第02講圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系（五大題型）

01學習目標

學習目標

1、了解圓心角、弦心距等概念；2、根據教材證明圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系的定

理及推論；

3、應用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系求解或證明.

03知識清單

一、圓心角與弧的定義

1.圓心角定義：頂點在圓心的角叫做圓心角.如圖所示，乙4。8就是一個圓心角.

要點：（1）一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征;

（2）圓心角乙所對的弦為線段/以所對的弧為弧N8.

2.1。的弧的定義

試卷第1頁，共18頁

1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧.如下圖,

（1）（2）⑶

要點：

（1）圓心角的度數和它所對的弧的度數相等.注意不是角與弧相等.即不能寫成圓心角

ZJ05=AB-

（2）在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧.等弧的長度相等，所含度數相等（即彎

曲程度相等）.

二、弦心距

圓心到弦的距離叫做弦心距.在圖27-9中，過圓心。作弦的垂線，垂足為C,則垂線

段OC的長是弦的弦心距.

三、圓心角、弧、弦、弦心距之間關系的定理：

①定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距

相等.

②推論圓心角、弧、弦、弦心距之間關系的定理有以下推論：

推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條劣弧（或優弧）、兩條弦、兩條弦的弦心距得

到的四組量中有一組量相等，那么它們所對應的其余三組量也分別相等.

【即學即練1】

1.如圖，點B,C,D,￡是。。上的五等分點，則NEBD的度數為（）

試卷第2頁，共18頁

A

B.34°C.36°D.38°

【即學即練2】

2.如圖，是。。的直徑，BC=CD，ZCOD=50°,求乙40。的度數.

3.如圖，AC=CB，D,E分別是半徑04,的中點.求證：CD=CE.

題型精講

題型1：圓心角的概念

【典例

4.下列圖形中的角是圓心角的是（

試卷第3頁，共18頁

【典例2】.

5.如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是（）

A.NABCB.ZAOBC.ZOABD.ZOCB

題型2：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系的定理概念辨析

【典例3】.

6.下列說法正確的是（）

A.相等的圓心角所對的弧相等B.相等的圓心角所對的弦心距相等

C.度數相等的兩條弧相等D.相等的圓心角所對的弧的度數相等

【典例41

7.下列四個命題：

①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；

②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；

③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；

④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等.

真命題的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【典例5】.

8.下列關于圓的說法中，錯誤的是（）

A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧

B.如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等

C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線

D.拱形不一定是弓形

【典例6】.

9.對于命題：①如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等；②如果兩個圓心角相等,

那么它們所對的弧相等.下列判斷正確的是（）

試卷第4頁，共18頁

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

題型3：根據圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系求證

【典例7】.

10.已知：4、B、C、。是O。上的四個點，且命=筋，求證：AC=BD.

【典例81

11.如圖，在。。中，弦N8與弦相交于點￡,且=求證：CE=BE.

12.已知，如圖，AD=BC.求證：AB=CD.

13.如圖，。。的弦/8、CD相交于點尸，且48=0求證尸B=

【典例111

14.如圖，/、B、C、。是。。上的四點，AB=DC.求證：AC=BD.

試卷第5頁，共18頁

15.如圖，為。。的直徑，半徑OC〃8。，判斷就與也是否相等，并說明理由.

16.已知：如圖，。。中弦48=CD.求證：AD=BC.

【典例14].

17.如圖，在。0中，弧AC=BC,CD1OA于D,CE1OB于E.求證：AD=BE.

18.已知：如圖，在。0中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D,AC=BD,求證:

(1)OC=OD：

(2)AE=BF■

試卷第6頁，共18頁

【典例16].

19.如圖，在。。中，BD^AC，求證:

(1)AB=CD；

⑵NB=NC.

【典例171

20.如圖，在Rt448。中，Z(9=90°,乙4=30。，以點。為圓心，08的長為半徑的。。

交40、48于點C、D.

⑴求也、訪的度數.

(2)如果弦3。的長為5cm,那么。。的半徑是多少？

【典例18].

21.如圖，過。。的直徑N8上兩點分別作弦CD,歷，CD//EF,AC=BF.

試卷第7頁，共18頁

E

c

o

D

求證：(1)BC=AF;

(2)AM=BN.

題型4：根據圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系求解

【典例19].

22.已知。。的一條弦把圓的周長分成1:5的兩個部分，則弦所對的弧的度數

為.

【典例20].

23.如圖，筋為120。，則弦A8所對的圓心角度數為.

【典例21].

24.若。。的半徑為3cm,一條弦分。。為1:3兩部分，這條弦所對的圓心角的度數為

這條弦的長度為.

【典例22].

25.如圖，點A,B,C,D在。。上.

(1)若貝gABCD-，

(2)若BD=AC,貝IjBDAC-

試卷第8頁，共18頁

AD

B

【典例231

26.如圖，在。。中，若彘=前=而）,則/C與2CA的大小關系是：AC

27.48是。。的直徑，點E在。。上，點。，C是前的三等分點，ZCOD=34°,ZAOE

的度數是_.

28.如圖，。是弧所在圓的圓心.已知點8、C將弧三等分，那么下列四個選項中

不正確的是（）

試卷第9頁，共18頁

A.AC=2CDB.AC=2CDC.ZAOC=2ZCODD.S扇形/g=2S扇形,。。?

【典例26].

29.如圖所示，在圓。中，如果//0B=2NZ0C（均小于180。），那么正確的是（）

A.AB=2ACB.AB>2AC

C.AB<2ACD.AB=AC

題型5：圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系與其他幾何性質結合

【典例27].

30.如圖，線段N2,NC分別為。。的弦，AB=6,AC=10,4D是NB/C的平分線，若

ABAC=60°,則弦/。長為（）

C.10V3D.回^

A.473B.—

33

【典例28].

31.如圖，點4瓦。為。。上三點，AC=j葉，點〃為前上一點，CE_L4W于￡,

AE=5,ME=3,貝的長為（）

C

A.V2B.2C.2亞D.V3

【典例29].

試卷第10頁，共18頁

32.如圖，四邊形/BCD內接于OO,￡為BC延長線上一點，連接ODOB,若

OD//BC,且OD=8C,則NBOD的度數是().

115°C.130°D.120°

【典例30].

33.如圖，以N8為直徑的圓。中，點。為圓心，C為弧48的中點，過點C作CD〃48

且CD=03.連接4。，分別交OC,BC于點、E,F,與圓。交于點G,連接50.

(2)連接BE,OF,求證：BEVOF.

強化訓練

一、單選題

34.下列說法中，正確的是（）

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等，所對的弦相等D.弦相等所對的圓心角相等

35.若C、。為半圓上三等分點，那么。。:13為（）

A.2：73B.1：V3C.2：1D.1：2

36.下列說法中，不正確的是（）

A.在同圓或等圓中，若兩弧相等，則它們所對的弦相等

B.在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數為60°

C.在同一個圓中，若兩弧不等，則優弧所對的圓心角較大

試卷第11頁，共18頁

D.若兩弧的度數相等，則這兩條弧是等弧

37.如圖,48是。。的直徑,CD是/。的垂直平分線，斯是。2的垂直平分線，則下列結論

正確的是（）

A.AD=DF=FBB.AD>DF

C.DF<FBD.AD=FB^DF

39.如圖，扇形OAB的圓心角為90。，點C、D是部的三等分點，半徑OC、OD分別與

弦AB交于點E、F,下列說法錯誤的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.NDFB=75°

40.如圖，PQ、網是。。的兩條互相垂直的弦，且20=依，過點。作于點

ON1PR于點、N.若"2=2,則。。的半徑為（）

試卷第12頁，共18頁

A.V2B.2C.2V2D.4

41.如圖，NB是。。的直徑，C、。是。。上的兩點，且點C為弧84D的中點，連接CD、

CB、OD,CD與AB交于點、F.若乙4。￡）=100。，則4i5C的度數為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

42.如圖，。。在A42C三邊上截得的弦長相等，即DE=FG=MV,zJ=50°,貝U乙BOC=

)

110°C.115°D.120°

D.AD=BD

二、填空題

44.如圖，OA,OB,OC,OD是。0的半徑,

試卷第13頁，共18頁

(1)如果NAOB=NCOD,那么,=zAOCZBOD；

(2)如果AB=CD,那么=,；

(3)如果標=①，那么—，，ACBD-

45.如圖，在兩個同心圓中，蕊為60。，則,的度數為

46.如圖，在。。中，弧/C與弧2。相等，Nl=30。，則N2='

47.如圖，。。經過五邊形。48co的四個頂點，若乙4OD=150。，//=65。，ZD=60°,

則BC的度數為°.

48.如圖，為。。的直徑，△尸48的邊尸4P8與。。的交點分別為C、D.若

AC=CD=DB,則/尸的大小為度.

試卷第14頁，共18頁

p

c

[D

49.如圖，己知點C是O。的直徑48上的一點，過點C作弦DE,使8=CO.若的度

數為35。，則前的度數是—.

50.如圖,D、E分別是OO的半徑OA、OB上的點,CD1OA,CE1OB,CD=CE,則弧AC與弧

CB弧長的大小關系是.

51.如圖，扇形。N2中，-05=60。，。/=46+8,點E為弧的中點，C為半徑04

上一點，將線段CE繞點C逆時針旋轉90。得到線段C￡,若點￡恰好落在半徑。8上，則

0E'=.

52.如圖，在。。中，弦與弦C。相交于點M,且48=CO,求證：BM=DM.

試卷第15頁，共18頁

cA

53.如圖，在。0中，弦AD與BC交于點E,且AD=BC,連接AB、CD.

求證：（1）AB=CD；

（2）AE=CE.

54.已知：如圖所示，AB,CD是。。的弦，OC,OD分別交AB于點E,F,且OE=O尸,

55.已知：如圖，在中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D,AC=BD,求證:

（1）OC=OD：

（2）AE=B~F.

56.如圖，MB,是O。的兩條弦，點C分別在弧M3,弧"。上，且=點

M是弧/C的中點.

（1）求證：MB=MD；

試卷第16頁，共18頁

(2)過。作OE1M8于E,OE=1,。。的半徑是2,求〃。的長.

57.如圖所示，以口/BCD的頂點/為圓心，48為半徑作圓，分別交BC于點、E,F,

延長胡交于G.

(1)求證：GE=EF；

(2)若劣弧前所對圓心角的度數為70。，求/C的度數.

58.如圖，已知4B是。。的直徑，點CE在。。上，且C是優弧施的中點，過點C作

⑴求證：AE=2CD；

⑵連接BE,若站，班=12,求5。的長.

59.如圖，在扇形/。2中，ZAOB=90°,C、D是標上兩點，過點、D作DE〃OC交OB

于￡點，在。。上取點尸，使。尸=DE,連接C尸并延長交。8于G點.

(1)求證：△OC/鄉△DOE；

試卷第17頁，共18頁

⑵若C、。是的三等分點，Q4=2G：

①求/OGC；

②請比較GE和BE的大小.

試卷第18頁，共18頁

1.c

【分析】點/、B、C、D、E是。。的五等分點，則每段弧的度數等于72度，弧即的度數

為72度，由圓周角定理知，弧對的圓周角是弧即的度數的一半即可解答.

本題利用了一個周角是360度和圓周角定理,在同圓或等圓中同弧或等弧所對的圓周角相等,

都等于這條弧所對的圓心角的一半成為解題的關鍵.

【詳解】解：：點B,C,D,E是。。上的五等分點，

.??弧皿的度數為72度，

ZA=36°.

故選：C.

2.80°

【分析】根據圓的性質進行計算即可得.

【詳解】解：在。。中，N2是。。的直徑，

ZAOB=180°,

又;BC=CD>

:.NBOC=ZCOD=50°,

ZAOD=180°-50°-50°=80°.

【點睛】本題考查了圓的性質，解題的關鍵是掌握同弧所對的圓心角相等.

3.見解析

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，以及全等三角形的判定與性質.連接OC,構

建全等三角形ACOD和NCOE；然后利用全等三角形的對應邊相等證得CO=CE.

【詳解】證明：連接OC.

:"AOC=NBOC,

VOA=OB,D、E分別是半徑。4和03的中點,

/.OD=OE,

答案第1頁，共34頁

???OC=OC,

.〔ACOD知COE(SAS),

CD=CE.

4.A

【分析】本題考查了圓心角的定義，能熟記圓心角的定義(頂點在圓心上，并且兩邊與圓相

交的角，叫圓心角)是解此題的關鍵.根據圓心角的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A.頂點在圓心上，是圓心角，故本選項符合題意；

B.頂點在圓上，是圓周角，故本選項不符合題意；

C.頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

D.頂點不在圓心上，不是圓心角，故本選項不符合題意；

故選：A.

5.B

【分析】本題考查圓心角的概念，確定一個角是否是圓心角，只要看這個角的頂點是否在圓

心上，頂點在圓心上的角就是圓心角，否則不是.

【詳解】解：根據圓心角的概念，N4BC、ZOAB,/OC2的頂點分別是8、4C,都不

是圓心。，因此都不是圓心角.只有B中的的頂點在圓心，是圓心角.

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了圓形角，弧，弦心距之間的關系，根據在同圓或等圓中，相等的圓心角

所對的弧相等，相等的圓心角所對的弦心距相等，度數相等的兩條弧相等，以及相等的圓心

角所對的弧的度數相等逐個判斷即可.

【詳解】解：A、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故A不正確，不符合題意；

B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦心距相等，B不正確，不符合題意；

C、在同圓或等圓中，度數相等的兩條弧相等，故C不正確，不符合題意；

D、相等的圓心角所對的弧的度數相等，故D正確，符合題意；

故選：D.

7.C

【分析】利用圓的有關性質分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧不一定相等，故原說法錯誤，是假命題,

不符合題意；

答案第2頁，共34頁

②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；

③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；

④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，

真命題有3個，

故選：C.

【點睛】考查了真假命題的判斷，解題的關鍵是掌握圓的有關性質，難度不大.

8.B

【分析】根據圓心角、弧、弦的關系對A、B進行判斷；根據過圓心的直線都為圓的對稱軸

可對C進行判斷；根據拱形與弓形的定義對D進行判斷.

【詳解】解：A.半徑、圓心角分別相等的兩段弧一定是等弧，所以A選項不符合題意；

B.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所以B選項符合

題意；

C.圓的對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以C選項不符合題意；

D.拱形加上跨度為弓形，所以D選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、

兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.也考查了軸對稱.

9.A

【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.根

據圓心角、弧、弦的關系定理判斷即可.

【詳解】解：①如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，故本小題說法是真命題；

②在同圓或等圓中，如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧相等，故本小題說法是假命

題

故選：A.

10.詳見解析

【分析】先根據病=益可得就=而，再根據同圓中等弧所對的弦相等即得.

【詳解】證明：,左=石

■■AC=BD

.-.AC=BD

答案第3頁，共34頁

【點睛】本題考查圓心角定理推論，解題關鍵是熟知同圓或等圓中，等弧所對的弦相等.

11.見解析

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關系、圓周角定理的推論，熟練掌握是解題的關鍵.

由弦相等得到凝=也，推出就=筋，得到=再利用等腰三角形的判定得出結

論.

【詳解】證明：,??/3=CD,

:.AB=CD>

■■AB-CB=CD-CB^

■■AC=BD>

：.ZC=ZB,

：.CE=BE.

12.證明見解析

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，熟知圓心角、弧、弦之間的的關系是解題

的關鍵.依據弦ND與2c相等，則這兩條弦所對的劣弧和優弧分別相等，即可解.

【詳解】證明：,.?/O=3C,

:.AD=BC>

AD+AC^BC+AC,

即也=獲，

AB=CD.

13.見解析

【分析】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系、等腰三角形的判定.連接5D,

由弧、弦、圓心角的關系進行證明，結合等角對等邊，即可得到結論成立.

【詳解】證明：連接20.

答案第4頁，共34頁

???AB=CD,

??AB=CD

-AB-AC=CD-AC^

即石二元，

???/B=/D,

???PB=PD.

14.見解析

【分析】根據43=。。，得出方=也，求出去=麗，即可證明結論.

【詳解】證明：???/8=。。，

-AB=CD

-AB+BC=BC+CD

即就=礪，

AC=BD.

【點睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角之間的關系，解題的關鍵是熟練掌握三個量關系定

理.

15.AC=CD＞理由見解析

【分析】連接根據等腰三角形的性質和平行線的性質，得出//OC=/DOC,即可得

出答案.

【詳解】解：AC=CD，理由如下：

連接如圖所示：

OD=OB,

AOBD=ZODB,

答案第5頁，共34頁

OC〃BD,

ZCOD=ZODB,ZCOA=NDBA,

：.AAOC=NDOC,

■■Ac=cb-

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，圓心角性質，解題的關鍵是作

出輔助線，證明乙4。。=40。。.

16.見解析

【分析】先根據等弦所對的劣弧相等得到前=也，從而得到

AD=AB-BD=CD-BD=BC^再由等弧所對的弦相等即可得到AD^BC.

【詳解】證明：,??/8=CD,

■■AB=CD^

■■AD=AB-Bb^cb-Bb^BC>

：.AD=BC.

【點睛】本題主要考查了弧與弦之間的關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握等弦所對的劣弧

相等，等弧所對的弦相等.

17.證明見解析

【分析】連接0C.只要證明aCOD三△COE,推出OD=OE即可解決問題；

【詳解】解：連接OC,

"AC=CB，

???zAOC=zBOC.

???CD1OA于D,CE1OB于E,

.-.ZCDO=ZCEO=90°

在△COD與△COE中，

答案第6頁，共34頁

ZDOC=ZEOC

v<ZCDO=ZCEO=90°,

CO=CO

.-.△COD=ACOE(AAS),

.?.OD=OE,

vAO=BO,

.?.AD=BE.

【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，全等三角形的性質和判定.熟知在同圓和等

圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等是解答此題的關鍵.

18.(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)證明：連接OA,0B,證明aOAC三AOBD(SAS)即可得到結論；

(2)根據△OAC三△OBD,得至lkAOC=NBOD,即可得至U結論.

【詳解】(1)證明：連接OA,OB,

vOA=OB,

.?.Z.OAC=ZOBD.

在△OAC與AOBD中，

OA=OB

NOAC=ZOBD,

AC=BD

.?.AOAC=AOBD(SAS).

???OC=OD.

(2)???△OAC=AOBD,

???zAOC=zBOD,

【點睛】此題考查同圓的半徑相等的性質，全等三角形的判定及性質，等腰三角形等邊對等

角的性質，相等的圓心角所對的弧相等的性質，正確引出輔助線證明aOAC三2XOBD是解題

答案第7頁，共34頁

的關鍵.

19.⑴見解答

(2)見解答

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，等腰三角形的性質，解答本題用到的知識點為:

同弧所對的圓心角相等，等腰三角形兩底角相等等.

(1)由麗=就，可知而-介=G--益，得到筋=①，可得結論；

(2)根據圓心角、弧、弦的關系由標=①，得至1］乙4。8=/。。。，然后利用等腰三角形

底角相等即可得到結論.

【詳解】(1)證明：???麗=北，

BD-AD=AC--AD,

■-AB=CD

AB=CD

(2)證明：,?,蕊=歷,

ZAOB=ZCOD,

?1-OA=OB=OC=OD,

NA=NB=NC=ND,

即ZB=ZC.

20.(1)①的度數為30。，麗的度數為60°

(2)。。的半徑是5cm

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系，熟練掌握以上知識

點并靈活運用是解此題的關鍵.

(1)連接8,先證明ABQD為等邊三角形，得出/8。。=60。，即可得出訪的度數，求

出//。。=30。，即可得出①的度數；

(2)由等邊三角形的性質即可得解.

【詳解】(1)解：如圖：連接

答案第8頁，共34頁

A

?.?在Rt^/80中，NAOB=90°,N/=30。，

.?.4=90°-//=60°,

vOB=OD,

.?.△80。為等邊三角形，

.?"BOD=60°,即麗的度數為60。,

???ZAOD=ZAOB-ZBOD=30°,即CD的度數為30°；

（2）解:由（1）可得：力。。為等邊三角形，

??,弦5D的長為5cm,

OB=OD=BD=5cm,

?1.O<9的半徑是5cm.

21.（1）詳見解析；（2）詳見解析

【分析】（1）連接OC、OF,根據圓心角、弧、弦的關系即可得到結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到NA=NOCA=ZBFC=NB,等量代換得到NBFC=NACF.根據

平行線的性質得到NAMCNANE.根據全等三角形的性質即可得到結論.

【詳解】解：（1）如圖，連接。C,0\

?：AC=BF,

ZCOA=ZBOF,

ZCOB=ZFOA.

答案第9頁，共34頁

/.BC=AF-

(2)?：/COA=/BOF,OC=OF=OA=OB,

/.ZCAB=NOCA=NBFC=/ABF,

ZBFC=ZACF.

二,CD//EF,

ZAMC=ZANE.

又?:ZBNF=ZANE.

ZAMC=/BNF.

在和ABNF中,

"AMC=4BNF,

</CAB=/ABF,

AC=BF,

:^AMCaBNFlAAS),

/.AM=BN.

【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角

形的判定和性質是解題的關鍵.

22.60。或300。

【分析】本題考查弧，弦，角之間的關系，分優弧和劣弧兩種情況，結合比例關系進行求解

即可.

【詳解】解：???。。的一條弦力8把圓的周長分成1:5的兩個部分，

弦對應的圓心角的度數為：360。x丁［=60°,

???弦所對的劣弧的度數為60。，所對的優弧的度數為：360°-60°=300°,

故答案為：60。或300。.

23.120°

【分析】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關系，連接04OB,由荔為120。可得

4408=120。，據此即可求解，掌握弧、弦、圓心角之間的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：連接04OB,

???AB為120°,

ZAOB=120°,

答案第10頁，共34頁

???弦力B所對的圓心角度數為120。,

故答案為：120。.

24.90。##90度3亞cm

【分析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，根據一條弦分。。為1:3部分，則分圓心

角也為1:3兩部分，求出劣弧所對的圓心角，再根據等腰直角三角形的性質即可得出答案.

【詳解】解：???一條弦分。。為1:3兩部分，

??.這條弦所對的圓心角的度數為360。X；=90。，這條弦的長度為斤百=3亞cm.

故答案為：90°,3j5cm.

25.==

【分析】本題題考查了圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的

弦相等，所對弦的弦心距也相等，即四者有一個相等，則其它三個都相等.

【詳解】解：(1)?.?A8=cr>,

■■AB=CD-

故答案為：=；

(2)-：BD=AC,

■■BD^AC-

故答案為：=.

26.<

【分析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，解題的關鍵是利用三角形三邊關系得到

AB+BC>AC.如圖，連接8C,根據題意知，AB=BC=CD,又由三角形三邊關

系得到48+8C>/C得到：AC<2CD.

【詳解】解：如圖，連接48、BC,

答案第11頁，共34頁

在。。中，若標=前=①，

AB=BC=CD,

在ZUBC中，AB+BOAC.

AC＜2CD.

故答案為：＜.

27.78°##78度

【分析】本題考查弧，弦，角直角的關系，根據點。，C是前的三等分點，推出

NBOE=3ZCOD,再根據平角的定義，求出的度數即可.

【詳解】解：???點E在。。上，點。，C是前的三等分點，

■■DE=CD=BC＞

：.ZEOD=ZCOD=ZBOC,

ZBOE=32coD=102°,

ZAOE=\80°-ABOE=78°；

故答案為：78°.

28.B

【分析】利用三等分點得到標=前=而，由此判斷A；根據/B=3C=C。，得到

AB+BOAC,由此判斷B；根據左=2。即可判斷C；根據凝=藍=而，得至U

S扇物ic?=,扇形BOC=S扇形co。＞由止匕判斷D.

【詳解】解：連接48、BC,OB,

???點以C將弧/。三等分，

■■AB=BC=CD，

?1?AC=2CD＞故A選項正確；

答案第12頁，共34頁

B

???AB二BC=CD，

：.AB=BC=CD,

-AB+BOAC,

:.AC<2CD,故B選項錯誤；

,-AC=2CD>

，ZAOC=2/COD,故C選項正確；

,-AB=BC=CD

^/.AOB=Z.BOC=2LCOD,

???S扇形405=S扇形30c=S扇形co。,

???S扇形HOC=2s扇形co。,故D選項正確；

故選：B.

【點睛】此題考查了圓心角、弧、弦定理：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦中有一個量相

等，另兩個量也對應相等.

29.C

【分析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，正確把握相關定理是解題關鍵.

直接利用圓心角、弧、弦的關系得出各線段、角的關系即可解答.

【詳解】解：取懿的中點。，連接

/.AD=BD9

AD=BD,ZAOD=/BOD=-ZAOB,

2

-ZAOB=2ZAOC,

ZAOD=/BOD=ZAOC,

二.AD=BD=ACf

答案第13頁，共34頁

vAD+BD>AB,

；,2AC>AB,故C正確;

故選：C.

30.D

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，圓內接四邊形性質，勾股定理，全等三角

形的性質和判定的應用，過點。作CE垂直于N8的延長線，交于E,作于尸，連

接BD,，根據圓內接四邊形的性質可得NBDC=120。，由/。平分ZBAC,可得。E=DF,

NBAD=NCAD=30°,AD=2DF,BD=CD,再證明口市8。￡g11床。。尸（111）,

RtA4DF^RtA/OE（HL）,可得BE=CF,AE=AF,貝U/5+5E=/C-C斤，進而求得

BE=CF=2,可知/F=/C-C尸=8,再由勾股定理即可求解，能根據角平分線正確作出

輔助線是解此題的關鍵.

【詳解】解：過點。作CE垂直于N8的延長線，交于E,作。尸14C于尸，連接8。，

CD,

???AD平分/5/C,ZBAC=60°,

：.DE=DF,NBAD=NC4D=30。,NBOC=120。(圓內接四邊形對角互補),

則麗=S>，AD=2DF,

：.BD=CD,

.?.RtABOE絲RtACD尸(HL),

BE=CF,

AD=AD,

答案第14頁，共34頁

Rt，。尸gRt"Z>￡(HL),

AE=AF,則/B+B￡=/C—W,

：,AC—AB=BE+CF=2BE=10-6=4,貝!J=Cb=2,

AF=AC-CF=Sf

由勾股定理可得：AD2=AF2+DF2,即：AD2=^+^AD^,

“回，

3

故選：D.

31.B

【分析】本題主要考查了弧，弦，圓周角之間的關系，全等三角形的性質與判定，等腰三角

形的性質與判定，在上取一點尸，使得=連接CRCM,由公=前得到

AC=BC,進而證明A/PC也ABMC(SAS),得到。尸=CM,由三線合一定理得到

EF=EM=3,則8河=/尸=/￡一跖=2.

【詳解】解：如圖所示，在上取一點尸，使得=,連接CF,CM,

,：AC=BC，

AC=BC,

又,：/A=/B,AF=BM,

.-.△^FC^AWC(SAS),

：,CF=CM,

vCELAM,

??.EF=EM=3,

：.BM=AF=AE-EF=2,

故選：B.

答案第15頁，共34頁

32.D

【分析】本題主要考查菱形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，連接0C,由8〃2C,

OD=BC證明四邊形08CD是平行四邊形，由。8=。。可證明四邊形08CD是菱形，得

OB=BC,ABOC=ZDOC,再證明AOBC是等邊三角形即可得出結論.

【詳解】連接。C,如圖，

OD//BC,OD=BC,

???四邊形08C。是平行四邊形，

又OB=OD,

???四邊形08co是菱形，

OB=BC,ZB0C=ZDOC,

vOB=OC,

：.OB=BC=OC,即△0BC是等邊三角形,

ABOC=60°,

；.NBOD=2NBOC=120°,

故選：D

33.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據平行四邊形的判定可得四邊形08。。為平行四邊形，根據C為半圓的中

點可得NCO8=90。，根據矩形的判定可得平行四邊形O8DC為矩形，即可證明；

(2)連接BE,OF,交于H,結合(1)易知四邊形OBOC為正方形，可證

^FOC^FDC,得NCOF=NCDF,再證OC垂直平分AB,進而證明NEBO=NCDF=ZCOF,

再根據角度之間的互余關系可得=90。，即可則證明BELO尸.

【詳解】(1)證明："CD//AB,CD=OB,

.?.四邊形OBDC為平行四邊形，

???c為半圓的中點，

.-.COLAB,即/CO3=90°,

答案第16頁，共34頁

???平行四邊形05。。為矩形.

???ZOBD=90°,

???BD1AB.

(2)證明：連接BE,OF,交于"，

由(1)可知平行四邊形05。。為矩形，

???OC=OB,

???四邊形05。。為正方形，則CQ=C。，/OCB=/DCB=45。,

,：CF=CF,

???八FOC'FDC,

???ZCOF=ZCDF,

???AB//CD,

：,ZA=NCDA,

,；0A=0B,COA.AB,

???0c垂直平分48,

AE=BE,

；./A=/EBA,

???ZEBO=ZCDF=ZCOF,

vZCOF+ZBOF=90°,

:?/EBO+/BOF=90。,

'.ZOHB=90°,

???BELOF,

【點睛】本題考查圓的基本性質，矩形、正方形的判定及性質，全等三角形的判定及性質、

等腰三角形的性質等知識點，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵.

34.B

答案第17頁，共34頁

【分析】根據圓心角，弦，弧之間的關系判斷，注意條件.

【詳解】/中，等弦所對應的弧可以相等也可以互補構成新圓；

8中，等弧所對應的弦相等，故選8

C中，圓心角相等所對應的弦可能互補；

D中，弦相等，圓心角可能互補；

故選2

【點睛】本題考查了圓心角，弧，弦之間的觀，此類試題屬于難度較大的試題，其中，弦和

圓心角等一些基本知識容易混淆，從而很難把握.

35.D

【分析】根據圓心角定理可得NAOC=NCOD=NBOD=60。，則△OCD為等邊三角形，即CD

等于半徑.

???C、。為半圓N2上三等分點，

.??ZAOC=ZCOD=Z.BOD=60°,

??.△OCD為等邊三角形，

r,,1

則CD=OC=-AB.

故選D.

【點睛】本題主要考查圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓

心角相等.

36.D

【分析】圓心角、弧、弦的關系是在同圓或等圓中發生的，因此在大小不等的兩圓中，即使

位于兩圓中的兩弧的度數相等，這兩條弧也不是等弧，由此可知答案.

【詳解】A.在同圓或等圓中，若兩弧相等，則它們所對的弦相等，此項說法正確，不符合

題意；

B.在同一個圓中，若弦長等于半徑，則該弦所對的劣弧的度數為60。，此項說法正確，不符

合題意；

C.在同一個圓中，若兩弧不等，則優弧所對的圓心角較大，此項說法正確，不符合題意；

答案第18頁，共34頁

D.在大小不等的兩圓中，即使位于兩圓中的兩弧的度數相等，這兩條弧也不是等弧，符合題

-zfc.

忌、.

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，掌握圓的有關概念和性質是解題關鍵，要特

別注意題干的要求.

37.A

【分析】如圖，連接AD,OD,DF,OF,BF,根據垂直平分線的性質易證DF=DF=BF,

再根據“在同圓或等圓中，所對的弦相等的兩段弧是等弧”即可判斷.

【詳解】如圖，連接AD,OD,DF,OF,BF,

■.-CD是A0的垂直平分線,EF是0B的垂直平分線，

1

??.DF=CE=-AB,AD=OD,OF=BF,

2

?1.DF=DF=BF,

則益=5?=麗.

故選A.

【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質，等弧的判定，解此題的關鍵在于熟練掌握其知識

點.

38.C

【分析】根據弧、弦、圓心角的關系，即可判斷.

【詳解】(1)在。。中，,?,4B=/C,.,.笳=就，(1)正確；

(2)成與也不是同圓或等圓中的弧，由4=推不出標=①，二(2)不正確；

(3)-■AD^BC，■-AD+BD=BC+BD--AB^CD；(3)正確；

(4)弦與弦CD不是同圓或等圓中的弦，.??乙4。3片/COD；(4)不正確

故選：C

【點睛】本題考查弧、弦與圓心角的關系，解題的關鍵是熟練掌握弧、弦、圓心角的關系進

行判斷正誤.

答案第19頁，共34頁

39.A

【詳解】試題分析:禾!l用點C,D是就的三等分點，得出AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=

|zAOB=30°,再求出NOBA的度數，利用外角求出NBFD的度數，通過證aAOE三△BOF,

得出OE=OF,則EC=FD.連接AC,在4ACE中，求證AE=AC,貝l|可證CD=AE=BF,再

根據CD>EF得AE、EF、FB關系.

解：,?,點C,D是套的三等分點，

???AC=CD=DB,ZAOC=ZCOD=ZBOD=-zAOB=30°,

3

.??選項B正確；

vOA=OB,ZAOB=90°,.-.z0AB=z0BA=45o,

.?.zAEC=zOAB+zAOC=45°+30o=75°,同理NDFB=75°,

故選項D正確.

??.zAEO=z.BFO,

在AAOE和ABOF中，zAEO=zBFO,zAOC=zBOD,AO=BO,

???AAOE=ABOF,

???OE=OF,

，EC=FD,故選項C正確.

在△AOC中，???OA=OC,.?.NACO=NCAO=；(180°-30°)=75°,

??zACONAEC,

???AC=AE,同理BF=BD,

X-.AC=CD=BD,

???CD=AE=BF,

?.?在aOCD中，OE=OF,OC=OD,

?■?EF<CD,

???CD=AE=BF>EF,故A錯誤.

故選A.

40.C

【分析】利用垂徑定理,弦、弦心距的關系求得(W=ON,=2,證明四邊形(WPN

是正方形，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：???PQ=PR,OM±PQ,ON1PR,

答案第20頁，共34頁

OM=ON,QM=PM=2,

■：PQVPR,OM1PQ,ON1PR,

四邊形0MPN是矩形，

OM=ON,

矩形。MPN是正方形，

連接。P,則OP=JFG'=2后.

故選：C.

【點睛】本題考查了垂徑定理，正方形的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所

學知識解決問題.

41.B

【分析】先根據鄰補角的性質求出乙B。。，再根據點C為弧34D的中點，求出乙B0C的度

數，再根據等腰三角形的性質即可求出乙48c的度數.

【詳解】???乙400=100。，

?,280。=180°-々0。=80°,

???點C為弧24D的中點

“BOC=3OC=(360°-80°)=140°

■：OC=OB

；2BC=ABCO=g(180°-140°)=20°

故選B.

【點睛】此題主要考查圓內角度求解，解題的關鍵是熟知圓心角、弧的關系.

42.C

【分析】過點。作OPYAB于點P,OQ1AC于點。，OKLBC于點K,由于。E=FG=MN,

所以弦的弦心距也相等，所以。2、OC是角平分線，根據乙4=50。，先求出

//8。+a4。8=180。-乙4=130。，再求出，進而可求出乙80c.

答案第21頁，共34頁

【詳解】解：過點。作OPL4B于點P,OQL4c于點。，OKLBC于點、K,

?:DE=FG=MN,

：?OP=OK=OQ,

：,0B、OC平分乙45。和乙4c5,

/.ZOBC=-ZABC,/OCB=L/ACB,

22

,?