專題09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，已知VAOE:VABC,若AO:A3=1:3,VABC的面積為9,則VADE的面積為（）

A

A.1B.2C.3D.9

2.如圖，在AABC中，DE//BC,若AE=2,EC=3,則△AOE與△ABC的面積之比為（）

A.4：25B.2：3C.4：9D.2：5

3.（2017年甘肅省蘭州市七里河區(qū)楊家橋?qū)W校中考數(shù)學(xué)模擬）如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,D,

E分別在AB、AC±,將△ADE沿DE翻折后,點A落在點A，處，若A，為CE的中點，則折痕DE的長為

）

A.1B.3C.2D.1

4.如圖.在AA8C中，DE//BC,/B=NACD,則圖中相似三角形有（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

5.如圖，AABC中，AB=8,AC=6,NA=90。，點。在AABC內(nèi)，且少3平分/ABC,DC平分NACB,

過點。作直線PQ,分別交A3、AC于點P、Q,若AAPQ與AABC相似，則線段PQ的長為（）

C.5或十D.6

6

2

6.如圖，在R/AA3C中，44c3=90。，取AC的中點O,連接BD,點C關(guān)于線段BD的對稱點為點E,點

產(chǎn)為線段8上的一個動點，連接AE、BD、BE、DE,已知AC=26，BC=2,AE=y,BDHAE,

EF

當(dāng)EF+BF的值最小時，則工的值為（）

二、填空題

7.如圖，光源尸在水平橫桿的上方，照射橫桿AB得到它在平地上的影子為C。（點尸、A、C在一條

直線上，點P、B、。在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)AR/CD.已知AB=15〃，CD=45〃，點P至I］橫桿AB的

距離是1，"，則點P到地面的距離等于m.

R

/'、

_\B

，_/____、

/\

Z/'、、

F---------------------------D

8.如圖，矩形ABCD中，AD=2,AB=4,AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且EF1AC

于點M,連接AF,CE,求AF+CE的最小值是.

9.如圖，正方形A3CD邊長為3,點E是AD上一點，且AE=1,連接8E,過C作CFL3E,垂足為P,

CF交對角線3。于G,將ABCG沿CG翻折得到△HCG,S交對角線3。于V,則“的”=.

3

ED

10.如圖，在三角形ABC中，點。為邊3C的中點，連接AD,將三角形加沿直線AD翻折至三角形A3C

平面內(nèi)，使得2點與E點重合，連接CE、BE,分別與邊AC交于點與AD交于點。，若AH=CH,

AB=2屈,03=4,則點A到線段BC的距離為.

11.如圖，在矩形ABC￡＞中，AB=2,BC=3,點E是邊AB的中點，連接CE,將4BCE沿CE折疊得到4FCE,

CF與BD交于點、P,則DP的長為—.

三、解答題

12.如圖，AABD中，ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以lcm/s

的速度向點8勻速運動；同時，動點N從點。出發(fā)沿。A方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時

間為ts.

（1）求f為何值時，△AMN的面積是△面積的§；

（2）當(dāng)以點A,M,N為頂點的三角形與△A8Z）相似時，求/值.

4

,1/

H

D

13.在△ABC中，AB=m（m>0）,。為AB上一點，過。作。石〃8C交AC于點E,連接CO.設(shè)

SADCE=S2，S.ABC=S1，求今的取值范圍.

RLABC中，ZC=90°,AC=20cm,SC=15cm,現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動

點。從點C出發(fā)，沿線段C8也向點B方向運動，如果點尸的速度是4cm/s,點。的速度是2cm/s,它們同

時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設(shè)運動時間為/秒.

（1）求運動時間為多少秒時，P、。兩點之間的距離為10cm?

（2）若ACPQ的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

（3）當(dāng)/為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與AABC相似?

A

AFAE

15.如圖，在△ABC中，點。在邊48上，點E、點廠在邊AC上，且DE〃BC,

FE~EC

(1)求證：DF//BE-

(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6j3.ADE^AAEB.

5

16.矩形ABCO中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是對角線，動點尸從點A出發(fā)沿AC方向向點C

勻速運動，速度為lcm/s；動點。從點C出發(fā)沿方向向點。勻速運動，速度為2cm/s.過點P作BC的

垂線段PH,運動過程中始終保持PH與8C互相垂直，連接交AC于點。若點P和點。同時出發(fā)，設(shè)

運動的時間為t（s）（0<?<1.5）,解答下列問題：

（1）求當(dāng)f為何值時，四邊形P8CQ為矩形；

（2）是否存在一個時刻，使”。與AC互相垂直？如果存在請求出"直；如果不存在請說明理由；

75

（3）是否存在一個時刻，使矩形A2CZ）的面積是四邊形PHC。面積的石，如果存在請求出f值；如果不

存在請說明理由.

17.圖，AB//GH//CD,點”在8c上，AC與8。交于點G,AB=2,CD=3,求GH的長.

D

18.一塊直角三角形木板的面積為ism?,一條直角邊A3為1.5m,怎樣才能把它加工成一個面積最大的正

方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工

損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

（甲）憶）

6

19.如圖，已知。是BC的中點，M是AO的中點.求⑷V:NC的值.

EGHBC交.AD千HG.

(2)如果")=4括，DF=4,請找出與△瓦M相似的三角形，并挑出一個進行證明.

21.如圖,在AABC中，點E,尸分別在越AC上,且血=花

(1)求證：AAEF-AABC；

FGFG

(2)若點￡)在5C上，AD與EF交于點、G,求證：

BDCD

22.如圖，在平行四邊形ABC。中，AD^AC,ZADC^a,點E為射線54上一動點，S.AE<AB,連接

DE,將線段OE所在直線繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a交BA延長線于點H,OE所在直線與射線CA交于點G.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時，求證：SADHQXCDG；

(2)當(dāng)期60。時，

①如圖2,連接“G,求證：XADCsXHDG；

②若42=9,BC=12,AE=3,請直接寫出EG的長.

7

備用圖

23.已知：矩形ABCQ中，A8=9,AQ=6,點E在對角線AC上，且滿足AE=2EC,點F在線段CO上,

作直線尸E,交線段A2于點交直線BC于點N.

(1)當(dāng)CF=2時，求線段BN的長；

(2)若設(shè)CV=x,ABNE的面積為y,求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)試判斷ABME能不能成為等腰三角形，若能，請直接寫出x的值.

24.如圖，在平行四邊形ABCD中，ZADB=9Q°,AB=10cm,AD=8cm,點尸從點。出發(fā)，沿方向

勻速運動，速度為2cm/s；同時，點。從點8出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為lcm/s.當(dāng)一個點停止運動，

另一個點也停止運動.過點尸作PE//BD交AB于點、E,連接PQ,交3。于點F.設(shè)運動時間為小)(0<f<4).

解答下列問題：

(1)當(dāng)/為時，PQ//A3?

(2)連接EQ,設(shè)四邊形APQE的面積為y(cm2),求>與/的函數(shù)關(guān)系式.

8

(3)當(dāng)/為何值時，點E在線段PQ的垂直平分線上？

(4)若點尸關(guān)于A3的對稱點為廣，是否存在某一時刻f,使得點尸，E,廣三點共線？若存在，求出，的

值；若不存在，請說明理由.

25.如圖1,平行四邊形ABCD的對角線AC,3。相交于點。，。邊的垂直平分線交3。于點E,連

接AE,CE.

(1)過點A作AF//EC交BD于點尸，求證：AF=BF；

(2)如圖2,將ZWE沿A2翻折得到△ABE.

①求證：BE'IICE；

②若AE,UBC,OE=1,求CE的長度.

26.如圖，AABC中，點。在AC邊上，5.ZBDC=90°+-ZABD.

2

AA

(1)求證：DB=AB-,

(2)點E在BC邊上，連接AE交3D于點F且NAFD=NABC,BE=CD,求NACB的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，若BC=16,△ABF的周長等于30,求AF的長.

9

專題09相似三角形中的“A”字型相似模型

【模型展示】

【模型證明】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，已知VADE:VABC,若4。:43=1:3'鉆（？的面積為9,則VADE的面積為（）

A

【答案】A

10

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出沁=I,代入求出即可.

S^ABCI

【詳解】解：VAADE^AABC,AD：AB=1：3,

2

?°AADE

?q

a^ABC

VAABC的面積為9,

q

QAADE1

99

??SAADE=1，

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)定理，能熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解此題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△A5C中，DE//BC,若AE=2,EC=3,則△ADE與△ABC的面積之比為（）

B.2：3C.4：9D.2：5

【答案】A

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADEs△ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相

似比的平方計算，得到答案.

【詳解】解：VAE=2,EC=3,

：.AC=AE+EC=5f

9：DE//BC,

???jC2」，

%BCUCJl5j25

故選：A.

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,BC=3,D,E分另!j在AB、AC±,將△ADE沿DE翻

折后，點A落在點A，處，若A，為CE的中點，則折痕DE的長為（）

11

A.3B.3C.2D.1

【答案】D

【詳解】試題解析：由題意得：DELAC,

：.ZDEA=90°,

'：ZC=ZDEA,

'：ZA=ZA,

△AEDs^ACB,

.DEAE

"BCAC'

為CE的中點，

：.CA'=EA',

：.CA'=EA'=AE,

.AEDE_I

：.DE=1.

故選D.

4.如圖.在AABC中，DE//BC,ZB=ZACD,則圖中相似三角形有（）

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】VZB=ZACD,ZA=ZA,

AACD^AABC,

'：DE//BC,

：.AADE^AABC,

：.△ACOS/XADE,

,JDE//BC,

：.ZEDC=ZDCB,

'：NB=NDCE,

:ACDEsABCD,

故共4對，

故選：c.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意平行于三角形

的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

12

5.如圖，AABC中，AB=8,AC=6,ZA=90°,點。在AABC內(nèi)，且。5平分/ABC,

平分/ACB,過點。作直線尸Q,分別交A3、AC于點P、。，若AAP。與AABC相似，

則線段P。的長為（）

□35

A.5B.—C.5或高D.6

66

【答案】B

【分析】分△APQsaABC,△APQsaACB兩種情況，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和三角形

內(nèi)切圓求解即可.

【詳解】解：若△APQs^ABC,

AZAPQ=ZABC,

?c〃APAQPQ

???PQ〃BC,—,

ABACBC

???NPDB二NDBC,

VBD平分NABC,

/.ZPBD=ZCBD,

.'.ZPBD=ZPDB,

???PB=PD,同理，DQ=CQ,

VAB=8,AC=6,ZA=90°,

ABC=762+82=10,

AB4

n.…ggAPAQZF,AP

設(shè)AP=x,Wi—=-^—=ac3,

**?AQ二-x,

4

：.PB=PD=8-x,CQ=DQ=6--x,

4

7

PQ=PD+QD=14--x,

,APPQ14—x

=,即Rnx_4

810

解得：X=y,

??.PQ=?

o

13

pD\Q

若2APQ^AACB,

則”=強=經(jīng)，

ACABBC

由題意知：D為△ABC的內(nèi)心，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓交AB于M,交AC于N,

可知四邊形AMDN為正方形，

???ZA=ZAMD=ZAND=ZMDN=90°,

???AM〃DN,AN〃DM,

ZMPD-ZNDQ,NMDP=NNQD,

△MPD^ANDQ,

MPMD

而一而，

VAB=8,AC=6,BC=10,

6+8—10

DM=DN==2,

2

AAM=AN=2,

x2

設(shè)PM=x,貝九不二彷，

4

???NQ=_,

x

..APAQ

=即x+2_%

?AC~AB

-I---8

3

解得：x=|■或-2（舍）,

37

AP=—1-2=一,

22

B

14

綜上：PQ的值為二.

6

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)切圓，角平分線的定義，有一定難

度，解題的關(guān)鍵是將三角形相似分兩種情況討論.

6.如圖，在MAABC中，ZACB=90°,取AC的中點O,連接3D,點C關(guān)于線段8。的對

稱點為點E,點尸為線段8上的一個動點,連接AE、BD、BE、DE,已知AC=2逐，BC=2,

10FF

AE=—,BD//AE,當(dāng)EF+8尸的值最小時，則——的值為（）

3BF

B.辿D

A?半5-1

【答案】C

【分析】設(shè)點M和點B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點，過點E作EGLAC于G,過

點E作ENLBC,交BC延長線于點N,根據(jù)題意得出當(dāng)EF+BF最小時點F的位置，再通

過平行線的性質(zhì)得到NEAG=NBDC,從而求出EG的長，再判定四邊形EGCN為矩形，得

FFNC

到CN’最后利用八MFCSMEN將防轉(zhuǎn)化為石）求值即可.

【詳解】解：當(dāng)EF+BF最小時，如圖，點M和點B關(guān)于AC對稱，F(xiàn)為EM與AC交點,

過點E作EGLAC于G,過點E作ENLBC,交BC延長線于點N,

止匕時EF+BF的最小值即為EF+FM,即EM,

,.'AC=2右，點D為AC中點，BC=2,

/.AD=CD=>/5,

.\tanZBDC=—=

DC5

VAE//BD,

.'.ZEAG=ZBDC,

FG9X

tanNEAG==,設(shè)EG=x,

AG5

15

解之得：乂二20號或2-0日（舍）,

由題意可得：ZN=ZACB=ZEGC=90°,

...四邊形EGCN為矩形,

.?.EG=NC=—，

9

VACXBC,EN±BC,

???AC〃EN,

.?.△MFCSMEN,

.MCMF.EFEFNC20。10

..南二方’則n而=而=而=丁2=3，

故選C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，最短路徑問

題，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行利用三角函數(shù)得到FG的長.

二、填空題

7.如圖，光源尸在水平橫桿AB的上方，照射橫桿A3得到它在平地上的影子為C。（點尸、

A、C在一條直線上，點尸、B、。在一條直線上），不難發(fā)現(xiàn)至//CD.已知A3=L5根,

CD=4.5m,點尸到橫桿A3的距離是1根，則點尸到地面的距離等于加.

/\

A/.____\B

，，，、

/\

/'、

Z、

C二-----------------D

【答案】3

【分析】易得△出Bs^PCD,利用相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比可得AB與CO

間的距離.

【詳解】解：如圖，作P尸，CD于點R

16

4」

JE

c-J-------D

F

\'AB//CD,

:.叢PABs叢PCD,PELAB,

:ZABsAPCD,

.ABPE

"'CD~TF'

1.51

即:

4.5PF

解得：PF=3.

故答案為：3.

【點睛】考查相似三角形的應(yīng)用；用到的知識點為:相似三角形對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比.

8.如圖，矩形A8CD中，AD=2,AB=4,AC為對角線，E、尸分別為邊42、CD±

的動點，且EF1AC于點M,連接AF,CE,求AP+CE的最小值是.

【答案】5

【分析】AF與EC兩條線段不在同一條直線上，只需將兩條線段轉(zhuǎn)換在同一條直線上即可，

作CGIIEF,S.CG=EF,連接AG,又因點尸是。C上是一動點，由三角形的邊與邊關(guān)系

AF+FG>AG,只有當(dāng)點E在直線AG上時，AF+FG最小，由平行四邊形CEFG可知

FG=EC時，可求AF+CE的最小值

【詳解】解：如圖所示：過點C作CG〃EF,且CG=￡F,連接尸G,

設(shè)。P=x,則/C=4—x,

17

當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+FG的最值小，

VCG//EF,且CG=E尸，

???四邊形CEFG是平行四邊形；

/.EC//FG,EC=FG,

又\?點A、尸、G三點共線，

AF//EC,

又：四邊形ABC。是矩形，

AE//DC,Zr>=90°,

...四邊形AECT是平行四邊形，

又,：EFLAC,

四邊形AECP是菱形，

AF=FC=4-x,

在尺以公叱中，由勾股定理得：

AD2+DF-=AF2>

又：AD=2,DF=x,則A尸=4一x,

:.22+X2=(4-X)2,

解得：%=不3

AF=~,

2

在R/AADC中，由勾股定理得，

AC2=AD2+DC2=22+42,所以AC=2行

AM=45,

又,：MFIICG,

：.ZAMF=ZACG,ZAFM=ZAGC,

：.NAMF^NACG,

,AM_AF

"7c"AG)

5

即正=/_,

2節(jié)AG

：.AG=5,

XVAG=AF+FG,FG=EC,

AF+EC=5,即最小值是5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾

股定理和最短距離問題等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法以及相似三角形的性質(zhì)與

18

判定.

9.如圖，正方形ABC。邊長為3,點E是AD上一點，且AE=1,連接BE,過C作CV_LBE,

垂足為歹，C尸交對角線3。于G,將ABCG沿CG翻折得到△"CG,CH交對角線3。于M,

則S-HG”=?

AED

9

【答案】詆

【分析】過點G作GRL8C于R,過點、H作HN〃BC交BD于N,由正方形性質(zhì)可證明：

△ABEs^FCB,由勾股定理可求BE,由翻折性質(zhì)可得△"GCg^BGC,進而可證明：

s

ABHN^ABED,可求得HN,再由可求得/"，再由△CGRs/^cBF

,△HGC

即可求得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點G作GRLBC于R,過點、H作HN〃BC交BD于N

AED

則/3RG=/CRG=90。，

:CF±BE

:.ZBFC=90°

ZCBF+ZBCF=90°

正方形ABCD

ZA=ZABC=90°,AB^AD^BC=3

:.ZABE+ZCBF=90°

:.ZABE=ZBCF

:.AABES?CB

在RgABE中，BE=y/AB2+AE2=732+12=>/10

BF_AEBF=1

'BC-BE''3一屈

RF回

..?t5r-_3,

10

19

由翻折知：FH=BF=2叵，HC=BC=3,AHGC-BGC

105

?：HN//BC:&BHNs4BED

3M

HN器，即研

DE5

2

:.HN=a?.?AHNMSACBM

HM_HN_2

**MC-BC-5

.HM2

??一，

HC7

q

°&HGMHM_2

q

Q&HGCHC-7

?.?GRtBC,NCBG=45。

.?.△3GR是等腰直角三角形，設(shè)BR=GR=x,則CH=3-%,

,.FCGRSYCBF

GRBF1vi3

“即三0解得X=[

?而?"CF

1139

??S=—xBCxGR=—x3x—=—

△BS2248

?S-2

△Q

2c299

-jHGM

77828

9

故答案為：—.

28

【點睛】本題考查了正方形性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，全等

三角形判定和性質(zhì)，相似三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點；解題關(guān)鍵是利用平行線

證明相似三角形進行轉(zhuǎn)化，有一定難度，屬于中考填空壓軸題類型.

10.如圖，在三角形ABC中，點。為邊8c的中點，連接AD,將三角形4步沿直線AD翻

折至三角形A3C平面內(nèi)，使得B點與￡點重合，連接CE、BE,分別與邊AC交于點X,

與AD交于點。，若四=CH,AB=2713,03=4,則點A到線段BC的距離為.

20

【分析】如圖，過點A作ATLCB交CB的延長線于T.利用勾股定理求出AO,利用三角形

重心的性質(zhì)求出。。，再利用勾股定理求出RD,利用相似三角形的性質(zhì)求出AT即可.

【詳解】解：如圖，過點A作ATLCB交CB的延長線于T.

■■■ZAOB=9Q°,

,/AB=2A/13,03=4,

OA=-JAB2-OB2=7（2713）2-42=6，

=點。為邊2C的中點,

.?.點。是AABC的重心，

.\OA=2,OD,

OD=3,

:.BD=SB2+OU="2+32=5,

-.-ZBDO=ZADT,ZBOD=NT=90°,

.?.△DOBOZXDTX,

.OBDB

…而一罰’

45

...--—_—.

AT9

【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)以及重心的性質(zhì)等

21

知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

11.如圖，在矩形4BC。中，AB=2,8C=3,點E是邊A8的中點，連接CE,將△BCE沿

CE折疊得到小FCE,CF與3。交于點P,則DP的長為—.

【答案】①

17

【分析岫勾股定理可求出瓦）、EC的長,連接BF交CE于點G,作MLBC于點、H,PQLBC

于點。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BG的長，再根據(jù)面積等式列方程求出切的長，再根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BQ與CQ的比，進而求出OP的長.

【詳解】解：如圖，連接2尸交CE于點G,作尸于點"尸。，8。于點。，

:四邊形ABCD是矩形，

：.AB=DC=2,ZABC=ZBCD=90°,

'：BC=3,

.BD=ylBC2+DC2=732+22=屈；

VAE=BE=-AB=-x2=l,

22

；?EC=y/BE2+BC2=Vl2+32=710；

由折疊得，CE垂直平分BF,

：.ZBGC=ZEBC=90°,

'：ZGCB=ZBCE,

:.△BGCsAEBC,

,GBBC

"~BE~~EC'

22

iBCBE3x13M

GB-----------=-7=--------

ECM10

222

/.BF=2GB=,CG=y/BC-GB=^3-(-3麗、29回

-------)-

10--------10

由?所*VG得，如帕卜坪屋哪,

9

解得,FH=—；

VZCHF=90°,FC=BC=3,

,:PQ〃FH,

:?ACPQs叢CFH,

,CQ_PQ

?.CH-FH'

12

?口里=5)

99PQ~FH~9

5

4

-?CQ=-PQf

'：ZBQP=ZBCD=90°,

J.PQ//DC,

:?ABPQSABDC,

,BQ_PQ

??一，

BCDC

.BQ_BC_3

"~PQ~1)C~2,

3

--BQ=-PQ,

3

.BPBQ2Pg..9

"~DP~~CQ~T~~S

3

DP=—BD=—xy/13=^^-

171717

故答案為：”三.

17

【點睛】本題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、

二次根式的化簡以及用面積等式列方程等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔

助線，此題難度較大，計算煩瑣，應(yīng)注意檢驗所求的結(jié)果是否正確.

23

三、解答題

12.如圖，△A8。中，ZA=90°,AB=6cm,AD=12cm.某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿

AB方向以lcm/s的速度向點8勻速運動；同時，動點N從點。出發(fā)沿方向以2cm/s的

速度向點A勻速運動，運動的時間為a

,?,，7

(1)求f為何值時，△4咖的面積是443。面積的,；

(2)當(dāng)以點A,M,N為頂點的三角形與相似時，求"直.

【答案】(1)。=4,^=2；(2)—3或1~

【分析】(1)由題意得￡W=2r(cm),AN—(12-2f)cm,AM—tcm,根據(jù)三角形的面積

公式列出方程可求出答案；

(2)分兩種情況，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值.

【詳解】解：(1)由題意得。N=2f(cm),AN=(12-2r)cm,AM=tcm,

???△AMN的面積=,AN?AM=LX(12-20xt=6t-t2,*

22

VZA=90°,AB=6cm,AD=12cm

J叢ABD的面積為,AB-AD=-x6xl2=36,

22

,9

叢AMN的面積是^ABD面積的§,

2

.*.6f-t2=—x36,

9

A/2-6/+8=0,

解得力=4,t2=2,

2

答:經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△A3。面積的§；

(2)由題意得￡>N=2/(cm),AN=(12-2/)cm,AM=tcm,

若aAMNsAABD,

AMAN12-2t

則有——=—,即工=

ABAD612

解得/=3,

若^AMNS^ADB,

e士AMAN12—2%

則有——=—即

ADAB126

24

解得t=—>

24

答：當(dāng)，=3或彳時，以A、M、N為頂點的三角形與△A8O相似.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)和一元二次方程的應(yīng)用，正確進

行分類討論是解題的關(guān)鍵.

13.在“1BC中，鈣=機（機>0）,。為43上一點，過￡）作。石〃2。交4。于點￡1,連接8.設(shè)

S.DCE=S2^S.ABC=S1求茅的取值范圍.

【答案】

【分析】作AGJ_3C于/點，交DE于G點、,設(shè)AZ）=x,首先結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)

推出斐DF和G笠F的值，然后結(jié)合面積公式進行列式，得出二次函數(shù)解析式，最后結(jié)合二次函

BCAF

數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍進行判斷即可.

【詳解】解：如圖所示，作AGL3C于/點，交DE于G點、,設(shè)

9：DE//BC,

:?匕ADEsxABC,

.DEADAGAE_x

BC~AB~AF~AC~m

.GF_m-x

AFm

-DE?GF八萬廠廠

c7DEGFxm-xx(m-x)

——：-----=x——=—x

S—BC*AFBCAFmmm2

}2°

整理得：w?

3im

???點。在AB上，m>0,

-±<0,

0<x<m,

m

???拋物線2的開口向下，且當(dāng)時，，取得最大值為

25

當(dāng)尤=0和x=〃z時，均有今=0,

31

綜上分析，:■的取值范圍是。.

3154

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)運用等，掌握相似三角形的判

定與性質(zhì)推出相關(guān)線段的比例，以及熟練運用二次函數(shù)的性質(zhì)分析是解題關(guān)鍵.

14.RSASC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動點尸從點A出發(fā)，沿AC向

點C方向運動，動點。從點C出發(fā),沿線段CB也向點8方向運動，如果點尸的速度是4cm/s,

點。的速度是2cm/s,它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動.設(shè)運

動時間為f秒.

(1)求運動時間為多少秒時，P、。兩點之間的距離為10cm?

(2)若ACPQ的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)f為多少時，以點C,P,。為頂點的三角形與AABC相似？

A-----------------------------------------B

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20z-4r)cm2；(3)t=3或"黑

【分析】(1)根據(jù)題意得到AP=4fcm,CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(204)cm,根據(jù)三角

形的面積公式列方程即可得答案；

(2)若運動的時間為ts,則CP=(20-4/)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計算公式，即

可得出5=20%4汽再結(jié)合各線段長度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；

(3)分①及△CPQs曲△C4B和②用△<??。s放△cfiA,利用相似三角形得出比例式，建

立方程求解，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由運動知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

VAC=20cm,

/.CP=(204)cm,

26

在RtXCPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即（20—4f）2+⑵y=1（）2；

t=3秒或t=5秒

（2）由題意得AP=4r,CQ=2t,則CP=20—4f,

因此Rt^CPQ的面積為S=Jx（20-4r）x2f=（20?-4r）cm2；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)皿△CPQs.c鉆時，圣=巖，即珠生=青解得/=3；

②當(dāng)放△CPQsR/^cBA時，CP=CQ即型肚=二解得:竺.

CBCA152011

40

因此，=3或/=五時，以點C、尸、。為頂點的三角形與AABC相似.

【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

ApAE

15.如圖，在△ABC中，點。在邊AB上，點E、點尸在邊AC上，S.DE//BC,—=—.

FEEC

（1）求證：DF//BE-,

(2)如且AP=2,EF=4,AB=6^3.求證△AOESAAEB.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

AnAFAFAD

【分析】⑴由題意易得而=法’則有花=法’進而問題可求證;

（2）由（1）及題意可知條="=（，然后可得AO=26,進而可證至=42=3,最

BDEF2ABAE3

后問題可求證.

【詳角尾】解：（1）9：DE//BC,

ADAE

~BD~~EC

AFAE

~FE~~EC

AF_AD

~FE~~BD

：.DF//BE；

(2)TA尸=2,E/=4,

27

ADAF1

...由(1)可知,AE=6,

BD-EF-2

■:AB=64i,

AD=-AB=2y/3,

3

.AE_6_y/3AD_2y/3y/3

"AB~6y/3~3'AE^63

.AEADA/3

"AB~AE~3'

,?ZA=ZA,

，AADEsAAEB.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

16.矩形ABC。中，AB=CD=3cm,AD=BC=4cm,AC是對角線，動點尸從點A出發(fā)沿

AC方向向點C勻速運動，速度為lcm/s；動點。從點C出發(fā)沿C。方向向點。勻速運動，

速度為2cm/s.過點P作的垂線段尸8,運動過程中始終保持「"與2c互相垂直，連接

反。交AC于點。若點尸和點。同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為r(s)(0<?<1.5),解答下列

問題：

(1)求當(dāng)t為何值時，四邊形PHCQ為矩形；

(2)是否存在一個時刻，使HQ與AC互相垂直？如果存在請求出f值；如果不存在請說明

理由；

75

(3)是否存在一個時刻，使矩形ABCQ的面積是四邊形PHCQ面積的石，如果存在請求

出f值；如果不存在請說明理由.

【答案】⑴/*；(2)存在，f=1|；(3)存在，f=l

【分析】(1)當(dāng)四邊形P8C。為矩形時，尸》=CQ,利用相似三角形的性質(zhì)求出PH,CH,

構(gòu)建方程求解即可；

(2)證明A"CQ~AA8C,由相似的性質(zhì)得出，笑=空，由此構(gòu)建方程求解即可；

28

(3)根據(jù)矩形ABCD的面積是四邊形PHCQ面積的三，構(gòu)建方程求解即可.

44

【詳解】解：(1)-.-AB=3,BC=4,

AC=V32+42=5-

由題可得：AP=tjCP=5—tJCQ-2t,

???四邊形ABC。是矩形，

「.ZB=90。，

?.-PH1BC,

ZCHP=ZB=90°,

/PCH=ZACB,

...△PCH~,

PHCH「即等CH5-t

~AB~~CB

34

.-.PH=-(5-0，CH=M(5T),

當(dāng)四邊形PH。。為矩形時，PH=CQ,

3

/.-(5-0=2r,

解得：

.?.當(dāng)f=時，四邊形PHCQ為矩形；

(2)存在一個時刻，使HQLAC,

當(dāng)HQ_LAC時，ZQHC+ZACB=90°,

?,ZBAC+ZACB=90°,

ZQHC=ZBACf

???/HCQ=/B=90。,

;AHCQ-AABC,

，里二絲，^CHBC=ABCQ,

ABBC~

4

二.《(5-1)x4=3x2力，

解得：才二卷，

.?.當(dāng)""40時，HQLAC.

23

(3)存在，

-75134

由題思得：3x4=-x—x[2tH—(5—f)]X—(5—?),

44255

29

解得：/=1或/=了（舍去），

.?.當(dāng)r=l