第一章函數(shù)、極限與連續(xù)PARTFIVE第五節(jié)

極限運(yùn)算法則學(xué)習(xí)目標(biāo)：4.

掌握極限的四則運(yùn)算法則.1.了解函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則.2.了解數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則.3.了解復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則.極限的四則運(yùn)算法則

定理1如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么

（1）lim[f(x)

g(x)]存在，且lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．

（2）lim[f(x)·g(x)]存在，且

lim[f(x)·g(x)]=A·B=limf(x)·limg(x)．證明定理(1)的證明：

因?yàn)閘imf(x)=A，limg(x)=B，由第3節(jié)定理1有f(x)=A+a，g(x)=B+b，其中a及b

為無窮小．

于是f(x)

g(x)=(A+a)

(B+b)=(A

B)+(a

b)由本節(jié)定理1，得a

b是無窮小．再由第三節(jié)定理1，得lim[f(x)

g(x)]=A

B=limf(x)

limg(x)．

定理（1）可推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，例如，如果limf(x)，limg(x)，limh(x)都存在，則由定理（1）有l(wèi)im[f(x)+g(x)-h(x)]=lim{f(x)+[g(x)-h(x)]}=limf(x)+lim[g(x)-h(x)]=limf(x)+limg(x)-limh(x)．定理（1）的推廣：

推論1

如果limf(x)存在，而c

為常數(shù)，則lim[c

f(x)]=climf(x)．推論2

如果limf(x)存在，而n

是正整數(shù)，則lim[f(x)]n

=[limf(x)]n．定理（2）

的推論：數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：

定理2

設(shè)有數(shù)列{xn

}和{yn

}．如果

定理3

如果j(x)

f(x)，而limj(x)=a，limf(x)=b，那么a

b．那么求極限舉例：x趨向于有限值的情形x趨向于無窮大的情形

解：

1．=2·1

1解：討論：當(dāng)x?x0時(shí)，多項(xiàng)式的極限有理分式的極限當(dāng)x?x0時(shí)，多項(xiàng)式的極限有理分式的極限：

解：所以由第4節(jié)定理2得

0，觀察：

設(shè)多項(xiàng)式P(x)

a0

xn

a1

xn

1

···

an

，則

a0

x0n

a1

x0n

1

···

an

P(x0)．設(shè)Q(x)也是多項(xiàng)式，，當(dāng)Q(x0)

0時(shí)

，當(dāng)P(x0)

0，Q(x0)

0時(shí)，=x0lim

?xP(x)=x0lim

?x(a0

xn

+a1

xn-1+···+

an)=a0(x0lim

?xx)n

+a1(x0lim

?xx)n-1+···+x0lim

?xan于是x0lim

?xQ(x)=Q(x0)，先約去公因子，再取極限

先用x3去除分子及分母,然后取極限:解：結(jié)論：

當(dāng)a00、b00，

m和n為非負(fù)整數(shù)時(shí)．a(chǎn)0b0，當(dāng)n