2023.2024學年七年級數學下冊舉一反三系列專題2.2實數全章六類

必考壓軸題

【人教版】

必考點11算術平方根的雙重非負性

1.若有理數x,y滿足y=W-3+-％+1,則％+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

2.當x等于（）時，一3-淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

3.在實數范圍內，代數式|"一（%+5/-2|-3|的值為（）

A.IB.2

C.3D.以上答案都不時

4.已知a、b、c滿足+b-4+|a-c+2|=7b-C-b,則a+b+c的平方根為

5.若|2021-a|+Va-2025=G,則a-202"的值為.

6.若72x—6+\y-12|=0,求，^的平方根是.

7.已知實數“、b、c滿足Vb-4+|a+1|=7b-c+&-b

（1）求證：b=c；

（2）求一a+h+c的平方根.

必考點2無理數的估算

1.已知43?=1849,44?=1936,452=2025,462=2116.若九為整數且r?<V2021<n+1,則n的值為（

A.43B.44C.45D.46

2.若無理數%="+6，則估計無理數x的范圍正確的是（）

A.2Vx<3B.3<x<4C.4<x<5D.5Vx<6

3.已知〃?是整數，當|〃L標|取最小值時，小的值為（）

A.5B.6C.7D.8

4.3表示不大于k的最大整數，如［3.151=3,［-2.7］=-3,⑷=4,則模迎反串泮變藥碼的值為

（）

A.1011B.2021C.2022D.1012

5.對于實數a,我們規定，用符號［口］表示不大于傷的最大整數，稱［6］為Q的根整數，例如：［圾］=3,

［x/10］=3.我們可以對一個數連續求根整數，如對5連續兩次求根整數：［遍］=2t［或］=1.若對%連續

求兩次根整數后的結果為1,則滿足條件的整數”的最大值為（）

A.5B.10C.15D.16

6.我們在初中已經學會了估算后的值，現在用即表示距離返最近的正整數.（〃為正整數）比如：的表示

距離”最近的正整數，.??%=1；。2表示距離四最近的正整數，???。2=1；%表示距離K最近的正整數，

/.a3=2……利用這些發現得到以下結論：

①de=2；②a”=2時，〃的值有3個；③%—出+—+。9一。1（）=0；a4--a+???H——=20；⑤當

l2alO0

工+2+-+2=100時，〃的值為2550.

ala2an

五個結論中正確的結論有（）個.

A.2B.3C.4D.5

7.若整數“滿足3+幗4%工病+2,則%的值是.

8.對于任何實數〃，可用［Q］表示不超過。的最大整數，如［4］=4,［V5］=l.現對72進行如下操作：72

第一次|夕2|=8笫二次|我|=2第三次|或|=1,類似地，只需.進行3次操作后變為I的所有壬整數中，最

大的是.

必考點3N探究平方根和立方根的規律

1.如卜.表，被開方數〃和它的算術平方根a的小數點位置移動符合一定的規律，根據規律可得機，〃的值

分別為（）

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

a0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n?7.91B.m=2.5,n=7.91C.m?7.91,n=2.5D.m=2.5,n?0.791

2.觀察被開方數。的小數點與立方根窗的小數點的移動規律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知證*1.817,貝1J恂而、

3.我們知道，平方數的開平方運算可以直接求得，如C等，有些數則不能直接求得，如石，但可以通過計

算器求得.還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請你觀察下表：

a???0.04440040000???

而???X2yZ,..

(1)表格中的三個值分別為：x=：y=；z=；

(2)用公式表示這一規律：當1=4x100〃(〃為整數)時，，傘=；

(3)利用這一規律，解決下面的問題：

已知低雙42.358,則①dO.O556P:②A/55600P.

4.為了進一步研究算術平方根的特點，閆老師用計算器計算出了一些數的算術平方根，并將結果填在了下

表中.

(1)請你幫助閆老師將表格內容補充完整；

表1.

第1組第2組笫3組第4組第5組第6組第7組

..x/0.01VD?TVT國V100VioooV10000..

..0.10.316—3.16—31.6—..

(2)請你仿照表1中的規律，將表2補充完整.

表2.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組

..V03百V30V300V3000..

..0.17320.5477—5.477——..

(3)通過表1和表2,你能發現什么規律？請用文字或符號概括你的發現.

(提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數和結果，再觀察第2組、

第4組、第6組中的被開方數和結果).

5.求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如機，有些數則不能直接求得，如V5,但可以通過計

算器求.還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請同學們觀察下表：

n160.160.00161600160000??.

4X0.04y400???

(1)表格中x=；1y=；

(2)從表格中探究〃與迎數位的規律，并利用這個規律解決下面兩個問題:

①已知7^=1,435,則兩人；

②已知,3.3489=1.83,若近=0.183,則x=.

6.【初步感知】

⑴直接寫出計算結果.

①舊=;

②+23=;

③+23+33=;

?V13+24+33+43=

【深入探究】觀察下列等式.

①1+2=。+產

②1+2+3=”戶

③1+2+3+4=生詈：

@l+2+3+4+5=^|^；

根據以上等式的規律，在下列橫線上填寫適當內容.

/c\(1+2022)x2022

(2)=-----------；

(3)1+2+3+…+7i+(ri+1)=?

【拓展應用】計算：

(4)〃3+23+33+…+993+1003.

(5)113+123+133+…+193+203.

7.數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上自道智力題：求59319的立方根，

華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙.你知道怎樣迅速地求出計算結果嗎？請你按

下面的步驟試一試.

第一步：VV1000=10,71000000=100,且lOOOV59319VlOOOOOO

/.10<V59319<100,即59319的立方根是一個兩位數.

第二步：??,59319的個位數字是9,而93=729.

:.能確定短頁詞的個位數字是9.

第三步：如果劃除59319后面的三位數，得到數59,而27V59V64.

V27<V59<鬧，可得30<V59319<40.

???59319的立方根的十位數字是3.

???59319的立方根是39.

根據上面的材料解答卜面的問題：

(1)填空：1728的立方根是一個_____位數，其個位數字是；

(2)仿照上面的方法求157464的立方根”，并驗證。是157464的立方根.

8.求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如〃，有些數則不能直接求得，如但可以通過計

算器求.還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請同學們觀察下表：

n160.160.00161600160000???

40.40.0440400?,.

(I)表中所給的信息中，你能發現什么規律？(請將規律用文字表達出來)

(2)運用你發現的規律，探究下列問題：已知之心麗亡1.435,求下列各數的算術平方根:

?V0.0206?；@V206?；

(3)根據上述探究過程類比研究一個數的立方根已知返?1.260,則惱而?.

必考點4利用“夾逼法"求整數部分和小數部分

1.對于任意實數%,%均能寫成其整數部分兇與小數部分{燈的和，其中[刈稱為％的整數部分，表示不超過工

的最大整數，{燈稱為》的小數部分，即x=[X]+{4}.比如1.7=[1.7]+{1.7}=1+0.7,[1.7]=1.{1.7]=0.7,

-1.7=[-1,7]+{-1.7]=-2+0.3,[-1.7]=-2,{-1.7}=0.3,則下列結論正確的有()

①{一?=《②04{x}<1；③若{%-2}=0.3,則％=2.3；@{x}+{y}={x+y)+1對一切實數％、y均成

?J

立；⑤方程{x}+g}=1無解.

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.我們知道b是無理數，而無理數是無限不循環小數，它的小數部分我們不可能全部地寫出來，但是由于

1<V3<2,所以百的整數部分為1,小數部分為V5-1.根據以上的內容，解答下面的問題：若夕的小

數部分為m相的整數部分為b,則a+b-近的值是.

3.觀察：因為標V時<M，耳2c遍<3,所以V5的整數部分為2,小數部分為—2.

請你觀察上述規律后解決下面的問題：

(1)規定用符號[m]表示實數m的整數部分，例如：用=0,[伺=2.按此規定，那么[同+1]的值為

(2)若VH的整數部分為a,小數部分為4|c|="T,求。(。--6)+12的值.

4.如圖，每個小正方形的邊長均為L

(1)圖中陰影部分的面積是;陰影部分正方形的邊長Q是

(2)估計邊長a的值在兩個相鄰整數與之間.

(3)我們知道兀是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此兀的小數部分我們不可能全部寫出*,我們可以

用3來表示它的整數部分，用6-3)表示它的小數部分.設邊長a的整數部分為％,小數部分為y,求(x-y)

的相反數.

5.閱讀材料：實數的整數部分與小數部分由于實數的小數部分一定要為正數，所以正、負實數的整數部分

與小數部分確定方法存在區別：

①對于正實數，如實數9.23,在整數9?10之間，則整數部分為9,小數部分為9.23-9=0.23.

②對于負實數，如實數一9.23,在整數一10--9之間，則整數部分為一10,小數部分為-9.23-(-10)=0.77.

依照上面規定解決下面問題：

(1)已知近的整數部分為a,小數部分為人求a、b的值.

(2)若x、y分別是10-g的整數部分與小數部分，求3。+后)的值.

(3)設％=而+1,a是x的小數部分，b是-x的小數部分，求(a+8)2的值.

6.先閱讀下面材料，再解答問題：

材料：任意一個有理數與無理數的和為無理數，任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數，而

零與無理數的積為零.由此可得：若a+b標=0,其中小。為有理數，標是無理數，貝必=0,匕=0.

證明：???Q+b標=0,a為有理數

.3A/沅是有理數

?.Z為有理數，布是無理數

工匕=0

.*.a+Ox/m=0

.*.a=0

(1)若a+b6=3+6，其中a、〃為有理數，請猜想a=,b=,并根據以上材料證明

你的猜想；

⑵已知41的整數部分為a,小數部分為4且4,y為有理數，My,a,》滿足lly+E(y-6Tx)=(b+

2)VTT+a，n,求工,)，的值.

7.下面是小李同學探索5而的近似數的過程：

;面積為107的正方形邊長是同7,且10<V而<11

工設/而=10+工，其中0<x<l,畫出如圖示意圖，

;圖中S近女=102+2x10?x+VS正方行107

???1。2+2x10十107

當『較小時，省略/，得20￥+100之107,得到x=0.35,即10.35.

(1)、/兀的整數部分是：

⑵仿照上述方法，探究質的近似值.(畫出示意圖，標明數據，并寫出求解過程)

必考點5N與實數運算相關的規律題

I.計算下列各式：

(I)"+23=;

(2)Vl3+23+33=；

(3)Vl3+23+33+43=；

(4)Vl3+23+33+43+53=；

(5)Vl3+23+33+-+203=；

(6)猜想“3+23+33+...+"=.(用含口的代數式表示)

2.觀察下列各等式及驗證過程：

險證后1=底==3備

展一＞=［器驗證-3==罟

朋一》=摩'驗證

針對上述各式反映的規律，寫出用〃(〃為正整數)表示的等式一

3.觀察下列等式，并回答問題:

?|1-V2|=5^-1;

@\42-V3|=V3—>/2；

@|\^3—V4|=x/4—V3；

@|\/4—V5|=V5-V4；

(1)請寫出第⑤個等式：，化簡：|聞一6|=；

(2)寫出你猜想的第〃個等式：；(用含〃的式子表示)

(3)比較宇與1的大小.

4

4.先觀察下列等式，再回答問題：

①小+3+*=1+:7^=0

②J1+專+專=1+；-8=1

③J1+卷+*=1+1

(1)根據上而三個等式提供的信息，請你猜想Jl+?+4=.

(2)請按照上面各等式反映的規律，試寫出用〃的式子表示的等式：.

對任何實數〃可［0表示不超過〃的最大整數，如［4］=4,［網=1,計算：Jl+,+?/+,+,+

J1+或+3+…+J+點+衰的值

5.【觀察】請你觀察下列式子.

第I個等式：71=1.

第2個等式：/1T3=2.

第3個等式：“+3+5=3.

第4個等式：“+3+5+7=4.

第5個等式：“+3+5+7+9=5.

【發現】根據你的閱讀回答下列問題：

(1)寫出第7個等式.

(2)請根據上面式子的規律填空：“+3+5+-+(2九+1)=

(3)利用(2)中結論計算：(4+12+20+28+…+44+52.

6.已知一列數：4,a2,a3,a4,a5...an,滿足對為一切正整數n都有

1_1111_111111_]

、/S7VS72、/a2a3\/574^2703

高+盍+/+高=儡'之+盍+*+忌+…成立'且％=I?

(1)求做，。3的值;

（2）猜想第幾個數即（用幾表示）：

(3)求相通+2a3+Ja3a4+…+J。2021a2022的值?

7.觀察下列一組算式的特征及運算結果，探索規律：

(I)(1x5+4=V9=3,

(2)(2x6+4=1/I6=4,

(3)V3x74-4=V25=5,

(4)(4x8+4=V36=6.

(I)觀察算式規律，計算，5x9+4=:V19x23+4=.

(2)用含正整數九的式子表示上述算式的規律：.

(3)計算：11x5+4-《2x6+4+《3x7+4-《4x8+4+???+72021x2025+4.

必考點6N與實數有關的應用O

1.如圖①,把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開,所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形.由

此得到了一種能在數軸上畫出無理數對應點的方法.

（I）圖②中4、B兩點表示的數分別為,；

（2）請你參照上面的方法：

把圖③中5XI的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形.在圖③中畫出裁剪線，并在圖④的正方形網格中

畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長。=.（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）

2.如圖1,有5個邊長為1的小正方形組成的紙片，可以把它翦拼成一個正方形.

(1)拼成的正方形的面積是,邊長是：

(2)仿照上面的做法，你能把下面這十個小正方形組成的圖形紙，剪開并拼成一個大正方形嗎？若能，在

圖2中畫出拼接后的正方形，并求邊長；若不能，請說明理由.

圖1圖2

3.觀察圖形，每個小正方形的邊長為1.

(1)則圖中陰影部分的面積是，邊長是.

(2)已知陰影正方形的邊長為x,La<x<b,若。和是相鄰的兩個整數，那么Q=,b=.

(3)若設圖中陰影正方形的邊長為K,請在下面的數軸上準確地作出數.r所表示的點，若還有一人點H與它的

距離為1,則這個點8在數軸上所表示的數為.

IjI1III?

-1012345

4.動手試一試：

圖I是由10個邊長均為1的小正方形組成的圖形，我們沿圖中的虛線AB，8C將它剪開后，重新拼成一個

大正方形ABCD.

圖1IS2

(1)在圖1中，拼成的大正方形ABCD的面積為，邊AD的長為；

(2)知識運用：現將圖1水平放置在如圖2所示的數軸上，使得大正方形的頂點8與數軸上表示一1的點重

合，若以點B為圓心，8C邊的長為半徑畫圓，與數軸交于點石，則點石表示的數是；

(3)變式拓展：圖3是由25個邊長均為I的小正方形組成的圖形，

①你能從中剪出一個面積為13的大正方形(大正方形的頂點都在小正方形的頂點上)嗎？若能，請在圖中

畫出示意圖；若不能，請說明理由；

②在①的條件下，在圖3中的數軸上標出原點，請你利用直尺和圓規在數軸上找出表示該大正方形邊長的

點，并直接寫出該點表示的數.

5.“說不完的魚”探究活動，根據各探究小組的匯報，完成下列問題.

(1)正到底有多大?

卜.面是小欣探索魚的近似值的過程，請補充完整：

我們知道面積是2的正方形邊長是近，且魚＞1.4.設&=1.4+工，畫出如下示意圖.

由面積公式，可得/+=2.

因為工值很小，所以/更小，略去/，得方程，解得%》—(保留到0.001),即迎k.

(2)怎樣畫出或？請一起參與小敏探索畫企過程.

現有2個邊長為1的正方形，排列形式如圖(1),請把它們分割后拼接成一個新的正方形.要求：畫出分

割線并在正方形網格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形.

小敏同學的做法是：設新正方形的邊長為依題意，割補前后圖形的面積相等，有公=2,解得％=

魚.把圖（1）如圖所示進行分割,請在圖（2）中用實線畫出拼接成的新正方形.

r丁r1

1i

1j

rnrnTn

1i

1i

—1—rn丁1

11

111J

rn~ir十.1

11

11

圖⑴圖⑵圖(3)圖(4)

請參考小敏做法，現有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖（3）,請把它們分割后拼接成一個新的正方

形.要求：畫出分割線并在正方形網格圖（4）中用實線畫出拼接成的新正方形.說明：直接畫出圖形，不

要求寫分析過程.

專題2.2實數全章六類必考壓軸題

【人教版】

必考點1N算術平方根的雙重非負性

1.若有理數x,y滿足y=〃-3+，3-％+1,則x+y的值是（）

A.3B.±4C.4D.±2

【分析】根據算術平方根的非負性，計算得出％=3,從而得出y=l,然后把小y的值相加，即可得出答案.

【詳解】解：根據題意，可得：巴一3]?,

t3-x>0

解得x=3,

??y=1，

/.x+y=3+1=4.

故選：C.

2.當工等于（）時，一3-百二淳有最（）值.

A.2,小B.2,大C.±2,小D.±2,大

【分析】根據算術平方根的非負性得到-3-"W-3即可得到答案.

【詳解】解：???瓦三正20，

A-V4^x2<o,

A-3-V4^x2<-3,

???當4一/=0,即％=±2時，-3—V?。7有最大值，

故選D.

3.在實數范圍內，代數式||尸9+5尸-253|的值為（）

A.1B.2

C.3D.以上答案都不對

【分析】根據算術平方根的非負性，化簡絕對值即可求解.

【詳解】解：由二次根式被開方數大于等于0可知：-（x+5）2=0,

???原式=||0-2|-3|=|2-3|=|-1|=1.

故選：A.

4.已知〃、b、c滿足"a+b—4+|a-c+2|=\/b-c+\/c-b,則a+b+c的平方根為.

【分析】利用非負數的性質求出小b,。的值，根據開平方，可得答案.

【詳解】解：由題意得，b-c>0Rc-b>0,

:.匕>c且c>b,

??b-C>

:.da+b-4+|a-c+2|=7b-c+7c-b=0,

.,._.(a+b=4

由非負數的性質，得｛:二二3,即時。=一2，

一(h=c

a=1

解得b=3,

c=3

a+b+c=7,

???a+b+c的平方根是土夕.

故答案為：土汨

5.若|2021-a|+，a-2025=a,則a-20212的值為.

【分析】根據算術平方根的非負性求得a的范圍，進而化簡絕對值，根據算術平方根的意義即可求解.

【詳解】解：112021—a|+—2025=a,a-2025>0,即aN2025,

A|2021-a|=a-2021,

??a—2021+Va—2025=a,

即Ya-2025=2021,

/.G-2025=20212,

Aa-20212=2025,

故答案為：2025.

6.若72x-6+\y-12|=0,求的平方根是.

【分析】根據非負數的性質列出方程求出％、y的值，代入所求代數式計算即可.

【詳解】解:根據題意得：2x-6=0,y-12=0,

解得：x=3,y-12,

:.yjxy=y/3x12=V36=6,

二歷的平方根是±遍.

故答案為：±75

7.已知實數a、b、c滿足lb—4+|a+1|=V/—c+Jc-b

⑴求證：b=c；

（2）求-a+b+c的平方根.

【分析】根據算術平方根的非負性，即可得證；

（2）根據（1）的結論，以及非負數之和為0,求得a,b,c的值，進而求得一a+b+c的平方根.

【詳解】（1）證明：*.*\!b-c>0,yjc—b>0,b-c>0,c—b>0,

???b=c；

（2）解：vy/b-4+|a+1|=y/b-c+Vc-b,b=c,

???Vb—4+|a—1|=0,

???a=-l,b=4,

c=b=4,

-a+b+c=l+4+4=9,

9的平方根是±3.

必考點24無理數的估算

I.已知43?=1849,442=1936,452=2025,462=2116.若"為整數且九<V2021<n+1,則兀的值為（）

A.43B.44C.45D.46

【分析】由題意可直接進行求解.

【詳解】解:V432=1849,442=1936,452=2025,462=2116,

A442<2021<452,

???44<V2021<45,

An=44；

故選B.

2.若無理數%="+遙，則估計無理數x的范圍正確的是（）

A.2<x<3B.3<x<4C.4cx<5D.5Vx<6

【分析】根據算術平方根的性質（被開方數越大，其算術平方根越大）解決此題.

【詳解】解：???4<5<9

.,.V4<V5<V9

??-2<>/5<3

,V5+2〈返+眄

vV+-2

.-.4<2+V5<5

.-.4<x<5

故選：C.

3.已知，〃是整數，當|，〃-聞|取最小值時，機的值為()

A.5B.6C.7D.8

【分析】根據絕對值是非負數，所以不考慮切為整數，則|m-師|取最小值是0,又0的絕對值為0,令m-

>/40=0,得出m=同，再根據〃?是整數，找出最接近聞的整數可得：機=6.

【詳解】解：因為-同|取最小值，

\m-V40|=0,

???m—V40=0,

解得：m—V40,

vm2=40,

6<m<7,且m更接近6,

.?.當m=6時，|m—4而|有最小值.

故選：B.

4.⑶表示不大于x的最大整數，如[3.15]=3,[-2.7]=-3,[4]=4,則I痂⑶廝器”2。2.2022]的值為

()

A.1011B.2021C.2022D.1012

【分析】根據因表示不大于x的最大整數可得至=[VI3司=2,[H51]=3,…，

[V2021X2022]=2021,然后計算即可.

【詳解】解：V[V1V2]=1,[72x3]=2,[V35C4]=3,…，[\/2021x2022]=2021,

.[-/1><2)+[>/2><3]+-+(72021x2022]

??1011

1+2+3+-+2021

二ion

^X(1+2O21)X2O21

1011

=2021

故選:B.

5.對于實數a,我們規定，用符引表示不大于西的最大整數，稱[6]為a的根整數，例如；[內]=3,

［710］=3.我們可以對一個數連續求根整數，如對5連續兩次求根整數：［6］=2T［或］=1.若對工連續

求兩次根整數后的結果為1,則滿足條件的整數x的最大值為（）

A.5B.10C.15D.16

【分析】對各選項中的數分別連續求根整數即可判斷得出答案.

【詳解】解：當尸5時，［而］=2->［得=1,滿足條件；

當工=10時，［4司=3->［百］=1,滿足條件；

當工=15時，［6］=3T［6］=1,滿足條件；

當工=16時，［S%］=4T［C］=2,不滿足條件；

???滿足條件的整數3的最大值為15,

故答案為：C.

6.我們在初中已經學會了估算后的值，現在用Q”表示距離的最近的正整數.（〃為正整數）比如：%表示

距離近最近的正整數，.??%=1；。2表示距離遮最近的正整數，???。2=1；。3表示距離逐最近的正整數，

Aa3=2……利用這些發現得到以下結論：

①。6二2;②Qn=2時，〃的值有3個；③即一0.2+。3-…+。9—Qio=0：④工+—+,*,H------=20;⑤當

aia2aioo

工+上+..?+?￡=100時,〃的值為2550.

ala2an

五個結論中正確的結論有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根據%表示距離n最近的正整數，進行判斷；②根據即=2,確定〃的值；③分別求出

進行求解即可；④根據③中的數據，得到相應的數字規律，再進行計算即可；⑤根據規

律進行倒推，即可得解.

【詳解】解：①。6表示距離乃最近的正整數，

a6=2；故①正確；

②/=2時，n=3,4,5,6,

???”的值有4個；故②錯誤；

?Q］=1,0,2=1,。3=2,Q4=2,a,=2,06=2,Q7=3,Qg=3,tig=3,a］。=3,

**-1-14-2----+3—3=0；故③正確；

?a1—I,。？=1,。3=2,。4=2,=2,=2,a7=3,—3,cig—3,a1。—3,

???2個1,4個2,6個3,8個4,…，

A-+-+--?+—=1x2+4xi+6x-+8xi+-+18x-+10x-=19；故④錯誤；

。2Qioo234910

(§)—+--+4--=100=50x2=2xl+4x：+6x：+??,+100x—,

%a2an2350

An=2+4+6+-+100=x50=2550；故⑤正確；

綜上：正確的是①⑨§),共3個；

故選B.

7.若整數“滿足3+悔4%工匠+2,則%的值是.

【分析】根據算術平方根、立方根的定義估算無理數很和體的大小，進而得出3+%和屈+2的大小

即可.

【詳解】解：,.?43=64,53=125,而64V65V125,

.*.4<765<5,

???7<3+V65<8,

又：...82=64,92=81,而64<65V81,

:.8<V65<9,

:.10<V654-2<11,

又?.整數為滿足3+V65<%<V65+2,

Ax=8或無=9或％=10,

故答案為：8或9或10.

8.對于任何實數小可用佃］表示不超過a的最大整數，如⑷=4,［何=1.現對72進行如下操作：72

第一次［g］=8第二次［我］=2第三次［悶=1,類似地，只需進行3次操作后變為I的所有王整數中，最

大的是.

【分析】根據規律可知，最后的取整是1，得出前面的一個數字最大的是3,再向前一步推取整式3的最大

數為15,繼續回得到取整是15的最大數為225；反之驗證得出答案即可.

【詳解】解：???［網=1,［>/15］=3,［V225|=15；

所以只需進行3次操作后變為I的所有正整數中，最大的是225

故答案為:225

必考點3'探究平方根和立方根的規律

1.如下表，被開方數〃和它的算術平方根逅的小數點位置移動符合一定的規律，根據規律可得〃?，〃的值

分別為()

a0.06250.6256.2562.5625625062500625000

0.250.791mn2579.1250791

A.m=0.025,n?7.91B.m=2.5,n?7.91C.m?7.91,n=2.5D.m=2.5,n?0.791

【分析】根據算術平方根的定義解決此題.

【詳解】解：由題意得：從0.0625開始，小數點每向右移動兩位，對應算術平方根擴大10倍,

從0.625開始，小數點每向右移動兩位，對應算術平方根擴大10倍，

工可得：6.25的算術平方根為2.5.62.5的算術平方根約為7.91,

故選B.

2.觀察被開方數。的小數點與立方根幅的小數點的移動規律，填空:

a0.001110001000000

0.1110100

已知泥、1.817,貝右

【分析】根據題中所給規律可直接進行求解.

【詳解】解：由題意得:

VV6?1.817,

AV6000?18.17；

故答案為18.17.

3.我們知道，平方數的開平方運算可以直接求得，如根等，有些數則不能直接求得，如花，但可以通過計

算器求得.還有一種方法可以通過一組數的內在聯系，運用規律求得，請你觀察下表：

a???0.04440040000???

???X2yz?..

(1)表格中的三個值分別為：％=；y=；z=

(2)用公式表示這一規律：當々=4x100〃(〃為整數)時，g

(3)利用這一規律，解決下面的問題：

已知?2.358,則①VO.O55a；②"55600=

【分析】(1)直接利用算術平方根定義計算填表即可；

(2)歸納總結得到一般性規律，然后求出遍的信即可:

（3）利用（2）得出的規律即可解答.

【詳解】（1）解：根據算術平方根定義可得：x=0.2；y=20；z=200.

故答案為0.2；20；200.

（2）解：當Q=4X100n（〃為整數）時，Va=2xlOn.

故答案為2x10、

（3）解：若/5麗x2.358,則①-0.0556?0.2358：（2）755600x235.8.

故答案為:0.2358；235.8.

4.為了進一步研究算術平方根的特點，閆老師用計算器計算出了一些數的算術平方根，并將結果填在了下

表中.

（1）請你幫助閆老師將表格內容補充完整；

表1.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組

...Vo.oiVolaVioV100VioooV10000....

...0.10.316—3.16—31.6—...

（2）請你仿照表1中的規律，將表2補充完整.

表2.

第1組第2組第3組第4組第5組第6組

...V0.03V03V3V30x/300V3000...

...0.17320.5477—5.477——...

⑶通過表1和表2,你能發現什么規律？請用文字或符號概括你的發現.

（提示：如果沒有思路，你可以先觀察第1組、第3組、第5組、第7組中的被開方數和結果，再觀察第2組、

第4組、第6組中的被開方數和結果）.

【分析】（1）根據表中的數據，可以發現數字規律，即可求得答案

（2）觀察第1組、第3組、第5組中的被開方數和結果以及第2組、第4組、第6組中的被開方數和結果,

可得出答案

（3）根據（1）（2）中發現的規律解答即可

【詳解】（1）解：根據題意，得近=1.455=Wioooo=100.

故答案為:1：10；100.

(2)解：已知^/5^3=0.1732,

V3=1.732,V300=17.32.

?.?已知同=5.477,

V3000=54.77.

故答案為：1.732；17.32；54.77.

(3)解：通過觀察表1和表2可發現，被開方數的小數點向左或向右移動2九位，算數平方根的小數點就隨之

向左或向右移動九位.

5.求一個正數的算術平方根，有些數可以直接求得，如U，有些數則不能直接求得，如行，但可以通過計

算器求.還有一種方法可以通過?組數的內在聯系，運用規律求得，請同學們觀察下表：

n160.160.00161600I6(X)(X)???

4X0.04y400???

(1)表格中x=；y=；

⑵從表格中探究〃與近數位的規津，并利用這個規律解決下面兩個問題：

①已知VZ而Y.435,則“20600y；

②已知，3.3489=1.83,若?=0.183,則工=.

【分析】(1)把n=0.16代入x=4求解叩可；把n=1600代入y-京求解即可；

(2)①根據被開方數小數點向右移動了4位，則算術平方根小數點向右移動兩位求解;

②根據算術平方根小數點向左移動1位；則被開方數小數點向左移動了2位求解.

【詳解】(1)解：當n=0.16時，x=Vn=V0.16=0.4,

當n=1006時，x=Vn=Vl600=40,

故答案為：0.4,40；

(2)解：①已知小訪R.435,則，/20600I143.5；

故答案為：143.5；

②已知力3.3489=1.83,若依=0.183,則工=0.03489.

故答案為：0.03489.

6.【初步感知】

⑴直接寫出計算結果.

①仔=;

②V13+23=：

③V13+23+33=;

刨2+24+33+43=;

【深入探究】觀察下列等式.

①1+2=生衿

②1+2+3=111^：

③1+2+3+4=(1+；)“；

@1+2+34-4+5=

根據以上等式的規律，在下列橫線上填寫適當內容.

Q)_(1+2022)x2022

(3)1+2+3+…+n+(九+1)=,

【拓展應用】計算：

(4)V13+23+334-+993+1003；

(5)113+123+133+…+193+203.

【分析】(1)直接計算即可：

(2)根據前4個式子的規律填空即可；

(3)根據規律可得1+2+3+?,-+/1+(〃+1)=("+1，+2)；

(4)根據(1)的計算可得原式=1+2+3+…+100；

33333333

(5)根據規律可得原式=(1+2+3+-+19+20)-(p+23+3+.-+9+10),再根據規律計算即可.

【詳解】(I)解：①舊=1；

②Y13+23=3；

③V13+23+33=6；

④V13+24+33+43=10：

故答案為：①1②3③6010

(2)解：由規律可得：1+2+3+...+2022=5"/"",

故答案為：1+2+3+...+2022；

(3)解：1+2+3+???+〃+(〃+1)=(〃+】,+2).

故答案為：，+】羋+%

(4)解：原式-1+2+3+...+100-(1°"1*1°°=5050；

2

(5)解：原式=(13+23+33+-+193+203)-(13+23+33+-+93+103)

=(Vl3+23+-+203)2-(Vl3+23+...+103)2

=(1+2+...+20)2-(1+2+...+10)2

/21X20、?11X10i

=<—)2-<z—>x

=2*552

=41075.

7.數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求