2023.2024學年九年級數學下冊舉一反三系列專題27.1成比例線段

【七大題型】

【人教版】

【題型?成比例線段的概念】....................................................................1

【題型2成比例線段的應用】....................................................................2

【題型3比例的證明】..........................................................................3

【題型4利用比例的性質求比值】...............................................................4

【題型5利用比例的性質求參】.................................................................4

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】.......................................................4

【題型7黃金分割】............................................................................6

”2產一九三

【知識點1成比例線段的概念】

1.比例的項：

在比例式。:力=c:d（即3=￡）中，〃,d稱為比例外項，力,C稱為比例內項.特別地，在比例式爪C

bd

（即3=2）中，力稱為mc的比例中項，滿足〃=收.

bc

2.成比例線段：

四條線段由b,c,d中，如果。和力的比等于c和d的比，即9=￡,那么這四條線段a,b,c,d

bd

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【題型1成比例線段的概念】

【例1】（2022秋?南崗區校級月考）不能與2,4,6組成比例式的數是（）

4

A.-B.3C.8D.12

3

【變式1-1]（2022秋?義烏市月考）已知線段〃=2,〃=6,則它們的比例中項線段為

【變式1-2]（2022秋?道里區期末）如圖，用圖中的數據不能組成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【變式1-3]（2022秋?八步區期中）如圖所示，有矩形ABCD和矩形AECD,AB=Scm,BC=\2cm,A'B,

=4cm,8C=6cm.則線段A'B）AB,8C,BC是成比例線段嗎?

Ai--------------------------iD

A'-------------,Dr

31---------------------------lcBf\--------------lcr

【題型2成比例線段的應用】

[ft2]（2022秋?渭濱區期末）已知△A8C的三邊分別為a,b,c,且（a?c）：（a+b）：Cc-b）=-

2：7：1,試判斷△ABC的形狀.

【變式2-1]（2022秋?青羊區校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地

圖上，甲乙兩地的距離是（）

A.0.8cmB.8cmC.80?！―.800?！?

【變式2-2]（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數的比可能是（）

A.3：2B,1：3C,4：5D.3：1

【變式2-3]（2022?臺灣）某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團

的人數比例.若該校上、下學期的學生人數不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數變化，下列

敘述何者正確？（）

舞蹈社溜冰社魔術社

上學期345

下學期432

A.舞蹈社不變，溜冰社減少

B.舞蹈社不變，溜冰社不變

C.舞蹈社增加，溜冰社減少

D.舞蹈社增加，溜冰社不變

【知識點2比例的性質】

比例的性質示例剖析

xy__

(1)基本性質：—=—<=>ad=bc(bd0)—=—<=>3x=2y

bd23“

(2)反比性質：R=W=2=L(abcdwO)xy23

-=-T<=>-=-⑶￥0)

bdac23xy

Hit3Hacab4

(3)更比性質：7=~;0—=-7或

baca；=；=土=彳或2=：(個=0)

23y3x2

—=—(abed*0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性質：-=-<=>——=——(bd0)「a)=3("0)

baba

（5）分比性質：：=:。胃=三&Sd*O）一。3衛”0)

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性質：-=-<=>--=-一-

baa-bc-dx2x+y2+3,八、

y3%—y2—3

(bd±O,awb,c±d)

(7)等比性質：

234

acm...八、已知--，則當x+y+zwO時，

—=-=???=—(b+d-\---xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma..,八、

=-----------=一(b+d+LT+”工0)xyzx+y+z'

》+〃+???+〃h

【題型3比例的證明】

【例3】（2022秋?汝州市校級月考）已知線段〃，b,c，d（后必。），如果戶冷的求證：奇=鬻

【變式3-1］（2022春?江陰市期中）如圖，點從C在線段上，且A&BC=AD：CD,求證：2+白=白

ZBADAC

ABCD

【變式3-2］（2022秋?秦都區校級期中）已知：如圖，點。為三角形ABC內部的任意一點，連接AO并延

長交于點。.

證明：（|）必改=必歿；（？）包四=..

S

6BODS“ODS“c。CD

A

O

BDc

【變式3-3］（2022秋?岳陽縣期中）若a,b,c,d是非零實數且求證堂=鬻.

bdab+cdb2+d2

【題型4利用比例的性質求比值】

［ft4］（2022秋?炎陵縣期末）已知二二1則三二.

3a-b4b---

【變式4-1］（2022春?霍邱縣期末）若等=：,那么料值等于（）

A.-5B.-4C.--5D.--4

【變式4-2］（2022春?沙坪壩區校級期末）若?=：二"阻6-24+3尸0,則三黑的值為（

baf3b-2d+3f)

A.-6B.-3C.-2D.-6

【變式4-3］（2022春?棲森市期末）下列結論中，錯誤的是（）

A.若瀉,則那

B.若？=g則￡

b6b6

C.若E=：=］（b?d￥0）,則衿=：

ba3b-a3

D.若￡=右則a=3,b=4

【題型5利用比例的性質求參】

【例5】（2022秋?蜀山區校級期中）已知：生=莊=上=七則攵=

xyz------

【變式5-1］（2022秋?灌云縣期末）已知彳=/且工+尸24.則工的值是（）

?5D

A.15B.9C.5D.3

【變式5-2］（2022秋?高州市期中）已知：=?=：,且3y=2z+6,求x,），的值.

356

【變式5-3］（2022?雨城區校級開學）我們知道：若2=與且HdWO,那么？=：=的.

babao+d

（1）若b+d=O,那么a、c滿足什么關系？

（2）若比=等="=3求戶2的值.

abc

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】

【例6】（2022秋?渝中區期末）閱讀理解：

己知：a,b,c,4都是不為0的數，且￡=；，求證：等=等?

???E+1=：+L

ba

.a+bc+cl

■*b~d'

根據以上方法，解答下列問題：

(1)若￡=￡求管的值；

(2)若?且。于從“d,證明?=*?

bda+bc+d

【變式6-1】閱讀材料：

已知g=?=求也干的值.

346x-y+z

解：設(&#()),則x=3A,y=4&,z=6k.(第一步)

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1(第一中、

**x-y+z3fc-4fc+6k5k5''

(1)回答下列問題：

①第一步運用了的基本性質，

②第二步的解題過程運用了的方法，

由白得:利用了的基本性質.

*3?vO

(2)模仿材料解題：

己知4：戶z=2：3：4,求x,y+z的值.

?x-2y+3z

【變式6-2](2022秋?椒江區校級月考)閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：己知—(以氏c互不相等)，求x+y+z的值.

a-bb-cc-a/

解：設=占=-^-=&,則x=Z(a-b),y=k(b-c))z=k(c-a),

a-bb-cc-a,

.\x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=&?0=0,/.x+)?+z=0.

依照上述方法解答下列問題：

a,b,c為非零實數，且a+A+cWO,當竺"￡=竺=W上時，求婦皿簪儂的值.

cbaabc

【變式6-3](2022春?鼓樓區校級期中)閱讀下面的解題過程，然后解題：

題目：己知七二=二上(以權?；ハ嗖幌嗟?，求x+廣z的值.

a-bb-cc-a

解：設^-=上=-^-=匕貝Jx=&(a-b'),y=k(b-c'),z=k(c-a)于是，x+y+z=k(a-b+b-

a-bb-cc-a,

c+c-a)=A?0=(),

依照上述方法解答下列問題：己知：匕=9=力a+），+zwo）,求索的值.

xyzx+y+z

【知識點3黃金分割】

如圖，若線段上一點C,把線段分成兩條線段AC和8C（AC>3。），且使AC是和BC

的比例中項（即AC2=A8?8C）,則稱線段被點C黃金分割，點C叫線段4〃的黃金分割點，其中

AC八4B0.618A/"/兒'=三正月4a0.38243,AC'與AB的比叫做黃金比.（注?。簩τ诰€段

22

A5而言，黃金分割點有兩個.）

【題型7黃金分割】

【例7】（2022?青羊區校級模擬）如圖，點/?是正方形48C。的AB邊上線段AB的黃金分割點，且AR>

RB,S表示以AR為邊長的正方形面積；S2表示以BC為長，8R為寬的矩形的面積，S3表示正方形除去

Si,S2剩余的面積，則8：S2的值為

【變式7-1]（2022秋?楊浦區期末）己知點尸是線段八6_1_的一點，線段AF是26和A6的比例中項，下

列結論中，正確的是（）

.PBV5+1「PB、石+1廠AP匹-1cAPV5-1

、77=—B.-=—C.-=—D.-=—

【變式7-2]（2022秋?江都區校級月考）已知，點。是線段A8的黃金分割點，若

（1）若人B=IOc、〃b則人。=；

（2）如圖，請用尺規作出以力4為腰的黃金三角形A3G

（3）證明你畫出的三角形是黃金三角形.

ADB面同意，不得復:制發布日期：2022/9/1522:55:34；用戶：小不1825600716

號：20699374

【變式7-3】（2022春?兗州區期末）再讀教材：

寬與長的比是亨（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感，世界各國

許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，下面，我們用寬為2的矩形紙片

折疊黃金矩形.（提示：MN=2）

第一步,在矩形紙片?端，利用圖①的方法折出?個正方形，然后把紙片展平.

第二步,如圖②，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平.

第三步,折出內側矩形的對角線AB,并把AB折到圖③中所示的AD處.

第四步,展平紙片，按照所得的點。折出DE,使。則圖④中就會出現黃金矩形.

圖①圖②

圖④

（1）圖③中八8=（保留根號）；

（2）如圖③，判斷四邊形的形狀，并說明理由;

（3）請寫出圖④中所有的黃金矩形，并選擇其中一個說明理由.

專題27.1成比例線段【七大題型】

【人教版】

"外媽宮巾

【題型?成比例線段的概念】....................................................................1

【題型2成比例線段的應用】....................................................................2

【題型3比例的證明】..........................................................................3

【題型4利用比例的性質求比值】...............................................................4

【題型5利用比例的性質求參】.................................................................4

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】.......................................................4

【題型7黃金分割】............................................................................6

。。髭中一五三

【知識點1成比例線段的概念】

1.比例的項：

在比例式（即N=￡）中，G,d稱為比例外項，6c稱為比例內項.特別地，在比例式

bd

（即g=2）中，力稱為4C的比例中項，滿足從=仇3

bc

2.成比例線段：

四條線段。，b,C,d中，如果。和b的比等于C和d的比，即:二￡,那么這四條線段a,b,c,d

ba

叫做成比例線段，簡稱比例線段.

【題型1成比例線段的概念】

【例1】（2022秋?南崗區校級月考）不能與2,4,6組成比例式的數是（）

A.gB.3C.8D.12

【分析】利用表示兩個比相等的式子，叫做比例式，然后分別求出4、B、。、。選項的比值，即可判斷.

【解答】解:A、/2=4：6,故A不符合題意；

B、2：3=4：6,故B不符合題意；

C、2：4#6：8,故C符合題意；

D、2：4=6：12,故。不符合題意；

故選：C.

【變式1?1】（2022秋?義烏市月考）己知線段。=2,6=6,則它們的比例中項線段為，百一

【分析】由題意線段c是。、b的比例中項，可知。2=外，由此即可解決問題.

【解答】解：???線段c是。、〃的比例中項，

?.（r=ab,

b=6,

AC2=12,

Vc>0,

Ac=2V3,

故答案為：2V3.

【變式1-2]（2022秋?道里區期末）如圖，用圖中的數據不能組成的比例是（）

A.2：4=1.5：3B.3：1.5=4：2C.2：3=1.5：4D.1.5：2=3：4

【分析】根據對于四條線段。、氏c、4如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比

相等，如（即〃/=/“、），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段，進而分別判斷即

可.

【解答】解：A、2：4=1：2=1.5：3,能組成比例，錯誤；

B、3：1.5=2：1=4：2,能組成比例,錯誤;

C、2：3W1.5：4；不能組成比例,正確;

D、1.5：2=3：4,能組成比例，錯誤；

故選：C.

【變式1-3]（2022秋?八步區期中）如圖所示，有矩形48co和矩形4ECD',AB=ScmtBC=l2cm,AH'

=4皿BC=6cm.則線段Ab,AB,B'C,BC是成比例線段嗎?

AD

A'D'

BCB1C'

【分析】求出嚓，器的值判斷即可.

ABBC

【解答】解：???A8=8a〃，BC=12cm,A'B'=4cm,B'C=6an,

.A>Bf41B，C，61

??———,—————9

AB82BC122

?AfBfBfCf

■■--=---，

ABBC

AB,BC,BC是成比例線段.

【題型2成比例線段的應用】

[ft2]（2022秋?渭濱區期末）己知△A8C的三邊分別為。一，c,且（a-c）：（。+人）：（”〃）=-

2：7：1,試判斷△48C的形狀.

【分析】設。?c=?2火，a+b=7,c-b=\,再利用A分別表示出。、b、c,然后利用勾股定理的逆定理

進行判斷.

【解答】解：,:（a-c）：（。十〃）:（c-Z?）=-2：7：1,

（a-c=-2k（a=3k

???設a+b=7k,解得b=4k,

c—b=kvc=Sk

'：a2+b2=（3k）2+（4k）2=25lc=（5k）?=d,

???△ABC為直角三角形，ZC=90°.

【變式2-1]（2022秋?青羊區校級月考）甲、乙兩地的實際距離是400千米，在比例尺為1：500000的地

圖上，甲乙兩地的距離是（）

A.O.ScmB.8c〃？C.80。〃D.SOOcm.

【分析】設地圖上，甲乙兩地口勺距離是x?！?，根據比例尺的定理列出方程，解之可得.

【解答】解：設地圖上，甲乙兩地的距離是比小，

根據題意，得:40000000—500000,

解得：x=80,

即地圖上，甲乙兩地的距離是805?,

故選：C.

【變式2-2]（2022秋?杜爾伯特縣期末）一個班有30名學生，男、女生人數的比可能是（）

A.3：2B.1：3C.4：5D.3：1

【分析1根據人數必須是整數，所以男、女生人數占的總分數必須能被30整除，然后進行計算即可解答.

【解答】解：A、30+（312）=6,能得出整數的結果，故工符合題意;

B、304-(1+3)=7.5,不能得出整數的結果，故3不符合題意;

C、30+(4+5)=y,不能得出整數的結果，故C不符合題意；

D、30+(3+1)=7.5,不能得出整數的結果，故。不符合題意；

故選：A.

【變式2-3)(2022?臺灣)某校每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表為該校學生上、下學期各社團

的人數比例.若該校上、下學期的學生人數不變，相較于上學期，下學期各社團的學生人數變化，下列

敘述何者正確？()

舞蹈社溜冰社魔術社

上學期345

下學期432

A.舞蹈社不變，溜冰社減少

B.舞蹈社不變，溜冰社不變

C.舞蹈社增加，溜冰社減少

D.舞蹈社增加，溜冰社不變

【分析】若甲：乙：丙=a：b：c,則甲占全部的」一,乙占全部的士,丙占全部的七.

a+b+ca+b+ca+b+c

【解答】解：由表得知上、下學期各社團人數占全部人數的比例如下：

舞蹈社溜冰社魔術社

_5__15

上學期±=±2=竺

1236123612—36

28

下學期￡=竺3=12-=

936936936

???舞蹈社增加，溜冰社不變.

故選：O.

【知識點2比例的性質】

比例的性質示例剖析

xy__

(1)基本性質：—=—<=>ad=bc(bd0)—=—<=>3x=2y

bd23“

(2)反比性質：R=W=2=L(abcdw0)xy23

-=-T<=>-=-⑶￥0)

bdac23xy

Hit3Hacab4

(3)更比性質：7=~;0—=-7或

baca；=；=土=彳或2=：(個=0)

23y3x2

—=—(abed*0)

ba

,Ait”-aca+bc+d人i八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性質：-=-<=>——=——(bd0)「a)=3("0)

baba

(5)分比性質：：=:。胃=三&Sd±0)一。3衛”0)

bdhdx2x2

,八人八"3Haca+bc+d

(6)合分比性質：-=-<=>--=-一-八、

baa-bc-dx2x+y2+3,

y3%—y2—3

(bd±0,awb,c±d)

(7)等比性質：

234

已知--，則當時，

acm...八、x+y+zwO

—=-=???=—(b+d-\-----xyz

bdn2342+3+4

a+c+-+ma..,八、

=-----------=一(b+d+LT+”工0)xyzx+y+z'

》+〃+???+〃h

【題型3比例的證明】

【例3】(2022秋?汝州市校級月考)已知線段小b,c,d(b￥d/0),如果E=：=M求證：W

bdb-db+d

【分析】根據比例線段的性質證明即可.

【解答】證明：由三二：=匕

ba

可得：ci=bk,c=dk,

把c="代入總=若=處

把『從’『"代入篝=富=鼠

可得:公a+c

b-db+d

【變式3-1](2022春?江陰市期中)如圖，點B,C在線段A。上，且"：BC=AD：CD,求證：神:=工

ABADAC

BCD

AC-ABAD-AC

【分析】由已知條件得到*弟即，兩邊同除以即可得到結論.

ABADAC,

【解答】證明：,?e=給

DCCD

譚吟，即AC-ABAD-AC

ABAD

?譚T=I-第

-2_2-=^-

**AB+ADAC

【變式3-2］（2022秋?秦都區校級期中）己知：如圖，點。為三角形ABC內部的任意一點，連接人。并延

長交4c于點Q.

SAABO_S&ACO

證明：（1）(2)=—.

SABODSRCODSAACOCD

【分析】⑴由等高模型可知：事#=由此即可解決問題.

S&BOD°DS&COD0D

（2）利用等高模型以及比例的性質即可解決問題.

【解答】證明：（1）?.?包這=絲也3="

°。^aCODOD

???S^ABO_S“c。

S^BODSA。。。

(2),?S/ABD_S^OBD_BD

SAADCS4ODCCD'

?SAABD-SAOBD_BP

SbADC-S&ODCC。'

?S—80_gp

S￡^ACOCD

【變式3-3】（2022秋?岳陽縣期中）若a,b,c,d是非零實數且戶?求證就=舞?

【分析】由于(*+/)(b2+d2)=6f2Z>2+c2/>2+a2J2+c2J2,(ab+cd)(ab+cd)=a^kr+labcd+^d1,根據比

例的基本性質得到ad=〃c,可得（a2+（r）（b2+d2）=（.ab+cd）（ab+cd）?從而得證.

【解答】證明：

??(id—be9

222

*/(fl+c)(h+(p)=a2b2+db2+a2d2+c2d2,

(ab+cd)(ah+cd)=a2b2+2abcd+(rd2,

*：2abcd=(rb1+crd1

/.(cr+(r)(/+，)=(ab+cd)(ab+cd),

.a2+c2_ab+cd

ab+cdb2+d2"

【題型4利用比例的性質求比值】

【例4】(2022秋?炎陵縣期末)已知昌="則^=4.

【分析】根據/7=：,可得黨=一再根據比例的性質即可求解.

3a-b42b3

【解答】解：,?,昌二:,

3a-b4

?3a-b_4

=31

.3a14

?,莉一小丁

■.?一a_11.

b9

故答案為:y.

【變式4-1](2022春?霍邱縣期末)若"=那么的值等于()

a4a

A.-B.-C.--D.--

5454

【分析】把厘=：化成1-2=3即可求出2的值.

a4a4a

【解答】解：???ga=;,

a4

.,b3

..1-----=

a4

?b1

.qr

故選:B.

【變式4-2](2022春?沙坪壩區校級期末)若？=：=9=；且人-2d+3尸0,則冷普的值為()

baf3o-2a+3/

A.—B.—C.—D.—

6326

【分析】先利用分式的基本性質得到m=w=然后根據等比性質解決問題.

b-2d3/3

【解答】解：???？=」=，=;,

baJ3

???a一=-2c=—3e=_,1

b-2d3/3

而。-2J+3/^0

?_a_-_2_c_+_3e—_1

b-2d+3f-3*

故選：B.

【變式4-3］（2022春?棲霞市期末）下列結論中，錯誤的是（）

A?若洛，則瀉

B?若等=*，貝哈=［

C?花吟甘（人”0）,則言號

D.若三=三，則a=3,6=4

b4

【分析】分別利用比例的基本性質分析得出答案.

【解答】解：4、若L，貝吟=￡正確,不合題意;

B、若?=；,則6Ca-b）=b,故6a=7b,則g正確，不合題意；

b6b6

C、若E=：=；e-dwo），則三二j正確，不合題意；

ba3b-a3

D、若￡=￡無法得出小〃的值，故此選項錯誤，符合題意.

故選：。.

【題型5利用比例的性質求參】

【例5】（2022秋?蜀山區校級期中）已知："二比=上4，則4=2或-1

xyz----------

【分析】能夠根據比例的基本性質熟練進行比例式和等積式的互相轉換.

【解答】解：此題要分情況考慮：

當X+V+ZKO時，則根據比例的等比性質，得仁2x+2y+2z=2：

/x+y+z

當x+y+z=O時，即x+y=-z,則女=-1,故填2或-1.

【變式5-1］（2022秋?灌云縣期末）已知且/）=24.則工的值是（）

A.15B.9C.5D.3

【分析】設;氣二鼠根據比例的性質求出x=3A,尸5億根據x+），=24得出弘+54=24,求出我，再求

出，即可.

【解答】解：設則k3鼠），=5匕

??”+），=24.

?,?3%+5+=24,

解得：k=3,

?**x=3X3=9,

故選:B.

【變式5-2］（2022秋?高州市期中）已知？=5=g且3y=2z+6,求x,y的值.

3561

【分析】由若：=.=可設：=*=這樣用&分別表示x、y、Z,即工=3〃，y=5k,z=6k,再利

356356

.用3y=2z+6,可得到關于k的方程，解方程得到攵的值，從而可確定x的值.

【解答】解：設

則x=3k,y=5k,z=6k,

V3y=2z+6,

，3X5A=2X6A:+6,

解得:2=2,

.\x=3k=6,y=5Z=10.

【變式5-3］（2022?雨城區校級開學）我們知道：若2=7且HdWO,那么?=5=分.

bdbdb+d

（l）若b+d=O,那么4、C滿足什么關系？

（2）若管=等=?=3求產?L2的值.

【分析】（1）根據比例的性質即可得到結果；

（2）根據比例的性質求得/的值，把，的值代入代數式即可得到結論.

【解答】解：（）???？=；從

1ba,d=0,

.,.a+c=O；

（2）①當o+KcHO時，把=叱=健=t==2,

abca+b+c

Ar2-r-2=2-2-2=0,

②當a+h+c=O時，b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,

?.?b+c1—a,+c=a+b4|,,

abc

Ar2-r-2=0.

【題型6比例的性質在閱讀理解中的運用】

【例6】（2022秋?渝中區期末）閱讀理解：

已知：a,b,c,d都是不為。的數，且"會求證：等=詈.

證明：??9=：,

ba

??q+l=5+L

ba

?a+bc+d

?■.

bd

根據以上方法，解答下列問題：

（1）若￡=點求學的值；

（2）若？=5,且aWAcWd,證明工=V.

bda+bc+d

【分析】（1）把要求的式子化成華=F+I，再進行計算即可得出答案；

D0

（2）根據比例的性質得出噂=與^,噂=等，再分別相除即可得出答案.

bdbd

【解答】解：（1）?一=：,

b5

?a-bc-d

.,a_+b—___c+d

?b-d'

.a-b.a+b_c-d.c+d

bbdd

.a-bc-d

..-----=-------.

a+bc+d

【變式6-1】閱讀材料:

己知g=?=：工0,求也干的值.

346x-y+z

解：設g=（&W0）,則x=3Z,y=4匕z=6k.（第一步）

.x+y-z_3k+4k-6k_k_1（筌—中）

**x-y+z3k-4k+6k5k5，'''

（1）回答下列問題：

①第一步運用了等式的基本性質,

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法,

由士得捌用了分式的基本性質.

（2）模仿材料解題：

已知x：y：z=2：3：4,求乎|-的值.

'x-1y+3z

【分析】（1）利用等式的基本性質，代入消元法，分式的基本性質，即可解答:

（2）仿照例題的思路，進行計算即可解答.

【解答】解：（1）①第一步運用了等式的基本性質，

②第二步的解題過程運用了代入消元的方法，

由占得捌用了分式的基本性質，

故答案為：等式，代入消元，分式；

（2）Vx：y：z=2：3：4,

，設x=2億y=3k,z=4k,

.x+y+z_2k+3k+4k

**x-2y+3zi2k-6k+12k

_9k

-8fc

_9

-8,

【變式6-2］（2022秋?椒江區校級月考）閱讀下列解題過程，然后解題：

題目：已知＜=3二上（〃、力、c?互不相等），求x+y+z的值.

解：設-^=4=二=匕則x=A（a-b）,y=k（b-c）,z=k（c-a）,

a-bb-cc-a/

.*.x+y+z=k（a-b+b-c+c-a）=A?0=0,/..r+}M-z=0.

依照上述方法解答下列問題：

a，b,c為非零實數，且a+HcWO,當"叱a-b+c-a+b+G(a+b)(b+c)(c+a)的值.

【分析】設空棄=一=中￡=〃，利用比例的性質得到a+“c=3a-b+c=kb,-a+b+c=ka,

將三式相加可以求得A=l,所以利用等量代換和約分可以求得所求代數式的值.

【解答】解：設”匕a-b+c-a+b+c

所以a+b-c=kc?,

a-b+c=kb②,

-a+b+c=ka③,

由①+②+③，得

a+b+c=k(a+b+c).

???a+〃+cWO,

/.a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b.

.(a+b)(b+c)(c+a)_2cx2ax2b_

??—1—oQ.

【變式6-3］（2022春?鼓樓區校級期中）閱讀下面的解題過程，然后解題：

題目：己知七二」=3（〃、仄c?互相不相等），求盧廣z的值.

a-bb-cc-a

解：設貝人=&（。），（〃-）（）「是，人（

a-bb-cc-a=k,Ja-