專題突破卷21圓錐曲線中的定直線問題

堡題好嵬

章題粵各個擊破_______________________

題型一：橢圓中的定直線問題

1.已知橢圓C：J+y2=l的左右頂點分別為A,B,過r>t，o］的直線與橢圓C交于區(qū)F

兩點(異于左右頂點)，直線AE,8尸相交于點P.

(1)求證：點P在定直線上；

(2)線段EF的中點為求AOMP面積的最大值.

2.已知橢圓C：±+*=1(。>6>0)的右頂點為43,0),離心率為好，過點P(3,2)的直

ab3

線/與C交于M,N兩點.

11

(1)若C的上頂點為8,直線BM,8N的斜率分別為《，k2,求7+廠的值；

(2)過點/且垂直于x軸的直線交直線AN于點。證明：線段的中點在定直線上.

22

3.已知橢圓C:[+]=l(a>b>0)的左、右焦點分別為片,心，上、下頂點分別為4,4,四

ab

邊形AfjAK的面積為2石且有一個內(nèi)角為三.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若以線段FR為直徑的圓與橢圓C無公共點，過點A(l,3)的直線與橢圓C交于p,Q兩點

(點P在點。的上方)，線段PQ上存在點M,使得蔚=崗，求段的最小值?

22

4.己知橢圓石:亍+方=1(°>6>0)的短軸長為2月，左、右頂點分別為"，過右焦點

尸(1,0)的直線/交橢圓E于42兩點(不與C,。重合)，直線AC與直線3D交于點T.

⑴求橢圓E的方程；

⑵求證：點T在定直線上.

22

5.已知橢圓C：I+當(dāng)=l(a>。>O)的左、右焦點分別為6,月,M(l,l)是C上一點,且點M到

ab

點用出的距離之和為2G.

(1)求C的方程；

(2)斜率為;的直線/與C交于43兩點，則改1么5的外心是否在一條定直線上？若在,求

出該直線的方程；若不在，請說明理由.

6.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(0,l)、B(O-l),焦點在無軸上，離心率為手，直線

/:y=Ax-g(Z<0)與橢圓C交于M、N兩點.

⑴求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)上變化時，是否存在過點A的定直線機，使直線加平分NM4N?若存在，求出該定直

線的方程；若不存在，請說明理由.

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7.已知橢圓r京+5=1(°>0)的右焦點為尸(i,o),過點/且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交r于

AB兩點，「在兩點處的切線交于點Q.

(1)求證：點。在定直線上，并求出該直線方程；

⑵設(shè)點M為直線。。上一點，且求|A"|的最小值.

22

8.已知橢圓C：2+方=l(a>6>0)的左、右焦點分別為耳,E，Q(LL5)是C上一點，

4

tan/居。弱=§.點片，層分別為C的上、下頂點，直線心>=履+1與C相交于兩點,

直線M綜八名交于點P

⑴求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵證明點P在定直線4上，并求直線加耳圍成的三角形面積的最小值.

9.平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形ABCD的頂點AB分別在x軸和y軸上滑動，

且加=2西+立而，記動點p的軌跡為曲線r.

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⑴求r的方程；

⑵過點E(4,l)的動直線/與曲線「交于不同的兩點M,N時，在線段MN上取點Q,滿足

|兩麗|=|西"就|.試探究點。是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若

不是，說明理由.

10.已知橢圓C：5+*l(a>b>0)的離心率為當(dāng)，點4-2,0)在c上.

(1)求C的方程；

⑵過點2(-2,1)的直線交C于P,Q兩點,過點尸作垂直于x軸的直線與直線AQ相交于點M,

證明：線段PM的中點在定直線上.

題型二：雙曲線中的定直線問題

11.已知雙曲線C:=-y2=im>])的右焦點為尸，過點尸的直線/交雙曲線c于點A,B,

a

且|的最小值為半.

(1)求C的方程；

⑵若p(-V5,o),A,8均在C的右支上且.ABP的外心落在y軸上，求直線/的方程.

12.動點尸(X,y)與定點尸(2,0)的距離和它到定直線/:》=；的距離的比是2,記動點尸的軌

跡為曲線C.

(1)求C的方程；

⑵過R(-2,0)的直線/與c交于兩點，且麗=4踮(a>0),若點M滿足病="麗，證

明：點M在一條定直線上.

13.在平面直角坐標(biāo)系即中，O為坐標(biāo)原點，A(-l,0),5(1,0),動點尸滿足人隊=3,設(shè)

點p的軌跡為曲線r.

⑴求曲線「的方程；

(2)過點C(l,l)的直線/與曲線r在y軸右側(cè)交于不同的兩點M,N,在線段上取異于點M,

N的點。，滿足|C"|?|DV|=|MD|"CN|.證明：點。在定直線上.

14.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點。，C的一個焦點坐標(biāo)為耳(0,3),離心率為6.

⑴求C的方程；

(2)設(shè)C的上、下頂點分別為4，4,若直線/交C于加(石,乂)，N(程％),且點N在第一

3

象限，M%>。，直線AM與直線&N的交點尸在直線>=《上，證明：直線MN過定點.

2

15.已知雙曲線C:尤2-1_=1的左、右頂點分別是4,4,直線/與C交于兩點(不與4

3一

重合)，設(shè)直線4M,4N,/的斜率分別為勺,占,左，且(匕+&)左=-6.

(D判斷直線/是否過x軸上的定點.若過，求出該定點；若不過，請說明理由.

(2)若M,N分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線"A與N4的交點尸在定直線上.

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16.已知雙曲線C：二-*■=/>0),直線/在％軸上方與％軸平行，交雙曲線。于

4B兩點，直線/交y軸于點D當(dāng)/經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標(biāo)為(6,4).

⑴求C的方程；

(2)設(shè)。。的中點為是否存在定直線/,使得經(jīng)過加的直線與C交于P,Q,與線段A8

交于點MPM=APN，血=4的均成立；若存在，求出/的方程；若不存在，請說明理

由.

17.已知曲線C上的動點尸滿足IP耳1尸81=2,且耳(—2,0),尖(2,0).

(1)求C的方程；

(2)若直線A3與C交于A、8兩點，過A、8分別做C的切線，兩切線交于點P.在以下兩

個條件①②中選擇一個條件，證明另外一個條件成立.

①直線A3經(jīng)過定點加(4,0)；

②點尸'在定直線x上.

4

22_

18.已知雙曲線C：]-}=l(a>0,6>0)的離心率為過點E。,。)的直線/與C左右

兩支分別交于M,N兩個不同的點（異于頂點）.

（1）若點尸為線段的中點，求直線0P與直線斜率之積（。為坐標(biāo)原點）；

⑵若48為雙曲線的左右頂點，且|AB|=4,試判斷直線AN與直線的交點G是否在

定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由

19.已知雙曲線C:左、右焦點分別為G，鳥，點尸坐

標(biāo)為（3,1）,且圖?朋=6.

⑴求雙曲線C的方程；

⑵過點P的動直線/與C的左、右兩支分別交于兩點若點M在線段AB上，滿足

品\AP\=隔\BP\，證明：”在定直線上?

22

20.已知月、分別為雙曲線G：當(dāng)-==1（。＞0,。＞0）的上、下焦點，其中K坐標(biāo)為（0,2）

點M（石,0）是雙曲線G上的一個點.

⑴求雙曲線G的方程；

22

⑵己知過點尸（4,1）的直線與6：當(dāng)-三=1（。＞0,。＞0）上支交于不同的4、2兩點，在線段

ab

AB上取點Q,滿足|44］。理=|4。|-|尸耳，證明：點Q總在某條定直線上.

題型三：拋物線中的定直線問題

21.已知拋物線C:/=2px（p＞0）,過點0（0,2）的直線/與C交于不同的兩點A,反當(dāng)直線/

的傾斜角為135°時，|A3|=4回.

⑴求C的方程;

\DA\AE\

⑵在線段AB上取異于點A3的點E,且滿足*5=得試問是否存在一條定直線，使得

邛

點E恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.

22.已知拋物線。:產(chǎn)=29(°>0)的焦點為歹，過尸作互相垂直的直線4,4,分別與C交于

A,B和RE兩點(A,。在第一象限)，當(dāng)直線乙的傾斜角等于45°時，四邊形AD3E的面積

為32.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)直線AD與BE交于點。，證明：點。在定直線上.

23.若拋物線1的方程為V=4x,焦點、為F,設(shè)尸,。是拋物線T上兩個不同的動點.

⑴割尸耳=3,求直線Pf■的斜率；

(2)設(shè)尸。中點為R,若直線尸。斜率為母，證明R在一條定直線上.

24.已知拋物線C：j=y,過點E(0,2)作直線交拋物線C于A,B兩點,過A,2兩點分別

作拋物線C的切線交于點P.

(1)證明：尸在定直線上；

(2)若f為拋物線C的焦點，證明：^PFA=Z.PFB.

25.已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，直線4：y=K(x+2)與直線/2：y=&(x+2)與拋物

線C分別交于點P,Q和點R,S.

(1)若勺=；，求△尸。尸的面積；

(2)若直線PS與衣。交于點A,證明：點A在定直線上.

26.已知拋物線E：y=2px(p>0),過點(-1,0)的兩條直線乙、乙分別交E于A、B兩點和

C、。兩點.當(dāng)乙的斜率為:時，|鉆|=2跳.

(1)求￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)G為直線與2C的交點，證明：點G在定直線上.

27.已知拋物線C：V=2x,過尸(1,0)的直線與C相交于A,B兩點，其中。為坐標(biāo)原點.

(1)證明：直線OA,。8的斜率之積為定值；

(2)若線段的垂直平分線交y軸于且tanZAA*與，求直線A8的方程.

28.已知拋物線G：/=2/(2>0)和圓6：(》+1)2+產(chǎn)=2,傾斜角為45。的直線乙過G的焦點

且與Q相切.

⑴求p的值：

⑵點M在G的準(zhǔn)線上，動點A在G上，C在A點處的切線/2交y軸于點B,設(shè)麗=疝+礪，

求證：點N在定直線上，并求該定直線的方程.

29.已知直線丫=履+1與拋物線C：Y=8y交于A,B兩點,分別過A,8兩點作C的切線,

兩條切線的交點為。.

(1)證明點。在一條定直線上；

⑵過點。作y軸的平行線交C于點E線段AB的中點為P,

①證明：E為Z)產(chǎn)的中點；

②求VADE面積的最小值.

30.已知直線'=履+1與拋物線C：尤2=8y交于A,2兩點，分別過A,8兩點作C的切線,

兩條切線的交點為D

（1）證明點。在一條定直線上；

⑵過點。作y軸的平行線交C于點E,求VADE面積的最小值.

窿小時制/

22

1.橢圓C:工+1=1（。＞。＞0）的左右焦點分別為不工，焦距為20，點M為橢圓上位于

ab

X軸上方的一點，MFXMK=Q,且△岬乙的面積為2.

⑴求橢圓C的方程；

TT

（2）過點尸2的直線/與橢圓交于A，8兩點，且=求直線/的方程.

2.已知3（-l,0）,C（l,0）為VA8C的兩個頂點，P為VABC的重心，邊AC,上的兩條中線

長度之和為6.

（1）求點P的軌跡C的方程.

⑵已知點N（T0）,E（—2,0）,F（2,0）,直線PN與曲線C的另一個公共點為。，直線研與

F。交于點求證：當(dāng)點尸變化時，點“恒在一條定直線上.

丫221

3.已知橢圓。：三十七=1（〃〉力＞0）的左、右頂點分別為4,4,且|4闋=4,離心率為彳,

cib2

過點M（3,0）的直線/與橢圓C順次交于點°,P.

⑴求橢圓C的方程;

（2）是否存在定直線無=/與直線&P交于點G,使4,G,Q共線.

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4.已知雙曲線E:=-3=l(a>0,6>0)的左、右焦點分別為我|、F?,寓局=2指且雙曲

ab

線E經(jīng)過點A(6,2).

⑴求雙曲線E的方程；

⑵過點P(2,l)作動直線/,與雙曲線的左、右支分別交于點M、N,在線段上取異于

\PM\\MH\.

點M、N的點“，滿足?〉入了|='求證：點”怛在一條定直線上.

\PN\

5.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知人(-2,0),5(2,0),動點P滿足條件：直線2與直線PB的斜

率之積等于記動點P的軌跡為E.

⑴求E的方程；

⑵過點C(4,0)作直線/交E于M,N兩點，直線AM與3N交點。是否在一條定直線上？

若是，求出這條直線方程；若不是，說明理由.

6.己知雙曲線C:0-斗=1.>0力>0)的右焦點為網(wǎng)2,0),漸近線方程為>=±瓜.