專題02旋轉與中心對稱

廠考點類型

'■知識一遍過

(―)旋轉的定義

(1)旋轉的概念：在平面內，把一個平面圖形繞著平面內一個定點沿某一方向轉動一個角度，就叫做圖形

的旋轉.這個定點叫做旋轉中心.轉動的角叫做旋轉角

如圖所示，笈是AAO3繞定點。逆時針旋轉45。得到的，其中點A與點A叫作對應點，線段OB與

線段O9叫作對應線段，NQ鉆與N。4方叫作對應角，點。叫作旋轉中心，ZAQV(或NBOE)的度數叫

作旋轉的角度。

(2)【注意】旋轉中心可以是圖形內，也可以是圖形外。

(3)【圖形旋轉的三要素】旋轉中心、旋轉方向和旋轉角.

(二)旋轉的性質

(1)對應點到旋轉中心的距離相等；

旋轉的(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

性質(3)旋轉前、后的圖形全等

(4)旋轉過后，常用等腰三角形性質

(1)圖形中的每一個點都繞旋轉中心旋轉了同樣大小的角

度；

重點(2)對應點到旋轉中心的距離相等,對應線段相等,對應角相

解讀等；

(3)圖形的大小和形狀都沒有發生改變,只改變了圖形的位

置

(三)旋轉作圖

旋轉作圖(1)任意一對對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；

的依據(2)對應點到旋轉中心的距離相等

作圖要素(1)原圖；(2)旋轉中心；(3)旋轉方向；(4)旋轉角；(5)一對對應點

(1)連:連接原圖形中一個關鍵點與旋轉中心.

(2)轉:根據旋轉方向與旋轉角度，以(1)中關鍵點與旋轉中心的連

線為一邊作一個旋轉角.

(3)截:在該旋轉角的另一邊上,從旋轉中心開始截取此關鍵點到

作圖步驟旋轉中心的長度,得到該點的對應點.重復上述操作，作出所有關

鍵點的對應點.

(4)接:按原圖形順次連接所得到的各點.

注意:為了避免作圖時的混亂，以上連、轉、截這三步每個點獨立

完成后,再進行下一個點的旋轉

(四)中心對稱的相關概念

(1)中心對稱概念：把一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖

形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫作對稱中心.這兩個圖形旋轉后能重合的對應點叫作關于對稱中心

的對稱點.

如圖，AABO繞著點。旋轉180。后，與ACDO完全重合，則稱ACDO和A4BO關于點。對稱，點C是點

A關于點O的對稱點.

(2)中心對稱圖形概念：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合,

那么這個圖形叫作中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

(五)中心對稱的性質

(1)中心對稱的性質：

①中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分；

②中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

(2)找對稱中心的方法和步驟：

方法1：連接兩個對應點，取對應點連線的中點，則中點為對稱中心.

方法2：連接兩個對應點，在連接兩個對應點，兩組對應點連線的交點為對稱中心.

考點一遍過

考點1：旋轉的三要素

典例1：(2023上?浙江臺州?九年級?？茧A段練習)如圖，已知點4(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接4B,C0,

將線段4B繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合(點A與點C重合，點2與點D重合)，則這個旋

轉中心的坐標為().

A.(3,2)B.(3,3)C.(6,2)D.(4,2)

【答案】D

【分析】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，解題的關鍵是理解對應點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉中

心.

畫出平面直角坐標系，作出新的力C,BD的垂直平分線的交點尸，點尸即為旋轉中心.

【詳解】解：平面直角坐標系如圖所示，旋轉中心是P點，P(4,2),

故選：D.

【變式1］（2023上?河南漠河?九年級統考期中）如圖，在正方形網格中，AMPN繞某一點旋轉某一角度得

到△ATPW',則旋轉中心可能是（

A.點AB.點、BC.點CD.點。

【答案】B

【分析】如圖：連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線，作NN，的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為旋轉

中心；掌握旋轉中心的確定方法是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

團AMPN繞某點旋轉一定的角度，得到△M'PWl

團連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線,

回三條線段的垂直平分線正好都過8即旋轉中心是8.

故選：B.

【變式2］（2023下?四川宜賓?七年級統考期末）將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置，已

知ABAC=NBv41c=30°,固定三角板&BiC,然后將三角板力BC繞點C順時針方向旋轉至圖2的位置，AB

與4停、4/1分別交于點。、E,4C與A/1交于點?當ABL&Bi，旋轉角的度數是（）.

【答案】A

【分析】根據三角形內角和定理得NB=60°,根據直角三角形性質和對頂角相等得NBDC=N&DE=60°,

求出N&C4即可.

【詳解】解：由題意得到，ABAC=NB14C=30。，

則NB=90°-NBAC=60°,

SAB14/1，

回乙生EB=90°,

0Z5DC=Z.A±DE=90°-30°=60°,

0ZBCD=180°-4BDC一4B=60°,

所以N&CA=90°-乙BCD=30°,

即旋轉角是30。.

故選：A

【點睛】此題考查了圖形的旋轉、三角形內角和定理、直角三角形的性質等知識，熟練掌握三角形內角和

定理、直角三角形的性質是解題的關鍵.

【變式3】（2022上?遼寧大連?九年級統考期末）如圖，E是正方形力BCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，

把ANDE順時針旋轉得到AABF,點尸在C8的延長線上，則下列角中是旋轉角的是（）

A.^DAEB.乙EABC./.EAFD./.DAF

【答案】C

【分析】由旋轉的概念可直接求解.

【詳解】解:回以點A為中心，把AADE順時針旋轉，得到△力BF,

國旋轉角為N02B或4EAF,

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉的概念，掌握對應線段的夾角等于旋轉角是解題的關鍵.

考點2：利用的旋轉的性質求解

典例2：（2024上?山東煙臺,八年級統考期末）如圖，已知△力BC中，ACAB=20°,AABC=30°,將△力BC繞

4點逆時針旋轉50。得至！UAB'C',以下結論：①BC=B'C,@AC||C'B',③C'B'1BB',@^ABB'=^ACC,

A,①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉性質的應用，三角形內角和定理和等邊對等角，根據旋轉的性質可得，BC=B'C,

AC'AB'=/.CAB=20°,ZAB'C=AABC=30°,再根據旋轉角的度數為50。，然后利用三角形內角和定理

和等邊對等角逐項求解判斷即可.

【詳解】①???△4BC繞4點逆時針旋轉50。得到△AB'C,

■.BC=B'C,故①正確；

②48c繞4點逆時針旋轉50。,

???乙BAB，=50°.

???/.CAB=20°,

Z-B'AC=乙BAB'-乙CAB=30°.

v4ABe=AABC=30°,

^AB'C=^B'AC.

^ACIIC'B',故②正確；

③在ABA4中，

AB=AB',/.BAB'=50°,

???4AB'B=4ABB'=1(180°-50°)=65°.

/.BB'C=/.AB'B+4ABC=65°+30°=95°.

??.C'B'與BB'不垂直，故③不正確；

④在△4CC，中，

AC^AC,Z.CAC=50°,

/.ACC=|(180°-50°)=65°.

Z.ABB'=/.ACC,故④正確.

???①②④這三個結論正確.

故選：D.

【變式11(2023上?廣東廣州?九年級廣州市第二中學?？茧A段練習)如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90。得

到AEDC,若點4、D、E在同一條直線上，且乙4c8=20。，貝吐4DC的度數為()

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】D

【分析】本題考查旋轉性質、等腰直角三角形的判定與性質、三角形的外角性質，先利用旋轉性質得到，

AC=CE,Z.ECD=乙ACB=20。，乙4CE=90°,再根據等腰直角三角形的性質求得/E=45°,然后利用三

角形的外角性質求解即可.掌握旋轉性質是解答的關鍵.

【詳解】解：團將AABC繞點C順時針旋轉90。得到AEDC,乙4cB=20。,

EL4C=CE,4ECD=乙ACB=20°,LACE=90°,

團AACE是等腰直角三角形，

0ZF=45°,

^Z-ADC=Z.E+Z.ECD—65°,

故選：D.

【變式2］（2023上?新疆烏魯木齊?九年級?？计谥校⒑?0。角的直角三角尺。4B按如圖所示的方式放置

在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若02=2,將三角尺繞原點。順時針旋轉75。，則點A的對應點4的

坐標為（）

c.(V2,-V2)D.(-V2,V2)

【答案】C

【分析】如圖，過4作4c1。8于C,由旋轉的性質可知，"04=75。，OA'=OA=2,貝UC。=C4',由

勾股定理得，。4=JCO2+CA'2=2,解得，CO=CA'=<2,進而可求力'的坐標.

0ZCO4Z=45°,ACA'O=450=ACOA',

SCO=CA',

由勾股定理得，。4=7co2+CA'2=2,

解得，CO=CA'=V2,

團4（夜，一夜），

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等角對等邊，勾股定理，坐標與圖形等知識.熟練掌握旋轉的性質，等

角對等邊，勾股定理，坐標與圖形是解題等關鍵.

【變式31（2023下?四川達州,八年級校考期中）如圖，在正方形4BCD中，E為DC邊上的點，連接BE,將4BCE

繞點C順時針方向旋轉90。得到連接EF,若4BEC=6。。,則下列結論正確的個數有（）.

①ZB=DF,②EF=V2CF,③CE=:DF,@^EFD=15°

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】C

【分析】根據旋轉的性質和4BCD是正方形，從而得到48=BC=DC手DF,根據NECF=90°,乙BEC=60°,

得至ikCBE=NCDF=30。，根據EC=CF,得至UNCEF=NCFE=45。，從而得到NEFD=15。，根據直角三

角形中30。角所對的邊是斜邊的一半的得到CE=從而得到CE=：DF,根據特殊直角三角函數值得到

EF=V2CF.

【詳解】解：???ABCE繞點C順時針方向旋轉90。得到ADCF,

???BE=DF,EC=CF,

???4BCD是正方形

AB=DC,

???DC豐DF,

AB^DF,故①錯誤；

???乙BEC=60°,

???乙BEC=4CFD=60°,乙CBE=乙CDF=90°-60°=30°,

1

???CE=-BE

???BE=DF,

：.CE=\DF,故③正確;

???Z.ECF=90°,EC=CF

???乙CEF=乙CFE=45°,

==故②正確；

???乙EFD=MFD-乙CFE=60°-45°=15°,故④正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了圖形的旋轉及正方形的性質，熟記旋轉的性質及解直角三角形和角度之間的計算是解

題的關鍵.

考點3：坐標系中的旋轉作圖

典例3：（2023上?廣東江門?九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為

4（1,4）,8（4,2）,C（3,5）,（每個方格的邊長均為1個單位長度）.

⑴請畫出AAiBiCi，使AaiBiG與△ABC關于無軸對稱；

⑵將△ABC繞點。逆時針旋轉90。，畫出旋轉后得到的A4B2c2，并直接寫出點殳的坐標;

⑶在（2）的條件下，求點A旋轉到點外所經過的路線長.（結果保留兀）

【答案】⑴畫圖見解析

（2）畫圖見解析，（一2,4）

【分析】（1）根據關于x軸對稱的點橫坐標相同，縱坐標互為相反數，找到A、B、C對應點B］、G的

坐標，再描出4、Q,最后順次連接4、Ci即可；

（2）根據旋轉方式和網格的特點找到A、B、C對應點A2、。2的位置，再順次連接人2、Bz、C2,最后

根據點的位置寫出點為的坐標即可；

（3）先利用勾股定理求出04=717,由旋轉的性質可得乙4。4=90。，根據題意可知點A旋轉到點4所經

過的路線長即為以點O為圓心，。4的長為半徑且圓心角度數為90度的扇形弧長，據此利用弧長公式求解

即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：如圖所示，A&B2c2即為所求；

由圖可知點的坐標為（—2,4）；

(3)解:財(1,4),

團。4=Vl2+42=V17,

由旋轉的性質可得乙4。4=90。，

回點A旋轉到點42所經過的路線長即為以點。為圓心，。力的長為半徑且圓心角度數為90度的扇形弧長，

回點A旋轉到點七所經過的路線長=氣/=苧.

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化一軸對稱和旋轉，勾股定理，求弧長，正確根據圖形的變換方式找

到對應點位置是解題的關鍵.

【變式1］（2024上?上海,八年級?？计谀┤鐖D，直線AC與函數y=；（x<0）的圖象相交于點4（一1,6）,與

無軸交于點C,且“C。=45。，點。是線段4C上一點.

⑴求k的值；

⑵若△DOC與4。4C的面積比為2:3,求點。的坐標；

⑶將。￡(繞點。逆時針旋轉90。得到0D',點D'恰好落在函數y=￡(%<0)的圖像上，求點D的坐標.

【答案】⑴k=-6

⑵(1,4)

(3)0(2,3)或D(3,2)

【分析】(1)把4(一1,6)代入y=￡(x<0),可求出k的值；

(2)過。點作DM1x軸于點M,過點4作4N1x軸于點N,由ADOC與4CMC的面積比為2:3可推出翳=

由點4的坐標可求出4N=6,從而求出點。的縱坐標，根據題意求出直線4C的解析式，由于點D在直線AC上，

進而求出。點坐標；

(3)過點)作DHlx軸于H,設D(x,—x+5)(x>0),則6(x-5,x),將其坐標代入到丫=一:得到關于x的

方程內解方程即可求出結果.

【詳解】(1)4(—1,6)在函數y=E(x<0)的圖象上，

-?■6=—,

-1

k=—6

(2)如圖1,過D點作。MJ.X軸于點M,過點4作4V1X軸于點N,

圖1

..SAODC_^OCDM_2

,一1一—,

SAOAC-OCAN3

.DM_2

J.=一,

AN3

??,點4的坐標為(一1,6),

??.AN=6,

??.DM=4,

???/.ACO=45°,

???設直線ZC的解析式為y=-%+/),

???點力(-1,6)在直線y=-％+b上，

6=l+h

???b=5

??.直線AC的解析式為y=-％+5,

把y=4代入y=-％+5中，4=—%+5,

???x=1,

???0(X4)

(3)如圖2,過點》作軸于乩

???直線ZC的解析式為y=-久+5,

???設。(居—％+5)(%>0),

.??￡)'(%—5,%)

???點。'落在函數y=-1的圖象上,

???x(x—5)=—6

?,?%2—5%+6=0

,,,=2,%2~3

???。(2,3)或0(3,2).

【點睛】本題主要考查了待定系數法求解析式，三角形的面積，反比例函數的性質，旋轉的性質等，能夠

熟練運用一次函數和反比例函數的性質是解本題的關鍵.

【變式2】(2024上?河北滄州?九年級統考期末)如圖：在平面直角坐標系中，網格中每個小正方形的邊長

為單位已知△ABC：

(12ABC與△4/iQ關于原點。對稱，畫出Aa/iCi，并寫出各頂點的坐標；

⑵以。為旋轉中心將△ABC順時針旋轉90。得A4B2c2，畫出AAZB2c2，并寫出△2c2各頂點的坐標；

⑶點C旋轉到點經過的路線長為.

【答案】⑴圖見解析,4(2,—3)、名(4,一1)、G(L—2)

(2)圖見解析，4(3,2)、/CW)、C2(2,l)

⑶迪

【分析】(I)根據旋轉的性質作圖即可，再根據圖形求得點4、Bl、G的坐標即可；

(2)根據旋轉的性質作圖即可，再根據圖形求得點心、殳、的坐標即可；

(3)根據題意可得點C旋轉到點經過的路線為C?2,^COC2=90°,利用勾股定理求得C。=C2。=遍，

再利用弧長公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，△4/iG即為所求,4(2,-3)、Bi(4,-1),G(l,-2)；

(2)解：如圖，A&B2c2即為所求，4(3,2)、口2(1，4)、c2(2,l)；

(3)解：如圖，由題意可得，點C旋轉到點。2經過的路線為后2,

0ZCOC2=90°,CO=C2O=A/F+22=V5,

90oX7rxV5V5TT

團/——f

18002

故答案為：等.

【點睛】本題考查作圖-旋轉變換、勾股定理、點的坐標、弧長公式，熟練掌握旋轉的性質作圖是解題的關

鍵.

【變式3](2024上?北京西城?九年級統考期末)在平面直角坐標系xOy中，AABC的三個頂點的坐標分別為

71(-2,5),B(—3,0),C(l,2).將△2BC繞原點。順時針旋轉90。得到AABC,點A,B,C的對應點分別為4,

(2)直接寫出點C'的坐標；

⑶記線段9C，與線段的交點為G,直接寫出N8GC'的大小.

【答案】(1)作圖見解析

(2)r(2,-1)

(3)NBGC‘=90°

【分析】本題考查旋轉作圖、由圖形寫坐標和求角度，涉及旋轉性質、圖形與坐標、三角形全等的判定與

性質、對頂角相等和三角形內角和定理等知識，熟練掌握旋轉性質及圖形與坐標是解決問題的關鍵.

（1）根據旋轉的性質作出△4BC三個頂點繞點。順時針旋轉90。的對應點，連線即可得到△A'B'C；

（2）由（1）中作出的△ABC即可得到答案；

（3）過C作CDlx軸于過。作軸于如圖所示，由三角形全等的判定與性質得到ABDC三4

夕DL（HL）,進而NDBC=^D'B'C,再由對頂角相等、等量代換及三角形內角和定理即可得到答案.

【詳解】（1）解：作圖如下：

△4夕C，即為所求;

（2）解:由（1）中圖形，如圖所示:

y1

C,（2,-l）;

（3）解：在（1）的圖形中，過C作CDlx軸于D、過C'作C'D'軸于D',如圖所示:

y

???BC=B'C,CD=C'D'/BDC=AB'D'C=90°,

BDC三AB少C，(HL),

.-.乙DBC=乙D'B'C',

v乙BEO=Z.B'EG,

在RtABE。中，Z.BEO+/.DBC=90°,則+NO?C'=90。，

在△夕EG中，由三角形內角和定理可知NEGB，=90。，

Z.BGC=90°.

考點4：旋轉與尺規作圖

典例4：（2023?福建福州?統考模擬預測）如圖，點。為等邊三角形ABC的中心，ABCE是以BC為斜邊的直角

三角形，且BE=CE.

（1）用尺規在直線AB的左側作△2B。，使AABDEIABCE,保留必要的作圖痕跡，不寫作法；

（2）A4BD能否由ABCE繞點。按順時針方向旋轉得到？若能，請加以證明，并求出旋轉角a（0<a<180°）

的度數；若不能，請說明理由.

【答案】（1）圖見詳解；（2）能，旋轉角a為120。，證明見詳解.

【分析】（1）分別以點A、B為圓心，以CE、BE為半徑畫弧，則兩弧交于一點。，進而問題可求解；

（2）連接04、OB、OC、OD、OE,由題意易得。4=OB=OC.Z.AOB=乙BOC=120°,zXBO=Z.CBO,

乙CBE=45°,由（1）可知：△BCE三△BAD,貝U有BD=BE/CBE=zABD=45°,然后可得小OBDdOBE,

進而可得。D=OE,最后問題可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）證明：能,理由如下：

連接。4、OB、OC、OD、0E,如圖所示:

回。是等邊三角形ABC的中心，是以BC為斜邊的直角三角形，且BECE,

故4=OB=OC,Z.AOB=乙BOC=120°,Z.ABO=乙CBO,Z.CBE=45°,

由（工）可知：ABCEmABAD,

EIBD=BE/CBE=4ABD=45°,

0ZXBO+AABD=乙CBO+乙CBE,即NOBD=NOBE,

SOB=OB,

0AOBDOBE,

0OZ）=OE,

BOA=OB=OC,EBOC=a4OB=120°,

0A力BD能由△BCE繞點。按順時針方向旋轉得到，旋轉角度為120。.

【點睛】本題主要考查旋轉的性質、等邊三角形及等腰直角三角形的性質,熟練掌握旋轉的性質、等邊三

角形及等腰直角三角形的性質是解題的關鍵.

【變式1］（2023?山東淄博?統考二模）如圖，矩形A8CD中，4B=4,AD=7,把矩形折疊，使得點B與射

線DC上的動點P重合，（P不與點D、C重合），MN為折痕，點M、N分別在邊4D、BC上.

圖1圖2圖3

（1）請用尺規在圖（1）中作出過點M、。、P的。。（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接BM,若直線BM與過M、D、P三點的。。相切，求直線BC與。。的位置關系;

（3）把/BMN繞點N順時針旋轉90。得4B1M1N,當當落在邊力D上時，求DP的長.

【答案】（［）見解析；（2）相切；（3）4—V7

【分析】（1）連結作的垂直平分線，與交于點。，再以點。為圓心，為半徑畫圓即可;

（2）過。作￡7迥交AD于E、交BC于尸，連接2尸，則可得ZL4BMw4DMP,從而得到圓。半徑為|,

進而可得。尸=|,從而最終得到直線BC與。。相切；

（3）可以證得四邊形ABN/是正方形及4H2N?/CBP,根據正方形的性質和相似三角形的性質可以得到

。尸的值.

【詳解】解：（1）如圖（1）所示；

圖1

（2）過。作EF14。交AD于E、交BC于F,連接BP,如圖（2）所示;

則四邊形CDEF是矩形

???8M是。。的切線

??.Z.PMB=90°

??.Z.AMB+乙DMP=90°

???四邊形是矩形

LA=/.ADC=90°

Z.AMB+匕ABM=90°

???Z-ABM=乙DMP

???把矩形折疊，使得點B與射線DC上的動點P重合，(P不與點0、C重合)MN為折痕

???MN垂直平分BP

/.BM=PM

在44BM和4DMP中

2ABM=Z.DMP

丁乙4=Z.MDP

BM=PM

/.AABM=ADMP(AAS)

AB=DM=4,AM=DP

DP=AM=AD-DM=7-4=3

???PM=y/DM2+DP2=，42+32=5

.??。。的半徑為3

???四邊形CDEF是矩形

EF//CD,EF=CD=AB=4

???OM=OP

???OE是4M0P的中位線

13

OE=-DP=-

22

35

.-.OF=EF-OE=4--=-

22

???直線BC與。。相切；

（3）???四邊形/BCD是矩形

.?.BC=AD=7,AD"BC,Z71=乙ABC=zC=90°

???/BMN繞點N順時針旋轉90。得當當落在邊4）上，連接BP交MN于點兒如圖（3）所示;

圖3

則MN垂直平分BP,BN=BN乙BNB[=90°

：.BH=PH=抻,ABHN=90°,四邊形ABN/是正方形,

???BN=AB=4

???乙BHN=ZC=90°,乙HBN=4CBP

：.AHBN?ACBP

BH_BN

>'BC=BP

解得：BP2=56

???CP2=BP2-FC2=56-72=7

CP=V7

DP=CD-CP=4-y/7

【點睛】本題考查正方形的綜合應用，熟練掌握正方形的性質、全等三角形和相似三角形的判定和性質、

勾股定理、直線與圓相切的判定、折疊性質和旋轉性質、圓的尺規作圖等是解題關鍵.

【變式2］（2023下?福建寧德?八年級統考期末）如圖，已知點P是0AOB內一點，過點P的直線分別交

射線OA,于點N,將直線繞點尸旋轉，△MON的形狀與面積都隨之變化.

圖2

（1）請在圖1中用尺規作出△MOM使得AMON是以為斜邊的直角三角形;

（2）如圖2,在。尸的延長線上截取PC=OP,過點C作CM0OB交射線OA于點連接M尸并延長交

OB于點、N.求證：OP平分AMON的面積;

（3）小亮發現：在直線旋轉過程中，（2）中所作的AMON的面積最小.請利用圖2幫助小亮說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）當點尸是的中點時S/MON最小.理由見解析.

【分析】（1）根據尺規作圖，過P點作PN回OB于N,交OA于點M；

（2）證明三角形全等得P為MN的中點，便可得到結論;

（3）過點P作另一條直線EF交OA、OB于點E、F,設PF<PE,與MC交于于G,ffiBlEPGMfflPFN,得回PGM

與EIPFN的面積相等，進而得S四邊形MOFG=SAMON?便可得SAMONVSAEOF，問題得以解決.

【詳解】（1）①在。8下方取一點K,

②以尸為圓心，PK長為半徑畫弧，與02交于C、。兩點,

③分別以C、。為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于E點,

④作直線PE,分別與。4、08交于點M、N,

麗C=[3P0N,

在團PCM和團PON中，

zC=zPON

PC=PO,

zCPH=zOPN

團團尸CM!mPON(ASA),

團尸M=PN,

團OP平分團MON的面積；

(3)過點尸作另一條直線跖交04、。5于點從F,設PFVPE,與MC交于于G,

團CM05,

WGMP=BFNP,

在回PGM和回尸/M中，

ZPMG=Z.PNF

PM=PN,

/MPG=乙NPF

麗尸GMffl/VW(ASA),

出S#GM=S^PFN

團S四邊形MOFG—SAMON.

0S四邊形MOFGVS^EOF,

^SAMON<SAEOF,

團當點尸是MN的中點時S』MON最小.

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉性質，全等三角形的性質與判定，三角形的中線性質，關鍵證明三角

形全等.

【變式3](2023?福建?一模)如圖，在△ABC中，=90°,乙4=30°,將△ZBC繞點C順時針旋轉固定角度

后得到△4B'C,使得點方在ZB上，48'與AC交于點F.

（1）在給出的圖形上用尺規作出△4B，C；（要求：尺規作圖不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）求證：A'B'//BC.

【答案】（工）詳見解析；（2）詳見解析.

【分析】（1）直接利用旋轉的性質得出對應點位置進而得出答案；

（2）由旋轉的性質得NCB'4=NB=60。，再計算出NB'CB=NCB'4=60。，即可得到結論.

【詳解】（1）如圖，AAB'C為所求作的三角形；

（2）證明：由旋轉可得RtAABCwRtAA'8'C,

4CB'A'=乙B,

■：/.ACB=90°,U=30",

???Z.B=60°,

△BCB'是等邊三角形，

???4B'CB=/.CB'A'=60°,

???A'B'//BC.

【點睛】此題主要考查了旋轉變換以及等邊三角形的判定與性質，正確得出對應點位置是解題關鍵.

失分的原因：不能正確理解本題所作的三角形，實質就是作已知三角形的全等三角形；對平行線的判定方

法掌握不熟練.

考點5：旋轉的應用一一規律

典例5：（2024上?山東煙臺?八年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形02BC繞點。逆時針旋

轉45。后得到正方形依此方式，繞點。連續旋轉2024次得到正方形O4024B2024c2024,如果點4的

坐標為（1,0）,那么點殳。24的坐標為（）

A.(V2,0)B.(0,V2)C.(1,1)D.(-1,1)

【答案】C

【分析】根據圖形可知：點B在以。為圓心，以。B為半徑的圓上運動，再由旋轉可知：將正方形。力BC繞點。

逆時針旋轉45。后得到正方形02/1G，相當于將線段。8繞點。逆時針旋轉45。，可得對應點B的坐標，然后

發現規律是8次一循環，進而得出答案.

【詳解】解:回點2的坐標為(1,0),四邊形0aBe是正方形，

團點B的坐標為(1,1),

OA=AB=1,

,??四邊形04BC是正方形，

/OAB=90°,

連接。B,如圖：

由勾股定理得：OB="2+12=企，

由旋轉的性質得：OB=0B1=OB2=OB3=…=V2,

???將正方形。力BC繞點。逆時針旋轉45。后得到正方形。4/iG，

相當于將線段OB繞點。逆時針旋轉45。，依次得到乙40B=乙BOB1=^BrOB2=…=45°,

⑨,B2(-l,l),B3(-V2,0),B4(-l,-l),B5(O,-V2),B7(V2,0),B8(l,l)

發現是8次一循環，則2024+8=253,

回殳024是第253組的最后一個點，

???點B2024的坐標為(U)，

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、規律型：點的坐標等知識，

解題的關鍵是數形結合并學會從特殊到一般的探究規律的方法.

【變式1](2024上?河北保定?八年級統考期末)如圖，在平面直角坐標系中，將A/IB。繞點力順時針旋轉到

△4816的位置，點仄。分別落在點名,6處，點名在x軸上，再將A/lBiCi繞點當順時針旋轉到△45送2的

位置，點在x軸上，將△2/1繞點順時針旋轉到△力2鳥2c2的位置，點4在久軸上，…，若點4(2,0),點

B(0,3),則B2024的坐標是()

A.(5060,2)B.(5060,3)

C.(5060+1012713,3)D.(5055+1011713,3)

【答案】C

【分析】本題考查坐標與圖形的變化-旋轉、勾股定理等知識，首先根據已知求出三角形三邊長度，然后通

、、

過旋轉發現，BB2B4即可得每偶數之間的B相(5+同)個單位長度，根據這個規律可以求得殳。24

的坐標.

【詳解】解：由圖象可知點B2024在第一象限，

BOA=2,OB=3,Z.AOB=90°,

SAB=>JOA2+OB2=V22+32=V13,

EIB2(5+V13,3),%(10+2g,3),B6(15+3V13,3),…，B2n(5n+nV13,3),

當n=1012時，B2O24(5060+1012V13,3).

故選：C.

【變式2](2023上?湖北荊州?九年級統考期中)如圖，一段拋物線y=—x(x—4)(0WxW4),記為它

與x軸交于點0,A1；將G繞點41旋轉180。得C2,交x軸于點4；將繞點4旋轉18?！愕肅3,交x軸于點&；…，

如此進行下去，若P(2023,m)是其中某段拋物線上一點，則加的值為().

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數的圖象，二次函數與幾何變換，由拋物線G與x軸交點

坐標得出拋物線的解析式，再根據周期為8即可求出山的值，掌握拋物線解析式的求法，以及拋物線與x

軸交點坐標的求法是解題的關鍵.

【詳解】解：回一段拋物線G：y=—x(x—4)(0<x<4),

團圖象G與％軸交點坐標為：(。，0)，(4,0)，

回。4=4,

回將Q繞點4旋轉180。得，

SOA2=8,

團拋物線C2：y=(x-4)(x-8)(4<x<8),且拋物線一個周期長為8,

團2023+8=252-7,

0m=(7-4)x(7-8)=-3,

故選：A.

【變式3](2023上?湖北武漢?九年級統考期中)如圖，在平面直角坐標系中，AaOB為等腰直角三角形，

^OBA=90°,OA=3V2,邊。B在y軸正半軸上，點A在第一象限內，將△繞點。順時針旋轉，每次

旋轉45。，則第2023次旋轉后，點A所對應的點的坐標是()

A.(3V2,0)B.(3,3)C.(0,3V2)D.(3,-3)

【答案】C

【分析】觀察圖象可得，點A旋轉8次為一個循環，從而可得點42023與點4的坐標相同，即可求解.

【詳解】解：如圖，點A旋轉8次為一個循環，

02023+8=252……7,

回點人2023與點47的坐標相同，

回點4023的坐標為(0,3口

故選：C.

考點6：旋轉的幾何綜合

典例6：(2023上?廣東東莞,九年級校聯考期中)正方形4BCD的邊長為5,E,F分別是力B,BC邊上的點,

且NEDF=45。.將AZME繞點。逆時針旋轉90。，得到ADCM.

⑴求證：EF=AE+CF；

(2)當4E=2時，求EF的長.

【答案】⑴證明見解析

29

(2)y

【分析】(])由旋轉的性質可知，/-CDM=/.ADE,DE=DM；由NEDF=45。和四邊形48CD是正方形，

可得N4DE+NFDC=45。，從而得出NFDM=NEDF,利用SAS得出△EDF三△MDF,即可求解；

(2)由4EDF=△MDF得AE=CM=2,正方形48CD的邊長為5,從而求出EB=3,根據8M=BC+CM

求出的長，設EF=MF=x,則BF=BM-MF=BM-EF=7—久，在RtAEBF中，由勾股定理得：

EB2+BF2=EF2,即可求解.

【詳解】(1)證明：:/.EDF=45°,

???/.ADE+乙FDC=45°,

由旋轉的性質可知，^CDM=^ADE,DE=DM,

???乙FDM=45°,

???Z-FDM=Z-EDF,

??.AEDF=^MDFrSAS?,

??.EF=FM,

???FM=CF+CM,

??.EF=AE+CF；

(2)解：設EF=MF=%,

???AE=CM=2,BC=5,

??.BM=BC+CM=5+2=7,

BF=BM-MF=BM—EF=7—x,

??.EB=AB-AE=5-2=3,

在RtAEBF中，由勾股定理得：

EB2+BF2=EF2,即32+(7—x)2=/,

解得：%=

則EF=

7

【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是熟

練掌握相關的定理及性質.

【變式1](2022下?廣東深圳?八年級校聯考期中)某研究性學習小組在學習《簡單的圖案設計》時，發現

了一種特殊的四邊形，如圖1,在四邊形ZBCD中，AB=AD,^B+^D=180°,我們把這種四邊形稱為"等

補四邊形".如何求"等補四邊形"的面積呢？

探究一：

⑴如圖2,已知“等補四邊形"4BCD,若〃=90。，將"等補四邊形"BCD繞點A順時針旋轉90。，可以形成

一個直角梯形(如圖3).若BC=4cm,CD=2cm,則"等補四邊形"的面積為一cm2

探究二：

(2)如圖4,已知"等補四邊形"ABCD,若N4=120。，將“等補四邊形"繞點A順時針旋轉120。，再將得到的四

邊形按上述方式旋轉120。，可以形成一個等邊三角形(如圖5).若8c=6cm,CD=4cm,則"等補四邊

形"4BCD的面積為一cm?.

由以上探究可知，對一些特殊的"等補四邊形"，只需要知道BC,CD的長度，就可以求它的面積.那么，如

何求一般的"等補四邊形”的面積呢？

探究三：

(3)如圖6,已知"等補四邊形"4BCD,連接北，將△4CD以點A為旋轉中心順時針旋轉一定角度，使4。與4B

重合，得到△力B。，點C的對應點為點C,

①由旋轉得：AD=N_,因為乙4BC+N。=180。，所以乙48C+Z718C'=180。，即點C',B,C在同一直

線上，所以我們拼成的圖形是一個三角形，即△4CC'.

②如圖7,在△4CC，中，作AW1BC于點H,若4"=機，CH=n,試求出“等補四邊形”4BCD的面積(用

含機，w的代數式表示)，并說明理由.

【答案】⑴9

25V3

⑵/nX丁

(3)(1)XBC,；@mn,理由見解析

【分析】(1)通過旋轉變換可得四邊形面積等于直角梯形面積的一半，結合題意求直角梯形的面積即可求

解;

(2)通過旋轉變換可得四邊形面積等于等邊三角形的面積的右根據等邊三角形的性質可求得NGCF=60°,

GC=FC,根據30。角的直角三角形的性質可得EF=5,根據勾股定理求得等邊三角形的高，求出等邊三角

形的面積，即可求解；

(3)①根據旋轉的性質即可求解；

②通過旋轉變換可得四邊形面積等于等腰三角形面積，根據三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：由題意"等補四邊形的面積=(x等x(2+4)=9.

故答案為：

(2)解：過點。作CE1G尸交于點E,如圖：

根據題意可得FC==4+6=10(cm),

0AFGC是等邊三角形，

0ZGCF=60°,GC=FC,

0ZFCE=二1乙GCF=30°,

2

在RtZFCE=30°,FC=10,

BEF=-2FC=5,

則EC=VFC2-EF2=V102-52=5V3,

故〃等補四邊形〃的面積=1x|xl0x5V3=萼.

故答案為：萼.

(3)解：①由旋轉的性質可知，ZD=/.ABC,

故答案為：ABC.

②：由旋轉的性質可知，AC=AC,

EL4”1CC,

EICH=HC=n,

0CC,=2n,

團”等補四邊形"4BC0的面積=△4CC'的面積=|X2nXm=mn.

【點睛】本題考查了旋轉變換，直角梯形的面積公式，等邊三角形的性質，勾股定理，含30。角的直角三角

形的性質，三角形的面積公式等，解題的關鍵是利用旋轉變換把求不規則圖形的面積轉化為求規則圖形的

面積.

【變式2](2023上?湖北黃石?九年級校聯考階段練習)如圖所示，點。是等邊△力BC內的任一點，連接04,

OB,OC,^AOB=150°,NBOC=120。，將△B。。繞點C按順時針方向旋轉60。得△力DC.

(1)求4。力。的度數；

(2)用等式表示線段。4,OB,OC之間的數量關系，并證明.

【答案】(1)4口4。=90°

(2)線段。4OB,OC之間的數量關系是。氏+。82=。02.證明見解析

【分析】(1)根據旋轉的性質得到AB。。三△4。。，可得4。=120。/。。。=60。，再求出乙40C,利用四

邊形內角和度數，即可解答；

(2)連接0D,證明△OCD是等邊三角形，再根據勾股定理和線段的等量轉換，即可得到0壽+OB2=0C2.

【詳解】(1)解：回44。8=150°,Z.BOC=120,

0Z4OC=360°-120°-150°=90°.

團將ABOC繞點C按順時針方向旋轉60。得到△ADC,

??.△BOC=△ADC,

也LOCD=60°,乙D=乙BOC=120°,

0ZDXO=360°-^AOC-乙OCD-4D=90°；

(2)線段04,OB,OC之間的數量關系是。42+。5=%2.

證明：如圖，連接。D,

0ABOC繞點C按順時針方向旋轉60。得到△ADC,

E1ZOCZ)=60°,CD=OC,AD=OB,

0Aocn是等邊三角形，

HOC-OD=CD,

由①知404。=90。，在RtAAD。中，。42+4。2=。。2,

SOA2+OB2=OC2.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的性質，勾股定理，正確作出輔

助線，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

【變式3](2024上?遼寧遼陽?九年級統考期末)綜合與實踐

數學活動課上，同學們以"正方形與旋轉"為主題開展探究活動.

【探索發現】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E是邊CD上一點，力于點F,將線段2F繞點4逆時針旋轉90。得到

線段4G,連接DG,

可證：AABFmAADG.請寫出證明過程；

【深入思考】

(2)在(1)的條件下，如圖2,若延長BE,GD交于點H,試猜想線段BF,FH,之間的數量關系，并

證明你的猜想；

【拓展延伸】

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接CH,將線段繞點H逆時針旋轉90。得到線段HP,點P在上，試

猜想BP,CH的數量關系，并證明你的猜想.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見解析；(2)FH=BF+DH；理由見解析；(3)BP=<2CH.理由見解析

【分析】(1)利用SAS即可證明A2BF三A40G；

(2)由AaBF三AADG推出4G=乙4/8=90。，BF=DG,證明四邊形力FHG是正方形，利用等量代換即

可推出FH=BF+DH；

(3)連接BD和PO,證明ABOPCOH,即可得到BP=/CH.

【詳解】(1)證明：回四邊形力BCD是正方形，

^AB=AD,/.BAD=90°,

團將線段AF繞點力逆時針旋轉90。得到線段4G,

EINF4G=90°,AF=AG,

Bl^BAF=90°-/.FAD=/.DAG,

0ABAF三△DAG(SAS)；

(2)FH=BF+DH；理由如下：

EL4F1BE,

0ZXFH=/.AFB=90°,

0AABF三AADG,

0ZG=