2023-2024學年九年級數學下冊常考點微專題提分精練（人教版）

期末難點特訓一（與二次函數有綜合關的壓軸題）

1.拋物線），=：/一1犬_3與X軸交于點A,與y軸交于點兒線段04上有一動點P（不與O、A重

44

合），過點p作丁軸的平行線交直線A3于點c,交拋物線于點M

（1）求直線A8的解析式；

（2）點N為線段48下方拋物線上一動點，點O是線段上一動點；

①若四邊形CMN。是平行四邊形，證明：點M、N橫坐標之和為定值；

②在點P、N、。運動過程中，平行四邊形CM7V0的周長是否存在最大值？若存在，求出此時點。的

坐標，若不存在，說明理由

2

2.已知拋物線G；yt-mx-（3w-3）x+2m-3,直線/?；y2—mx^3-2nt,其中〃*0.

⑴當吠=1時，求拋物線G與直線。交點的坐標；

⑵求證：拋物線G與直線h必有一個交點A在坐標軸上：

⑶在（2）的結論下，解決下列問題：

①無論用怎樣變化，求拋物線G一定經過的點坐標；

②將拋物線G關『原點對稱得到的圖象記為拋物線G',試結合圖象探究:若在拋物線G與直線人

拋物線G'與直線。均相交，在所有交點的橫坐標中，點力橫坐標既小是最大值，也小是最小值，

求此時拋物線G的對稱軸的取值范圍.

3.已知拋物線y=o?+法+3與x軸分別交于點4-3,0）,B（1,0）,與），軸交于點C,對稱軸DE

與1軸交于點。，頂點為E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點。為對稱軸右側且位于x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點E不重合），人E于

點Q，當VPQE與VAOE相似時，求點/，的坐標；

（3）對稱軸。石上是否存在一點M使得NAC8=2NAMZ）,若存在求出點M的坐標，若不存在請

說明理由.

4.在平面直角坐標系M），中，拋物線），=a/+8+c的開口向上，且經過點力（0,1）.

⑴求c的值；

（2）若此拋物線經過點8（2,-且與x軸相交于點E（1/,0）,F（X2,0）.

①求人的值（用含。的代數式表示）；

②當E產的值最小時，求拋物線的解析式：

⑶若當0US1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求力的值.

4

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=-9+6-。的圖象與坐標軸相交于A、B、C三點，其

中A點坐標為（3,0）,8點坐標為連接AC、BC.動點。從點A出發，在線段4c上以每秒

五個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點8出發，在線段/M上以每秒1個單位長度向

點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ,設運動時間為，秒.

”Qo.八>

(1)求力、c的值；

(2)在P、。運動的過程中，當，為何值時，四邊形3CPQ的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M，使MPQ是以點/>為直角頂點的等腰直角三角形？

若存在，請求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

6.已知拋物線y=-gx2+〃z+加+；與x軸交于點力，8(點1在點8的左側)，與y軸交于點C(0,

-|),點尸為拋物線在直線.4C上方圖象上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)求團為。面積的最大值，并求此時點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，拋物線歹=-：/+〃a+加+:在點彳、8之間的部分(含點力、B)沿x軸向

卜翻折，得到圖象G.現將圖象G沿直線/C平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求

圖象M的頂點橫坐標〃的取值范圍.

7.已知函數三一5、+鼻"‘心<"),記該函數圖像為G.

x2-fnx+in(x>m)

(1)當"?=2時，

①已知仞(4,〃)在該函數圖像上，求〃的值；

②當0<x<2時，求函數G的最大值；

(2)當〃?>0時，作直線％=；〃?與x軸交于點P,與函數G交于點0,若NPOQ=45。時，求〃［的

值；

(3)當相43時，設圖像與x軸交于點兒與)，軸交于點8,過8做8C_L84交直線x=，，，與點C,

設點力的橫坐標為a，C點的縱坐標為c,若a=-3c,求小的值.

8.已知拋物線y=V一(加+i)x+2/n+3(加為常數)，點彳(-1,-1),B(3,7).

(1)當拋物線y=f-(加+1比+2旭+3經過點/時,求拋物線解析式和頂點坐標；

(2)拋物線的頂點隨著，〃的變化而移動，當頂點移動到最高處時，

①求拋物線的解析式；

②在直線下方的拋物線上有?點過點E作以同x軸，交直線48于點尸，求線段￡F取最大

值時的點石的坐標；

（3）若拋物線與線段/也只有一個交點，求力的取值范圍.

9.已知拋物線&：），=-/+丘-2k（攵是常數），頂點為N.

（1）若拋物線G經過點3-7）；

①求拋物線Ci的解析式及頂點坐標;

②若將拋物線G向上平移8個單位長度，再向左平移2個單位長度，得拋物線G.點A的橫坐標

為-3,且點A在拋物線C?上，若拋物線與）'軸交于點兒連接AA,。為拋物線C?上一點，且

位于線段八8的上方，過點。作8，大軸于點。，CP交八B于點E,若CE=ED,求點C的坐標；

（2）已知點例2-竽,（）），且無論左取何值，拋物線G都經過定點”，當NA/”N=60。時，求拋

物線C1的解析式.

10.在平面直角坐標系中，點0（0,0）,拋物線），=-丁+以+人（〃，。是常數）經過點40，0），。（0,3），

與x軸的另一個交點為4,頂點為。.

（I）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（II）連接力。，CD,BC,將△O8C沿著x軸以每秒1個單位長度的速度向左平移，得到“OB'C,

點。、B、C的對應點分別為點O',B',C,設平移時間為，秒，當點O'與點A重合時停止移動.記

。力C'與四邊形/OC。的重疊部分的面積為S,當0</<1時，求S與時間，的函數解析式.

11.如圖，拋物線y=gx2-1x-2與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,直線y=kx-m,經

過點B,C.

（1）求k的值;

（2）點P是直線BC卜.方拋物線上一動點，求四邊形ACPB面積最大時點P的坐標；

（3）若M是拋物線上一點，且回MCBRABC,請直接寫出點M的坐標.

12.在平面直角坐標系xQy中，點（4,3）在拋物線），=仆、6+3（°>0）上.

（1）求該拋物線的對稱軸；

（2）已知〃>0,當2-〃US2+2,〃時，-的取值范圍是一”>3,求“，加的值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實數〃，當〃-2vx<〃時，），的取值范圍是3〃-3<>，<3〃+5,若存

在，直接寫出〃的值；若不存在，請說明理由.

17

13.如圖，拋物線"=一3/+;*+2與x軸負半軸交于點4與y軸交于點8.

（1）求48兩點的坐標；

（2）如圖1,點C在y軸右側的拋物線上，旦2c=8C,求點C的坐標；

（3）如圖2,將048。繞平面內點P順時針旋轉90。后，得到13DEF（點4B,。的對應點分別是點

D,E,F）,D,E兩點剛好在拋物線上.

①求點F的坐標；

②直接寫出點。的空標.

14.已知拋物線），=（工2一24與x軸交于點。、A兩點，頂點為B.

(1)直接寫出：A點坐標,B點坐標,(3AB0的形狀是：

(2)如圖，直線y=x+m(m<0)交拋物線于E、F(E在F右邊)，交對稱軸于M,交y軸于N.若EM?FN=MN,

求m的值；

(3)在(2)的條件下，y軸上有一動點P,當E1EPF最大時，請直接寫出此時P點坐標

15.如圖，在平面直角坐標系X。)，中，直線/：y=x-2與x軸、軸分別交于點A和點8,拋物線

y=x2+/>+c經過點6,且與直線/的另一個交點為C(6,〃),

(1)求〃的值和拋物線的解析式；

(2)己知點。是拋物線上位于仇。力間的一動點(不與點反。重合).設點尸的橫坐標為。，當。為

何值時，AAPC的面積最大，并求出其最大值：

(3)在y軸上是否存在點M，使以點及M,C為頂點的三角形與△BAO相似？若存在，直接寫出點M

的坐標(不用說理)；若不存在，請說明理由.

16.我們約定：圖象關于》軸對稱的函數稱為偶函數.

(1)下列函數是偶函數的有(填序號)；

一--^018-

①y=x+l：(2),y=-2020婷+5：(3)y=\--|；@y=2021x2-2020.V+2018.

（2）已知二次函數y=（A+l）/+（犬-1）x+1（A為常數）是偶函數，將此偶函數進行平承得到新

的二次函數y=o?+bx+c,新函數的圖象與x軸交于48兩點（4在8的左側），與y軸交于點C,

若力8=2,且以48為直徑的圓恰好經過點C,求平移后新函數的解析式；

（3）如圖，已知偶函數y=4F+Z）x+c（〃工0）經過（1,2）,（2,5）,過點E（0,2）的一次函數的

圖象與二次函數的圖象交于力，B兩點、（4在8的左側），過點N8分別作力皈軸于點C,〃。取軸

2

于點D,分別用Si，S2,S3表示射CE,0ECD,團EO8的面積，問：是否存在實數小，S2=WSIS3

都成立？若成立，求出加的值，若不存在，說明理由.

17.拋物線L：y=以2-3-64與工軸交于A,B兩點（A點在B點左側），與y軸正半軸交于點C,

頂點為D,且OC=2OB.

（1）求拋物線L的解析式：

（2）如圖，過定點的直線尸心-；I&+3寧3（k<0）與拋物線L交于點E、F.若，DEF的面積等于

1，求k的值；

（3）如圖2,將拋物線L向下平移m（0</n<6）個單位長度得到拋物線右，拋物線乙與y軸正

半軸交于點M,過點M作y軸的垂線交拋物線乙于另一點N,G為拋物線。的對稱軸與x軸的交點，

P為線段OM卜一點.若APMN與POG相似，并H符合條件的點P恰有2個，求m的佰及相應

點P的坐標.

18.在平面直角坐標系中，若直線/：），=&+/攵工0）與函數G的圖像有且只有一個交點P,則稱該

直線/是函數G關于點尸的“聯絡直線"，點?稱為“聯絡點〃.

⑴直線y=T+1是函數y」的“聯絡直線”嗎？請說明理由；

X

10

（2）已知函數>=竺，求該函數關于“聯絡點”（3,4）的“聯絡直線〃的解析式：

X

⑶若關于X的函數），=0?-2心-％（〃>0）圖像與X軸交于4、6兩點，與y軸交于點C,點P是y

軸上一點，分別過點P作函數），=依2-2"-34關于點時,N的“聯絡直線〃PM、PM若直線丫=依-1

恰好經過河、N兩點，請用含。的式子表示線段0C的長.

19.如圖，拋物線），=，*+兒+。交x軸于4-1,0）,8（3,0）兩點，交y軸于點C。-3）,點。為線

段上的動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求IO0+IQAI的最小值;

（3）過點。作PQ〃4C交拋物線的第四象限部分于點P,連接以，PB,記△孫。與-P8Q的面

積分別為S.8，設5=3+邑，求點尸坐標，使得S最大，并求此最大值.

20.已知拋物線y=ax?+bx+c過點A（0,2）.

（1）若點（-右，0）也在該拋物線上，求a,b滿足的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（xi，yi）,N（X2，丫2）都滿足：當xiVx2Vo時，（x「X2）（yi

-y2）＞0；當0VX1VX2時，^X:-X2）（yi-y2）＜0.以原點0為心，OA為半徑的圓與拋物線的另

兩個交點為B,C,且團ABC有一個內角為60。.

①求拋物線的解析式；

②若點P與點。關于點A對稱，且O,M,N三點共線，求證：PA平分團MPN.

期末難點特訓一（與二次函數有綜合關的壓軸題）

1Q

1.拋物線），=：/一1犬_3與X軸交于點A,與y軸交于點兒線段04上有一動點P（不與O、A重

44

合），過點p作丁軸的平行線交直線A3于點c,交拋物線于點M

（1）求直線A8的解析式；

（2）點N為線段48下方拋物線上一動點，點O是線段上一動點；

①若四邊形CMN。是平行四邊形，證明：點M、N橫坐標之和為定值；

②在點P、N、。運動過程中，平行四邊形CM7V0的周長是否存在最大值？若存在，求出此時點。的

坐標，若不存在，說明理由

3/II11f111）

【答案】（1）、=力=3；（2）①證明見解析；②存在；點。的坐標為；---.

【分析】（1）分別在拋物線解析式中令x=0,y=0,可以得到B和A的坐標，然后應用待定系數法可

以得到直線AB的解析式；

（2）①分別設點M、N的橫坐標為m、n,則由平行四邊形的性質可以證得m+n=4,即m、n的和

為定值；

②作DEE1PM,結合①可以求得平行四邊形CMND的周長是關于m的二次函數，由二次函數的知

識可以求得平行四邊形CMND的周長取最大值時m的值，從而得到對應的D點坐標.

【詳解】解：（1）令%2_*_3=（）,可得%=-1,毛=4,八（4,0）,

令拋物線解析式中x=0可得5（0,-3）,

設直線48的解析式為：y=G+b

3

代入A8兩點坐標，求得y==x-3；

4

（2）①設點。的橫坐標為〃？，則點用坐標為10〃『一，"3

點C的坐標為（也;6-3）

3，39、

/.AP=4-m,MC=-m-3-\-nr——m-3

4U4）

=——3tn24-3。772

4

設點N的橫坐標為〃，同理得ON=-：〃2+3〃

4

--nr4-3m=--n2+3n

44

整理得：［（〃-加）（〃+〃?）=3（〃-/〃）

m*n

m+n=4為定值

②作DEA.PM,則DE=n-m=4-rn-m=4-2/n

易證ADECSAAQB

CD=-DF=-(4-2w)

EC344V9

(3\53

平行四邊形CMVQ的周氏=2(MC+CD)=2--機、35+2x-(4-2/n)=一一>+加+1。

14/42

3

.--<0

2

??“〃=(時，周長有最大值

此時點O的坐標為爭-()，點C的坐標為，-罌

當點M、N位置對調，點C、。位置相應對調時，依然滿足條件

點O的坐標為或-

【點睛】本題考查一次函數、二次函數與平行四邊形的綜合應用，熟練掌握一次函數解析式的求法、

平行四邊形的性質及二次函數的圖象和性質是解題關鍵.

2.已知拋物線G：y/=mx2-(3w-3)x+2m-3,直線h：y：=mx+3-2ni,其中w#0.

⑴當〃1=1時，求拋物線G與直線力交點的坐標；

(2)求證：拋物線G與直線h必有一個交點A在坐標軸上；

⑶在(2)的結論下，解決下列問題：

①無論m怎樣變化，求拋物線G一定經過的點坐標；

②將拋物線G關『原點對稱得到的圖象記為拋物線G',試結合圖象探究：若在拋物線G與直線/?,

拋物線G，與直線〃均相交，在所有交點的橫坐標中，點4橫坐標既不是最大值，也不是最小值，

求此時拋物線G的對稱軸的取值范圍.

【答案】⑴(TO)或(2,3)

(2)見解析

⑶①(2,3)；②0〈若《

【分析】(1)把帆=1代入拋物線及直線解析式，并聯立即可求解；

(2)聯立方程組求解即可求證；

(3)①由(2)可直接得到；②先求出拋物線G,再聯立弛物線G，和直線〃，求出交點，再進行

分類討論即可.

(1)

解：當〃?=1時，拋物線G:y=f-],直線〃:)，2=x+l,

令12_1=%+1，解得X=-1或x=2,

拋物線G與直線〃交點的坐標為(-L0)或(2,3)；

(2)

證明：令〃L--(3〃?-3)X+2/"3=/MX+3-2〃？，整理得wix，-(4/〃-3)x+4w?-6=。,

即(x-2)(rnx-2〃?+3)=0,解得x=2或X=——-,

m

當x=2時，y=3；當x=2用3時,),=()；

m

???拋物線G與直線人的交點分別為(2,3)和(空0,0),

m

...必有一個交點在X軸上；

(3)

①證明：由(2)可知，拋物線一定過點(2,3)；

②解；拋物線。：X=皿2⑶力3）x?2tn3=（/ZLV2mI3）（x1）,

則拋物線G與％軸的交點為（1.0）,（即二口，0）,

m

?拋物線G與拋物線G，美于原點對稱，

???拋物線G，過點(T0),(一絲二,。)，

ni

「?拋物線G'的解析式為：_/=-，?仆+D(.v+~m3)=-nvc一(3〃?-3)x-2m+3,

m

,令-nix~-(3m-3)x-2m+3=nix+3-2m,整理得nix'+(4/H-3)x=0,

3-4m

.”=0或%=

m

即四個交點分別為：（0,3-2⑼，（2,3）,4處口，。），（士四，6-6刈,

mfn

當噴三四2時，即:和〃1時，0為最小值，2為最大值，

m24

...0（迎Z2＜2（,〃＞O）,不等式無解，這種情況不成立;

m

當3一4n^i<0時，則3

m4

則三叫〈也口＜2,解得0＞1,不成立;

mm

當號—

此時0＜四二2＜土他，解得得（）＜〃?＜],,

mm2

八3m-33

/.0<--------<-

2m2

即拋物線G對稱軸的取值范圍為：0＜萼鼠].

【點睛】本題主要考查二次函數與一次函數交點問題，第（3）關鍵是求出四個交點，由“點A的橫

坐標既不是最大值乂不是最小值〃，對四個點進行分類討論.

3.已知拋物線"江+云+3與x軸分別交于點4（-3,0）,B（1，O）,與丁軸交于點C,對稱軸。￡

與x軸交于點。，頂點為E.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點尸為對稱軸右側且位于▲,軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點E不重合），PQ_LAE于

點。，當VPQ￡與VAOE相似時，求點P的坐標；

（3）對稱軸OE上是否存在一點M使得NACB=2N/AM力，若存在求出點M的坐標，若不存在請

說明理由.

【答案】（1）尸-丁-2%+3；（2/（；，瞪）；（3）存在，點M的坐標為M（7,75+1）,ng（-l,-75-1）

【分析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）由P的位置分析得只能是△PEQS^EA。，得NQEP=/EAD.

延長律交x軸于尸，則A/=E/，設尸（〃?，0）,由兩點間距離公式可列方程得到F點的坐標，用

待定系數法求直線EF的解析式;，于拋物線聯立即可求得P點坐標；

（3）當點M在*軸上方時，連接MA,MB,由拋物線的對稱性可知MA=MB,則

"MB=2"MD=ZACB,利用圓中同弧所對圓周角相等的性質得圓心O'在對稱軸上，設O'的坐

標為（7,〃?），根據=S==可列方程求得O'的坐標，從而求得M的坐標.最后由

軸對稱性質可知另一點AT的坐標.

【詳解】解：（1）把人（-3,0）,8（1，0）,點坐標分別代入拋物線解析式，

f9?-3/?+3=0

得?，

[〃+〃+3=0

解得：。二-1,b=—2

團拋物線的解析式：y=-x2-2x+3

（2）如圖，只能是△PEQS4E4。，得NQEP=NEAD.

延長EP交x軸于產，

@AF=EF,

^AF2=EF2

設尸（“7,0）,則（川+3）2=4?+（m+1『

團m=2,即尸（2,0）.

設直線EF的解析式為.V=kj+a,

-A.+〃=4

則4,

[2匕+〃=0

k.=--

3

解之得

3

48

團直線EF的解析式y=--x+-.

48

V=-----X4—

聯立『33,

y--x1-2x+3

(3)如圖2,

當點Af在x軸上方時，連接M4,MS,

設。'的坐標為（-1,加），

則點A,B,C,M四點在以O'為圓心的圓上

^ZACB=ZAMB

用。￡是拋物線的對稱軸,

aZAMD-5MD,

^\ZAMB=2ZAMD,

^ZACB=2ZAMD,

04（一3,0）,C（O,3）,A（y=c（y,

0AOf="+〃?2，CO'=Jl+（3-，

團4+〃/=l+（3-m）2,

0m=1,

@6/（-1,1）,CO'=AO'=y/5,

0MD=>/5+l,

6+1）,

當點M在“軸下方時，

由對稱知，M（-l,-右一1）,

即：點M的坐標為M（-1，石+1）,或（-1，-行-1）.

【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，利用二次函數圖像的性質求點的坐標，圓的性質確定點的

位置，掌握二次函數圖象的性質為解題關鍵.

3

4.在平面直角坐標系xoy中，拋物線^=。/+公+。的開口向上，且經過點力（0,-）.

⑴求c的值；

（2）若此拋物線經過點8（2,-y）,且與x軸相交于點E（力，0）,F（也,0）.

①求人的值（用含。的代數式表示）；

②當月產的值最小時，求拋物線的解析式；

⑶若當。/S1,拋物線上的點到;v軸距離的最大值為3時，求6的值.

3

【答案】（l）c=G

⑵①—2。—1,②y=f-3x+|

⑶b的值為1或-5

3

【分析】（1）把40,1）代入解析式即可求出;

(2)①已得由A點坐標可求得。，再肥U點坐標代入可求得〃與4的關系式，可求得答案；②用〃

可表示出拋物線解析式，令尸0可得到關于上的一元二次方程，利用根與系數的關系可用。表示出

石產2的值，再利用函數性質可求得其取得最小值時。的值，可求得拋物線解析式；

(3)可用力表示出拋物線解析式，可求得其對稱軸為％=由題意可得出當*=0、K=1或x=R

時，拋物線上的點可能離x軸最遠，可分別求得其函數值，得到關于〃的方程，可求得〃的值.

⑴

3

解：拋物線)，=?+法+C的開口向上，且經過點40；),

3

c=—,

2

(2)

解：①c4，

??,拋物線經過點8(2-》，

1，?3

二一一=4a+2b+—,

22

:.b=-2a—l,

故答案為：

②由①可得拋物線解析式為y=加-(2a+l)x+本

令y=0可得ar2-(2a+l)x+；=0,

3I3

團=(2a+l/-4ax-=4a2-2a+\=4(a——)'+->0,

244

?.?方程有兩個不相等的實數根，設為巧、々，

2a+l3

???%+占=---，%/=丁，

a2a

，EF2=(x,-x,)2=(玉+x,了-4Ax,=I“=F+1=(--l)2+3,

a'a

???當a=l時，E尸有最小值

???拋物線解析式為y=f-3x+|；

⑶

解：當。=,1時，拋物線解析式為，=*12+6+；3,

???拋物線對稱軸為x=-b,

???只有當x=0、x=l或x=f時，拋物線上的點才有可能離x軸最遠，

313131a

當X=0時，y=~,當X=］時，y=-+b+-=2+b,當工=~時，y=-(-ft)2+/X-^)+-=--//+-,

①當|2+力|=3時，。=1或b=-5,且頂點不在范圍內，滿足條件；

②當〃+m=3時，人=±3,對稱軸為直線x=±3,不在范圍內，故不符合題意，

綜上可知：〃的值為1或-5.

【點睛】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數的性質、一元二次方程根與系數的關

系、一次函數的最值、分類討論思想等知識.在(1)中注意利用待定系數法的應用，在(2)②中

用〃表示出E尸是解題的關鍵，注意一元二次方程根與系數的關系的應用，在(3)中確定出拋物

線上離x軸距離可能最遠的點是解題的關鍵，注意分情況討論.本題考查知識點較多，綜合性較強，

難度較大.

5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=-9+版+。的圖象與坐標軸相交于A、B、C三點，其

中A點坐標為(3,0),8點坐標為(7,0),連接AC、BC.動點。從點A出發，在線段4c上以每秒

0個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點8出發，在線段/M上以每秒1個單位長度向

點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接PQ,設運動時間為，秒.

。O.八>

(1)求6、c的值;

(2)在產、。運動的過程中，當，為何值時，四邊形BCPQ的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M,使AMPQ是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形？

若存在，請求出點用的坐標：若不存在，請說明理由.

【答案】(1)b=2,c=3；(2)1=2,最小值為4；(3)(出叵，、?迎)

48

【分析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)過點尸作笈而軸，垂足為應利用S頌懈3CP0=SJ4cs/P。表示出四邊形8CPQ的面積，

求出/的范圍，利用二次函數的性質求出最值即可；

(3)畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E,過M作y軸的垂線，與E尸交于凡證明加打他照儀,

得到PF=QE=4-2t,得到點A1的坐標，再代入二次函數表達式，求出［值，即可算出必

的坐標.

【詳解】解：(1)回拋物線片-『+隊+。經過點力(3,0),B(-1,0),

0=-9+3Z?+c

則

0=-\-b+c

b=2

解得：

c=3

(2)由(1)得：拋物線表達式為產-W+2Y+3,C(0,3),A(3,0),

雕1。4c是等腰直角三角形，由點夕的運動可知:

AP=?,過點。作尸曲軸，垂足為E,

^AE=PE=^=t,即￡(3-1,0),

又0(-1+60),

團S^BCPQ=SAABC-SAAPQ

=-ix4x3-^x|_3-(-l+f)J/

=-/2-2/4-6

2

團當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動,

AC=y)32+32=372?/8=4,

00</<3,

-2I

團當弋2x』=2時，四邊形4CP0的面積最小，即為］X22-2X2+6=4；

(3)回點M是線段力。上方的拋物線上的點，

如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E,過〃作y軸的垂線，與EP交于F,

配火必。是等腰直角三角形，PM=PQ,(WP0=9O°,

00MPF+0￡>PE=9O",又回WP&3PM/=90°,

^PMF^QPE,

在同/7入/和田0￡〃中,

ZF=NQEP

,/LPMF=NQPE,

PM=PQ

團團尸產M招。EPCAAS),

⑦MF=PE=t,PF=QE=4-2t,

|?l/?F=4-?/+/=4-/,又OE=^-t.

12點歷的坐標為(32,4-/),

團點M在拋物線產-/+2r+3上，

04-/=-(32)2+2(3-2/)+3,

解得：/=紋叵或空瓦(舍)，

88

(3M點的坐標為(上政，竺姮)?

48

【點睛】本題考查了二次函數綜合，涉及到全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，三

角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

6.已知拋物線歹=-3/+〃d+〃?+；與工軸交于點48（點/在點8的左側），與歹軸交于點C（0,

-g），點P為拋物線在直線4C上方圖象上一動點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求團R1C面積的最大值，并求此時點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線+m+〃i+g在點/、4之間的部分（含點力、B）沿x軸向

下翻折，得到圖象G.現將圖象G沿直線力C平移，得到新的圖象M與線段PC只有一個交點，求

圖象M的頂點橫坐標n的取值范圍.

【答案】（1）y=~x2-3x-^-.,（2）當學時，S.取得的最大值，最大值為號；（3）

22k2?716

---或〃=2

【分析】（1）將點。（0，-j）代入拋物線解析式直接求解即可；

（2）先求出力點坐標，以及直線4C的解析式，再過P點作。絕:軸，交力C于。點，通過設尸、

。兩點的坐標，建立出關于S,的二次函數表達式，然后結合二次函數的性質求出其最值，并求出

此時對應的0點坐標即可；

（3）先根據題意畫出基本圖像G,然后結合平移的性質確定8點的運動軌跡，以及其直線解析式，

根據題目要求和平移的性質可以確定點4平移至恰好在尸C上時，以及圖象G與直線/4C的交點R,

經過平移至C點時，滿足要求，應注意，當力點平移后經過C點時，此時也可滿足圖象"與PC

僅有一個交點，即為。點，此情況應單獨求解?.

【詳解】解：（1）將點C（0,-|）代入拋物線解析式得：

m+————,解得：m——3，

22

團拋物線解析式為：y———A2—3x—；

（2）團拋物線與》軸交于力、B兩點,

團令0=一;f,解得：4=-5,%2=-1，

曲、8坐標分別為：A（—5,0）,B（-l,0）,

設直線4。的解析式為：）=去+/攵工0）,

將A（—5,0）和《0,一|卜弋入得：

（~5k+b=0k=~-

A5,解得：；，

b=——,5

2b=——

2

田直線dC的解析式為：）'=一gK一g，

如圖所示，過夕點作尸絕軸，交力C于。點,

團尸點在位于直線4C上方的拋物線上,

15

團設則其中_5<a<0.

22)

團。。=%一%=彳15

-a

212222

125

0S?.=———a1fllxFO—(—5)1=--fl+—+

“r2(22JLV4(2)~\6

ia--<o,

4

5|?5

團拋物線開II向下，當。=-小時，s*取得的最大值，最大值為寧,

2Io

此時，將代入拋物線解析式得：y=

2o

例當pj-鼠學時，S,c取得的最大值，最大值為空：

\287lo

(3)如圖所示，拋物線y=-；/+mx+,〃+；在點力、4之間的部分(含點力、B)沿x軸向下翻折,

得到圖象G.

由(1)可知，原拋物線頂點坐標為(-3,2),

團沿x軸向下翻折后，圖象G的頂點坐標為(-3,-2),圖象G的解析式為：)，=gf+3x+|；

團圖象G沿著直線力。平移，

團作直線85a4C,交尸C于S點，則隨著平移過程，點8在直線上運動,

分如下情況討論:

①當圖象G沿直線力。平移至4點恰好經過S點時,如圖中所示,

此時，平移后的圖象M恰好與線段。。有一個交點，即為S點,

(515A15

由(2)知，P,以及直線力。的解析式為y=-—X—

\OJ22

回設直線4s的解析式為：y=~x+b,

將8(-1,0)代入得：〃=-

團直線8s的解析式為：y=

設直線夕。的解析式為：曠二去+。(攵工0),

5

將P]-?片｝2代入得:

5,,157

——k+b=一k=-

28,解得：，4

5

b---b

22

回直線PC的解析式為：yW

8

xx=—

y=-^25

聯立；，解得：?

73

-Xy=-

4210

/QaX

即：S點的坐標為S.

\。1U,

,等同于向左平移m3個單位，向上平移益3個單位，

3

即：當平移后的圖象M與線段PC恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向左平移]個單位，向上平

移輸3個單位,

13原圖像G的頂點坐標為：(-3,-2),

Q1Q

團平移后圖象Mt的頂點的橫坐標n=-3-^=~；

②當圖象G沿直線4。平移至恰好經過。點時，如圖中A6所示,

設圖象G與直線4C的交點為R,

y=^+3x+lx=-2

2152,解得：.

聯立3，

I)'y=

)'二一5'-5-2

團點R的坐標為：R[-2,-5

由平移至。[。，-a5)，等同于向右平移2個單位，向下平移1個單位,

2

團當平移后的圖象"與線段尸C恰好僅有一個交點時，可由原圖像G向右平移2個單位，向下平移

1各單位,

團原圖像G的頂點坐標為：(-3,-2),

團平移后圖象此的頂點的橫坐標〃=-3+2=-1；

團當圖象G在和“2之間平移時，均能滿足與線段尸C有且僅有一個交點,

此時，圖象M的頂點橫坐標〃的取值范圍為：

③當圖象G沿直線4c平移至力點恰好經過C點時，如圖中所示，

此時，由A(-5,0)平移至等同于向右平移5個單位，向下平移!?個單位,

即：原圖像G向右平移5個單位，向下平移半個單位，得到圖象

回原圖像G的頂點坐標為：(-3,-2),

團平移后圖象上的頂點的橫坐標〃=-3+5=2：

綜上所述，當新的圖象M與線段尸。只有一個交點時，圖象M的頂點橫坐標〃的取值范圍為:

18

-----K"4-1或〃=2.

【點睛】本題考查二次函數綜合問題，包括圖象的翻折變換和平移變換等，掌握二次函數的基本性

質，翻折和平移變換的性質，以及準確分類討論是解題關鍵.

7.已知函數尸，-+于"心＜叫記該函數圖像為G.

x2-mx+m[x＞ni)

(1)當m=2時，

①已知何(4,〃)在該函數圖像上，求〃的值；

②當0?xK2時，求函數G的最大值；

(2)當相＞0時，作直線％=與x軸交于點P,與函數G交于點0,若/POQ=45。時，求用的

值；

(3)當加43時，設圖像與x軸交于點力，與)，軸交于點8,過8做8CJ.B4交直線*="與點C,

設點A的橫坐標為。，C點的縱坐標為c,若a=-3c,求力的值.

【答案】（1）①〃=10,②圖數G的最大值為，；（2），〃=6；（3）/〃=,或〃?=一號

——V~-J-—x+2（V<）

【分析】（1）由題意易得y=2,2'乙①把點M（4,〃）代入求解即可；②根據二次

X2-2X+2（X>2）

函數的性質可進行求解；

（2）由題意可得如圖所示，然后可得尸（今,0）,△P。。是等腰直角三角形，則有進而

\/\LL）

代人求解即可：

（3）由題意可得如圖所示,則有C（〃?,c）,4mo）,4（0,〃。，然后可得OB=OE=〃?,。4二-。，設直

線與=切與x軸的交點為￡,過點C作CO沙軸于點。，進而易證AAO點△8OC,然后根據全等三

角形的性質可求解.

【詳解】解：（1）13m=2,

--X2+-X+2（X<2）

回產｛22'，，

X2-2X+2（X>2）

①團M（4,〃）在該函數圖像上，

團〃=42-2x4+2=10;

②由題意得：當x<2時，函數G的解析式為y=工+2,當入？2時，函數G的解析式為

y=x2-2x+2,

（30<x<2,

當0Kxv2時，則），=一!12+」x+2=-"!■）+□,

2221.2）8

I17

團當x=5時，函數G有最大值，即為了；

當x=2時，則有函數G的最大值為），=22-4+2=2,

42,

8

17

（3當0WXW2時，函數G的最大值為彳；

O

（2）由當機>0時，作直線x=；〃?與x軸交于點尸，與函數G交于點0,可得點。必定落在

y=-gx2+gx+機的函數圖象上，如圖所示：

0OP=-,

2

團NP0Q=45。，

團APOQ是等腰直角三角形，

⑦PQ=OP=￡,

叫/山mm\,

0——x—/zr+—x—m+tn=—tn,化簡得：nr—6m=0，

24222

解得：叫=（）,”?2=6,

團m>0.

0/n=6；

(3)①當時，由題意“J得如圖所示，設直線”，〃與x軸的交點為E,過點。作CQ0y軸

于點D,

x=m

^^BDC=ZAOB=ZCEO=90°,

令尸0,則有0=—；x2+9+〃]，解得：/J±4+8/〃,

2―2

nt<39

ix1-Jl+8/〃

0a=---------<0,

2

由題意得：C(〃"),4(a,0),E(0,，〃)，四邊形DOEC是矩形,

0DC=OB=OE=m.OA=-a.OD=CE=|c|,

0BC1BA,

0ZABC=9O°,

團ZABO+/DBC=ZDBC+/