D.

－4或4技巧總結：已知一個點的位置和兩個點之間的距離時，另一個點的位置可能在該點的左邊，也可能在該點的右邊，需分類討論.【變式2】如圖，在數軸上有三個點A，B，C，請回答下列問題：(1)將點B向左移動4個單位長度后，哪個字母所表示的數最小？是多少？【解】移動后，點B表示的數為－6，因為－6＜－3＜2，所以點B表示的數最小，是－6.(2)將點C向左移動6個單位長度后，這時點B表示的數比點C表示的數大多少？【解】移動后，點C表示的數為－4，所以點B表示的數比點C表示的數大2.(3)怎樣移動A，B，C中的兩個點才能使三個點表示的數相同？有幾種移法？【解】有三種移法：①點A向右移動1個單位長度，點C向左移動4個單位長度；②點A向右移動5個單位長度，點B向右移動4個單位長度；③點B向左移動1個單位長度，點C向左移動5個單位長度.題型三：

絕對值與相反數的綜合應用【例3】已知｜a－6｜＋｜b－3｜＝0，x的相反數為－3，求3x＋a＋2b的值.【解】因為｜a－6｜＋｜b－3｜＝0，且｜a－6｜≥0，｜b－3｜≥0，所以a－6＝0，b－3＝0，解得a＝6，b＝3.

因為x的相反數為－3，所以x＝3.

所以3x＋a＋2b＝3×3＋6＋2×3＝9＋6＋6＝21.技巧總結：利用絕對值的非負性和相反數的概念進行解答.【變式3】已知｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0.(1)求a與b的值；【解】因為｜a－3｜＋｜2b－4｜＝0.所以a－3＝0，2b－4＝0，解得a＝3，b＝2.(2)若｜x｜＝2a＋4b，求x的相反數.【解】因為a＝3，b＝2，所以｜x｜＝2a＋4b＝2×3＋4×2＝14.所以x＝±14.當x＝14時，x的相反數為－14；當x＝－14時，x的相反數為14.題型四：利用絕對值解決實際問題【例4】正式足球比賽所用足球的質量有嚴格的規定.下面是6個足球的質量檢測結果(用正數記超過規定質量的克數，用負數記不足規定質量的克數.單位：g)：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.請指出哪個足球的質量最好，并用絕對值知識進行說明.【解】質量檢測結果是＋10

g的足球質量最好.因為｜－25｜＝25，｜＋10｜＝10，｜－20｜＝20，｜＋30｜＝30，｜＋15｜＝15，｜－40｜＝40，且10＜15＜20＜25＜30＜40

，所以｜＋10｜＜｜＋15｜＜｜－20｜＜｜－25｜＜｜＋30｜＜｜－40｜.所以質量檢測結果是＋10

g的足球質量最好.技巧總結：本題用絕對值的大小表示足球質量與規定質量的接近程度.由絕對值的幾何意義可知，一個數的絕對值越小，距離原點越近.在這個實際問題中，絕對值越小表示足球質量與規定質量的偏差越小.【變式4】[情境題

生活應用]某汽車配件廠生產一批圓形的橡膠墊，從中抽取6件進行檢驗，比標準直徑長的毫米數記作正數，比標準直徑短的毫米數記作負數，檢查記錄如下：編號123456直徑/mm＋0.5－0.3＋0.10－0.1＋0.2(1)找出哪件橡膠墊的質量最好，怎樣用學過的絕對值知識來說明這件橡膠墊的質量最好？【解】編號為4的橡膠墊的質量最好.因為｜＋0.5｜＝0.5，｜－0.3｜＝0.3，｜＋0.1｜＝0.1，｜0｜＝0，｜－0.1｜＝0.1，｜＋0.2｜＝0.2.且0＜0.1＝0.1＜0.2＜0.3＜0.5，所以｜0｜＜｜＋0.1｜＝｜－0.1｜＜｜＋0.2｜＜｜－0.3｜＜｜＋0.5｜.所以編號為4的橡膠墊的質量最好.(2)如果規定與標準直徑相差不大于0.2

mm的為合格產品，那么6件產品中有幾件不合格產品？【解】因為｜＋0.5｜＝0.5＞0.2，｜－0.3｜＝0.3＞0.2，｜＋0.1｜＝0.1＜0.2，｜0｜＝0＜0.2，｜－0.1｜＝0.1＜0.2，｜＋0.2｜＝0.2，所以有2件不合格產品.題型五：

湊數法【例5】閱讀下面的解題過程并解決問題.

加法交換律和加法結合律

技巧總結：將相加可得整數的數湊整計算，將相加得零的數(如互為相反數)結合計算.

題型六:巧用運算律

【變式6】計算：(1)(－999)×12；【解】原式＝(1－1

000)×12＝1×12－1

000×12＝12－12