專題01平移與軸對稱(分層訓練)

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分層訓練

【基礎訓練】

一、單選題

1.(2022?海南省直轄縣級單位?統考二模)在平面直角坐標系中，點P(-2,3)關于v軸對稱的點的坐標是()

A.(-2,-3)B.(2,3)C.(-2,3)D.(2,-3)

【答案】B

【分析】此題考查了關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標相等，熟記特點是解題的關鍵.

【詳解】點P(-2,3)關于y軸對稱的點的坐標是(2,3)

故選：B.

2.(2023上?吉林松原?八年級校聯考期中)如圖，直線加是多邊形ABCDE的對稱軸，若NB=110。，貝此￡)等

【答案】A

【分析】本題考查了軸對稱的性質，根據軸對稱圖形對應角相等，即可得到答案.

【詳解】解：由軸對稱的性質可知，

???4B=110°,

4D=110°,

故選：A.

3.(2023?浙江臺州?紹興市柯橋區楊汛橋鎮中學統考二模)平面直角坐標系中，把點/(—3,2)向右平移2

個單位，所得點的坐標是()

A.(—3,0)B.(—3,4)C.(—5,2)D.(—1,2)

【答案】D

【分析】根據點坐標平移的特點：左減右加，上加下減，進行求解即可.

【詳解】解：點4-3,2)向右平移2個單位，所得點的坐標是(-3+2,2)即(-1,2),

故選D.

【點睛】本題主要考查了點坐標平移，解題的關鍵在于能夠熟練掌握點坐標平移的特點.

4.(2023?遼寧沈陽?統考一模)已知：在直角坐標系中，點4,8的坐標分別是(1,0),(0,3),將線段

N2平移，平移后點/的對應點的坐標是(2,-1),那么點2的對應點皮的坐標是()

A.(2,1)B.(2,3)C.(2,2)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根據點A、A，的坐標確定出平移規律，然后根據規律求解點B，的坐標即可.

【詳解】0A(1,0)的對應點A，的坐標為(2,-1),

團平移規律為橫坐標加1,縱坐標減1,

團點B(0,3)的對應點為B\

配，的坐標為(1,2).

故選D.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移

加，下移減，本題根據對應點的坐標確定出平移規律是解題的關鍵.

5.(2023?四川瀘州?統考中考真題)在平面直角坐標系中，將點4-3,-2)向右平移5個單位長度得到點B,

則點B關于y軸對稱點M的坐標為()

A.(2,2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,-2)

【答案】C

【分析】根據點的平移規律左減右加可得點B的坐標，然后再根據關于y軸的對稱點的坐標特點：橫坐標

互為相反數，縱坐標不變可得答案.

【詳解】解：點4(-3,-2)向右平移5個單位長度得到點5(2,-2),

點8關于y軸對稱點的坐標為(-2,-2),

故選：C.

【點睛】本題主要考查了點的平移和關于y軸的對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規律.

6.(2022?山東濟南?統考二模)如圖，將"笑臉"圖標向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度，則

點尸的對應點P'坐標是()

C.(-2,3)D.(-8,3)

【答案】C

【分析】根據向右平移橫坐標加，向下平移縱坐標減列式計算即可.

【詳解】解：團將點P(-5,4)向右平移3個單位長度，

再向下平移1個單位長度得到對應點P',

團-5+3=—2,4—1=3,

回點P'的坐標為：(一2,3),

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化一平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上

移加，下移減.

7.(2023上?廣西百色,八年級統考期中)如圖，三角形/8C的頂點坐標分別是/(4,3),B(3,1),C(1,

2)若將三角形4BC向左移動3個單位,向下移動2個單位得三角形則4，Bi，G對應的坐標分

B.(7,1)、(6,-1)>(4,3)

C.(1,1)、(0,-1)、(-2,0)D.(1,5)、(0,3)、(-2,4)

【答案】C

【分析】根據三個頂點的縱坐標都減去2,橫坐標都減去3,據此作圖可得結論.

【詳解】解：如圖，AAiBiCi即為所求,

則公,G對應的坐標分別為（1,1）、（0,-1）、（-2,0）,

故選：C.

【點睛】本題主要考查坐標與圖形變化-平移，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的定義和性質，并據此得出

變換后的對應點.

8.（2023?廣東潮州?統考模擬預測）在平面直角坐標系中，線段4B平移得到線段CD,點4（-1,4）的對應點

C（l,2）,則點B（2,1）的對應點。的坐標為（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【答案】A

【分析】根據點4、C的坐標確定出平移規律，再根據平移規律解答即可.

【詳解】解：回點2（-1,4）的對應點C的坐標為（1,2）,

團平移規律為向右平移2個單位，向下平移2個單位，

05（2,1）的對應點。的坐標為（4,-1）.

故選：A.

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上

移加，下移減.

9.（2023上?江蘇無錫?八年級無錫市第一女子中學校考階段練習）如圖在四邊形4BEC中，NBEC和NH4C都

是直角，且現將/BEC沿8C翻折，點E的對應點為？，BE'與4c邊相交于D點，恰好BE'是N4BC的

角平分線，若CE=1,貝UBD的長為（）

A.1.5B.1.6C.2D.3

【答案】C

［分析］延長和BA相交于點F,根據翻折的性質可以證明勖ECffilBE戶,可得CF=2,再證明MC4幽DA4,

可得瓦上C9;2.

【詳解】解：如圖，延長C￡和8/相交于點R

由翻折可知：

魴EO的90°,CE，=CE=\,

勖？是西5C的角平分線，

^CBE^^FBE\

WE,=BE,,

^BE,C^BE,F(ASA),

^EfF=CEf=l,

0CF=2,

MFC4+M=90°,0D5/+訴90°,

mFCA=WBA,

團的。二血48=90。，AB=AC,

^FCA^DBA(ASA),

^BD=CF=2.

故選：c.

【點睛】此題考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質.熟練掌握全等三角形的判定與性質和折疊的

性質是解決問題的關鍵.

10.(2023?河南許昌?統考一模)如圖,在平面直角坐標系中，菱形40BC的邊。B在久軸上，乙40B=60°,5(4,0),

點。，E分別是邊。B,上的點.將AOED沿DE折疊，使點。的對應點F落在邊AC上，若力則點尸

的坐標為()

C.(3,4)D.(2V3,3)

【答案】A

【分析】過4作4H108于乩作4G1EF于G,根據四邊形20BC是菱形，B(4,0),可得OH=｝。4=2,AH=

V30W=2V3,2(2,2V3),又=故EF=由將△OED沿DE折疊，使點。的對應點F落在邊AC

上，有。E=EF=V^4E,從而V5aE+aE=4,AE=2V3-2,即知4F=2百一2,可得尸(28，2V3).

【詳解】解：過人作4H_L。8于H,作4G1E尸于G,如圖：

?.?四邊形40BC是菱形，S(4,0),

OA=0B=4,

???乙AOB=60°,

???^OAH=30°,Z-OAC=120°,

???OH=-OA=2,AH=V30H=2A

2

.??4(2,2V3),

AE=AF,

???昨"FE=3。。，EG^EF,

EG日口6EG

cos3on0o°=—,即——=—

AE2AE

???EG的E,

1廠廠W

???-EF=——AE,

22

???EF=WAE,

?.?將△OED沿DE折疊，使點。的對應點F落在邊AC上,

?-.OE=EF=取AE,

OE+AE=OA=4,

???V34E+AE=4,

解得2E=2百一2,

???AF=2V3-2,

2V3),4F||x軸,

團點F的橫坐標為2+2V3-2=2V3,

???F(2V3,2V3),

故選：A.

【點睛】本題考查菱形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，能熟練應用含30。角的直角三角形三

邊的關系.

11.（2023?四川綿陽?統考二模）如圖，有一張矩形紙條ABC。，AB=5cm,BC=2cm，點M,N分別在邊4B,

CDh,CN=1cm.現將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B,C分別落在點夕，C，上.在點M從點力運動到點B的

過程中，若邊M9與邊CD交于點E,則點E相應運動的路徑長為（）

-3

A.6片—I)cmB.|cmC.VScmD.-cm

2

【答案】A

【分析】由折疊的性質可得BM=夕”，然后可得9N=B，M,在R/0C6W中利用勾股定理求解。夕；當點

M與點/重合時，可得ME=NE,設,NE=x,在RMADE中，利用勾股定理求解DE,當夕M1AB時，DE'的

值最大；當點M運動到點B'落在CD時，點E的運動軌跡ETE'T"，運動路徑EE，+E，夕求出即可.

【詳解】解：如圖1中，當點夕在DC上時，點￡定為點夕，

圖1

回四邊形4BCD是矩形，

SAB//CD,

0Z1=z3,

由翻折的性質可知：N1=N2,BM=MB',

0Z2=Z3,

SMB'=NB',

EINB'=-JB'C'2+NC'2=V22+l2=V5(cm),

0FM=NB'=V5(cm).

SDB'=DN-B'N=4-V5,

如圖2中，當點M與2重合時，點E定為點E,

B’

圖2

團四邊形/BCD是矩形，

0AB//CD,

團乙1=Z3,

由翻折的性質可知：Zl=Z2,BM=MB',

團匕2=Z3,

^\ME=NE,

設ZE=EN=xcm,DE=DN-NE=4-x,

在RtZMDE中，則有AD2+DE2=AE2,即/=2Z+(4-x)2,

解得久=I，

CQ

WE=4—=-(cm),

22

如圖3中，當點例運動到MB'148時，此時點￡位置定為夕，0E'的值最大，。￡'=5-1一2=2(cm),

圖3

如圖4中，當點M運動到點B'落在CD時,

圖4

回點E的運動軌跡EE'-Bl運動路徑=EE，+E，夕=2-|+2-（4一遍）=（岔一§（cm）.

故選：A.

【點睛】本題主要考查翻折的性質、矩形的性質及勾股定理，等腰三角形判定與性質，熟練掌握翻折的性

質、矩形的性質及勾股定理，等腰三角形判定與性質是解題的關鍵.

12.（2023上?陜西漢中,九年級統考期中）如圖，將等邊AABC沿4c邊上的高線BD平移到AEFG,陰影部分

()

D.8cm2

【答案】B

【分析】本題考查了平移的性質，相似三角形的性質，根據平行的性質可知SA"C=SAEFG，力CIIEG進而可

證得△FMN八FEG八B4C,根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得結論.

【詳解】解：回等邊三角形沿4C邊上的高線8。平移到△EFG,

團SAABC=S&EFG，AC\\EG,

0AFMN—AFEGBAC,

回SMMN_(毀)2

S^ABC\BD)

^FB1

團--=一，

FD3

團--=一3,

BD4

EIAFMN的面積記為S,SAABC=16,

喉=（獷

13.（2023?山西大同,校聯考二模）如圖，△ABC是等邊二角形，4D是BC邊上的iWi,點E是4C邊的中點，點

尸是力。上的一個動點，當PC+PE最小時，NPCD的度數是（）

C.45°D.30°

【答案】D

【分析】根據點8與點C關于直線2D對稱，連接BE,交4。于點N,當點尸與點N重合時，PC+PE取得

最小值，根據等邊三角形的性質，此時點N是三個內角角平分線的交點，故PC平分N8C4計算即可.

【詳解】連接BE,交4D于點N,連接BP,如圖,

回A48C是等邊三角形，4。是邊上的高，點E是4c邊的中點,

回點8與點C關于直線4D對稱，BE1AC,

0PB=PC,

0PC+PE=PB+PE>BE,

當點尸與點N重合時，PC+PE取得最小值，

此時點N是三個內角角平分線的交點，

故PC平分NBO1,

故"CD=30°,

故選D.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，軸對稱求線段和的最小值，熟練掌握等邊三角形的性質，軸對稱

求線段和的最小值是解題的關鍵.

14.（2022下?山東聊城?七年級統考期中）如圖，將一張長方形紙片/2CD沿跖折疊，點43分別落在點

4、B'處,若41=65°,則乙4'ED的度數是（）

A.65°B.60°C.50°D.57.5°

【答案】C

【分析】由折疊可得,EI1=EU'E尸=65。,進而得到的￡4=130。,再根據平角的定義，即可得到財，￡￡）=180。-130。=50。.

【詳解】解：由折疊可得，01=的'￡尸=65。，

EE4E4=130°,

的4切=180°-130°=50°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，解題時注意：折疊問題的本質是軸對稱的性質的運用.

15.（2023?山東泰安?校考三模）如圖，在菱形力BCD中，BC=4,AABC=60°,在BC邊上有一線段EF由B向

C運動，點F到達點C后停止運動，E在F的左側，EF=1,連接則AAEF周長的最小值為（）

AD

A.4V3+1B.4V3+2C.7D.8

【答案】D

【分析】過點尸作FGII4E交4D于點G,再作點G關于BC的對稱點G',連接G'F,連接4G'與交于點H,當產運

動到“點時，4F,G，三點共線，此時4F+FG，取最小值，即4F+4E取最小值，則此時△4EF的周長最小.

【詳解】解：如圖，過點F作FGII4E交2。于點G,則四邊形4EFG為平行四邊形，

...AG=EF=1,AE=GF,再作點G關于BC的對稱點G',連接G'F,則G'F=GF=4E,

連接力G'與BC交于點H,當F運動到“點時，A,F,G，三點共線，止匕時4F+FG，取最小值，即4F+4E取最

小值，則此時AAEF的周長最小.

過點G，作G'KIMD,過點4作4K16欠交8(?于點/,

AI.oV3

—=sin6rn0=—

AB2

AB==4,

???Al=2A/3,連接GG',

???AG\\GrK,AK1G'K,

四邊形GG，K4為矩形，

?-.AK=2AI=4V3,G'K=4G=1,

???AG'=7AK2+G，"=(4V3)2+1=7,

AAEF周長的最小值4G'+EF=7+1=8,

故選：D.

【點睛】本題考查了關于移動線段中三角形周長最小值問題，添加合適的輔助線轉化為兩點間距離問題是

解題關鍵.

二、填空題

16.（2023下?廣西柳州?七年級統考期中）將點尸（-2,3）先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得

到點。的坐標是.

【答案】（-4,2）

【分析】根據橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減可得答案.

【詳解】解：將點P（-2,3）向左平移2個單位，再向下平移1個單位得到點。，則點。的坐標為（-4,2）.

故答案為：（-4,2）.

【點睛】本題考查了坐標系中點的平移規律.平移中點的變化規律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上

移加，下移減.

17.（2022?寧夏,中考真題）如圖，點B的坐標是（0,3）,將△04B沿x軸向右平移至△CDE,點B的對應點

￡恰好落在直線y=2x-3上，則點力移動的距離是.

【答案】3

【分析】將》=3代入一次函數解析式求出x值，由此即可得出點￡的坐標為（3,3）,進而可得出AO/B沿

x軸向右平移3個單位得到ACDE,根據平移的性質即可得出點A與其對應點間的距離.

【詳解】解：當y=2x-3=3時，x=3,

.??點E的坐標為（3,3）,

：?△0AB沿式軸向右平移3個單位得到△CDE,

.??點a與其對應點間的距離為3,

即點力移動的距離是3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征以及坐標與圖形變換中的平移，將y=3代入一次函數解

析式中求出點E的橫坐標是解題的關鍵.

18.(2023上?黑龍江佳木斯?八年級統考期中)如圖，等邊三角形的頂點4(1,1),B(3,l),規定把等邊三角形4BC

先沿x軸翻折，再向左平移1個單位長度為一次變換.如果這樣連續經過2021次變換后，等邊三角形ABC的

頂點/的坐標為—.

【答案】(一2020,-1)

【分析】根據軸對稱判斷出點/變換后在x軸下方，然后求出點/縱坐標，再根據平移的距離求出點/變

換后的橫坐標，最后寫出坐標即可.

【詳解】解：根據題意得：經過1次變換后，頂點N的坐標為

經過2次變換后，頂點/的坐標為(-1,1),

經過3次變換后，頂點N的坐標為(-2,-1),

經過4次變換后，頂點/的坐標為(-3,1),

由此發現，第2021次變換后的三角形在x軸下方，點/的縱坐標為-1,

橫坐標為1-2021x1=-2020,

所以，連續經過2021次變換后，等邊三角形4BC的頂點/的坐標為(-2020,-1),

故答案為：(-2020,-1).

【點睛】本題考查了坐標與圖形變化，平移和軸對稱變換，以及等邊三角形的性質的運用，確定出連續2021

次這樣的變換得到三角形在x軸下方是解題的關鍵.

19.(2023?河南鄭州?鄭州市第八中學校考二模)如圖所示，一個扇形紙片的圓心角為90。，半徑為2,將這

張扇形紙片折疊，使點/與點。恰好重合，折痕為CD,則陰影部分的面積為

【答案】V3-^

【分析】如圖，連接2D,0D,由折疊知4。=0。，4。。。=90。，AOa。是等邊三角形，解直角三角形求

得CD=B,進一步求得S扇形A。。=|兀，通過組合圖形和差關系求得陰影部分面積.

【詳解】如圖，連接4。，0D,由折疊知4。=。。，/.OCD=90°,

0A。4D是等邊三角形，

0ZXOD=60°,

0CO=0D-sin60°=2x—=V3,

2

團圖中空白部分面積=2S扇形040—S^o/o=2x|7r-|x2xV3=^7r-V3,

團陰影部分面積X22-(^71-V3)=V3-

433

故答案為：V3—\

【點睛】本題考查折疊的性質，扇形面積公式，求組合圖形面積；能夠由折疊轉化為線段、角的數量關系，

識別圖中組合圖形面積的和差關系是解題的關鍵.

20.(2022上?北京?九年級北京市第十二中學校考期中)已知點P(2,-1)關于x軸的對稱點是A，那么R點關

于原點的對稱點坐標為

【答案】(-2,-1)

【分析】根據點的坐標關于坐標軸及原點對稱的特征可進行求解.

【詳解】解：點P(2,-l)關于x軸的對稱點是P1(2,l),貝iJP1(2,l)關于原點的對稱點坐標為(-2,-1)；

故答案為(—2,—1).

【點睛】本題主要考查點的坐標關于坐標軸及原點對稱，熟練掌握點的坐標關于坐標軸及原點對稱的特征

是解題的關鍵.

21.(2023?遼寧遼陽,校考一模)如圖，EIABC內接于圓，點D是AC上一點，將13A沿BD翻折，點A正好落

在圓上點E處.若回C=50。，則回ABE的度數為.

【分析】首先連接BE,根據折疊的性質可得：AB=BE,即可得48=旌，根據圓周角定理，得到團BAE和團BEA

的度數，繼而求得回ABE的度數.

【詳解】解：如圖，連接AE,

D

根據折疊的性質可得：AB=BE,

[3AB=腔

EINB4E=4BEA=NC=50。(同弧所對的圓周角相等)，

Sl^ABE=180°-50°-50°=80°,

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、折疊的性質以及三角形內角和定理.此題難度不大，注意掌握輔助

線的作法，注意數形結合思想的應用，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

22.(2023,浙江杭州?模擬預測)如圖，將直角△ABC沿斜邊AC的方向平移到ADEF的位置，DE交BC于點

G,BG=4,EF=10,△BEG的面積為4,下列結論中：①乙4=N8ED；②△ABC平移的距離是4；③BE=CF；

④四邊形GCFE的面積為16,正確的有.(填序號)

A

EF

【答案】①③④

【分析】由平移的性質得到BE0AC,AB0DE,BC=EF,BE=CF,故③正確；根據平行四邊形的性質得到I3A=EIBED,

故①正確；根據直角三角形斜邊大于直角邊得到AABC平移的距離＞4,故②錯誤；根據三角形的面積公式

得到GE=2,根據梯形的面積公式得到四邊形GCFE的面積芭(6+10)x2=16,故④正確.

【詳解】解:豳DEF的是直角三角形ABC沿著斜邊AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四點在同一條

直線上，

0BE0AC,AB0DE,BC=EF,BE=CF,故③正確；

回四邊形ABED是平行四邊形，

EBA=I3BED,故①正確；

0BG=4,

0AD=BE＞BG,

EHABC平移的距離＞4,故②錯誤；

0EF=1O,

0CG=BC-BG=EF-BG=lO-4=6,

EHBEG的面積等于4,

嗎BG?GE=4,

0GE=2,

回四邊形GCFE的面積J(6+10)x2=16,故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查了平移的性質，面積的計算，平行四邊形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

23.(2023?湖北武漢?校考模擬預測)如圖，在RtAZBC中，乙4cB=90。，AC=1,BC=2,。是邊48上一

點.連接CD,將△ACD沿直線CD折疊，點2落在E處，當點E在A/IBC的內部(不含邊界)時，AD長度的取

值范圍是.

A

【分析】由勾股定理可求得的長，分別求出當點E落在48上時和當點E落在BC上時，4。的長，即可求解.

【詳解】解：???=90°,AC=1,BC=2,

???AB=y/AC2+BC2=V5,

當點E落在48上時，如圖,

點4落在E處,

???^ADC=Z.EDC=90°,

ADAC

VcosZA=—=——

ACAB

AD_1

7=后

?'AD=T

當點E落在BC上時，如圖,過點。作DH14C于H,

,將△力CD沿直線CO折疊,點4落在E處,

???^ACD=4ECD=45°,

???DHLAC,

???乙HDC=Z.HCD=45°,

???CH=DH,

DHBCc

,**tanZA——=2,

AHAC

??.HD=2AH=CH,

vAC=AH+CH=AH+2AH=1,

12

AH=CH=-=DH,

33

AD=7AH2+DH2=J（|）2+（|）2=y,

???當點E在△ABC的內部（不含邊界）時，4。長度的取值范圍是，＜4。（去

故答案為：＜AD＜

【點睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，銳角三角函數等知識，求出點4落在4C和BC上時力。的值是解題

的關鍵.

24.（2022?安徽滁州?統考二模）如圖，在正方形4BCD中，點P,Q分別是4B,4。的中點，點E是CD邊上一

個動點，連接PE,將四邊形PBCE沿PE折疊，得到四邊形PEFH.

（1）若P,H,Q三點在同一條直線上，則N8PE的大小為。；

（2）若4B=2,則F,Q兩點的連線段的最小值為.

【答案】67.5A/5-V2

【分析】（1）易得乙4PQ=45。，利用翻折的性質得到NBPE=NHPE=67.5。；

（2）連接PQ,PE,PC,易證APBC三APHF,得到PF=PC=近，PQ=V2,當P,Q,F在同一條直線

上時，尸Q最小，計算可得.

【詳解】（1）如圖1,易得乙4PQ=45°,

EINBPE=乙HPE=67.5°,

故答案為：67.5；

（2）如圖2,連接PQ,PE,PC,

易證△PBC34PHF,

EIPF=PC=瓜PQ=V2,

當P,Q,F在同一條直線上時，FQ最小，最小值為展-魚，

故答案為：Vs—V2.

圖1圖2

【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，正確掌握翻折的性質是解題的

關鍵.

25.（2022?貴州遵義?統考三模）折紙活動中含有大量數學知識，已知四邊形48CD是一張正方形彩紙.在一

次折紙過程中，我們首先通過兩次對折，得到了對開（二分之一）折痕E/和四開（四分之一）折痕K）.然

后將4,。分別沿EF,EG折疊到點并使H剛好落在K/上，已知BF=6-3舊，貝必G的長度為.

【答案】4V3

【分析】由折疊得到對應角相等，對應邊相等，再由折疊得到￡￡＞、EK與正方形的邊長的關系，轉化到直

角三角形￡胸中，由特殊的邊角關系可得的次=30。，從而得到特殊銳角的直角三角形，通過解特殊銳角的

直角三角形，求出邊長即可.

【詳解】解：由折疊得，SAEF=WEF,aDEG=E/ffiG,EK=KD=：a,ED=EH=：a,

1

：^FEG=-X180°=90°,

2

在Rt△EHK中，EK=^a,EH=^a,

.-.^EHK=3Q°9

.WEK=90°-30°=60°,

.-WEG=MEG=30°,

-.WGE=WGE=60°,

在△EFG中，妍￡G=90°,皿EG=30。,

???蛇尸G=90°-60°=30°,

：.W：FA^\EFG=30°,

AE2aV3

???4AZF7=----------=4=-=——a

tan30°V32

3

BF=6-36

???6—3V3=a—解得a=6,

在,夫碩G￡中,，EG=-^FD-=^—a=—,/Qa

sm60°在3

2

V3

在RtAEFG中，蛇尸G=30°,EG=—a,

3

尸G=2EG昔a=^x6=4后

故答案為：4V3.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質、正方形的性質，直角三角形的性質以及特殊銳角的直角三角形的邊角

關系等知識，理解折疊將問題轉化到一個直角三角形中，通過解這個特殊銳角的直角三角形是解決問題的

關鍵,

三、解答題

26.(2022下?廣東茂名?八年級校聯考期中)在邊長為1的小正方形網格中，的。8的頂點均在格點上.

⑴將西08向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度得到朋1。/1，請畫出刻10/1，并寫出點乙的

坐標；

(2)將的03繞點。沿順時針方向旋轉90。得到刻2。為，請畫出刻2。4，并寫出點&的坐標.

【答案】⑴作圖見解析，&(一2,4)；

⑵作圖見解析，&(3,—1).

【分析】（1）根據平移方式，將三角形的三個頂點進行平移，然后將平移之后的點依次連線，即為所作圖

形，相關點的坐標隨之解決.

（2）根據旋轉方式，將三角形的08繞著點A順時針旋轉90。，最后連接&&即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，由平移之后的圖形可知為（-2,4）,

（2）解：如圖所示，由旋轉之后的圖形可知力2（3,-1）

【點睛】本題考查了坐標與圖形的變換，能夠準確地根據圖形的變換方式找到變換之后的對應點的位置是

解決圖形變換的關鍵.

27.（2023上?福建莆田?八年級校聯考期中）如圖,AABC的頂點坐標分別為A（2,3）,B（L1）,C（3,2）.

⑴將AABC向下平移4個單位長度,畫出平移后的AAjBtC1；

(2)畫出AABC關于y軸對稱的AA2B2C2.并寫出點A2,B2,C2的坐標.

【答案】(1)見解析;(2)作圖見解析，①(—2,-1)B2(-l,-3)C2(-3,-2)

【分析】根據三角形在坐標中的位置，將每個點分別平移，即可畫出平移后的圖象.

【詳解】解：(1)、(2)如圖：

-

回點A2，B2，C2的坐標分別為：4(—2,-1),B21,3),C2(—3,—2).

【點睛】本題考查了平移，軸對稱的知識，解題的關鍵是熟練掌握作圖的方法.

28.(2023下?河南商丘?七年級永城市實驗中學校考期末)如圖，三角形4BC的頂點都在正方形網格的格點

上，且B、C兩點的坐標分別為(—5,—2)、(3,3).

(1)請根據條件在網格中畫出平面直角坐標系;

（2）將三角形ABC向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到對應的三角形&B1G，畫出三

角形&B1G，并分別直接寫出點B>Q的坐標；

（3）求三角形ABC的面積.

【答案】（1）平面直角坐標系如圖所示見解析；（2）三角形乙/的如圖所示見解析；4式0,2）,2（-3,

—5）,一（5,0）；（3）SAABC=20.5.

【分析】（1）直接利用各點坐標建立平面直角坐標系即可；

（2）直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；

（3）直接利用AABC所在矩形面積減去周圍三角形面積進而得出答案.

【詳解】（1）平面直角坐標系如圖所示：

①（0,2）,-5）,Q（5,0）

（3）如圖，

SAABC-S長^^BDEF-SABDC-SACEA-SAABF

=7x8—,x8x5—x2x5—x7x3

222

=56-20-5-10.5

【點睛】本題主要考查了平移變換以及三角形面積求法，正確得出對應點位置是解題關鍵.

29.(2022下?遼寧撫順?七年級統考期末)如圖，四邊形48CD是正方形，其中4(一3,2),B(—l,2),。(一1,4),

將這個正方形向右平移5個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到正方形4夕

⑴畫出平移后的正方形ABO；

(2)寫出點。和》的坐標；

⑶寫出線段44與CC'的位置和數量關系.

【答案】⑴見解析

⑵。(-3,4)；D'(2,1)

⑶44'=CC,AA'||CC

【分析】(1)利用平移變換的性質分別作出/,B,C,。的對應點4,B',C,。即可;

（2）根據點的位置寫出坐標即可；

（3）利用平移變換的性質判斷即可.

【詳解】（1）解：如圖，正方形4夕即為所求;

（3）解:由平移的性質，得力4=C。，AA'||CC.

【點睛】本題考查作圖-平移變換，平移的性質，解題的關鍵是掌握平移變換的性質，屬于中考常考題型.

30.（2022,安徽?校聯考二模）如圖，在邊長為1的小正方形網格中，AABC的頂點均在格點上，

（1）B點關于y軸的對稱點坐標為；

（2）將ZL4BC向右平移3個單位長度得到ZVliBiCi，請畫出A&BiCi；

⑶求ZL4BC的面積.

【答案】⑴（2,2）

（2）見解析

⑶△ABC的面積為2

【分析】（］）直接利用關于y軸對稱點的性質得出答案;

（2）利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；

（3）利用船3。所在矩形面積減去周圍三角形的面積進而得出答案.

【詳解】（1）解：8點關于y軸的對稱點坐標為：（2,2）；

故答案為：（2,2）.

（2）先得出平移后點N、B、C平移后的對應點&、Q,順次連接各點即可得出平移后的△Z/iG，

如圖所示：

111

(3)S—BC=2x3——x1x1——x2x2——x1x3=2.

【點睛】本題主要考查了軸對稱變換以及平移變換和三角形面積求法等知識，正確得出平移后對應點位置

是解題關鍵.

31.（2022上?廣東深圳?九年級深圳實驗學校校考階段練習）如圖，己知一個直角三角形紙片NC2,其中

EL4C5=90",AC=4,BC=3,E、尸分別是NC、邊上點，連接所.

圖①圖②

⑴圖①，若將紙片/CB的一角沿EF折疊，折疊后點4落在N8邊上的點。處，且使S四邊形ECBF=3SAEDF，

求NE的長；

（2）如圖②，若將紙片/C2的一角沿斯折疊，折疊后點/落在2C邊上的點〃處，且使MFIIC4.

①試判斷四邊形NEMF的形狀，并證明你的結論；

②求斯的長.

【答案】⑴I

(2)①菱形，見解析，②蜉

【分析】(1)先利用折疊的性質得到防劃8,"EF^ADEF,貝USMEF=SADEF，則易得SA^BC=4SA/EF，再

證明及及4E/迥放35C,然后根據相似三角形的性質得到#=(笠/，再利用勾股定理求出即可得到

S^ABCAB

/￡的長；

(2)①通過證明四條邊相等判斷四邊形NEMF為菱形；

②連接4W交所于點。，如圖②，設Z￡=x,則瓦3x,CE=4-x,先證明△CMEEACA4得到器=等=0

解出x后計算出CM=:再利用勾股定理計算出然后根據菱形的面積公式計算￡尸；

【詳解】(1)解：回ANCB的一角沿所折疊，折疊后點/落在N8邊上的點。處，

^EF^AB,LAEF=△DEF,

團S^AEF=S?DEF，

團S四邊形ECBF=3S>EDF，

回SAABC=4sAZEF，

在放/UBC中，函4c5=90。，4c=4,BC=3,

^AB=y]32+42=5,

^EAF=^\BAC,

^Rt^AEF^RtLABC,

0^￡￡=(—)2,即(些)2=工，

SAABCXABJ''5J4

EL4￡=|；

(2)①四邊形/EMF為菱形.理由如下：

如圖②，回△NC8的一角沿環折疊，折疊后點/落在N3邊上的點“處，

^\AE=EM,AF=MF,^\AFE=?MFE,

回MF||CA,

^\AEF=^\MFE,

^\AEF=^\AFE,

^\AE=AF,

^\AE=EM=MF=AF,

團四邊形AEMF為菱形;

②連接交EF于點O,如圖②,

設/EK,貝lj5M=X,CE=4-x,

回四邊形4EA用為菱形，

0EM||AB,

^CMESACBA,

解得x=g，C"=*

在用△/CW中,AM=>JAC2+CM2=J42+(92

^S^AEMF=1EF*AM=AE9CM,

【點睛】本題考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，菱形的判定，以及相似三角形的

判定與性質等知識：熟練掌握折疊的性質和菱形的判定與性質；靈活構建相似三角形，運用勾股定理或相

似比表示線段之間的關系和計算線段的長.

32.(2022下?福建三明?八年級統考期中)如圖，己知B(2,—3),C(4,-1)是平面直角坐標系上的

三點

%

⑴請畫出ATIBC關于原點。對稱的△a/iG；

⑵設點B2與點B關于y軸對稱，將點B2向上平移h個單位長度得到點名，使點B3落在△&B1G的內部，直接

寫出點殳的坐標與八的取值范圍.

【答案】⑴見解析

(2)(-2,-3),4</i<6

【分析】⑴根據網格結構找出點4、B、C關于原點的對稱點出、Bi、Q的位置，然后順次連接即可；

⑵根據軸對稱的特征寫出點屏的坐標，再根據圖形確定出點無到4。與歷的距離，由此可求出h的取值

范圍.

【詳解】（1）解：畫圖如下：

點B2到N/G的距離為4,到B1的距離6

故點B3落在△446的內部時，%的取值范圍為4<h<6.

【點睛】本題考查了關于原點及y軸對稱的點的坐標特征，圖形的平移，熟練掌握網格結構，準確找出對應

點的位置是解題的關鍵.

33.（2023?廣東陽江?統考一模）如圖，在邊長為1的小正方形構成的網格中，點4,2是格點，連接

作線段關于直線/的對稱線段4夕，連接04,OB,OB',OA'.

⑵求以點O為圓心的劣弧44'的長.

【答案】⑴見解析

⑵竽

【分析】(1)利用對稱的性質得到直線/垂直平分44',BB',則。4=04*OB=OB\,則可根據"SSS”判斷

^OAB^\OA'B'-,

(2)先利用勾股定理的逆定理證明A404是直角三角形，然后根據弧長公式計算.

【詳解】(1)證明：回線段N3與線段關于直線/對稱，

回點/,8分別與點4,2,關于直線/對稱，AB=A'B',

回直線/垂直平分44,，BB',

B1OA=OA',OB=OB',

在ZiONB和ACM0中，

OA=OA'

OB=OB'.

AB=A'B'

^OAB^OA'B'(SSS)；

(2)解：如圖，回。/=。4=，32+32=3VL44'=6,

SOA2+OA'2=AA'2,

0140/'是直角三角形，

酗404=90°.

團劣弧44'的長=晅這=—.

1802

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，線段垂直平分線的性質，勾股定理，以及弧長的計算，熟練掌握弧長

公式是解答本題的關鍵.

34.(2023下?福建福州?七年級福州華倫中學校考期中)已知胡//。是由S45c經過平移得到的，其中，/、

B、C三點的對應點分別是小、Bi、CI.它們在平面直角坐標系中的坐標如表所示：

^ABCA(a,0)B(3,0)C(5,5)

^AiBiCiAi(-3,2)5/(-1,b)G(c，7)

(1)觀察表中各對應點坐標的變化，并填空：a=,b=,c=

(2)在如圖的平面直角坐標系中畫出0A8C；

(3)求EL4/8/G的面積.

【答案】(1)1,2,1；(2)見解析；(3)5

【分析】。)根據點B橫坐標的變化求出向左平移的距離，根據點C縱坐標的變化得出向上平移的距離即可;

(2)在坐標系內描出各點，再畫出AABC及刻/16即可；

(3)矩形的面積減去兩個頂點上三角形的面積即可.

【詳解】解：(1)???B(3,0),Bi(—1,b),

二向左平移的距離=3+1=4,

a—4=-3,解得a1,

5-c-4,解得c=1；

???C(5,5),G(c,7),

二向上平移的距離=7-5=2,

???b=0+2=2.

故答案為：1,2,1；

(2)如圖A4BC即為所求；

(3)由圖可知，EL43/G的面積=4x5-|x4x5—|x2x5=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查的是作圖-平移變換，先根據題意得出圖形平移的方向，再根據圖形平移不變性的性質求

解是解答此題的關鍵.

35.(2022上,浙江杭州?九年級校考階段練習)在。。中，4B為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦4c翻

折交力B于點D,連接CD.

圖1圖2

(1)如圖1,若點D與圓心。重合，AC=2,求。。的半徑q

⑵如圖2,若點。與圓心。不重合，^BAC=20°,請求出NDC4的度數.

⑶如圖2,如果2。=6,DB=2,那么力C的長為.(直接寫出答案)

【答案】⑴然

(2)50°

(3)2714

【分析】(1)過點。作。E_L2C于E,可得到的長，根據勾股定理計算即可；

(2)連接BC,根據翻折的性質，AC所對的圓周角為NB,施。所對的圓周角為N4DC,在根據角度求解即

可；

(3)過C作CGJ.48于G,連接。C、BC,可求得半徑的長度，根據計算得DG=8G=1BD=1,根據勾

股定理計算即可.

【詳解】(1)解：如圖1,過點。作。E14C于E,

貝ME=3x2=l,

22

團翻折后點。與圓心O重合,

WE=三萬，

21

在中，AO2=AE2+OE2,

即//=l2+(11)2,

解得q=當；

(2)如圖2,連接3C,

是直徑，

國乙ACB=90°,

團匕BAC=20°,

回=90°-LBAC=90°-20°=70°,

根據翻折的性質，立所對的圓周角為乙以枷所對的圓周角為乙4OC,

團N/OC+=180°,

團乙B=Z.CDB=90°,

^DCA=乙CDB-/,BAC=70°-20°=50°；

(3)如圖3,過。作CG14B于G,連接OC、BC,

BAD=6,DB=2,

團48=AD+DB=8,回O的半徑為148=4,

由(2)知：乙40C+4B=180。，

^ADC+乙BDC=180°,

團=乙BDC,

團CO=BC,

WG^BG^lBD^l,

EIOG=OB-BG=4—1=3,AG=AB-BG=8-1=7,

Rt△OCG中，CG=VOC2-OG2=V42-32=V7,

Rt△4CG中，AC=y/AG2+CG2=I72+（V7）2=2y/14,

則NC的長為2g.

故答案為：2g.

【點睛】本題主要考查了圓的綜合應用，涉及的知識有折疊的性質、垂徑定理、勾股定理等，掌握相關知

識，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【能力提升】

點2（m,n）滿足n=sjm—4—V4—m+Vm.

（2）如圖1,將線段。4沿了軸向下平移a個單位后得到線段BC（點。與點3對應），過點C作軸于點

D,若4OD=