專題05尺規(guī)作圖

廠考點類型

考點L尺規(guī)作圖——作線段

考點2：尺規(guī)作圖——作角

模塊五圖形的變換

05講尺規(guī)作圖

'-知識一遍過

（一）作線段

已知：線段4,作一條線段AB,AB=a?

aa\

?-------------------------------------1-----

作法：①用直尺畫射線AC

②用圓規(guī)在射線AC上截取AB=a

二線段AB即為所求

（二）作角

已知：ZAOB

求作：ZAOB=ZAO'B'

作法：①以0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A與點D,交0B于點E；

②作射線O'B'

③以。'為圓心,0D長為半徑畫弧，交08于點E'

④以E'為圓心,ED長為半徑畫弧，交上一步所畫的弧與D'

⑤過。'作射線O'A,NAO'B'為所求

（三）作角平分線

作法：①在0A和0B上分別截取OD、0E,使0D=0E。

②分別以D、E為圓心，以大于一DE的長為半徑作弧，兩弧在/AOB內(nèi)交于點C

2

③作射線0C,則0C就是/AOB的平分線

（四）作垂直平分線

作法：①以A為圓心大于長為半徑作弧，以B為圓心大于‘AB長為半徑作弧，兩弧交于C、D兩點

②連接CD,即為所求

事考點一遍過

考點1：尺規(guī)作圖一一作線段

典例1：（2024上?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtA48C中，NBAC=90。.

C

（1）延長AC至點M使得4N=4B；過點N作ND1BC,與BC的延長線交于點。（要求：尺規(guī)作圖，不寫作

法，要保留作圖痕跡）；

⑵在（1）的條件下，延長B4至點M,使得AM=AC,求證D,M,N三點共線.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三

角形解決問題.

(1)根據(jù)要求畫出圖形；

(2)假設(shè)ND的延長線交B4的延長線于點M，，利用同一法證明.

(2)假設(shè)ND的延長線交84的延長線于點

ON。1BC,

團乙NDC=乙CAB=90°,

團乙NCD=AACB,

^\Z.ANM'=Z.B,

EINM4M'=ABAC=90°,AN=AB,

0ANAM'三ABAC(ASA),

EL4M'=AC,

SAMAC,

0M,W重合，

EIM,D,N共線.

【變式11(2024上?福建泉州?八年級校考期末)如圖，直線MN||PQ,直線28分別與MN,PQ相交于點4B.

⑴尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡)：

①作NM4B的角平分線與PQ交于點C；

②在射線2N上找一點D,使AB=AD-,

(2)連接CD,若四邊形4BCD的對角線BD=6,AC=8,則四邊形力BCD的面積為,直線MN與直線PQ

的距離為.

【答案】⑴見解析

(2)24；4.8

【分析】(1)根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖法作圖和直接在射線4N上截取4。=4B即可；

(2)如圖，連接BD,交4C于點。，過點。作DE1BC,可證四邊形力BCD為菱形，然后由菱形的面積計算

方法計算即可；

【詳解】(1)解：①如圖，射線AC即所求.

(2)如圖，連接BD,交2C于點。，過點。作DE1BC

???AD||BC

Z.DAC=Z.ACB

■.Z.DAC=Z.BAC

Z.BCA=Z.BAC

BC=BA=AD

???四邊形為平行四邊形

AB=AD

???四邊形/BCD為菱形

???AC1BD,AO=CO=4,BO=DO=3

???四邊形為菱形的面積為：|-XC-BD=|x8x6=24

BC=JOB2+OC2=J32+42=5

???DE1BC

???四邊形4BCD為菱形的面積為：BC=5?0E=24

24

DE=—=4.8

二直線MN與直線PQ的距離為4.8

故答案為:24；4.8

【點睛】本題考查了常見的尺規(guī)作圖，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，菱形的面積計算，熟練運用這些知

識解決問題是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023上?八年級課時練習(xí)）如圖，RtA48C中，Z.ACB=90°.尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖

痕跡）

A

CB

⑴在斜邊力B上找一點D,使AD=AC；

⑵作NB4C的平分線，交BC于點E,連結(jié)DE；

⑶在（1）、（2）的條件下，請判斷ABDE的形狀，并說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

（3）ABDE是直角三角形，證明見解析

【分析】（1）在48截取=4C即可；

（2）利用基本作圖作BBAC的平分線；

（3）證明AACE三△ADE得到乙4CE=NHDE=90。，從而得到NBDE=90。.

【詳解】（［）如圖，點。即為所求的點.

A

(2)如圖，2E即為所求；

(3)ABDE是直角三角形

EL4E平分48"

SZ.CAE=/-DAE,

在△"￡■和△ADE中，

EI/IC=AD,Z.CAE=Z.DAE,AE=AE,

0AACESAADE(SAS),

0ZXCF=/.ADE=90°,

0ZXDF+乙BDE=180°

ElNBOE=90°

團ABDE是直角三角形

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖(作已知角的角平分線).也考查了全等三角形的判

定與性質(zhì).

【變式3](2023?江蘇南京?統(tǒng)考一模)如圖，已知線段a.求作AABC,使N/1=90。，AB=AC,且分別滿

足下列條件：

,a,

(1)BC=a.

(2)AABC的周長等于a.

(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.)

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)先作線段BC=a,再作分別以點2,。為圓心，大于畫弧，兩弧分別交于點E,F,然后

作直線EF交BC于點。，再以點。為圓心，BD為半徑畫弧，交直線EF于點A,連接4B,4C,則AABC即為

所求;

(2)先作線段MN=a,再作線段MN的垂直平分線EF交MN于點。，再以點￡＞為圓心，MD為半徑畫弧,

交直線EF于點P,連接MP,再作NPMN的平分線交直線EF于點A,然后以點A圓心，AD長為半徑畫弧，

交MN于點8,C,連接則△ABC即為所求.

【詳解】(1)解：如圖，先作線段BC=a,再作線段BC的垂直平分線EF交BC于點D再以點。為圓心，BD

為半徑畫弧，交直線EF于點A,連接4B,AC,則△ABC即為所求.

理由：根據(jù)作法得：EF垂直平分線段BC,AD=BD,

EL4B=AC,4ADB=90°,

E1Z4BC=乙BAD=45°,

團乙4cB=^ABC=45°,

0Z5AC=90°；

(2)解：如圖，先作線段MN=a,再作線段MN的垂直平分線EF交MN于點Q,再以點。為圓心，MD為

半徑畫弧，交直線EF于點尸，連接MP,再作NPMN的平分線交直線EF于點A,然后以點A為圓心，4。長

為半徑畫弧，交MN于點、B,C,連接4B,AC,則△ABC即為所求.

理由：根據(jù)作法得：EF垂直平分線段BC,MD=PD,4M平分NPMN,AD=BD=CD,AB=AC,

團NPDM=90°,4AMN=-A.PMD,AABC=乙ACB,

2

回匕PMD=乙MPD=45°,2LABC=4BAD=KACB=45°,

團乙PMO=乙ABD,ABAC=90°,

團4/MN=-/LABD,

2

團ZJ1BO=乙AMN+4BAM,

團乙4MN=/-BAM,

BAB=BM,

同理ZC=CN,

團48+AC+BC=BM+CN+BC=MN=a.

【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖一一畫等腰三角形，熟練掌握幾種基本尺規(guī)作圖的方法，等腰直角三角形

的判定是解題的關(guān)鍵.

考點2：尺規(guī)作圖一一作角

典例2：（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，4B邊上有一點D

⑴尺規(guī)作圖：在4C上取一個點E,使得（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的基礎(chǔ)上，若AD=3cm,AC=6cm,BC=5cm,求DE的長度.

【答案】⑴見解析

{2}DE=|cm

【分析】（1）利用基本作圖，作乙4DE=乙4cB即可，因為由乙4DE=/.ACB,/.A=乙4,可得出△力。E-△"B；

（2）由△ADEsAZCB可得絲=竺，再代入數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】（1）如圖所示，點E即為所求.

E

(2)0AADE-LACB,

"ODE

0-=—

ACBC

嗎若

SDE=-cm.

2

【點睛】本題考查了作圖-基本作圖及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知

線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）.

【變式1］（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，。是48邊上的一點.

⑴請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)，求作乙4DE,使=DE交AC于點E（不要求寫作法，保留作圖

痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若券=2,DE=4,求BC的長.

【答案】（1）見解析

（2）BC=6

【分析】（1）根據(jù)要求，利用基本作圖（作一個角等于已知角）4ADE=4B；

（2）根據(jù)=乙4=NA則可判斷出AADEsAaBC利用相似三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】（［）解：如圖，41DE即為所求；

A

（2）vZ.ADE=Z.B,Z.A=Z-A,

ADE^△ABC,

-AD-=-D-E，

ABBC

AD仁

—=2,

DB

.2_4

一=9

3BC

???BC=6.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用

所學(xué)知識解決問題.

【變式2］（2023?福建泉州?統(tǒng)考二模）如圖，在RtAZBC中,N4CB=90。,乙4<NB.

⑴在4B的延長線上，求作點。，使得△CBDSAAC。（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，若力B=5,S“BC=5,求tan/CDB的值.

【答案】⑴見解析

.

【分析】（1）以點C為頂點，作=DC交28延長線于點D,則問題可解；

（2）過點C作CM1AB于點M,過點B作BN1CD于點N.由面積可求CM=2,證明NBCM=N力，利用正

切定義得到比例式吧=生，求出BM=1,設(shè)BD=x,CD=y,分另ij禾！1用△CBD“△乙4CD和CD?=+

CMAM

CMZ構(gòu)造關(guān)于久，y的方程求出x,則tan/CDB可求.

【詳解】（1）利用尺規(guī)作圖

如圖，點。為所求.

c

依據(jù)：有作圖，4DCB=4A,

應(yīng)LBDC=Z-CDAf

[?]△CBD~AACD；

(2)法一：

如圖，過點C作CM，48于點M,過點B作8N_LCD于點N.

C

；4B=5,S^ABC~5,

-AB-CM=5,

2

??.CM=2.

???乙BCM=90°-Z.CBA,LA=90°-Z,CBA,

???乙BCM=

nITAR[-tBMCM

???tanzBCM=tan4即一=—,

CMAM

.BM_2

?,2-5-BM9

解得BM=1,(BM=5舍去).

設(shè)=x,CD=y,

乙BCD=Z.A,Z-CDB=乙ADC,

??.△CBDZ.ACD,

.CD_BD

,,—,

ADCD

??.CD2=BD?AD,

???y2=x(x+5),

在放△COM中，CD2=DM2+CM2,

y2=(%+I)2+22,

???x(x+5)=(%+l)2+22,

解得汽=￡

*'?DM=—F1=一,

33

CM23

VSLXIZ-CDB=—=w=—?

DM4

法二：

如圖，過點。作。“于點M,取48的中點。，連接0C.

4B=5,S^ABC=5,

■■--AB-CM=5,

2

??.CM=2.

?乙

??BCM=90°-2LCBAtZ,A=90°-^CBAf

乙BCM=Z-A,

riE"入AnriBMCM

???tanzBCM=tanZ,即一=—,

CMAM

BM_2

??2-5-BMf

解得3M=1,(BM=5舍去).

???△48c是直角三角形，AO=BO,

OC=-AB=OA=OB

22

???Z-ACO=Z-A,

???乙BCD=Z-A,

???Z-ACO=乙BCD,

???/.ACO+Z.OCB=90°,

???乙BCD+乙OCB=90°,

即乙DC。=90°.

???乙CDB+乙COD=90°,

???ZOCM+ZCOD=90°,

???乙CDB=Z-OCM,

53

OM=OB-BM=--l=~,

22

?.tanzCDB=tanzOCM=-=—=

CM24

【點睛】本題考查利用尺規(guī)作已知角、相似三角形的性質(zhì)和判定以及正切的定義，解答關(guān)鍵是利用相似三

角形的性質(zhì)構(gòu)造方程求解.

【變式3］（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊8C、4C上，且DE團4B.

⑴求作功凡4,使得點尸在邊力C上，且功凡4=〃；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若。C==45o,/C=30。，BC=15+15V3,求線段OF的長.

【答案】⑴見解析圖；

（2）572.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)作圖即可；

（2）要求DF長，則需求DE長即可，添加輔助線構(gòu)造特殊直角三角形即可.

【詳解】（1）如圖，

（2）如圖，過E作EGJ.BC與點G,設(shè)EG=zn,

EIDE||AB,

團NEDG=KB=45°,

團在Rt/XDEG中，DG=GE=m,DE=V2m,

在RtZkEGC中，ZC=30°,

團GC=y/3EG=V3m,

^\DC=-BC,

3

WC=1（15+15V3）=5+5V3,

0DC=DG+CG—m+V3m,

解得：m-S,

SDE=V2m=5V2,

由（1）作圖得DF=DE=5V2.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖和特殊三角形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握含30。和45。直角三角形的性

質(zhì).

考點3：尺規(guī)作圖一一作角平分線

典例3：（2023?山東青島?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，NC=90。，AB=10,BC=6,P是邊48上的

一點，以P為圓心，P8為半徑作OP.

⑴尺規(guī)作圖：求作OP,使得OP與直線4c相切；（保留作圖痕跡）

（2）求⑴中G）P的半徑.

【答案】⑴見解答

（2）?

【分析】（1）作N4BC的平分線交AC于。點，再過。點作4c的垂線交AB于P點，然后以P點為圓心，PD為半

徑作圓即可；

（2）設(shè)切點為O,連接PO,如圖，設(shè)OP的半徑為r,則PB=PD=r,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PO_LAC,則

可判斷PD甌，再證明利用相似比得至釬*然后解方程求出卿可.

【詳解】（［）解：如圖，OP為所求作；

???。2與直線4（7相切于￡）,

PD1AC,

：.4ADP=90°,

ZC=90°,

???Z-ADP=Z-C,

???PDWBC,

???2APD~AABC,

PD_AP

,,=,

BCAB

即工=

610

解得丁=￥，

4

即OP的半徑為

4

【點睛】本題考查了作垂線，作角平分線，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握基本作圖與切線

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2022?福建廈門?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC,乙4cB=90。.

備用圖

⑴求作菱形4DEF,使得D,E,尸分別在邊力B,BC,4C上；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，連接力E,CD,過點E作EG14E,交48于點G,若4G=8,N2GE=60。，求CD的

長.

【答案】⑴見解析；

（2）277.

【分析】（1）根據(jù)菱形的對角線平分對角先想到作ABAC的平分線AE交BC于點E,再由菱形的對角

線互相垂直平分想到作AE的垂直平分線，交AB于點D,交AC于點F,則以4、D、E、F四點為

頂點的四邊形就是所求的菱形;

(2)先求得乙DEG=Z.DGE=60°,可證明△DEG是等邊三角形，得GE=GD=AD=ED=^AG=4,

再證明乙DEB=90°,貝U乙GEB=ZF=30°,得GB=GE=4,貝。BD=8,AB=12,由勾股定理求得

BE=4V3,而力C=^AB=6,貝ijBC=6百，所以CE=2百，貝!]CD=VCF2+ED2=2近；

回如圖，菱形4DEF即為所求.

解：EFG1AE

：.￡.AEG=90°

El在RtAAEG中，AG=8,^AGE=60°,

AFFG

^GAE=30°,sin^AGE=—,cos^AGE=—

AGAG

EL4E=8X—=4V3,

2

1

EG=8x—=4

2

由（1）知，四邊形ADEF是菱形

DE||AC,乙CAB=2^CAE=2/LGAE=60°,

???乙DEC=180°-4ACB=90°,乙EDG=ACAB=60°,

.-.乙DEG=180°-乙EDG-/.AGE=60°,

.?.△DEG為等邊三角形，

???DE=EG=4.

?.,在Rt△ACE中，CE^AE-sin^CAE=4V3x|=2V3.

.?.在RtACED中，CD=yJCE2+DE2=V12+16=2小

【點睛】此題重點考查尺規(guī)作圖、菱形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，此題

綜合性較強，難度較大.

【變式2】（2022?福建泉州?校考模擬預(yù)測）已知：RtAXBC,4c=90°.

⑴點E在BC邊上，且AACE的周長為4C+BC,以線段4E上一點。為圓心的O。恰與AB、8C邊都相切，請

用無刻度的直尺和圓規(guī)確定點E、。的位置；

（2）若8c=12,AC=9,求O。的半徑.

【答案】⑴見解析

⑵。。的半徑為意

【分析】（1）作4B的垂直平分線交BC于E,貝UE4=EB,所以△4CE的周長為力C+BC；再作入4BC的平分線

交4E于點0,則點。滿足條件；

（2）過。點作0DL4B于D,OF1BC于F,如圖，設(shè)。。的半徑為r,先利用勾股定理計算出4B=15,由

于（12-BE/+92=8所,則可求出BE=接著根據(jù)切線的性質(zhì)得到。。=。9=r,然后利用面積法得到

8

-X—xr+-xl5xr=-x—x9,然后解方程即可.

28228

【詳解】（1）解：如圖，點反。為所作；

(2)解：過。點作0D14B于D,。尸18。于尸，如圖，設(shè)。。的半徑為r,

在Rt△ABC,

0ZC=90。,BC=12,AC=9,

???AB=V92+122=15,

0A4CE的周長為AC+BC,

EL4E=BE,

在RtAZCE中，

SCE2+AC2=AE2

0(12-BE)2+92=BE?,解得BE=

8

團。。與48、BC邊都相切，

團。O=OF=r,

???S^BOE+^LAOB=S—BE,

-x—xr+-xl5xr=-x—x9,

28228

解得r=g,

即O。的半徑為意

【點睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基

本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和切線的

性質(zhì).

【變式3](2011?廣東珠海?統(tǒng)考中考模擬)如圖，AABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.

⑴尺規(guī)作圖：作NB的角平分線BD,交4C點。(保留作圖痕跡，不寫作法);

(2)判斷ADBC是否為等腰三角形，并說明理由.

【答案】⑴見詳解，

(2)ADBC是等腰三角形，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4BC=NC=72。，根據(jù)角平分線的定義求出ADBC,再利用三角形內(nèi)角

和定理求出NBDC,可得乙BDC=4C,則A08C是等腰三角形.

【詳解】(1)解：如圖：

(2)ADBC是等腰三角形；

理由：國4ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。,

=NC=180。-乙4_180°-36°72°,

2—2

團80為448C的平分線，

SZ.DBC=-/-ABC=36°,

2

0Z5DC=180°-乙DBC一4C=72°,

0ZFDC=",

0BZ）=BC

團ADBC是等腰三角形.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線

的定義以及等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

考點4：尺規(guī)作圖一一作三角形

典例4：（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AABC=70°,AB=BC.

A

BC

⑴求作ABC。及N8CE,滿足ABC。為等邊三角形，/.BCE=170°,其中AB=CE,點。，E與點4在BC的同

側(cè)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，求NB4E的度數(shù).

【答案】⑴見解析

（2）N84E=85°

【分析】（1）先由三邊相等的三角形為等邊三角形作△BCD,再由題中條件，根據(jù)鄰補角定義作NECM=

NABD即可得到答案；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】（1）解：如圖所示:

、/

?、、____一，

???(ABC=70°,Z.DBC=60°,

???乙ABD=10°,

延長BC,尺規(guī)作圖4ECM=乙48。=10。,

???△BCD及乙BCE=170。即為所求；

.?.AB=BD=BC=CD=CE,

???乙ABD=10°,/,A=Z.ADB=85°,Z.CDE=Z.CED=35°,

.??/.ADE=/-ADB+BDC+UDE=180°,

???/,D,E三點共線，

??.ABAE=^A=85°.

【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖-作相等線段及作相等角，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2022上?福建福州?九年級閩清天儒中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點尸是等邊三角形ABC內(nèi)一點,

連接B4,PB,PC,將△248繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△ODB,其中點尸的對應(yīng)點是

A

⑴請畫出AQDB（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）若28=2,求24+PB+PC的最小值.

【答案】⑴見解析

（2）273

【分析】（1）以點B與點P為圓心，以BP長為半徑畫弧，交于點Q,同理，以點B與點4為圓心，以B力長

為半徑畫弧，交于點0,連接BD,BQ,DQ,則AQD8為所求三角形；

（2）過點。作2C的垂線，垂足為E,連接尸。，CD,由題可知APAB三AQOB,即可證得APBQ是等邊

三角形，根據(jù)△ABC是等邊三角形，即可得到BE、CE的長，繼而根據(jù)勾股定理求得DE、CD的長，于是根

據(jù)由兩點之間，線段最短可得DQ+QP+PC2CD,故當(dāng)C,P,Q,。四點共線時，即可得到P4+P8+PC

的最小值.

【詳解】（1）解：

如圖所示，AQDB即為所求作的三角形.

（2）解：過點。作的垂線，垂足為E,連接尸。，CD,

Si^BED=90°.

HAP4B繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△QDB,其中點P的對應(yīng)點是Q,

0APAB三△QDB,乙4BD=4PBQ=60°,

SPA=DQ,PB=QB,BD=AB=2,

0APBQ是等邊三角形，

EIPB=QP.

HA力BC是等邊三角形，

0ZXBC=60°,BC=AB=2.

0ZXBC+乙ABD+乙DBE=180°,

0ZDBF=60°,^BDE=30°,

0SF=-BD=1,SCE=BC+BE=3.

2

在Rt△BDE中，OE=y/BD2-BE2=V3.

在Rt△CDE中，CD=VCE2+DE2=2^3.

由兩點之間，線段最短可得0Q+QP+PC2C。，

當(dāng)且僅當(dāng)C,P,Q,。四點共線時，等號成立，

I3DQ+QP+PC>2V3,即P4+PB+PC>2百，

SPA+PB+PC的最小值是2次.

【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，尺規(guī)作三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)

以及定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023下?八年級課時練習(xí)）在△ABC中，NC=90。，/.CAB=cr（O°<a<45°）,將AABC繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為。（0。<。<180。），記點8,C的對應(yīng)點分別為。，E.

D

C

（1）若△ABC和線段4。如圖所示，請在圖中作出△ADE（要求；尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

⑵M是4B的中點，N是點M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，連接MN,CD,BD,則是否存在￡與a的某種數(shù)量關(guān)系，使

得無論a取何值時，都有MN=CD?若存在，請說明理由，并直接寫出此時BC與BD的數(shù)量關(guān)系；若不存在，

也請說明理由.

【答案】⑴見解析

⑵存在，理由見解析，BD=2BC

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和尺規(guī)作圖的方法，根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）連接MN,CM,根據(jù)三角形的外角定理可得ND4B=NCMB,貝“DAIICM,再通過證明四邊形DNMC是

平行四邊形，得出MN=CD,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖△40E即為所求.

解法一（利用SSS作全等三角形）：

解法二（利用SAS作全等三角形或作點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點E）：

解法三（利用ASA作全等三角形）:

當(dāng)/?=2a時，無論a取何值時，都有MN=CD.

理由如下：

00°<a<45°,a<P<180°,

EL4C始終在△4BC的外部.

連接MN,CM,

0CM==BM=-AB.

2

團4CZM=Z.MCA.

回〃;時8是44MC的外角，

^Z.CMB=Z,CAM+/.MCA=2/.CAM,

又團/?=2a,即=

^\Z-DAB=乙CMB.

血411cM.

團△ZDE由△ZBC繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點。是點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，點N是點M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,

^BAD=/MAN,AM=AN.AB=AD.

又團點M在48上，

^BAN=乙MAN.

^BAD=乙BAN,即點N在AD上.

^\AN=DN=-AD=-AB.

22

SDN=CM.

又回￡MIICM,

回四邊形DNMC是平行四邊形.

0M/V=CD.

此時，BD=2BC.

解法二：

00°<a<45°,a<￡<180°,

團4。始終在△ABC的夕卜部.

連接MN,CM,

回在△ABC中，ZC=90°,M是AB的中點，

1

團CM=AM=BM=-AB.

2

團NC/M=/-MCA.

團△ADE由△ABC繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點。是點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，點N是點M旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點,

^BAD=^MAN,AM=AN,AB=AD.

又團點M在AB上，

國匕BAN=乙MAN.

^BAD=乙BAN.即點N在/。上.

1i

團4N=DN=-AD=-AB.

22

國DN=CM.

要使得無論a取何值時，都有MN=CD,只要使四邊形DNMC是平行四邊形.

國DN=CM,

團要使四邊形DNMC是平行四邊形，只要使D4||CM.

即要使"AB=乙CMB.

團CM=AM,

^Z-CAM=/-MCA.

又回4cM8是4AMC的外角,

0ZCMS=/.CAM+AMCA=2ACAM.

El要使NDAB=乙CMB,

只要使N￡MB=2/.CAM,即0=2a.

回當(dāng)￡=2a時，無論a取何值時，都有MN=CD.

此時，BD=2BC.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，尺規(guī)作圖，三角形的外角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用.

【變式3］（2022上?福建福州?九年級福建省福州屏東中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，點D是等邊A/IBC外部一點,

把△BCD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到A/ICE,其中點力，E分別是點B,。的對應(yīng)點.

⑴利用無刻度的直尺和圓規(guī)作出AaCE；（保留痕跡，不寫作法）

⑵在（1）的情況下，在線段上取點P,且PB=PC,若N/1BD=ND8C+N4EC,求證：P,C,E三點共

線.

【答案】⑴作圖見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）分別以點C、。為圓心，CD的長為半徑畫弧，兩弧在線段CD的下方相交于點E,連接4E、CE,

則AACE即為所求；

（2）證明乙4cp+/.ACE=180。即可.

【詳解】（1）解：如圖1,AACE即為所求;

A

(2)證明團如圖2,

^AB=ACfPB=PC,

乙乙

^1Z-ABC=Z-ACBfPBC=PCB,

^Z.ABP=Z.ACP,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ABCD且ACE,

⑦乙

DBC=Z.CAEf

乙乙

^CAE+Z,AEC+Z.ACE=180°,ABD=DBC+^AECf

團乙ABD+乙ACE=180°,

^ACP+^ACE=180°,

團點尸，C,E共線.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識

解決問題，屬于中考常考題型.

考點5：尺規(guī)作圖一一作垂直平分線

典例5：(2023?廣東清遠?統(tǒng)考一模)如圖，△力BC中，AB=AC>BC

c

⑴求作邊AB的垂直平分線，交力C于點。；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）若8。=BC,求乙4的大小.

【答案】⑴詳見解析

（2）36°

【分析】本題主要考查了作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握基本作圖方法是解

題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；

（2）結(jié)合（工）以及三角形的內(nèi)角和利用BD=BC,即可求出答案.

【詳解】（［）解：如圖所示，0E即為所求；

(2)解：rDE是力B的垂直平分線,

AD=BD,

???Z.A=Z.DBA,

???BD=BC,

AD=BD=BC,Z.BDC=",

???AB=AC,

乙ABC=Z-ACB,

???(BDC=Z.A+Z-DBA=2乙/,

Z.C=Z-ABC=2/-A,

???5〃=180°,

???AA=36°.

【變式1](2023?廣東潮州?二模)如圖，在固4BCD中，AC為對角線.

⑴求證：△ABC三△CD4.

(2)尺規(guī)作圖：作4C的垂直平分線，分別交2D,BC于點、E,尸(不寫作法，保留作圖痕跡);

(3)若4CDE的周長為10,求回48CD的周長.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)20

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=^BCA,利用AAS即可證明AaBC=△CDA；

(2)以4C分別為圓心，大于長為半徑作弧交于兩點，過兩交點作直線，即為所作垂直平分線；

(3)利用垂直平分線的性質(zhì)可以得到CE=AE,結(jié)合CE+ED+CD10,得到4。+CD=10,根據(jù)平行

四邊形的性質(zhì)即可求得結(jié)論；

【詳解】(1)團四邊形4BCD是平行四邊形，

EL4DIIBC,NB=ND,

^DAC=ABCA,

在△ABC和AGX4中，

(Z-B=zD

\z.DAC=乙BCA,

IAC=CA

0AABC=△CDA(AAS)；

(2)如圖，EF即為所作；

AE/D

B

(3)IBEF垂直平分4C,

AD

0CE=AE,

IHAG）E的周長為10,

BCE+ED+CD=10,

^\AE+ED+CD=10,

團AD+CD=10,

團四邊形/BCO是平行四邊形，

BAD=BC,AB=CD,

團團/BCD的周長=AD+BC+AB+CD=2（AD+CD）=20.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定，作垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖

是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，4C是菱形48CD的對角線.

⑴作邊力B的垂直平分線，分別與AB,4C交于點E,F（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）在（1）的條件下，連接FB,若乙。=14。。，求NC8F的度數(shù).

【答案】⑴見解析

（2）120°

【分析】（1）分別以點2,點B為圓心，大于的長為半徑作弧，交于點M,點N,作直線MN交48于點E,

交4c于點F,連接EF即可；

（2）連接FB,由菱形的性質(zhì)得到乙4BC=ND=140。，4B=CB,則NBAC=Z8C4=20。，由線段的垂直

平分線的性質(zhì)可得4F=BF,故得至!k4BF=NB4C=20。，貝（JNCBF=N4BC-41BF=120。.

【詳解】（1）解:

（2）解：連接FB,

??,菱形/BCD,

???乙ABC==140°,AB=CB,

：.Z.BAC=^BCA=|（180。-140°）=20°,

???MN垂直平分4B,

???AF=BF,

???^ABF=Z.BAC=20°,

.-.4CBF=Z.ABC-4ABF=120°.

【點睛】本題主要考查基本作圖，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì).按照要求

作出邊4B的垂直平分線是解題的關(guān)鍵.

【變式3］（2023?湖北鄂州?校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形A8CD中，2B||為對角線.

（1）尺規(guī)作圖：作2C的垂直平分線分別交48、AC.DC于點￡、F、G.連接4G,CE（不寫作法和結(jié)論，保留

作圖痕跡）；

⑵求證：四邊形4ECG是菱形（請補全下面的證明過程）.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進行作圖即可；

（2）先證明AAEF三△CGF,得出4E=CG,根據(jù)力E||CG,得出四邊形力ECG為平行四邊形，根據(jù)4E=CE,

得出四邊形4ECG為菱形.

【詳解】（1）解：如圖，EG為求作的力C的垂直平分線；

(2)證明：團EG為ZC的垂直平分線，

24F=CF,AE=CE,

BAEWCD,

^AEF=Z.CGFf^EAF=Z.GCFf

AEFCGF(AAS),

團4E=CG,

團4EIICG,

團四邊形/ECG為平行四邊形，

^\AE=CE,

回四邊形4ECG為菱形.

【點睛】本題主要考查了垂直平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，三角形全等的判定和性質(zhì),

熟練掌握這些知識點是解題關(guān)鍵.

考點6：尺規(guī)作圖一一作垂線

典例6：(2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖，在13aBe。中，BE平分乙48c交4D于點E.

4-------步——7D

--------------

⑴實踐與操作：利用尺規(guī)作圖，過點4作BE的垂線，分別交BE,BC于點尸，G；(要求：尺規(guī)作圖并保留作

圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)

(2)猜想與證明：試猜想線段4E與8G的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】⑴見解析；

(2)4E=8G,理由見解析.

【分析】(1)利用基本作圖，作BE的垂直平分線即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到2DIIBC,求得乙CBE="EB,根據(jù)角平分線的定義得到乙4BE=NCBE,

求得N4BE=^AEB,得到力B=4E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，F(xiàn)G為所作；

理由：國四邊形4BCD是平行四邊形，

SADWBC,

回乙

CBE=Z-AEBf

回BE平分乙/BC交/。于點E,

團乙ABE=Z.CBE,

^Z.ABE=Z.AEB,

團48=AE,

團4F1BE,

在尸與△G8F中，

Z-ABF=乙GBF

BF=BF,

，AFB=乙GFB=90°

SAABF=△GBF（ASA）,

團AB=BG,

團4E=BG.

【點睛】此題考查了作圖-基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確地作出圖形是

解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023?廣東云浮?統(tǒng)考一模）如圖，為。。的直徑，C為。。上的一點.

B

A

⑴過點8作。。的切線PB,交4C的延長線于點P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）;

(2)在(1)的條件下，若。D1BC,垂足為D,0D=2,PC=9,求PB的長.

【答案】⑴見解析

(2)3713

【分析】(1)以8為圓心，小于。8的長為半徑畫弧，與直線48有兩個交點，再以這兩個交點為圓心，大于

這兩點的長的一半為半徑畫弧，兩弧的交點和點B的連線所在的直線交4C的延長線與點P；

(2)由垂徑定理得=則0D為△ABC的中位線，得4C=2。。=4,由圓周角定理得乙4cB=90。,

由切線的性質(zhì)得NPB4=90°,推出Rt△PBC-RtAPAB,從而利用相似三角形的性質(zhì)可得答=《即鳥=

PAPB4+9

券進行計算即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，PB為所作；

(2)解：???OD1BC,

???BD—CD,

OB=0A,

.??。。為的中位線,

??.AC=2OD=4,

???48為。。的直徑，

Z.ACB=90°,

???尸8為。。的切線，

???AB1PB,

???乙PBA=90°,

???Z.BPC=Z.APB,

???Rt△PBC?Rt△

PBPC

--=--j

PAPB

PB9

即Hn-----，

4+9PB

解得PB=3V13,

即PB的長為3g.

【點睛】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

切線的判定定理，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC,以力B為直徑的。。交邊力C于

點D,連接BO,過點C作CEII力B.

⑴請用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：過點B作O。的切線，交CE于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字

母）

（2）在（1）的條件下，求證：BD=BF.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過點B作4B的垂線，交CE于點F,即可求解；

（2）根據(jù)題意切線的性質(zhì)以及直徑所對的圓周角是直角，證明=根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等

腰三角形的性質(zhì)得出BCD=NBCF,進而證明ABCD三ZkBCF（AAS）,即可得證.

【詳解】（1）解：方法不唯一，如圖所示.

A

OJ\

E

(2)朋B=AC,

⑦乙ABC=L.ACB,

又團CEIL4B,

團乙4BC=Z-BCF,

^\Z-BCF=Z-ACB.

團點。在以ZB為直徑的圓上，

^Z.ADB=90°,

^Z.BDC=90°.

又團BF為。。的切線，

回乙ABF=90°.

^CEWAB,

回乙BFC+乙ABF=180°,

^Z.BFC=90°,

團乙BDC=乙BFC.

團在△BCD和中，

ZBCD=乙BCF,

乙BDC=Z.BFC,

、BC=BCf

回△8C0wZkBCF(AAS).

回=BF.

【點睛】本題考查了作圓的切線，切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2023?廣東廣州?校考二模)在比△ABC中，入4=90。，AB=6,AC=8,點。為邊的中點.

⑴尺規(guī)作圖，過點。作DEIBC交邊AC于點E；

(2)求ED、EC的長；

⑶點P為射線力B上的一動點，點。為邊4C上的一動點，且NPDQ=90。，若BP=2,求CQ的長.

【答案】⑴見解析

(2)DE=拳15以=?25

⑶CQ=崇吟

【分析】(1)如圖：以。為圓心，以任意長為半徑畫弧與BC交于點M、N,然后分別以點M、N為圓心，以

大于(MN為半徑畫弧，兩弧交于。，連接DQ交4c于E即可；

(2)由勾股定理可得BC=10,貝UCD==5；然后再證^CDE-△CAB,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

即可解答；

(3)分點尸在線段48上和線段4B的延長線上兩種情況，分別運用相似三角形的判定與性質(zhì)即可解答.

圖I

(2)解：如圖1,???"=90°,AB=6,AC=8,

團根據(jù)勾股定理得到，BC=y/AB2+AC2=10,

0CD=-BC=5.

2

回DE1BC.

團=乙CDE=90。，/。=乙。，

[?]△CDE-△CAB,

團DE：AB=CE：CB=CD：CA,即OE：6=CE：105：8,

152S

團DE=—,CE=—.

44

(3)解：如圖2：當(dāng)點尸在線段上時，

ISACDE—△CAB,

回=乙DEC,

團41+Z4=90°.

團乙1+匕2=90°,

團42=Z4,

PBD-△QED,

期=嗎

EQED

端=總

4

國EQ=I，

2，31Q

田CQ=CE-EQ=

yx424

如圖2：當(dāng)點尸在線段ZB的延長線上時,

團Z■區(qū)=DEC,

國乙PBD=乙QED.

Q

EIZPDQ=90°,

0Z1+N2=90°.

0Z3+z2=90°,

0zl=z3,

0APBD-△QED,

EIEQ=

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判