2023-2024學年北師大版數學九年級上冊第一章特殊平行四邊形微專題——含輔助線壓軸證明題1．已知在菱形ABCD中，∠ABC=60°，連接對角線

(1)如圖1，E為AD邊上一點，F為DC邊延長線上一點，且AE=CF，連接AF，BE交于點①求證：BE=②過點C作CH⊥BE，垂足為H，求證：(2)如圖2，已知AB=4，將△ACD沿射線AC平移，得到△A'C'D2．如圖1，正方形ABCD中，AC是對角線，等腰RtΔCMN中，∠CMN=90°，CM=MN，點M在CD邊上，連接AN，點E是(1)若CM=2，AB=6，求(2)求證：2BE(3)當等腰RtΔCMN的點M落在正方形ABCD的BC邊上，如圖2，連接AN，點E是AN的中點，連接BE，延長NM交AC于點F．請探究線段BE、AC、CN的數量關系，并證明你的結論．3．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，F是經過點B且與AC平行的直線上一點，且∠BAF=∠ADB，點E在線段OD上，且滿足AE(1)若∠BAF=35°，求(2)若BF=2OE，求證：4．正方形ABCD中，點E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE與BF交于點(1)如圖1，求證△ABE(2)如圖2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分線交CD于點H，交BF于點N，連接CN，求證：①△AGN5．如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，點E是邊AD的中點，點F是線段AE上一點（點F不與點A，E重合），連接BF，過點F作直線BF的垂線，與線段CE交于點G，連接BG，點H是線段BG的中點．(1)若CE=22，求矩形ABCD的面積；(2)求證：BF=2EH.6．在正方形ABCD中，連接對角線AC，在AC上截取AE=BC，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，延長AF交(1)如圖1，連接ME并延長交AD的延長線于點Q，若BC=5，求△(2)如圖2，過點A作AP⊥AM于點A，交CD的延長線于點P，求證：7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在AB的延長線上，連接EC，EC繞點E逆時針旋轉90°得到EF，連接CF、AF，CF與對角線BD交于點(1)若BE=2，求AF(2)求證：AF+28．已知，在正方形ABCD中，點E，F分別為AD上的兩點，連接BE、CF，并延長交于點G，連接DG，H為CF上一點，連接BH、DH，∠(1)如圖1，若H為CF的中點，且AF=2DF，DH=(2)如圖2，若BH=BC，過點B作BI⊥CH于點(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點A、D）上一動點，連接CP，過點B作BQ⊥CP于點Q，將△BCQ沿BC翻折得△BCM，N為直線AB上一動點，連接MN，當9．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E為對角線BD上一動點，連接(1)如圖1，點F為DE的中點，連接AF，若BE=AE，求(2)如圖2，△BEM是等邊三角形，連接DM，H為DM的中點，連接AH，猜想線段AH與AE(3)在（2）的條件下，N為AD的中點，連接AM，以AM為邊作等邊△AMP，連接PN，若AD=2310．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊AB上，連接ED，過點D作FD⊥DE與BC的延長線相交于點F，連接EF與邊CD相交于點G、與對角線BD相交于點H．(1)若BD＝BF，求BE的長；(2)若∠2＝2∠1，求證：HF＝HE＋HD．11．如圖，在矩形ABCD中，E是BC上一動點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內部，延長AF交CD于點G，AB＝3，AD＝4．(1)如圖1，當∠DAG＝30°時，求BE的長；(2)如圖2，當點E是BC的中點時，求線段GC的長；(3)如圖3，點E在運動過程中，當△CFE的周長最小時，直接寫出BE的長．12．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，DE⊥AB于點E，點F為線段BC上的動點，H為線段DF（1）如圖1，當DF⊥BC時，求（2）如圖2，作FG//DE交AC于點G，H為DF的中點，連接HG，HB，BG．猜想線段HG與（3）在點F的運動過程中，當HB+HC+13．在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，將過點A的直線l繞點A旋轉，交射線CD于點E，BF⊥l于點F，DG⊥l于點G，連接OF，OG（1）如圖①當點E與點C重合時，請直接寫出線段OF、OG的數量關系；（2）如圖②，當點E在線段CD上時，OF與OG有什么數量關系？請說明你的結論；（3）如圖③，當點E在線段CD的延長線上時，OF與OG有什么數量關系？請說明你的結論．14．如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．（1）如圖1，探究PG與PC的位置關系，寫出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若PG=PC，BE=2（3）如圖2，將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，若∠ABC=∠BEF=60°，請直接寫出15．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，點E為AB上一動點，DE與AC相交于點G，CH⊥DE，垂足為H，CH的延長線與AB相交于點F，點P在邊AB上（1）若DG=10，AG=1，求AB的長（2）求證DG=CF+FG（3