壓軸題解題模板02

反比例函數(shù)的綜合問題

目錄

題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題-

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

反比例函數(shù)的綜合

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

題型解讀：

反比例函數(shù)的綜合問題在中考中常常以解答題和填

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題

空題的形式出現(xiàn)，解答題考查居多.此類題型多是反比例型的考查熱度.

函數(shù)與一次函數(shù)及幾何圖形的綜合考查，一般要用到解

不等式、圖形面積、特殊三角形、特殊四邊形、相似三

角形等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化

歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①求反比例

函數(shù)的解析式；②求交點(diǎn)坐標(biāo)、圖形面積；③利用函數(shù)口系列150%50%50%

圖象比較一次函數(shù)與反比例函數(shù)值的大小；④反比例函

數(shù)與幾何圖形綜合.下圖為反比例函數(shù)綜合問題中各題

型的考查熱度.

題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

利用函數(shù)圖像或者聯(lián)立解析式確定交點(diǎn)坐標(biāo)

結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)圖像比較函數(shù)值大小

技巧精講：利用函數(shù)圖象確定不等式的解集:

不等式圖示作圖方法結(jié)論

由圖可知，在②④部分，直線位于雙曲線的上方，故

.k

ax+b>—過兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)

X

不等式a++6■的解集為xB<x<0或％〉孫

分別作4軸的垂線，連同yX

A.軸把平面分成①②③④四由圖可知，在①③部分，直線位于雙曲線的下方，故

.k

ax+b<—部分

X不等式?+6〈正的解集為x<xB^0<x<xA

7X

【例1】（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A（〃,6）和43,2）是一次函數(shù)必=丘+3的圖象與反比例

⑴求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式;

（2）當(dāng)％為何值時，%>%?

【答案】（1）Ji=-2%+8；y=—

2x

（2）lvx<3

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可;

（2）根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行觀察，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合即可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)3(3,2)代入％=生,

X

:.m=6,

6

x

將A(〃，6)代入y=—,

2x

..〃=1,

??.A(l,6),

將A(l,6)和3(3,2)代入%=少+),

k+b=6k=—2

解得:

3k+b=2b=8

%=—2%+8；

（2）解：根據(jù)圖象可得，當(dāng)月＞%時，x的取值范圍為：1〈尤＜3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式.求尤的取值范圍，從函數(shù)圖象的角度看，是確定直線在雙曲線上方（或下方）部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所

構(gòu)成的集合.

k

【變式1-1］（2023?湖南常德?統(tǒng)考中考真題）如圖所示，一次函數(shù)%=-%+加與反比例函數(shù)為=—相交于點(diǎn)

A和點(diǎn)3(3,—1).

⑴求m的值和反比例函數(shù)解析式;

⑵當(dāng)必＞為時，求x的取值范圍.

3

【答案】（1）切=2,y=-一

x

（2）兄＜一1或0＜工＜3

【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)M=T+相的圖象與反比例函數(shù)%=￡的圖象交于A（3,-l）、B兩點(diǎn)可得加的值,

進(jìn)而可求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）觀察函數(shù)圖象，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】（1）將點(diǎn)8（3,—1）代入得：-3+加=-1

解得：m=2

將8（3,—1）代入%=5得：左=3x（-1）=—3

?y」

??>2-

（2）由%=%得：-尤+2=口，解得再=-1,%=3

X

所以A3的坐標(biāo)分別為A（—1,3）,Z?（3,T）

由圖形可得：當(dāng)X<-1或0<X<3時，口〉女

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的

性質(zhì).

【變式「2】（2023?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=履+優(yōu)匕6為常數(shù)）與雙曲線丫=生（加為常數(shù)）

X

相交于A（2,a）,3（-1,2）兩點(diǎn).

（1）求直線y=的解析式；

（2）在雙曲線>=，上任取兩點(diǎn)“（可,乂）和NG，%），若玉<%，試確定力和的大小關(guān)系，并寫出判斷過

程；

（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式依+6>生的解集.

【答案】(i)y=-x+i

(2)當(dāng)再＜。或。＜再時，％＜為；當(dāng)否＜0＜%時，

(3)》＜-1或0＜%＜2

7

【分析】(1)將點(diǎn)8代入反比例函數(shù)y=%,求得冽=-2,將點(diǎn)A代入y=得出A(2,-l),進(jìn)而待定系

X

數(shù)法求解析式即可求解；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)在第二四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，進(jìn)而分類

討論即可求解；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可求解.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)3(-1,2)代入反比例函數(shù)》=

m=-2,

?y」

??y—

x

將點(diǎn)A(2㈤代入y=—.

???A(2,-l),

將A(2,—l),5(—1,2)代入尸質(zhì)+工得

{2k+b=-l

\-k+b=2

y——x+1

(2),：y=--,k＜0,

X

反比例函數(shù)在第二四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大,

.?.當(dāng)占＜%＜。或。＜占＜超時，月＜丫2，

當(dāng)不＜。＜/時，根據(jù)圖象可得%＞為，

綜上所述，當(dāng)占＜0或。＜玉＜當(dāng)時，%＜當(dāng)；當(dāng)尤1＜0＜尤2時，%＞當(dāng)，

（3）根據(jù)圖象可知，4（2,-1）,B（-l,2）,當(dāng)丘+b＞］時，x＜T或0（尤＜2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函

數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型二反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像面積問題

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

利用函數(shù)圖像或者聯(lián)立解析式確定交點(diǎn)坐標(biāo)

根據(jù)k的幾何意義或者面積公式表示面積

【例2】（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丁=6+6（。＜0）與反比例函

數(shù)＞=?左#0）交于A（一加3”）,8（4,-3）兩點(diǎn)，與〉軸交于點(diǎn)0連接Q4,OB.

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求的面積；

k

⑶請根據(jù)圖象直接寫出不等式一＜QX+b的解集.

x

123

【答案］⑴y=—,y=--x+3；

x2

（2）9；

⑶X<-2或0vx<4.

【分析】（1）把點(diǎn)3代入反比例函數(shù)y=與左片0）,即可得到反比例函數(shù)的解析式；把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)，

X

即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)一次函數(shù)〉=依+人（。＜0）即可求得心6的值，從而

得到一次函數(shù)的解析式；

（2）,AQB的面積是_AOC和.出OC的面積之和，利用面積公式求解即可；

（3）利用圖象，找到反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方所對應(yīng)的x兆范圍，直接得出結(jié)論.

【詳解】（1）7點(diǎn)8（4,-3）在反比例函數(shù)y=K的圖象上，

X

解得：k=-12

12

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=-上.

X

12

VA（-m,3m）在反比例函數(shù)y=-工的圖象上,

.a12

..3m=------,

—m

解得叫=2,叫=-2（舍去）.

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,6）.

:點(diǎn)A,3在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上,

-2a+b=6

把點(diǎn)4（—2,6）,3（4,-3）分別代入,得

4〃+。=—3'

__3

解得,2,

b=3

3

???一次函數(shù)的表達(dá)式為y=--X+3；

（2）,?,點(diǎn)C為直線A3與y軸的交點(diǎn)，

3

???把x=0代入函數(shù)y=—萬1+3,得y=3

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）

???OC=3,

?Q—q_i_c

??°AOB~」AOC丁QBOC

=^-OC-\xA\+^-OC-\xB\

=—x3x2+—x3x4

22

=9.

k

(3)由圖象可得，不等式一<辦+6的解集是x<—2或0<x<4.

x

Iy

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形面積，函

數(shù)與不等式的關(guān)系，求出兩個函數(shù)解析式是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題)如圖，一次函數(shù)％=自+6伏*0)與函數(shù)為％='(x>0)的圖

(1)求這兩個函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足％-為>。時尤的取值范圍;

(3)點(diǎn)尸在線段A3上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為交函數(shù)出的圖象于點(diǎn)Q，若△尸。。面積為3,求

點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4

［答案］⑴%=—2X+9,y=-(x>0)

2x

(2)g<x<4

(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,5)或(I，4)

【分析】(1)將A(4,l)代入%='(x＞0)可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)8坐標(biāo)，再將A(4,l)和點(diǎn)8

X

坐標(biāo)代入％=履+匕伏*。)即可求出一次函數(shù)解析式；

(2)直線在反比例函數(shù)圖象上方部分對應(yīng)的x的值即為所求；

(3)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為P,代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，將x=P代入反比例函數(shù)求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo),

進(jìn)而用含p的代數(shù)式表示出PQ，再根據(jù)△P。。面積為3列方程求解即可.

【詳解】⑴解：將加,1)代入%可得l=g

解得加=4，

4

???反比例函數(shù)解析式為%=—(]＞0)；

嗚,a4

在%=-(x>0)圖象上,

x

.-a=T=8

2

將A(4,l),嗚,8)代入必=息+6,得:

4左+。=1

1

-k+b=8

12

解得

一次函數(shù)解析式為X=-2X+9；

(2)解：尤＜4,理由如下：

由⑴可知4(4,1),唱

當(dāng)%-%＞。時，％＞為，

此時直線AB在反比例函數(shù)圖象上方，此部分對應(yīng)的x的取值范圍為g＜尤＜4,

即滿足X-%＞。時，x的取值范圍為無＜4；

（3）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為P,

將x=p代入％=-2x+9,可得％=-2p+9,

???尸（p,-2p+9）.

44

將X=p代入y=—（%〉0）,可得力=一,

XP

??。［用

4

PQ=-2p+9——,

P

S?琴=*-2夕+9-210=3,

整理得2P2-9p+10=0,

解得Pi=2,p2=1,

當(dāng)夕=2時，-2p+9=_2x2+9=5,

當(dāng)p=|時，-2/?+9=-2x|+9=4,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,5）或1I，4；

【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)系

中求三角形面積、解一元二次方程等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.

4

【變式2-2］（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)丁=丘+》的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交

于點(diǎn)A,4）,與入軸交于點(diǎn)5,與y軸交于點(diǎn)。（0,3）.

(1)求m的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；

4

(2)已知尸為反比例函數(shù)y=—圖象上的一點(diǎn)，S^OBSAOAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

x

【答案】⑴)=x+3

⑵P(2,2)或(-2,-2)

【分析】(1)先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出，”的值，進(jìn)而求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A和點(diǎn)C的

坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可;

(2)先求出08=3,0c=3,過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作POL無軸于點(diǎn)。，如圖所示，根據(jù)

40鰭=2543(;可得^。3/。=2*3。。4〃，求出PD=2,則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為2或-2,由此即可得到答

案.

【詳解】(1)解：點(diǎn)A(私4)在反比例函數(shù)y=g的圖象上,

.,4=1

m

..tn=1,

???A（L4）,

又,，點(diǎn)A。,4),C(0,3)都在一次函數(shù)y=fcr+。的圖象上,

4=k+b

3=b

k=l

解得

b=3

???一次函數(shù)的解析式為y=3.

(2)解：對于y=x+3,當(dāng)y=o時，x=-3,

：.B（-3,0）,

/.OB=3,

VC（0,3）,

:.OC=3

過點(diǎn)A作A//，y軸于點(diǎn)過點(diǎn)P作即，無軸于點(diǎn)。，如圖所示.

:.-OBPD=2x-OCAH.

22

—x3xPD=2x—x3xl,

22

解得PD=2.

，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為2或-2.

4

將y=2代入＞=—得x=2,

X

4

將丫=_2代入y=_得x=_2,

x

點(diǎn)尸(2,2)或(-2,—2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023?四川巴中?統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)丫=依（入0）與反比例函數(shù)）=々，"0）的圖

X

象交于A、B兩點(diǎn)，A的橫坐標(biāo)為T,B的縱坐標(biāo)為-6.

⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式.

(2)觀察圖象，直接寫出不等式也<%的解集.

X

(3)將直線A3向上平移〃個單位，交雙曲線于C、。兩點(diǎn)，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)E、F,連接。。、BD,若，OBD

的面積為20,求直線8的表達(dá)式.

【答案】⑴、=上24

x

(2)T<x<0或x>4

3

⑶丫=-5%+10

【分析】(1)先求解42的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；

(2)由反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方確定不等式依〈竺的解集即可；

X

(3)方法一、連接BE,作BGLy軸，先求解左=-13,可得直線48的表達(dá)式為y=3，由CD〃AB,

,3

可得ZOBD=SAOBE=20,求解3G=4,可得E(0,10),由C￡)〃AB,可得3B=%3=一萬即可；

3?nC20、

方法二、連接作，x軸，先求解左=-，結(jié)合8(4,-6)，可得。/=],可得/[三,0J,由CD〃AB,

再設(shè)直線CO的表達(dá)式為y=-1%+〃，再利用待定系數(shù)法求解即可.

【詳解】(1)解：直線丫=就與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，

；.A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

；乙=-4yB=-6,

.-.A(-4,6),3(4,-6),

4一4,6)在雙曲線'='("-0)上，

/.m=-24,

反比例函數(shù)的表達(dá)式為＞=-一；

尤

(2)：4(-4,6)2(4,-6),

"7

二?不等式fcv＜—的解集為：7＜元＜0或兀＞4；

x

(3)方法一：連接破，作軸于G,

3

???直線AB的表達(dá)式為j=

CD//AB，

,,S40BD=S叢OBE=20,

B(4,-6),

:.BG=4,

.■.SAOBE=-OEBG=20,

:.OE=10f

/.E(0,10),

CD//AB,

■■kAB=kCD=-^

3

???直線CD的表達(dá)式為y=-|x+10.

方法二：

連接8死作軸于

?小V

3

直線AB的表達(dá)式為y=--x,

CD//AB,

-S^OBD=S^oBF=20，

B(4,-6),

.\-OF-6=20,

2

:.OF=—,

3

CD//AB

3

???設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=--x+bf

尸在直線。。上,

-，型+6=。,

23

Z?=10,

3

*,?直線CD的表達(dá)式為y=——x+10.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形

面積，利用數(shù)形結(jié)合的方法確定不等式的解集，清晰的解題思路與數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用都是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-4］（2023?四川?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知一次函數(shù)，=丘+6的圖象與反比例函數(shù)＞=生（根＞0）的

x

圖象交于4（3,4）,B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C,將直線A3沿y軸向上平移3個單位長度后與反比例函數(shù)圖象

交于點(diǎn)。，E.

（1）求k,m的值及。點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）連接AD,CD,求一ACD的面積.

【答案】（1）攵=一（；相=12；C（9,0）

（2）SAACD=9

【分析】（1）把點(diǎn)A（3,4）代入＞="+6和y=:（加＞0）求出鼠根的值即可；把＞=0代入的解析式，求

出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）延長ZM交x軸于點(diǎn)尸，先求出A3平移后的關(guān)系式，再求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后求出位（解析式，得出

點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)SACD=SCDF-SCAF求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：把點(diǎn)4（3,4）代入?=點(diǎn)+6和〉=；（〃2＞。）得：

3左+6=4,4=-,

3

2

解得：k=——,根=12,

212

???AB的解析式為j=--x+6,反比例函數(shù)解析式為y=—,

3x

29

把y=o代入y=_§x+6得：o=--x+6,

解得：x=9,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（9,0）；

（2）解：延長ZM交x軸于點(diǎn)后如圖所示:

將直線AB沿y軸向上平移3個單位長度后解析式為:

22

y=—x+6+3——x+9，

33

2

y=——x+9

3

聯(lián)立

12

>二一

x

3

%)=一x=12

解得：,2,2

%=8%=1

???點(diǎn)。14

|,8；4(3,4)代入得:

設(shè)直線的＞的解析式為，=左科+4，把。

3

-k+b,=8

<2i}1

3匕+4=4

,8

葭=—

解得：,,3,

4=12

Q

/.直線AD的解析式為y=--x+12,

QO

把y=。代入y=——九+12得0=——%+12,

33

9

解得：x=］，

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為［別，

99

CF=9—=—,

22

?C_C_C

..0ACD一°.CDFU.CAF

「X2X8」X2X4

2222

=9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式，解

題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法，能求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo).

題型三反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

解題模板:

利用待定系數(shù)法求解析式

分析幾何圖形的特點(diǎn)并得到線段的數(shù)量關(guān)系

借助函數(shù)和線段的數(shù)量關(guān)系建立等式并計(jì)算

【例3】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，直線/：y=履+2與x,y軸分別

相交于點(diǎn)A,B,與反比例函數(shù)y=—（無＞0）的圖象相交于點(diǎn)C,己知。4=1,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2.

x

（1）求人，優(yōu)的值；

（2）平行于y軸的動直線與/和反比例函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)。，E,若以8,D,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平

行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）%=2,m=12；

⑵點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（而2指+2）或（近-1,2所

【分析】（1）求得A（T，0）,利用待定系數(shù)法即可求得直線的式，再求得C（2,6）,據(jù)此即可求解;

(2)設(shè)點(diǎn)。(a,2a+2),則點(diǎn)《a,?),利用平行四邊形的性質(zhì)得到2a+2-?=2,解方程即可求解.

【詳解】(1)解：=

A(-1,O),

???直線y=履+2經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),

0=—k+2,解得，k=2,

六直線的解析式為y=2x+2,

:點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,

/.y=2x2+2=6,

C(2,6),

???反比例函數(shù)y='(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,

X

m=2x6=12；

12

(2)解：由(1)得反比例函數(shù)的解析式為y=上，

X

令％=0,則y=2x0+2=2,

.??點(diǎn)3(0,2),

設(shè)點(diǎn)￡>(a,2a+2),則點(diǎn)

?..以8,D,E,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

DE=OB=2,

cc121212

2〃+2-----=2,整理得2〃+2——=2或2〃+2——=-2,

aaa

由2。+2-----=2得2/+2a—12=2a,

a

整理得"=6,

解得a=±A/6，

丁a>0,

??〃=\/6，

:.點(diǎn)、D(遍,2娓+2)；

由2。+2-----=—2得2a之+2〃—12=—2a,

a

整理得/+2a-6=0，

解得Q=士幣-\，

*.*a>0,

??a—y/y—1,

.?.點(diǎn)￡>（近-1,2近）；

綜上，點(diǎn)Z）的坐標(biāo)為（而2n+2）或（近-1,2b）.

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解一元二次方程，用方

程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

9

【變式3-1］（2023?四川廣安?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)>=履+:（左為常數(shù)，k40）的圖象與反比

4

例函數(shù)y=/（"為常數(shù)，相片。）的圖象在第一象限交于點(diǎn)A（L〃），與x軸交于點(diǎn)以-3,0）.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.

（2）點(diǎn)尸在x軸上，是以至為腰的等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

393

【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為y=+反比例函數(shù)的解析式為

44x

（2）（-8,0）或（2,0）或（5,0）

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入再解方程即可得出答案;

（2）首先利用勾股定理求出得A3的長，再分兩種情形討論即可.

【詳解】（1）解：把點(diǎn)3（-3,0）代入一次函數(shù)丫=依+；得，

9

—3Z+—=0,

4

3

解得：k=[,

4

39

故一次函數(shù)的解析式為y=J尤+：,

44

3o39

把點(diǎn)代入了=1尤+],^n=-+-=3,

把點(diǎn)A(l,3)代入y=竺，得〃?=3,

X

故反比例函數(shù)的解析式為>=士；

X

(2)解：B(-3,0),A(l,3),AB=F+[l-(-3)7=5,

當(dāng)AB=PB=5時，P(-8,0)或(2,0),

當(dāng)=時，點(diǎn)P,3關(guān)于直線尤=1對稱，

???尸(5,0),

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-8,0)或(2,0)或(5,0).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，等腰三角形的性質(zhì)等知識,

運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線'="+》與x軸交于點(diǎn)

A(4,0),與y軸交于點(diǎn)3(0,2),與反比例函數(shù)y=?在第四象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C(6,a).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式：

⑵當(dāng)近+b>'時，直接寫出X的取值范圍;

X

(3)在雙曲線y="上是否存在點(diǎn)P,使是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

X

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y="

X

(2)%<-2或0<x<6

(3)(3—2)或(1,一6)

【分析】(1)將4(4,0),3(0,2)代入、=丘+6,求得一次函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)C的

坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；

(2)將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果；

(3)過點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)勾股定理得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，在求出直線AP的表達(dá)式，與反比例函

數(shù)聯(lián)立方程組即可.

4k+b=0

【詳解】(1)解：把4(4,0),8(°，2)代入>=而+。中得:

b=2

b=2

???直線'=入+匕的解析式為y=—；x+2,

在>=一工1+2中，當(dāng)％=6時，丫=一：%+2=-1,

22

c(6,-l),

把C(6,-l)代入>=%中得：_1=?,

X0

m=—6,

反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=-￡

X

(2)解:聯(lián)立,

)二一―

X

???一次函數(shù)與反比例函數(shù)的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,-1)、(-2,3),

???由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<-2或0<x<6時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方,

m

???當(dāng)Ax+b>一時，x<-2或0<芯<6；

x

(3)解：如圖所示，設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)"(0，〃。,

?.?4(4,0),3(0,2),

Z.BM2=|2-m|2=m2-4m+4,AB2=22+42=20,AM2=42+m2=??z2+16.

是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形,

ZBAM=90°,

BM2=BA2+AM2，

m2-4m+4=20+m2+16,

解得m=-8,

A/(O,-8),

同理可得直線AM的解析式為y=2X-8,

y=2x-8

X=1

聯(lián)立6,解得或

y=—6'

y二—一y=-2

X

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，正確利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解

析式是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=r+5與y軸交于

k

點(diǎn)A,與反比例函數(shù)>=—的圖象的一個交點(diǎn)為8(。,4),過點(diǎn)8作的垂線/.

x

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)C在直線/上，且aABC的面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)尸是直線/上一點(diǎn)，連接E4,以尸為位似中心畫△立>￡,使它與RR位似，相似比為根.若點(diǎn)，E恰

好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及機(jī)的值.

4

【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(。，5),反比例函數(shù)的表達(dá)式為丁=—；

x

⑵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,9)或(7,-1)

(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m的值為3

【分析】(1)利用直線y=-尤+5解析式可的點(diǎn)C的坐標(biāo)，將點(diǎn)8m,4)代入y=T+5可得。的值，再將點(diǎn)B代

入反比例函數(shù)解析式可得k的值，從而得解；

(2)設(shè)直線/于y軸交于點(diǎn)由點(diǎn)B的坐標(biāo)和直線/是A3的垂線先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法

求直線/的解析式'=尤+3,C點(diǎn)坐標(biāo)為f+3),根據(jù)S△樹%|=5(/,左分別代表點(diǎn)8與

點(diǎn)C的橫坐標(biāo))可得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，從而得解；

(3)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線可知點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)也在直線/上，不妨設(shè)為點(diǎn)E,則點(diǎn)A的對

應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，直線/與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組得到E(T,-1),由△HIBSAPDE得到四〃DE,繼而

得到直線AB與直線DE的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線QE的解析式是：y=~x+b2,將E(-4,-l)代

入〉=-尤+4求得。￡的解析式是：尸-尤-5,再將直線DE與雙曲線的解析式聯(lián)立求得。(-LT),再用待

定系數(shù)法求出AD的解析式是y=9x+5,利用直線AD的解析式與直線I的解析式聯(lián)立求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為

I再用兩點(diǎn)間的距離公式得到8尸=〈3,也從而求得機(jī)=冬=3.

I44J44BP

【詳解】(1)解：令％=0,則y=-%+5=5

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,5),

將點(diǎn)4)代入y=—x+5得：4=—a+5

解得：a=l

：.5(1,4)

kk

將點(diǎn)3(1,4)代入y=*得：4=:

x1

解得：k=4

4

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=—；

x

(2)解：設(shè)直線/于y軸交于點(diǎn)直線V=r+5與1軸得交點(diǎn)為N,

cyi

"N\"

令y=-x+5=0解得：x=5

：.N(5,0),

???OA=ON=5f

又丁ZAON=90°,

：.NOAN=45。

???A(0,5),5(1,4)

/.A8=J(1-0)2+(4-5『=友

又：直線/是AB的垂線即/ABM=90。,ZOAN=45°f

:,AB=BM=立,AM=y/AB2+BM2二2

M(0,3)

設(shè)直線/的解析式是：y=kix+bl,

勺+4=4

將點(diǎn)M(0,3),點(diǎn)B(l,4)代入y=小+優(yōu)得:

4=3

直線/的解析式是：，=》+3,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是“，t+3)

???S^c=AM^xBxc\=須2卜4=5,("c分別代表點(diǎn)2與點(diǎn)C的橫坐標(biāo))

解得：/=-4或6,

當(dāng)f=T時，t+3=—1；

當(dāng)『=6時，t+3=9,

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,9)或(-4,-1)

(3):位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)與位似中心三點(diǎn)共線，

.??點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)也在直線/上，不妨設(shè)為點(diǎn)E,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。，

點(diǎn)E是直線/與雙曲線y=2的另一個交點(diǎn)，

x

'_4

將直線/與雙曲線的解析式聯(lián)立得：r=x

y=x+3

???E（T-1）

畫出圖形如下:

又；APABs八PDE

：.NPAB=NPDE

/.AB//DE

，直線AB與直線DE的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)相等,

設(shè)直線DE的解析式是：y=~x+b2

將點(diǎn)磯T,一1)代入戶一無+打得：-1=一(-4)+%

解得：b2=-5

直線上的解析式是：產(chǎn)-x-5

4

丁點(diǎn)。也在雙曲線y=—上，

X

4

???點(diǎn)。是直線DE與雙曲線丁二一的另一個交點(diǎn)，

x

'_4

將直線小與雙曲線的解析式聯(lián)立得：

j=f_5

xy==-Tl或r\x=--4

解得:

???0(-1,-4)

設(shè)直線4。的解析式是：y=k3x+b3

—左3+4=—4

將點(diǎn)A(0,5),。(-1,-4)代入y=/尤+4得:

4=5

k[=9

解得:

4=5

???直線AT>的解析式是：y=9%+5,

y=9尤+5

又將直線AD的解析式與直線I的解析式聯(lián)立得:

y=x+3

1

x=——

4

解得：一

【點(diǎn)睛】本題考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)綜

合一幾何問題，三角形的面積公式，位似的性質(zhì)等知識，綜合性大，利用聯(lián)立方程組求交點(diǎn)和掌握位似的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

閡國迎廄］

一、解答題

4

1.（2023?四川甘孜?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=與反比例函數(shù)

y=A（Z>0）的圖象相交于A（3,機(jī)），8兩點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點(diǎn)C為無軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足AC1BC,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】⑴y=上12;

X

⑵(5,0).

【分析】(1)先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式即可.

(2)根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可求出AB的長，再由AC/BC并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半，可求得OC的長，進(jìn)而解決問題.

【詳解】(1)解：:點(diǎn)4(3,〃。在一次函數(shù)y=的圖象上，

4

m=—x3=4

3

二點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4).

???反比例函數(shù)>=勺％>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(3,4),

k=3x4=12.

12

???反比例函數(shù)的解析式為y.

X

(2)解：過A點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)”，

,?A（3,4）,

貝UAH=3,OH=4.

由勾股定理，得OA=，4H2+W=5,

由圖象的對稱性，可知OB=Q4=5.

又：AC1BC,

：.OC=OA=5.

...C點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

4

2.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)丁=丘+優(yōu)左。0）的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于

⑴求一次函數(shù)的表達(dá)式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

4

⑵觀察圖象，直接寫出不等式依+萬<一的解集；

x

（3）設(shè)直線AB與無軸交于點(diǎn)C,若尸（0,/為y軸上的一動點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)?shù)拿娣e為|■時，求點(diǎn)

P的坐標(biāo).

【答案】（Dy=；x-1,圖見解析

（2）%<-2或0<xv4

⑶尸危—]

【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式，求出A,2的坐標(biāo)，待定系數(shù)法，求出一次函數(shù)的解析式即可,

連接AB,畫出一次函數(shù)的圖象即可;

（2）圖象法求出不等式的解集即可;

（3）分點(diǎn)尸在y軸的正半軸和負(fù)半軸，兩種情況進(jìn)行討論求解.

4

【詳解】（1）解：??,一次函數(shù)丁=丘+仇左。0）的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A（私1）,5（-2,〃）兩點(diǎn),

x

?*.m=-In=4,

m=4,n=—2,

：.44,1),2(-2,-2),

4左+b=lk=-

-2k+b=-2'解得：’2,

b=-\

：.y=-x-l

29

圖象如圖所示:

X

（3）解：當(dāng)點(diǎn)尸在y軸正半軸上時:

?：y=-x-i,

當(dāng)x=0時，y=—i,當(dāng)y=。時，x=2,

：.C（2,0）,D（0,-l）,

PD=a+1,

??$APC=SAP0-S,PCD=5*（。+1）、4一5'（"+1）><2=5,

3

解得：a=；;

當(dāng)點(diǎn)尸在y軸負(fù)半軸上時:

PD=|-l-a|

?**SAPC=SAPD~SPCD=gx|一l_《x4_gx卜1_。卜2=|"

解得：;7或〃3（不合題意，舍去）；

22

綜上：心,I］或小’-。

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用.正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論

的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?四川遂寧