Ay、一rsi

第八早圓

重難點10幾何熱考題四圓熱考模型

（5種類型17種模型+模型解讀+專題訓練）

【題型匯總】

模型結(jié)論：CE=DE,BC^BD,AC=AD

【模型進階】條件：①AB過圓心0；②CDLAB；③AB平分CD（CD不是直徑）④AB平分C4D或C5D.

模型結(jié)論：若已知四個條件中的兩個，那么可推出另外兩個，簡稱“知二得二”，解題過程中應(yīng)靈活運用該

定理.

常見輔助線做法（考點）：

1）有弦無垂徑時，可過圓心，作垂線，連半徑，造RtA,用勾股，求長度；

【補充】在構(gòu)造RtAODE中，半徑0D,弦心距0E,弦長CD,拱高BE四個量知二推二.

2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.

1.（2024?北京?中考真題）如圖，。。的直徑4B平分弦CD（不是直徑）.若AD=35。，則NC=°

2.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽力BCD是矩形.當

餐盤正立且緊靠支架于點A,。時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm.

3.（2023?湖南岳陽?中考真題）如圖，在。。中，4B為直徑，BD為弦，點C為方D的中點，以點C為切點的切

線與力B的延長線交于點E.

（1）若NA=30。,48=6,則四的長是（結(jié)果保留兀）；

⑵C=?則冷——?

題型02圓哥定理

1）弦切角模型

條件如圖，直線BC與。0相切，線段AB是。。的弦

圖示

研

CB

結(jié)論弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一

半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù).

1.（2022九年級上?全國?專題練習）如圖，直線4。與小4BC的外接圓相切于點A,若4B=60°,貝此C4D等

C.90°D.120°

2.如圖，BD為圓。的直徑，直線ED為圓。的切線，4C兩點在圓上，AC平分NB4D且交BD于F點.若N4DE=

C.116°D.142°

3.如圖，已知直線與以A8為直徑的半圓相切于點C,NA=28。.

⑴求/ACM的度數(shù)；

（2）在上是否存在一點Q,使為什么？

4.(21-22九年級上?山東聊城?期中)頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如圖

①所示：朋切。。于點A,A8是。。的一條弦，/孫B就是。。的一個弦切角.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于

它夾弧所對的圓周角.根據(jù)下面的“已知”和“求證”，寫出“證明”過程，并回答后面的問題.

(1)如圖1,陰是。。的切線，A為切點，AC為直徑，夾弧所對的圓周角為NC.求證：ZPAB^

ZC.

(2)如圖2,用是。。的切線，A為切點，/必2夾弧所對的圓周角為NZ).求證：ZPAB=ZD.

(3)如圖3,為半。。的直徑，。為圓心，C,。為半。。上兩點，過點C作半。。的切線CE交AQ的

延長線于點E,若CELA。，且BC=1,AB=3,求。E的長.

1.(2024?四川樂山?模擬預(yù)測)如圖，在。。中，弦4B1弦CD,垂足為E,若AE=2,BE=6,DE=3,

則。。的面積是()

C11

A.207rB.137rC.—TTD.—71

44

2.（23-24九年級?江蘇?假期作業(yè)）如圖，在。。中，弦AB、CD相交于點P,且PD<PC.

（2）若P4=3,PB=8,CD=10,求PD.

3.（22-23九年級上?山西忻州?期末）閱讀與思考：九年級學生小剛喜歡看書，他在學習了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等）,

任務(wù)：（1）請將上述證明過程補充完整.

根據(jù):

（2）小剛又看到一道課后習題，如圖2,AB是。。的弦，P是力B上一點，AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,

4.（2023?河南信陽?三模）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.

如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并

寫出證明過程.已知：如圖①，弦ZB,CD交于點P,求證:

（2）如圖②，已知4B是。。的直徑，4B與弦CD交于點P,且4B1CD于點P,過Z）作。。的切線，交B4的

延長線于E,。為切點，若4P=2,。。的半徑為5,求4E的長.

/.BCD=ZX,BC=10,BD=6,貝MB的長是（）

B

32SO

A.8B.—C.12D.—

33

2.(22-23九年級上?山西呂梁?期末)閱讀與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

米勒定理

米勒(1436—1476)是德國的數(shù)學家，是歐洲最有影響的數(shù)學家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得

三角學在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作.下面是米勒定理(又稱切割線定理)的證明過程

已知：如圖1,P4與O。相切于點A,PB與。。相交于點8,C.

求證：PA2=PB-PC.

證明：如圖2,連接力C,OA,0C.

為。。的切線，：.0A1PA,."1+42=90。.

"：0A=OC,.\Z2=Z3.

WO+Z.2+Z3=180°,+2Z2=180°.

VAC=AC,:.乙0=2乙B,

(1)請完

(2)應(yīng)用：如圖3,P力是。。的切線，PC經(jīng)過。。的圓心。，且PB=OB=2,割線PDE交。。于點Q,E,

PE=5,求PD的長.

3.(2024.湖北武漢.模擬預(yù)測)閱讀：《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作，它是歐

洲數(shù)學的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認為是歷史上學習數(shù)學幾何部分最成功的教科書.下

面是其中的切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比

例中項.即，如圖1,,是。。的切線，直線力D為。。的割線，貝?4D.下面是切割線定理的

證明過程(不完整):

連接B。并延長交。。于點E,連接CE、BC.

圖2???AB是。。的切線，0B是O。的半徑,

BE是。。的直徑，

???乙BCE=90°().

乙E+乙CBE=90°.

???乙E=乙CDB(),

???Z.BAC=Z.DAB,

■■.AABCADB,

_AB_AC

"AD~AB'

AAB2=AC-AD.

任務(wù)：

(1)請在上面橫線上補充證明過程，在括號內(nèi)補充推理的依據(jù)；

(2)如圖2,己知4B是o。的直徑,4C是o。的切線,4為切點，割線CF與4B于點E,且滿足CD:DE-.EF=1:2:1,

AC=8,求48的長.

4)割線定理

類型基礎(chǔ)模型模型變形

條件在。0中，弦AB與弦CD的延長線相交于點P,點P在00若從圓外一點P引圓的兩條割線PAB和PMN,

且割線PMN經(jīng)過圓心，r為。0的半徑

外

1.如圖，PAB為O。的割線，且P2=2B=3,P。交O。于點C,若PC=2,則。。的半徑的長為

2.（2021.河南洛陽?二模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當直線與圓有兩個公

共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如，割線定理：從

圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等.下面給出了不完整的定理“證明一”,

請補充完整.

已知：如圖①，過。。外一點P作。。的兩條割線，一條交。。于4、B點，另一條交。。于C、D點、.

求證：PA-PB=PC-PD.

證明一：連接力。、BC,

：乙4和NC為附所對的圓周角，.

又；NP=NP,.

^PA-PB=PC-PD.

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學習過的圓內(nèi)接四邊形4BDC.那么或許割線定理也可

以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨立完成證明二.

證明二：連接力C、BD,

3.（23-24九年級下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習）舊知溫習：人教版初中數(shù)學第二十七章《相似》中比例線段的

證明都是利用三角形相似或平行線得出來的，在三角形相似證明中，利用的條件有角相等，對應(yīng)邊成比例.比

例線段還可以寫成等積式，如箸=篇可以寫為AB-MN=CD-EF.

新知探究:如圖1,0。中,4B,CD是兩條相交的弦，交點為尸,（不再添加輔助線）,求證:P力=PC-PD；

類比探究：如圖2,尸是。。外一點，PAB,PCD是。。的兩條割線，與。。交點分別為A,B,C,。.請

寫出PA,PB,PC,PD的等積關(guān)系式，并說明理由.

延伸結(jié)論：如圖2,。。中，點尸是。。外一點，PC是。。的切線，切點為C,P48是過圓心。的一條割線，

交O。于A和B點，請直接寫出探究PC,PA,PB之間的數(shù)量關(guān)系.

題型03四點共圓

四點共圓模型的判定:

圖1圖2圖3

判定方法1：如圖1,若四個點到一個定點的距離相等，則這四個點共圓（圓的定義）.

適用范圍：題目出現(xiàn)共端點，等線段時，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.

判定方法2：如圖2,同側(cè)共邊三角形且公共邊所對角相等的四個頂點共圓.

判定方法3：如圖3,若一個四邊形的一組對角互補，則這個四邊形的四個點共圓.

1.（22-23九年級上?河北保定?期末）如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊4B重合，其中量角器0

刻度線的端點N與點A重合，射線CP從。I處出發(fā)，沿順時針方向以每秒3度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半

圓弧交于點E,第12秒時，點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

2.（202L浙江嘉興.中考真題）如圖，在ZL4BC中，ABAC=90°,AB=AC=5,點。在AC上，且4。=2,點E

是42上的動點，連結(jié)DE,點F,G分別是BC,DE的中點，連接2G,FG,當AG=FG時，線段DE長為（）

3.（22-23九年級上?廣東深圳?期末）如圖，等邊△ABC中，AB=6,P為力B上一動點，PD1BC,PE1AC,

則DE最小值為.

4.（2021.湖北隨州?中考真題）如圖，在RtAABC中，Z.ACB=90°,。為2B的中點,。0平分乙4OC交4c于

點G,OD=OA,BD分別與ZC,OC交于點E,F,連接4D,CD,則器的值為_____；若CE=CF,則條的值

BCOF

為.

5.（2024?上海?模擬預(yù)測）如圖1,AD,BD分另!］是A4BC的內(nèi)角ABAC,“BC的平分線且NB4c<90。，過

A作4E14D,交BD延長線于E.

圖1圖2

(1)CD,EC,求證：A,D,C,E四點共圓;

（2）如圖2,若4E=4B,BD-.DE=2:3,求乙4BC的余角的正切值；

（3）若AABC與A/IDE相似，請直接寫出ABAC的正弦值以及其對應(yīng)受里的值.

SLABC

2）定邊對定角共圓模型（判定方法2）

1.（2024?浙江金華?二模）如圖，ATIBC和ACDE都是等邊三角形，AC=4,連接力E,BD,尸為直線4E,BD

的交點，連接CF,當線段BF最長時，CF的值是（）

A.1B.—C.2D.2V3

3

2.（2022.江蘇無錫?中考真題）"BC是邊長為5的等邊三角形，△OCE是邊長為3的等邊三角形，直線2D

與直線AE交于點?如圖，若點。在AA8C內(nèi)，ZDBC=2O°,則°；現(xiàn)將AOCE繞點C旋轉(zhuǎn)

1周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長度的最小值是.

3.（21-22九年級上?福建福州?期中）如圖，在即A4BC中，NB4c=90。，zABC=40°,將AABC繞A點順時

針旋轉(zhuǎn)得到AADE,使。點落在BC邊上.

（1）求NBAD的度數(shù)；

（2）求證：A、D、B、E四點共圓.

4.（22-23九年級下?福建南平咱主招生）如圖，在四邊形4BC0中力B=4。=4。=b，且4G1BD,垂足

為G,4G延長線交CD于F,交8C的延長線于E.

（1）求證：A,B,C,尸四點共圓；

（2）求證：4E-4F為定值.

5.（2022?貴州遵義?中考真題）探究與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段4C同側(cè)有兩點B,D,連接力D,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么力，B,C,D四點在同

一個圓上.

圖1

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點力，C,D的O0,在劣弧4C上取一點E（不與A,C重合），連接AE,CE則以EC+=180°

???^AEC+NB=180°

.??點4B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.?.點B,。在點力，C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

.??點4,B,C,E四點在同一個圓上

（1）反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形4BCD中，N1=N2,Z3=45°,貝此4的度數(shù)為

（3）拓展探究：如圖4,已知AABC是等腰三角形，=2C,點。在BC上（不與BC的中點重合），連接40.作

點C關(guān)于4D的對稱點E,連接EB并延長交AD的延長線于F,連接4E,DE.

圖4

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2&,AD-AF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

3）定邊對雙直角共圓模型（判定方法5）

①定邊對雙直角共圓模型（同側(cè)型）

1.（2023九年級?全國?專題練習）如圖①，若是Rt△48c和RtADBC的公共斜邊，則4、B、C、。在以

BC為直徑的圓上，則叫它們“四點共圓”.如圖②，AABC的三條高4D、BE、CF相交于點H,則圖②中“四

點共圓”的組數(shù)為

2.（2021?湖北鄂州?中考真題）如圖，四邊形4BDC中,AC=BC,Z.ACB=90°,AD1BD于點D.若BD=2,

CD=4V2,則線段AB的長為.

3.（2020?湖北武漢?二模）如圖，等腰RSABC中，zACB=90°,D為BC邊上一點，連接AD.

（1）如圖1,作BE1AD延長線于E,連接CE,求證：ZAEC=45°；

（2）如圖2,P為AD上一點，且NBPD=45。，連接CP.

①若AP=2,求AAPC的面積；

②若AP=2BP,直接寫出sinzACP的值為.

②定邊對雙直角共圓模型（異側(cè)型）

1.（2024?廣東深圳?三模）如圖，△力BC中，NABC=45°,NR4C=75°,BC=聲，點尸是BC上一動點，PDVAC

于。，。《148于￡,在點尸的運動過程中，線段DE的最小值為（）

A

A.3V3-3B.2C.更D.三

352

2.（22-23九年級上?廣東梅州?階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，乙48C=乙4DC=90。，E是AC的

中點，F(xiàn)是BD的中點，若ABAC=15°,乙EMC=45。，CD=4,貝!IEF的長為（）

A.V2B.2V2C.2D.2A/3

3.（2024?河南安陽.三模）數(shù)學綜合與實踐課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學活動.

模型感知:

小明同學善于觀察思考，如圖1,在AABC和△力BD中，4C=ND=90。，他發(fā)現(xiàn)當兩個直角三角形共斜邊

時，取斜邊中點。，根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半，易知。4=OB=OC=。￡?,由圓的定義可知,4B,C,D

四點共圓，貝I有NC4D=NCBD,其依據(jù)是

操作判斷:

小明同學把等腰直角三角板2BC的直角頂點C繞著直角三角板OEF的斜邊中點旋轉(zhuǎn)，其中NE=30。，直線4c

與DF相交于點G,邊BC與DE相交于點H.

深入探究：

（2）將圖2中的△力BC旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置，請判斷G”與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由.

應(yīng)用:

（3）如圖3,已知。尸=6,若等腰直角三角板48C繞點C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，邊與0E的交點H始終在線段DE上,

當點H為DE的三等分點時，直接寫出ACG”的面積.

4.（2024.陜西西安?模擬預(yù)測）“樂思”小組開展探究四點共圓的條件活動時，得到結(jié)論：對角互補的四邊形

的四個頂點共圓，該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究.

⑴問題探究：如圖，四邊形4BCD為矩形，BE平分N2BC,交4D于點R^AEC=90°.

①判斷A、B、C、E四點是否共圓？填（“是”或“不是"）

②COSNACE=

（2）問題解決：如圖，某公園內(nèi)有一個五邊形人工湖2BCDE,已知乙4=NB=NC=90。，BC=800米，

tanzXCB=點F是4B上一點，且BF=24F,點G是直線4E上一點，夏季來臨，為了增加游客的安全性，

4

欲在其中央建造一個以FG為斜邊的等腰直角AFMG型救助站，如圖所示，已知湖岸ED=400米，點N是ED

上的中點，MN是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造價為每米300元，求當造價最低時，四邊形

4FMG的面積為多少？并求出通道的最低造價.

4）對角互補共圓模型（判定方法3）

1.（2023?河南南陽?三模）綜合實踐課上，劉老師介紹了四點共圓的判定定理：若平面上四點連成四邊形的

對角互補或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點共圓.在實際應(yīng)用中，如果運用這個定理，往往可以讓復

雜的問題簡單化，以下是小明同學對一道四邊形問題的分析，請幫助他補充完整.

DCDC

特殊情況分析

⑴如圖1,正方形ABCD中，點P為對角線4c上一個動點，連接PD,將射線PD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)N4DC的度

數(shù)，交直線BC于點Q.

小明的思考如下：

連接。Q,

■■■ADWCQ,AADC=乙DCQ=90°,

■■.AACQ=ADAC,（依據(jù)1）

“DPQ=90°,

:ZDPQ+乙DCQ=180°,

???點。、P、Q、C共圓，

"PDQ=乙PCQ,乙DQP=4PCD,（依據(jù)2）

:.乙PDQ=Z.DQP,

：.DP=QP.（依據(jù)3）

填空：①依據(jù)1應(yīng)為,

②依據(jù)2應(yīng)為,

③依據(jù)3應(yīng)為；

一般結(jié)論探究

（2）將圖1中的正方形ABC。改為菱形A8CD,其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2

的形式證明，若不成立，請說明理由；

結(jié)論拓展延伸

（3）如圖2,若N2DC=120。，2。=3,當△PQC為直角三角形時，請直接寫出線段PQ的長.

2.（2023?山東日照?中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數(shù)學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面

內(nèi)，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓.請應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題：

如圖1,△ABC中，AB=AC,NBAC=a（60。<a<180。）.點。是BC邊上的一動點（點。不與8,C重

合），將線段力。繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a到線段4E,連接BE.

圖2番用圖

（1）求證：A,E,B,。四點共圓；

（2）如圖2,當4。=CD時，O。是四邊形的外接圓，求證：AC是。。的切線;

（3）已知a=120。，BC=6,點M是邊BC的中點，此時OP是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心尸與點

M距離的最小值.

3.（2024.廣東東莞.三模）綜合探究

小明同學在學習"圓''這一章內(nèi)容時，發(fā)現(xiàn)如果四個點在同一個圓上（即四點共圓）時，就可以通過添加輔助

圓的方式，使得某些復雜的問題變得相對簡單，于是開始和同學一起探究四點共圓的條件.小明同學已經(jīng)

學習了圓內(nèi)接四邊形的一個性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.因此，他想探究它的逆命題是否成立，以下

是小明同學的探究過程，請你補充完整.

⑴【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”的逆命題為：,如果

該逆命題成立，則可以作為判定四點共圓的一個依據(jù).

（2）【驗證】如圖1,在四邊形ABCD中，^ABC+^ADC=180°,請在圖1中作出過點4、B、C三點的。。，

并直接判斷點。與。。的位置關(guān)系.（要求尺規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）

（3）【證明】已知：如圖1,在四邊形ABCZ）中，^ABC+^ADC=180°,

求證：點2、B、C、。四點共圓.

證明：過4B、C三點作。。，假設(shè)點。不在。。上，

則它有可能在圓內(nèi)（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設(shè)點。在O。內(nèi)時，如圖2,延長CD交。。于點E,連結(jié)AE,

???ZXDOADE4的外角，ZXDC>/-AEC,

???四邊形ABCE是。。的內(nèi)接四邊形，+=180°,

又???AABC+AADC=180°,^ADC=乙AEC.

這與乙4DC>乙4EC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點。不可能在O。內(nèi).

請仿照以上證明，用反證法證明“假設(shè)點。在。。外”（如圖3）的情形

5）四點共圓的性質(zhì)與判定綜合

1.（23-24九年級下.黑龍江綏化?期中）【模型呈現(xiàn)：材料閱讀】

如圖①，在四邊形48CD中，對角線4C,8。相交于點尸，若AP-PC=BP-PD,則可判定A,B,C,。四

點共圓.

(1)在圖①中，若有AP?PC=BP?PD,ABAC=30。，/.ABC=80°,貝!INBDC=_,/.ADC=_；

【模型改編：問題解決】

(2)如圖②，A4BC和ADCE均為等邊三角形，連接BD交于點、尸,AC交BD于點M,連接CF.求證:

A,B,C,尸四點共圓；

【模型拓廣：問題延伸】

(3)如圖③，在RtAZBC中，ZXBC=90°,將△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC,連接BD,AE,直

線8。與直線4E交于點F.

①若AC=3BC,BD=4,貝必尸的長為二

②若AB=2,BC=1,當NBCD=90。時，DF的長為

圖①圖②圖③

2.(22-23九年級上?湖南長沙?階段練習)定義：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共

圓，簡稱“四點共圓我們學過了“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補''這一定理，它的逆命題“對角互補的四邊形

四個頂點共圓”是證明“四點共圓”的一種常用方法.除此之外，我們還經(jīng)常用“同旁張角相等”來證明“四點共

圓”.如圖1,在線段A8同側(cè)有兩點C,D.連接力D,AC,BC,BD,如果NC=ND,那么A,B,C,四

點共圓”

⑴如圖2,已知四邊形力BCD中，對角線力C、BD相交于點尸，點E在CB的延長線上，下列條件：①N1=2

②/2=N4：③45=^ADC：@PA-PC=PB-PD.其中，能判定A,3,C,O“四點共圓”的條件有：

(2)如圖3,直線y=%+6與x軸交于點A,與y軸交于點2,點C在x軸正半軸上，點。在y軸負半軸上,

若A,B,C,。“四點共圓”，且N4DC=105。，求四邊形力BCD的面積；

（3）如圖4,已知△ABC是等腰三角形,48=47,點。是線段上的一個動點（點。不與點B重合，且8。<CD,

連結(jié)AD,作點C關(guān)于力。的對稱點E,連接EB并延長交AD的延長線于尸，連接AE,DE.

①求證：A,D,B,四點共圓”；

②若AB=2a,ADTF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值：若變化，請說明理由.

3.（24-25九年級上?江蘇徐州?期中）【材料閱讀】如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共

圓，簡稱“四點共圓在教材中學習了定理“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”后，學習小組繼續(xù)探究，提出猜想“對

角互補的四邊形四個頂點共圓”并嘗試用反證法進行驗證.

圖1圖2圖3

【驗證猜想】

已知：四邊形力BCD中，ZX+ZC=180°

求證：A、B、C、。四點共圓

證明：過點A、B、。作。。，假設(shè)點C不在。。上，則點C在。。外或。。內(nèi)

若點C在。。外，如圖1,設(shè)BC交。。于C，，連接DC',則

???四邊形是O。的內(nèi)接四邊形，

???ZX+^DC'B=180°.

???乙4+NC=180°,

???乙DC'B=ZC

與乙DC'B>NC矛盾，故點C不可能在圓外;

若點C在圓內(nèi)，

（1）在圖2中，用直尺和圓規(guī)作出過點A,B,。的圓，參考以上思路補全圖形并完成后續(xù)證明；

【深入探究】

得出“對角互補的四邊形四個頂點共圓”是真命題后，繼續(xù)思考，四點共圓還可以有其他的條件嗎？請你在此

基礎(chǔ)上展開探究：

（2）如圖3,在線段4B同側(cè)有兩點C,D,連接AC,BC,AD,BD.如果NC=ND,那么A、B、C、。四

點共圓，請完成證明(如需輔助圓，畫出示意圖即可)；

【結(jié)論應(yīng)用】

應(yīng)用以上結(jié)論，解決下列問題：

(3)如圖4,在四邊形2BCD中，zl=Z4,乙2=30。，則43=°；

(4)如圖5,△4BC中NC4B=^CBA=50。，點E在力B上，連接CE,作點8關(guān)于CE的對稱點夕，連接9C,

B'E,AB'CE=18。求乙B'EA的度數(shù)；

【拓展延伸】

(5)如圖6,AB=BC=5,N2BC=60。，點。為平面內(nèi)一動點，連接ZM、DB,若始終有乙4DB=60。,

當四邊形2BCD周長最大時，DC與BD的數(shù)量關(guān)系是多少？(直接寫出答案).

1.(22-23九年級上?江蘇揚州?期末)【學習心得】

小雯同學在學習完"圓''這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問

題變得非常容易.

例如：如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=90。，。是AZBC外一點，S.ADAC,求ZBDC的度數(shù).若

以點A為圓心，A3長為半徑作輔助圓。4則C,。兩點必在上，ABAC是。4的圓心角，NBDC是

的圓周角，貝叱BDC=45。.

(1)【初步運用】如圖，在四邊形48CD中，NBA。=nBCD=90。，乙BDC=24。，求NB2C的度數(shù)；

(2)【方法遷移】如圖，已知線段力B和直線I,用直尺和圓規(guī)在/上作出所有的點P,使得乙4PB=30。(不寫

作法，保留作圖痕跡)；

AB

⑶【問題拓展】

①如圖，已知矩形ABC。，AB=2,BC=m,M為CD上的點.若滿足N71M8=45。的點M恰好有兩個，則m

的取值范圍為.

②如圖，在△ABC中，ABAC=45。，2。是8C邊上的高，且B0=6,CD=2,求4。的長.

2.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，矩形4BCD中，4B=2逐,BC=8.點P是BC邊上一動點，點M為線

段AP上一動點.^ADM=/.BAP,則的最小值為（）.

C.2.4D.V21-4

21

3.（21-22九年級上.山東煙臺?期末）如圖，4B是半圓。的直徑，點C是半圓。的中點，點。是弧BC上一

點，連接4D,作CH14。于點H,連接若半圓直徑為4,則在點。移動的過程中,的最小值是.

7.（2024?吉林長春.模擬預(yù)測）閱讀理解:

圖1圖2圖3

（1）【學習心得】

小趙同學在學習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使

問題變得非常容易.我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型.

①類型一：“定點+定長”：如圖1,在△ABC中，AB=AC,^BAC=44°,。是AABC外一點，S.AD=AC,

求NBDC的度數(shù).

解:若以點A（定點）為圓心，48（定長）為半徑作輔助圓。4,（請你在圖1上畫圓）則點C、Z）必在。4上，

NBAC是。力的圓心角，而NBDC是圓周角，從而可容易得到NBDC=

②類型二：“定角+定弦”：如圖，RtAABC中，AB1BC,AB=6,BC=4,尸是△4BC內(nèi)部的一個動點，

且滿足NP4B=NPBC,求線段CP長的最小值.

解：-.-^ABC=90°,；ZABP+/.PBC=90°,???/P4B=NPBC,：.ABAP+4ABP=90°,

.?.4PB=,（定角）

???點尸在以AB（定弦）為直徑的。。上，請完成后面的過程.

（2）【問題解決】

如圖3,在矩形4BCD中，已知2B=6,BC=8,點尸是BC邊上一動點（點尸不與8,C重合），連接力P,

作點B關(guān)于直線4P的對稱點M,則線段MC的最小值為.

⑶【問題拓展】

如圖4,在正方形2BCD中，AD=4,動點E,尸分別在邊。C,CB上移動，且滿足OE=CF.連接力E和DF,

交于點P.點E從點。開始運動到點C時，點尸也隨之運動，請直接寫出點尸的運動路徑長.

題型06定角定高模型

1.（2023?重慶?模擬預(yù)測）在直角AABC中，^ABC=90°,乙4cB=60。，點。是AABC外一點，連接4D,

以4。為邊作等邊△ADF.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,當點P在線段BC上，DF交"于點且2F平分ABAC,若力F=e+魚，求A/IDM的面積;

(2)如圖2,連接FB并延長至點E,使得FB=BE,連接CE、DE、CD,證明：DE=WCD；

(3)如圖3,旋轉(zhuǎn)AADF使得DF落在乙4BC的角平分線上，M、N分別是射線B48c上的動點，且始終滿足

Z.MDN=60°,連接MN,若BC=&,請直接寫出△MDN的面積最小值.

2.(2024九年級上.江蘇.專題練習)輔助圓之定角定高求解探究

圖①圖②圖③

⑴如圖①，已知線段48,以4B為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；

(2)如圖②，在△ABC中，AACB=60。，CD為2B邊上的高，若CD=4,試判斷是否存在最小值，若存在，

請求出力B最小值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖③，某園林單位要設(shè)計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCO中，乙4=45。，

NB=ND=90。，CB=CD=6V2,點、E、F分另！J為ZB、AD上的點，若保持CE1CF,那么四邊形4ECF的

面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由.

3.(2022.江西?中考真題)問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的

直角三角板PEF("=90。,〃=60。)的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三

角板PEF與正方形48CD重疊部分的面積變化情況(已知正方形邊長為2).

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當。F與0B重合時，重疊部分的面

積為;當。F與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)

過程中，重疊部分的面積Si與S的關(guān)系為；

（2）類比探究：若將三角板的頂點廠放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，。E,OP分別與正方形的邊相交于點N.

①如圖2,當BM=CN時，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形。MCN的面積（結(jié)果保留根號）；

（3）拓展應(yīng)用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGO”（設(shè)NGO”=a）,將NGO”

繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，NGOH的兩邊與正方形48CD的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直接寫

出S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表示），

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°=痣cosl5°=后-，tan15°=2—V3）

44

4.（2019?河南?二模）在RMA8C中，乙4cB=90°,4B=近,4。=2,過點B作直線m〃4C,將2L48C繞點C

順時針旋轉(zhuǎn)得到（點4B的對應(yīng)點分別是40）,射線C4,C夕分別交直線小于點P,Q.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，若P與4重合，貝吐4C4的度數(shù)為

（2）類比探究：如圖2,所示，設(shè)與BC的交點為M,當M為49中點時，求線段PQ的長；

（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，當點P,Q分別在CA,C夕的延長線上時，試探究四邊形P49Q的面積是否

存在最小值，若存在，直接寫出四邊形P4夕Q的最小面積；若不存在，請說明理由

題型07最大張角模型

1.(2023?廣西北海?二模)綜合與實踐

【問題提出】

(1)如圖1,在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進攻，當甲帶球沖到4點時，乙已

跟隨沖到B點，僅從射門角度大小考慮，甲是自己射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？假設(shè)球員

對球門的視角越大，足球越容易被踢進.請結(jié)合你所學知識，求證：乙MBN＞乙MAN.

【數(shù)學理解】

德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，對該問題的一般描述是：如圖2,已知點4,B是NMON的邊OM上的

兩個定點，C是。N邊上的一個動點，當且僅當△ABC的外接圓與ON邊相切于點C時，N4CB最大，人們稱這

一命題為米勒定理.

【問題解決】

(2)如圖3,已知點力，B的坐標分別是(0,1),(0,3),C是x軸正半軸上的一動點，當△ABC的外接圓OD與

x軸相切于點C時，N力CB最大，當“CB最大時，求點C的坐標.

2.(2022?廣西桂林?中考真題)如圖，某雕塑位于河段上，游客尸在步道上由點。出發(fā)沿02方向

行走.已知乙4。2=30。，MN=2OM=40m,當觀景視角NMPN最大時，游客尸行走的距離。尸是米.

3.(2023?湖南永州?二模)問題探究與應(yīng)用實踐

(一)問題探究：

如圖(1),已知直線1與水平視線m互相垂直，A,B在I上，C在zn上，ZACB叫做“視角”，點C叫做“視點”，

OM是過4B,C三點的圓.當視點C在直線山上移動時，視角ZACB的大小會發(fā)生改變，可以證明：當視點C恰

是OM的切點時，視角乙4cB最大，此時觀察4B的效果最佳.當視角N4CB最大時：分別以直線加，1為x軸和

y軸建立平面直角坐標系，如圖（2）.

（1）如果此時點A的坐標為（0,4）,點8的坐標為（0,1）,試求圓心M的坐標及tan乙4cB的值；

（2）如果此時點A,B的坐標分別為（0,a）,（0,b）,請求出視點C的坐標.（用a,b的代數(shù)式表示）

（二）應(yīng)用實踐：

應(yīng)用上述結(jié)論，讓我們解決如下問題：

（3）如圖（3）,48是廣場上掛的一個大屏幕電視，直線CE是水平視線，屏幕最高點A和最低點B到水平視線

CE的距離分別為8米和4米.小明在水平視線上觀看電視節(jié)目，當他的視角最大時,視點（在水平視線CE上）

到直線2B的距離約是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V2?1.414,V3?1.732,75?2,236）

4.（2021?福建廈門?二模）一個角的頂點在圓外，兩邊都與該圓相交，則稱這個角是它所夾的較大的弧所對

的圓外角.

（1）證明：一條弧所對的圓周角大于它所對的圓外角；

（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，解決下面的問題：某市博物館近日展出當?shù)爻鐾恋恼滟F文物，該市小學生合唱隊

計劃組織120名隊員前去參觀，隊員身高的頻數(shù)分布直方圖如圖1所示.該文物PQ高度為96cm,放置文物

的展臺Q。高度為168cm,如圖2所示.為了讓參觀的隊員站在最理想的觀看位置，需要使其觀看該文物的

視角最大（視角：文物最高點P、文物最低點。、參觀者的眼睛A所形成的NP4Q）,則分隔參觀者與展臺

的圍欄應(yīng)放在距離展臺多遠的地方？請說明理由.（說明：①參觀者眼睛A與地面的距離近似于身高；②通

常圍欄的擺放位置需考慮參觀者的平均身高）

頻數(shù)39Q

學生人數(shù)）30

[5]8181

IIIII________n|___________________________________

140144148152156160身高7cm

圖1圖2

5.（23-24九年級上.江蘇鎮(zhèn)江?期中）【提出問題】如圖1,直線I是足球場底線，力B是球門，點P是射門點,

連接P4PB，則N2PB叫做射門角.如圖2,在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T48進攻，

當甲帶球沖到Q點時，乙跟隨沖到P點，僅從射門角度大小考慮（射門角越大，足球越容易被踢進），甲是自

己射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好，利用所學知識說明理由.

【經(jīng)驗感知】如圖3,若球員在直線MN上跑動，隨時準備射門，是否存在某一點S,使得射門角N4SB最大.人

們發(fā)現(xiàn)：當且僅當經(jīng)過4、B兩點的圓與直線MN相切于點S時，N4S8最大，并稱此時的N4SB為最大射門

角.如圖4,2B為球門，直線/是足球場的底線，直線爪12,垂足為C,若4B=2a,BC=a,球員丙帶球沿

直線山向底線I方向運球，已知丙運球過程中的最大射門角是N4SB.

（1）尺規(guī)作圖：作經(jīng)過4B兩點并且與直線小相切于點S的。。（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求出最大射門角N4S8的度數(shù).

【理解應(yīng)用】

（1）如圖5,正方形網(wǎng)格中，點均在格點上，為球門，球員丁帶球沿CD方向進攻，最好的射

點在（）

A.點CB.點。或點EC.線段DE（異于端點）上一點D.線段CD（異于端點）上一點

（2）如圖6,矩形CDEF是足球場的示意圖，其中寬CD=66m,球門A8=8m,且AC=80.點P、Q分別

是DE、CF上的點，DP=7m,NDPQ=135°,一位左前鋒球員戊從點P處帶球，沿PQ方向跑動，球員戊在PQ

上何處才能使射門角（乙4SB）最大，直接寫出此時PS的長度.

題型08阿基米德折弦定理

1.（2023?內(nèi)蒙古包頭?三模）閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

阿基米德（Zrchimedes