軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬等）

重難點題型專訓（8大題型+29道拓展培優）

?題型目錄

題型一將軍飲馬之線段和最值

題型二將軍飲馬之線段差最值

題型三將軍飲馬之兩定一動最值

題型四三點共線最大值

題型五雙對稱關系求周長最小值

題型六兩定兩動型最值

題型七兩動一定最值

題型八費馬點最值問題

&知識梳理

將軍飲馬中最短路徑問題四大模型

一兩定點在直線的異側

問題1作法圖形原理

'A

A

連接與直線的交點兩點之間，線段最短，此

.LAB,1------------E------------/

B

P即為所求。時PA+PB的和最小。

在直線1上找一點P,使得B

PA+PB的和最小。

二兩定點在直線的同側

問題2：將軍飲馬作法圖形原理

4

.B作B關于直線1的對稱點A化折為直；

B

----------------------------1

C,連AC,與直線1的交------/兩點之間，線段最短，此

在直線1上找一點P,使得

點P即為所求。C時PA+PB的和AC最小。

PA+PB的和最小。

三兩動點一定點問題

問題3：兩個動點作法圖形原理

4

/A

作P關于0A的對稱PH/

2

o-------?點P1,作P關于0B兩點之間，線段最短，此

的對稱點P2,連接/3B時PC+PD+CD的和最小。

點P在銳角ZAOB的內部，在0A

P1P2o

邊上找一點C,在0B0

邊上找一點D,，使得

*P2

PC+PD+CD的和最小。

四造橋選址問題

問題4：造橋選址作法圖形原理

A

Mm

A

將點A鄉向下平移MN的

Mm兩點之間，線段最短，此

n長度得A1，連&B,交n

NA；時AM+MN+BN的最小值為

B于點N,過N作NM_Lm

N\口AjB+MNo

直線m〃n,在m,n上分別于M。B

求點M、N,使MN_Lm,MN±

n,且AM+MN+BN的和最小。

注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學可以學習完第3章后再完成該專題訓練.

勾股定理公式：a2+b2=c2

篋經典例題

_。【經典例題一將軍飲馬之線段和最值】

【例1】如圖，在中，AB=AC,分別以點48為圓心，以適當長為半徑畫弧，兩弧分別交于

E、F,畫直線￡尸，。為2C的中點，刊為直線跖上任意一點，若8c=5,A4BC的面積為15,貝U2M+A?

【答案】B

【分析】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，三角形的面積，三線合一定理，兩點之間

線段最短等知識，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質.如圖，連接㈤/,AD.利用三角形的面積公式求

出再根據兩點之間線段最短，線段的垂直平分線的性質判斷即可.

AD,BC,

S^ABC=5,BC.AD=15,BC=5,

由作圖可知：斯垂直平分線段

：.MA=MB,

:.MB+MD=AM+MD>AD=6,

：.BM+DM的最小值為6,

故選：B.

X變式訓練

1.如圖，在RtZ\/3C中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=\Q,“。平分ZA4C,若P、0分別是4D

和/C上的動點，則PC+P。的最小值是（）

A.1.2B.2.4C.4.8D.9.6

【答案】C

【分析】本題考查了軸對稱的性質、垂線段最短等知識，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵.作點。關于血

的對稱點E,連接則PE=P。，從而可得PC+PQ=PC+PE,先根據兩點之間線段最短可得當

點C,P,E共線時，PC+PE的值最小，最小值為CE,再根據軸對稱的性質可得點E在邊48上，然后根據

垂線段最短可得當CE1/8時，CE的值最小，最后利用三角形的面積公式求解即可得.

【詳解】解：如圖，作點。關于期的對稱點E,連接CE,尸E,

.-.PC+PQ=PC+PE,

由兩點之間線段最短可知，當點CRE共線時，尸C+PE的值最小，最小值為CE,

???3平分N8/C,

???點E在邊43上，

由垂線段最短可知，當CE1/2時，CE的值最小，

則此時SOM=，4氏。￡=j/。2。，BP-xlOC￡=-x6x8,

2222

解得CE=4.8,

即尸C+P。的最小值是4.8,

故選：c.

2.如圖，在△Z8C中，AB=AC=\O,BC=12,AD=8,M是一歷1C的角平分線，若E,尸分別是40

和/C上的動點，貝UEC+E尸的最小值是.

,林4▼48

【答案】y

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，軸對稱-最短路線問題，三角形的面積，垂線段最短，作產關

于M的對稱點尸'，由對稱性可知，點尸'在48上，當C尸」4B時-，EC+E尸的最小值為C尸'，再利用面積

法求出CF'的長即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解:作尸關于ND的對稱點尸'，

???必是/R4c的平分線，

*點尸'在48上,

???EF=EF',

.?.當CF'_LAB時，EC+EF的最小值為CF',

AB=AC,4D是—A4C的平分線，

ADJ.BC,

.-.S,?=LBCXAD=LABXCF,

AABLR22

.-.12x8=10xCF,

.-.CF'=^,

48

.??七。+斯的最小值為彳，

48

故答案為：—.

3.唐朝著名詩人李頑的代表作品《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱

含著一個有趣的數學問題.如圖1,詩中將士在觀望烽火之后從山腳下的/點出發，走到河邊飲馬后再到8

點宿營.請問在何處飲馬才能使總路程最短？我們可以用軸對稱的方法解決這個問題.

B

B'

圖I圖3

(1)如圖2,作點8關于直線/的對稱點8',連接2二與直線/交于點C,點C就是所求的位置.

理由：如圖3,在直線/上另取不同于點C的任一點C',連接NC',BC,B'C,

因為點8、3,關于直線/對稱，點C、C'在直線/上,

所以C8=_,CB

所以4C+CB=4C+C8'=_,

在△4C時中,依據

可得AB'<4C'+C'3',

所以NC+C8</C'+C?,

即HC+CB最小.

(2)遷移應用：如圖4,ZUBC是等邊三角形，N是N3的中點，40是8C邊上的中線，4D=6,M是40

上的一個動點，連接W、MN,則3M+MN的最小值是一

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】(1)根據軸對稱的性質得到CB=CQ,C'B=C'B',然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊求

解即可；

(2)連接MC,NC,根據題意得到當點N,M,C三點共線時，2M+MV有最小值，即NC的長度，然后

根等邊三角形的性質求解即可.

【詳解】(1)解：理由：如圖3,在直線/上另取不同于點C的任一點C',連接NC,B'C,

因為點8、3,關于直線/對稱，點C、C'在直線/上，

所以C3=C3',CB=CB',

所以/C+CB=/C+C8'=/B',

在△/CW中，依據三角形的任意兩邊之和大于第三邊

可得48'</C'+C'8',

所以4C+C3</U+C?,

即NC+CB最小.

故答案為：CB',CB',AB',三角形的任意兩邊之和大于第三邊；

(2)解：如圖所示，連接MC,NC,

???△4BC是等邊三角形，40是2c邊上的中線，

??.40垂直平分8C,

BM=CM,

：.BM+MN=CM+MN>NC,

二當點N,M,C三點共線時，5M+MN有最小值，即NC的長度，

???40=6,N是的中點，△4BC是等邊三角形，

NC=AD=6,

.?.8"+MN的最小值為6.

【點睛】本題主要考查的是軸對稱圖形的性質以及兩點之間線段最短，三角形三邊關系,等邊三角形的性

質等知識，正確掌握兩點之間，線段最短是解題的關鍵.

_。【經典例題二將軍飲馬之線段差最值】

【例2】如圖，在△4BC中，AB=CB,AB=100°.延長線段8c至點。，使CD=BC,過點。作射線

DP，點￡為射線。尸上的動點，分別過點A,。作直線EC的垂線放，DN.當的值最大

時，//CE的度數為.

【答案】130。/130度

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質.如圖，過點3

作直線/于點證明=推出W與他重合時，的值最大，此時|NX-QN|=43,

畫出相應的圖形，根據條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果.

【詳解】解：如圖，過點8作3"直線/于點

???。"，直線/,直線/,

ZDNC=ZBHC,

ZDCN=ZBCH,BC=CD,

:.ACDN知CBH（ASA）,

BH=DN,

：.\AM-DN\=\AM-BH\,

?.?力〃與奶重合時，MM-BW的值最大,

.,.當DN與QP重合，ZAf與重合時，叫叫的值

?/Z^BC=100°,

/.4cBM=180°-100°=80°,

vAMLCE,

/.ZAMC=90°f

Z5CM=90°-80°=10°,

又;AB=BC,

ZACB=(180°-100°)4-2=40°,

/ACE=180°-NACB-/BCM=180°-40°-10°=130°,

故答案為：130。.

「變式訓練

1.如圖，AB//DP,E為DP上一動點,23=C5=CZ),過A作/N1EC交直線EC于N,過。作DMJ.EC

交直線EC于點AT,若々=114。，當/N-DM的值最大時，則44CE=.

【分析】當DWr與DP重合，4N與重合時，MN-OM的值最大，此時MN-Z>M=48，畫出相應的圖形,

根據條件，利用三角形的內角和、鄰補角的意義，求出結果.

【詳解】解：當。M與。尸重合，/N與48重合時，⑷VRM的值最大，此時⑷

Pi

'A

￡(A/)////

D

N

■■■AABC=1140,

.?ZCDE=18O°-114°=66°,

.-.zMCD=90°-66°=24°,

又?；AB=BC,

.-.AACB=(180°-114°)+2=33°,

山CE=180°ZC3-NDCM=180°-33°-24°=123°,

故答案為：123。.

【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形內角和、直角三角形、等腰三角形的性質等知識，根據題意畫

出相應圖形是解決問題的關鍵.

2.如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，每個小正方形的頂點叫格點.已知△ZBC

的頂點均在格點上.

⑴畫出格點三角形ABC關于直線DE對稱的；

(2)AH8'C的面積是

(3)在直線上找出點P,使|P/-PC|最大，并求出最大值為一.(保留作圖痕跡)

【答案】(1)見解析

⑵5

(3)見解析，回

【分析】本題考查作圖-軸對稱變換，線段最短，勾股定理;

(1)根據軸對稱的性質作圖即可.

(2)利用割補法求三角形的面積即可.

(3)延長ZC,交直線DE于點P,則點P即為所求.利用勾股定理求出/C的長，即可得出答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，AHB'C'即為所求；

11133

(2)A/'8'C'的面積是一x(l+3)x4——x3xl——xlx3=8---------=5

2''2222

(3)如圖所示，延長ZC,交直線QE于點P,

D

E

止匕時|P/-PC|=/C,為最大值，

則點尸即為所求.

由勾股定理得，AC=V32+l2=Vio>

二最大值為JiU.

故答案為：Vio.

3.如圖，已知△ABC的三個頂點在格點上.

(1)畫出△4月G，使它與△NBC關于直線"N對稱;

⑵在直線MN上畫出點。，使ZBDM=ZCDN.

(3)在直線上畫出點尸，使|P4-PC|最大.

【答案】(1)見詳解

(2)見詳解

(3)見詳解

【分析】(1)分別作點/、B、C關于直線MV的對稱點4、用、G；順次連接4、4、。所得的三角形

即為所求.

(2)連接3G交直線"N于點。即可作答；

(3)延長ZC交直線于點P即可作答；

【詳解】(1)如圖，

即用G為所求;

(2)如圖，

證明：根據對稱性可知ZC\DN=ZCDN,

根據對頂角相等可得：NCQN=NBDM,

即有=

(3)如圖，

點尸即為所求.

證明：如圖，當點尸在耳處時，根據三角形三邊的關系可知：\PA-PC\<AC.

當點/、C、P在三點共線時，此時有：PA-PC=AC；

綜上有：|PN-PC|W/C,當且僅當點/、C、尸在三點共線時取等號，

即點尸滿足要求.

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形，軸對稱的性質，對頂角相等，三角形三邊的關系等知識，掌握軸對稱

圖形的性質，是解答本題的關鍵.

一?！窘浀淅}三將軍飲馬之兩定一動最值】

【例3】小王準備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區/,3提供牛奶，要使4,2兩小區到送奶站的距

離之和最小，則送奶站C的位置應該在（）.

居民區4/

B、〃居民區8

街^—

居民區3居民區/

二D.\號民區8

街道-

【答案】c

【分析】本題考查軸對稱-最短路線的問題，將折線最短問題轉化為兩點之間，線段最短問題.會作對稱點

是解此類問題的基礎，要求學生能熟練掌握，并熟練應用.另外本題的解決還應用了三角形的三邊關系：

三角形的兩邊之和大于第三邊.先作點A關于街道的對稱點H,再根據三角形的兩邊之和大于第三邊，得

出+再進行邊的等量代換，即可作答.

【詳解】解：如圖：作點A關于街道的對稱點連接力'3交街道所在直線于點C,

...A,C=AC,

??.AC+BC=A'B,

在街道上任取除點。以外的一點C,連接HC,BC,AC,

/.AC'+BC'=AC+BC,

在△，（區中，兩邊之和大于第三邊，

A'C'+BC'>AB,

/.AC+BC>AC+BC,

.??點。到兩小區送奶站距離之和最小.

區變式訓練

【變式4-1］（2023春?黑龍江齊齊哈爾?八年級校考階段練習）如圖，一個牧童在小河的南4km的4處牧馬,

而他正位于他的小屋8的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事

情所走的最短路程是多少？

小河

北

牧童3

I

I十東

I

I

n

?8小屋

【答案】17km

【分析】如圖（見詳解），將小河看成直線MM由題意先作/關于MN的對稱點4,連接4B,構建直角三

角形，貝U4B就是最短路線；在中，AA'DB=90°,BD=8km,A'D=AD+A'A,利用勾股定理

即可求出4B.

【詳解】如圖，做出點/關于小河MN的對稱點4,連接4B交血W于點尸，則4B就是牧童要完成這件事情

所走的最短路程長度.

由題意知：4。=4+4+7=15km,BD=8km,ND=90。,

在中，由勾股定理求得4B=>JA'D2+BD2=17km,

則他要完成這件事情所走的最短路程是17km.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，掌握軸對稱的性質和勾股定理是解題的關鍵.

【變式4-2］（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，正A45C的邊長為2,過點2的直線/L43,且A42C

與關于直線1對稱，D為線段8C上一動點，則AD+CD的最小值是.

【答案】4

【分析】根據等邊三角形的性質及軸對稱的性質得到乙45。=乙4/0=60。，A'B=AB=BC=2,證明△CAD三

BD,得到CD=4。，推出當A、D、4三點共線時，4D+CD最小，止匕時4D+CZ>=45+/5=4.

【詳解】解：如圖，連接4D,

??,正A45C的邊長為2,A45C與關于直線/對稱，

：.^ABC=/,A'BC'=60°,AB=AB=BC=2,

.?ZCBC'=6。。,

:.乙CBC=LA'BC,

,：BD=BD,

:MBD合XNBD,

：.CD=A'D,

：-AD+CD=A'D+CD,

???當4、D、4三點共線時，4Q+CD最小,止匕時4D+CD=45+45=4,

故答案為：4.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定及性質，最短路徑問題，正確

掌握全等三角形的判定是解題的關鍵.

【變式4-3](2023?江蘇?八年級假期作業)如圖，在△4BC中，AB=AC.^BAC=120。,4B邊的垂直平分線DE

交于點D,若力E=3,

⑴求BC的長;

(2)若點P是直線DE上的動點，直接寫出PA+PC的最小值為

【答案】⑴9

⑵9

【分析】(1)根據垂直平分線的性質可證△2BE為等腰三角形，由角度可證△2CE為30。直角三角形，再由

線段之間的關系即可求出BC的長；

(2)根據將軍飲馬原理即可得出P4+PC的最小值為BC的長度.

【詳解】(1)解：???4B=aC,ABAC=120°

=NC=1(180°-NB4C)=30°

???4B邊的垂直平分線交力B于點D,

；.BE=AE=3,

：.Z.BAE=2LB=30°

：./.CAE=ABAC-乙BAE=120°-30°=90°

在中，ZC=30°

??.CE=2AE=6

：.BC=BE+CE=3+6=9

(2)解：如圖，

取點4關于直線DE的對稱點，即點B；連接B,C兩點，與直線DE交于點P(E),

vPA=PB

??.PA+PC=PB+PC

根據兩點之間線段最短

則BC即為PA+PC的最小值，最小值為9

【點睛】本題考查了圖形的軸對稱，相關知識點有：垂直平分線的性質、將軍飲馬等，軸對稱性質的充分

利用是解題關鍵.

_?！窘浀淅}四三點共線最大值】

【例5】如圖，在△回(?中，AB=AC,AC的垂直平分線交力C于點N,交4B于點跖AB=12cm,△BMC

的周長是20cm,若點P在直線MN上，貝iJPA—PB的最大值為.

A

【答案】8cm

【分析】根據垂直平分線的性質得到M4=MC,再利用三角形兩邊之差小于第三邊解答即可.

【詳解】解：；MN垂直平分4C,

???MA=MC,

又,**C&BMC=BM+MC+BC-20cm,BM+MA—AB-12cm,

BC=20-12=8cm,

在MN上取點P,連接尸4、PB、PC,

?-?MN垂直平分AC,

PA=PC,

???PA-PB=PC-PB,

^.APBC^PC-PB<BC,

當P、B、C共線時，即P運動到與P重合時，（PC—PB）有最大值，

止匕時PC—PB=BC=8cm.

故答案為：8cm.

【點睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運用三角形邊角關系與垂直平分線的性質是解題的關鍵.

區變式訓練

1.如圖，AC,3。在的同側，AC=2,BD=8,=10,M為48的中點，若/CW=120。，則CD

的最大值為（）

D

【答案】B

【分析】作點A關于CM的對稱點H,點3關于的/的對稱點?，連接C4'、MA'、MB'、A'B',B'D,由

對稱的性質得=MB=MB',B'D=BD=8,A'C=AC=2,再由“有一個角為60。的等腰三角形是

等邊三角形."可判定AHMB'為等邊三角形，由等邊三角形的性質得/'C+/2'+3'D=NC+/M+8D,由

CD<CA'+A'B'+B'D,即可求解.

【詳解】解：如圖，作點A關于。W的對稱點H,點5關于ZMZ的對稱點?，連接C4'、MA'、MB'、

B'D=BD=8,

A'C=AC=2,

■■M為4?的中點，

：.MA=MB,

：.MA'=MB',

■：ZCMD=\20°,

ZAMC+NDMB=60°,

NCMA'+NDMB'=60°,

:.ZA'MB'=n00-60°=60°,

為等邊三角形，

:.A'B'=MA

=-AB=5,

2

A'C+A'B'+B'D

=AC+AM+BD

=2+5+8=15

■：CD<CA'+A'B'+B'D,

，8的最大值為15,

故選：B.

【點睛】本題考查了對稱在幾何變換中的應用，等邊三角形的判定和性質，兩點之間線段最短等，根據題

意構建等邊三角形來轉移線段是解題的關鍵.

2.如圖，△4BC為等腰直角三角形，44cB=90。也在ZUBC的內部，ZACM=4ZBCM,尸為射線CM

上一點，當1力-28|最大時，/C3P的度數是.

【答案】117。/117度

【分析】作點/關于直線CM的對稱點H,連接H8并延長交C"于點尸，交于點D,則點尸就是使

目的值最大的點，同=/方，連接?C,根據題意得出/BCN=18o,NNCM=72。，再由等角

的余角相等及三角形內角和定理求解即可.

【詳解】解:如圖，作點N關于直線CW的對稱點H,連接H8并延長交CW于點尸，交48于點。，則點

P就是使|尸/-2目的值最大的點，-尸4=42,連接?C,

???△/8C為等腰直角三角形，

:./CAB=ZABC=45°,ZACB=90°,

???/ACM=4/BCM

/BCM+/ACM=5ZBCM=90°,

ABCM=18。,/ACM=72°,

?：AC=AC,

:.AC=BC,NCA'A=NCAA'，

???ACAA!+zS4CM=180°-90°=90°，ZPCB+ZACM=90°

??.NCAA'=ZPCB=18。=ZCArA,

.?.24G4'=180。一18。-18。=144°，

Z5C4r=144°-90°=54°,

?.?A'C=BC,

1800-54°

：.ACBA!=―—―=63°,

2

.?.ZCSP=180o-63o=117°,

故答案為：117。.

【點睛】題目主要考查軸對稱的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理及等角的余角相等，理解題

意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

3.如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,點/、B、C、M、N都在格點上.

⑴畫出關于直線對稱的△44G.

⑵若以N點為原點建立平面直角坐標系，點B的坐標為（0,5）,則AABC關于x軸對稱MB2c2，寫出點4,G

的坐標.

⑶在直線AW上找點尸使|心-尸4|最大，在圖形上畫出點尸的位置，并直接寫出|必-尸/|的最大值.

【答案】(1)見解析

⑵4(-5,-3),C2(-1,-2)

(3)畫圖見解析，3

【分析】(1)先畫出A、B、c對應點4、4、G的位置，然后順次連接4、耳、G即可；

(2)根據點B的坐標，建立坐標系，然后求出A、C的坐標，再根據關于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐

標互為相反數進行求解即可；

(3)如圖所示，連接《尸，BP,"，由軸對稱的性質得到工尸=4尸，由三角形三邊的關系可知，

PB-PAX<AXB,故當同、B、P三點共線，點尸與點耳重合時，依-尸4的值最大，最大為4凡據此求解

即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△44G即為所求；

(2)解：如圖所示，建立平面直角坐標系，

點/的坐標為(-5,3)，點C的坐標為(-1，2),

???LABC與“BS關于x軸對稱，

...點4的坐標為(-5,-3)，點C2的坐標為(-1,-2)；

（3）解：如圖所示，連接工尸，BP,A.P,

A與4關于直線MN對稱，

AP=4P,

：.\PB-P^\=\PB-PA\,

由三角形三邊的關系可知，PB-PA^A.B,

二當4、B、P三點共線，點尸與點［重合時，P2-P4的值最大，最大為4B,

??」網一/,最大小=3.

【點睛】本題主要考查了畫軸對稱圖形，坐標與圖形變化——軸對稱，寫出坐標系中點的坐標，三角形三

邊關系的應用等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

_。【經典例題五雙對稱關系求周長最小值】

【例5】如圖，在五邊形ABCDE中，ZBAE=120°,ZB=ZE=90°,AB=BC,AE=DE,在BC、DE±

分別找到一點M、N,使得AMW的周長最小，則乙"W+//NM的度數為（）

C.120°D.130°

【答案】C

【分析】根據要使A/兒W的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，/關于和即

的對稱點/,A',即可得出4'+Z/=NttM=60。，進而得出4ACV+N4Ml/=2（4'+Z/）即可得出答案.

【詳解】解：作/關于8c和瓦）的對稱點/,A',連接/,/,交BC千M,交即于N,則/即為

120°,

N/+4=NHAA'=60°,

*.*ZA'=ZMAA,//=ZNAE,

且乙4'+NM44'=ZAMN,Zjf+ANAE=ZANM,

/.//+NMA/+ZNAE+4=ZAMN+ZANM=2(4+4)=2x60。=120。，

故選：C.

【點睛】此題主要考查了平面內最短路線問題求法以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識,

根據已知得出M,N的位置是解題關鍵.

X變式訓練

1.如圖，在四邊形48co中，ZJ=NC=9O。，48=32。，在邊5c上分別找一點E,尸使△DE尸的周

長最小，此時㈤)E=()

C.114°D.116°

【答案】D

【分析】如圖，作點。關于A4的對稱點P,點。關于BC的對稱點0,連接尸0,交4B于E,交BC于

F',則點方,尸即為所求，結合四邊形的內角和即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作點。關于A4的對稱點尸，點。關于3c的對稱點0,連接PQ,交4B于E',交BC

于尸，則點尸即為所求.

P、

O

,?,四邊形/BCD中，ZJ=ZC=90°,48=32。，

山DC=180。-32°,

由軸對稱知，4ADE'=KP,乙CDF'=KQ,

在△P。。中，"+40=180。-乙4。。

=180°-(180°-32°)

=32°,

；.4ADE'+乙CDF'=4尸+40=32°,

:/EDF=UDC-"DE=乙CDF)

=180°-32°-32°

=116°.

故選：D.

【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內最短線路問題求法以及四邊形的內角和定理等

知識，根據已知得出￡尸的位置是解題的關鍵.

2.如圖，在△48C中，AB=AC=1Qcm,BC=9cm,48的垂直平分線交于點交AC于點、N,在

直線及W上存在一點P,使P、B、C三點構成的△心(7的周長最小，則△尸3C的周長最小值為.

【答案】19cm

【分析】如圖所示，連接的，根據線段垂直平分線的性質得到=則當4P、C三點共線時，"+PC

有最小值，最小值為ZC的長，據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接⑷

???/3的垂直平分線交于點交NC于點N,點尸在直線上，

AP=BP,

.?.△尸3。的周長=尸2+尸。+8。=尸/+2。+8。，

.??當融+PC最小時，尸3+PC最小，即此時△心（7的周長最小，

二當4P、C三點共線時，R4+PC有最小值，最小值為ZC的長，

；.4PBC的周長最小值=AC+BC=19cm,

故答案為：19cm.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，熟知線段垂直平分線的性質是解題的關鍵：線段垂直平

分線上的點到線段兩端的距離相等.

3.在草原上有兩條交叉且筆直的公路CM、OB,在兩條公路之間的點尸處有一個草場，如圖，

N/03=30。，。尸=6.5.現在在兩條公路上各有一戶牧民在移動放牧，分別記為M、N,若存在M、N使得APAW

【分析】本題主要考查了軸對稱——最短路線問題.作出軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱性質，等邊三角形

的判定和性質，是解決問題的關鍵.

作點P關于直線。/的對稱點C,作點P關于直線08的對稱點。，連接CD,分別交。/、OB于M、N,得

至bPMN,其周長的最小值等于CD長，由軸對稱性質證明OC=OD=6.5,ZCOD=60°,得到△COD是

等邊三角形，即得8=6.5.

【詳解】如圖，作點尸關于直線。/的對稱點C,作點P關于直線02的對稱點。，連接。，分別交。/、

03于點M、N,

貝！1cM=PM,DN=PN,

：.xPMN的周長的最小值為PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD,

OC=OP=6.5,OD=OP=6.5,

OC=OD=6.5,

???NAOC=NAOP,ZBOD=ZBOP,ZAOP+ZBOP=ZAOB=30°,

ZCOD=ZCOP+ZDOP=2(ZAOP+/BOP)=60°,

.?.△C。。是等邊三角形，

CD=OC=6.5,

.?.△PAW的周長的最小值為6.5.

故答案為：6.5.

D

&【經典例題六兩定兩動型最值】

【例6】幾何模型：條件：如圖1,/、2是直線/同旁的兩個定點.

問題：在直線/上確定一點P,使P2+PB的值最小.

解法：作點/關于直線/的對稱點4,連接4B,貝U4B與直線/的交點即為P,且P4+PB的最小值為線段

4B的長.

BB

（1）根據上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；

（2）應用：①如圖2,已知乙4OB=30。，其內部有一點p,0P=12,在乙40B的兩邊分別有C、。兩點（不

同于點0）,使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出周長的最小值；

②如圖3,NAOB=20。，點M、N分別在邊04、0B上,且。M=0N=2,點尸，。分別在。B、0A±,則

MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】（1）見解析

⑵①⑵②2

【分析】（1）根據模型作出圖形;

（2）①分別作P關于。4、0B的對稱點M、N,連接MN,交。4、。8于C、D,則△PCD的周長最小，進而

根據軸對稱的性質推出AMON為等邊三角形，進一步得出結果；②作點M關于。B的對稱點M一點N關于04

的對稱點N，，連接MW，交。B于P,交。4于Q,連接PM、NQ,此時MP+PQ+QN的值最小，最小值為

進而推出△為等邊三角形，進一步得出結果.

【詳解】（1）解：如圖1,

作法：（I）作P關于。4的對稱點M,

(II)作點P關于。8的對稱點N,

(III)連接MN,分別交。2于點C,交。B于。，

則△PCD的周長最小，

連接OM、ON,

?二點M和點P關于。4對稱，

???OM=OP=12,ZMOC=ZPOC,

同理可得，ON=OP=12,乙POD=LNOD,

：.OM=ON,

乙MOC+NPOC+乙POD+乙NOD=2乙POC+2乙POD=2gPOC+APOD)=2AAOB=60°,

??.△MON為等邊三角形，

：.MN=12,

PCD的周長=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②如圖3,

作法：(I)作點M關于。B的對稱點M一點N關于04的對稱點N-

(II)連接MM交。B于P,交。4于Q,

(III)連接PM、NQ,

OM=OM'=2ON=ON'=2PM=PM'QN=QN',

MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN'=M'N',

此時MP+PQ+QN的值最小，最小值為MM,

OM=OM',ON=ON',MM'1OB,NN'1OA,

AM'OB=AAOB=20°,4N'OA=AAOB=20°,

???AM'ON'=60°,

??.△MOM為等邊三角形，

M'N'=OM'=2,即MP+PQ+QN的值最小為2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握“將軍飲

馬”等模型.

X變式訓練

1、如圖，在四邊形/BCD中，4BAD=4B=LD=90。,40=48=4,E是40中點，M是邊2C上的一個動

點，N是邊CD上的一個動點，則NM+MN+EN的最小值是.

【分析】作N點關于8c的對稱點小，連接作E點關于DC的對稱點?,連接?N,因此4M+MN+

EN=A1M+MN+E1N,所以最小值為心電，用勾股定理算出即可.

【詳解】解：如圖，作/點關于2c的對稱點小，連接作E點關于DC的對稱點出,連接?N,

SB=乙0=90。，點N和點出關于8C對稱，點￡和點?關于DC對稱,

.-.AM=AIM,EN=EM

.-.AM+MN+EN=&M+MN+E1N>A1E1,

■.AM+MN+EN的最小值是&Ei,

"AD=AB=4,￡是4D中點，

：.AB=A^B-4,ED=E1D=2,

：.AAx=8,AE^=6,

?"40=90°,

.-.AxE1=V62+82=10,

故答案為：10.

【點睛】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質，作出輔助線是本題的關鍵.

2、如圖，在等邊△ABC中，AC=12,4。是8C邊上的中線，點尸是4。上一點，且4P=5.如果點M、N

分別是力B和力。上的動點，那么PM+MN+NB的最小值為.

【答案】13

【分析】作點尸關于4B的對稱點P,連接CP,交4D于點N，，交力B于點M，，連接PM,BN',連接力P,根

1

據等邊三角形的性質得出4C=4B,Z.BAC=60°,根據三線合一得出4。1BC,^CAD=^BAD=-

X60°=30°,證明4D垂直平分8C,得出BN，=CN\根據軸對稱的性質得出4P，=2P=5,PM'=P'M',

/-P'AB=/.DAB=30°,證明△ACP，為直角三角形，得出P￡=，4P2+"2=13,根據「眩+M'N'+BN'=

P'M'+M'N'+CN'=P'C,由兩點之間線段最短，得出當點M在此處，點N在N，處時，PM+MN+NB最小,

且最小值為P'C的長度，即最小值為5.

【詳解】解：作點尸關于4B的對稱點P,連接CP,交4D于點N"交48于點連接PM，，BN',連接4P,

如圖所示：

???△48C為等邊三角形，

:.AC=AB,NB4c=60。，

?MD是BC邊上的中線，

1

:.AD1BC,/.CAD=^BAD=x60。=30°,

.?.4。垂直平分BC,

.-.BN'=CN',

???點尸關于A8的對稱點為P,

：.AP'=AP=5,PM'=P'M',/.P'AB=乙DAB=30°,

：.^P'AC=60°+30°=90°,

??.△ACP，為直角三角形，

2

■■P'C=VXP'2+AC=13,

.-.PM'+M'N'+BN'=P'M'+M'N'+CN'=P'C,

???兩點之間線段最短，

.??當點〃在M處，點N在M處時，PM+MN+NB最小,且最小值為PC的長度，即最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理，軸對稱的性質，線段垂直平分線的性質，解題的

關鍵是作出輔助線，熟練掌握軸對稱的性質.

一?！窘浀淅}七兩動一定最值】

【例7】如圖，在銳角三角形/8C中，AB=6,△ABC的面積為18,BD平分4BC,若￡、尸分別是8。、

BC上的動點，貝UCE+EF的最小值為.

【答案】6

【分析】過點C作CP1AB于點尸，交BD于點、E,過點E作EF1BC于尸，則CP即為CE+EF的最小值，再

根據三角形的面積公式求出CP的長，即為CE+EF的最小值.

【詳解】解：過點C作CP1AB于點P,交BD于點、E,過點K作EF1BC于R

???BD平分"BC,PE1AB,EF1BC,

：.PE=EF,

.-.CP=CE+PE=CE+EF的最小值.

?.?△力BC的面積為18,AB=6,

.■,-|x6xCP=18,

.'.CP——6.

即CE+EF的最小值為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，關鍵是將CE+EF的最小值為轉化為CP,題目具有一定的代表

性，是一道比較好的題目.

區變式訓練

1、如圖所示，在等邊△ABC中，點。、E、尸分別在邊BC、AB,4c上，則線段DE+DF的最小值是（）

A

B.線段EF的長度

C.BC邊的長度D.以上都不對

【答案】A

【分析】作AD1BC于點。，當DE14B、DF14C時，線段OE+DF有最小值，根據等邊三角形的性質可得

DE+DF=AD,進而得結論.

【詳解】解：如圖，作2D18C于點。，當DE148、DF12C時，線段DE+DF有最小值,

.-.ABAC=60°,

?：AD1BC,

.-.^BAD=^CAD=30°,

：..DE=^AD,DF=^AD,

；.DE+DF=AD,

.??線段DE+DF的最小值是BC邊上高的長.

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題、等邊三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握等邊三角形的性質.

2、如圖，在△ABC中，^ABC=90°,BC=8,AC=10,點尸、0分別是邊BC、4C上的動點，則4P+PQ

的最小值等于（）

48

A.4C.5D.T

【答案】D

【分析】由勾股定理可得ZB=6,作N關于BC的對稱點4,過點4作4Q14C,交2C于點Q,交BC于點P,

根據對稱可得：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q，得到當4,P,Q三點共線時，力P+PQ最小，再根據垂線段最短,

得到4Q14C時，4Q最小,據此求解即可.

【詳解】解:在△ABC中，AABC=90°,BC=8,AC=10,

■■.AB=7AC2一BC2=6

作/關于BC的對稱點4,過點4作4Q14C,交4C于點Q,交BC于點P,

■：AP+PQ=A'P+PQ>A'Q,

當4,P,Q三點共線時，AP+PQ最小,

???垂線段最短，

.?.4Q1AC時，4Q最小，

連接4C,

關于BC對稱,

：.A'B=AB=6,

.-.AA'=12,

■,■A'Q1AC,ABIBC

■■SAACA,=-BC=/c?A'Q,即：|xl2x8=|xl0x^Q