專題01二次函數(shù)圖象與系數(shù)a,b,c之間的關系

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知識要點1:二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c的關系

字母的符號圖象的特征

ayQ開口向上

a

a<Q開口向下

b=Q對稱軸為y軸

bab〉0（Q與。同號）對稱軸在y軸左側

ab<0（a與b異號）對稱軸在y軸右側

c=0經過原點

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負半軸相交

與X軸有唯一交點

Z?2-4?c=0

（頂點）

b2-4ac

b1~4?c>0與入軸有兩個交點

常-4?c<0與％軸沒有交點

知識要點2:常用公式及方法:

（1）二次函數(shù)三種表達式：

表達式頂點坐標對稱軸

'b4ac-b2yb

一般式y(tǒng)=ax1+bx+cx=-----

、2〃’4a,2a

頂點式y(tǒng)=-hf+k（%k）x-h

%i+%2〃（再一九2）21X=X1+Z

交點式I2，4J

一一2

（2）韋達定理：若二次函數(shù)y=ax2+6x+c圖象與x軸有兩個交點且交

點坐標為（X],0）和（，0），則石+%2=—2，xY-x2=—O

aa

(3)賦值法：在二次函數(shù)y=爾+6x+c中，令龍=1,則,=4+。+°；令

x=-1,則y=a-b+c;令x=2,貝!]y=4a+2b+c;令無=—2,則y=4-a-2b+c;

利用圖象上對應點的位置來判斷含有。、b.c的關系式的正確性。

直擊中考

1.(2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)尸依2+法+'(go)的部分圖象如圖所

示，對稱軸為x=|,且經過點(-1,0).下列結論：①3a+b=0；②若點(3,

J2)是拋物線上的兩點，則〃勺2；③10b-3c=0；④若”c,則0043.其中正確的有

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.(2022?湖北黃石?統(tǒng)考中考真題)已知二次函數(shù)、=依2+法+。的部分圖象如圖所示，對

稱軸為直線尸-1,有以下結論：①"“0；②若r為任意實數(shù)，貝IJ有a-6Wa產+6；③

當圖象經過點(L3)時，方程依2+法+,_3=0的兩根為為，巧(玉<%),則玉+3尤2=0,

其中，正確結論的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.如圖，二次函數(shù)片加+法+c的圖象與x軸的兩個交點分別為(-L0),(3,0).對于下

歹！I命題：①而c>0；②2a—b<0；③a—6+c<0；④2a+c<0.其中正確的有()

4.（2022?四川成都?統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)〉=以2+"+“。>0）的圖象與％軸交于

A,5兩點，與>軸正半軸交于點。，它的對稱軸為直線工=-1.則下列選項中正確的是

（）

A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.2a-b=0

5.（2022?四川宜賓?模擬預測）如圖，拋物線>=以2+"+。的對稱軸是直線元=1,下列結

論：（1）abc>0；②〃2_4〃C>0；③8a+cv0；④5a+b+2c>0；不正確的有（）

6.（2022?四川廣元?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)>=4x2+6%+。（〃工0）的部分圖象如圖所示，圖

象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=2,下列結論：（1）abc<0；（2）4a+c>2b；（3）3b

-2c>0；（4）若點A（-2,%）、點B（-￡,”）、點C（（,”）在該函數(shù)圖象上，貝I

/2

yi<ys<y2；（5）4a+2b>m（am+b）（根為常數(shù)）.其中正確的結論有（

A.5個B.4個C.3個D.2個

7.（2022?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，己知開口向下的拋物線，=依2+法+。與無軸交

于點（-1,0）對稱軸為直線x=l.則下列結論：①砧。>0;②2a+6=0；③函數(shù)

y=aY+6x+c的最大值為-4。；④若關于尤的方數(shù)加+6尤+c="+l無實數(shù)根，貝U

-j<a<0.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2022?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知二次函數(shù)>=加+公+。（a、b、c為常數(shù)，且

舊0）的圖像頂點為尸（1,m）,經過點A（2,1）；有以下結論：①。<0；②abc>0；

③4a+2b+c=l；④x>l時，y隨x的增大而減小；⑤對于任意實數(shù)3總有a產+44+6,其

中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

9.（2022?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)、=0?+法+。（4/0）的圖象與

y軸的交點在（0,1）與（0,2）之間，對稱軸為x=-l,函數(shù)最大值為4,結合圖象給出

下列結論：①b=2a；②-3<。<一2；（3）4ac-b2<0;④若關于x的一元二次方程

ax2+bx+c=m-4（〃工。）有兩個不相等的實數(shù)根，貝1J"?4；⑤當x<0時，y隨x的增大而

減小.其中正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

10.（2022?廣西梧州?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線>=以2+"一2的對稱軸是尸-1,

直線/〃尤軸，且交拋物線于點網不乂）,。（%,%），下列結論里誤的是（）

B.若實數(shù)相片一1,貝!Ja—6<owl?+為然

C.3a-2>0D.當y>-2時，xt-x2<0

11.（2022?四川達州?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)>=62+公+。的部分圖象如圖所示，與了軸

交于（0,-1）,對稱軸為直線x=l.以下結論：①/c>0；②〃>；；③對于任意實數(shù)

m,都有皿卬n+力>。+）成立；④若1；，為）（2,%）在該函數(shù)圖象上，貝U

必<%<%;⑤方程辰2+法+4=左（匕.0,%為常數(shù)）的所有根的和為4.其中正確結論

有（）

A.2B.3C.4D.5

12.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考中考真題）拋物線>=依2+版+。的部分圖象如圖所示，對稱軸為

直線x=-l,直線y=^+c與拋物線都經過點（-3,0）,下列說法：①而>0；②

4a+c>0；③（-2,%）與15,%]是拋物線上的兩個點，則%%;④方程or?+6x+c=0

的兩根為X]=-3,無2=1；⑤當犬=-1時，函數(shù),=q2+0-左卜有最大值，其中正確的個數(shù)

是（）

A.2B.3C.4D.5

13.（2022?貴州銅仁?統(tǒng)考中考真題）如圖,若拋物線y=o%2+bx+c（aw0）與x軸交于A、

B兩點,與y軸交于點C,若NOAC=NOCB.則公的值為（）

14.（2022?湖北恩施?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=g犬-法+C,當X=1時，y<0；當

x=2時，y<0.下列判斷：

①。2>2C;②若C>1,則>>3；③已知點人的,4）,/〃/%）在拋物線

2

y=^x-bx+c±,當m1cm2Vb時，%>叼；④若方程[爐-bx+c=0的兩實數(shù)根為

X],而，則x,+x2>3.

其中正確的有（）個.

A.1B.2C.3D.4

15.（2022?四川內江?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點（xi,0）、

（2,0）,其中0<尤/<1.下列四個結論：①abc<0；（2）a+b+c>0；③2a-c〉0；④不

c

等式aN+bx+c〉-—x+c的解集為0<尤<無八其中正確結論的個數(shù)是（）

16.（2022?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=l,與x軸正半

軸的交點為A（3,0）,其部分圖象如圖所示，有下列結論：?abc>0；②2c-3b<0；

③5a+b+2c=0；④若8（y,y/）、C（g,券）、。（-：，”）是拋物線上的三點，則

A.1B.2C.3D.4

17.（2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（80）的部分圖象如圖所示，

其對稱軸為直線尤=-3,且與x軸的一個交點坐標為（-2,0）.下列結論：①%>0；

②a=6；③2a+c=0；④關于x的一元二次方程辦2+法+（:-1=0有兩個相等的實數(shù)根.其

中正確結論的序號是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

18.（2022?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)>=依2+法+。的圖象關于直線彳=1

對稱，與x軸交于4Al,0）,8（%，0）兩點，若-2<玉<-1,則下列四個結論：①

2

3<x2<4,②3。+2b>0,（3）Z?>a+c+4ac,?a>c>b.

正確結論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

19.（2022?湖北荊門?統(tǒng)考中考真題）拋物線y=ay2+bx+c（a,6,c為常數(shù)）的對稱軸為尤

--2,過點（1,-2）和點（xo,yo）,且c>0.有下列結論：①。<0；②對任意實數(shù)"z

都有:am2+bm>4a-2b；（3）16a+c>4b；④若飛>-4,則為>c.其中正確結論的個數(shù)為

（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

20.（2022?四川資陽,中考真題）如圖是二次函數(shù)丁=辦2+法+。的圖象，其對稱軸為直線

x=-\,且過點（0,1）.有以下四個結論：①a6c>0,②a-b+c>l,③3a+c<0,④若

頂點坐標為（T,2）,當加4x41時，y有最大值為2、最小值為-2,此時機的取值范圍是

其中正確結論的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

21.（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)丫=加+公+,（。為常數(shù)，且gO）的

圖象過點（-1,0）,對稱軸為直線x=L且2<c<3,則下列結論正確的是（）

A.abc>0B.3Q+C>0

2

C.a2m2+abm<a2+ab（m為任意實數(shù)）D.-l<a<--

22.（2022?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）函數(shù)、=辰2+法+4（4>0,62-4直>0）的圖象是由函

數(shù)、=海+云+4。>0,62-4招>0）的圖象芯軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而

成，如圖所示，則下列結論正確的是（）

@2a+b=0；②c=3；③"c>0；④將圖象向上平移1個單位后與直線y=5有3

個交點.

A,①②B.①③C.②③④D.①③④

23.（2017?廣西防城港?統(tǒng)考中考模擬）已知二次函數(shù)丁=0?+法+。（。x0）的圖象如圖所

示，有下歹U5個結論：①abc>0；@b<a+c；③4a+2h+c>0；④

a+b>m（am+b）,（m1）；⑤2c<3〃其中正確的結論有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

24.（2018?遼寧營口?統(tǒng)考中考模擬）二次函數(shù)>=依2+法+c（。W0）的圖象如圖所示，對稱

軸是直線x=l,下歹ll結論：①。8<0；（2）b2>4ac;③o+6+2c<0；④3a+c<0.其

中正確的是（）

A,①④B.②④C.①②③D.①②③④

25.(2023?廣西玉林?一模)如圖，函數(shù)y="2+6x+c的圖象過點(TO)和的0),請思考

b1

下歹!J判斷：?abc<0；②4a+cv2b；③一二1-----；?an^+(2a+&)m+?+/?+c>0；

cm

⑤卜-4QC.正確的是()

A.①③⑤B.①②@④⑤C.①②③④D.①②③⑤

26.（2022?黑龍江牡丹江?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線丁=依2+樂+4，。0）的對稱軸是

x=-2,并與x軸交于A,3兩點，若。1=503,則下列結論中：@abc>0；②

（<2+c）2-Z?2=0；③9a+4c<0；④若根為任意實數(shù)，貝！Ja"?+人加+2人24々，正確的個數(shù)

是（）

27.（2022?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（47*0）與x軸交于點A

（5,0）,與y軸交于點C,其對稱軸為直線x=2,結合圖象分析如下結論：①Hc＞0；

②H3a＜0；③當尤＞0時，y隨x的增大而增大；④若一次函數(shù)（原0）的圖象經

過點A,則點E（Z,b）在第四象限；⑤點M是拋物線的頂點，若CM0A則。=

逅.其中正確的有（）

6

A.1個B.2個C.3個D.4個

28.（2022?內蒙古?中考真題）如圖，拋物線yuaY+bx+c（a*0）的對稱軸為直線

x=l,拋物線與x軸的一個交點坐標為（-1,0））,下列結論：①位＞c＜0；②3a+c=0；③

當、＞0時，x的取值范圍是T,x＜3；④點（-2,另），（2,%）都在拋物線上，則有

X＜。＜%.其中結論正確的個數(shù)是（）

29.（2021?浙江寧波?校考三模）如圖，二次函數(shù)、=加+析+。（4<0）與x軸交于A,8兩

點，與y軸正半軸交于點C,它的對稱軸為直線x=2,則下列說法中正確的有（）

①仍c<0；~—>0；③16a+4/j+c>0；④5a+c>0；⑤方程

4〃

62+云+。=0（”0）其中一個解的取值范圍為-2a<-1.

30.（2020?山東日照?校考三模）如圖是二次函數(shù)>=辦2+6x+c（。，b,c是常數(shù)，"0）圖

象的一部分，與無軸的交點在點（2,0）和（3,0）之間，對稱軸是直線x=l.對于下列結論：

①而<0；②2。+6=0；③3a+c>0；④..機（。機+。）（機為實數(shù)）；⑤當一1〈尤<3

時，y>o.其中正確結論的個數(shù)為（